寿命概率分布的内生推导与预测

Lamb和Perraudin[2008]研究了在资本要求的类似背景下对自回归系统因素进行建模。在我们的注释中，这项研究基本上证明了遵循自回归过程，转换后的PiT PD也将遵循自回归过程.  然后，该研究展示了如何在一年的时间范围内推断PiT PD分布的分位数（受巴塞尔框架的激励）。我们继续类似于Lamb和Perraudin[2008]，但我们不关注分位数（与资本要求相关），而是关注未来PiT PD分布的预期值（与IFRS 9相关），并展示如何进行分析计算。这样一来，我们的分析适用于任意预测范围（受IFRS 9寿命考虑的推动）。最简单的形式是自回归1阶过程（以下简称AR（1））是为随机变量指定的详情如下：   （15） 带参数,  和. AR（1）过程的分布性质如下。条件分布 鉴于, 具有可以通过以下方式显示为正常：          （16） 考虑到平稳性限制： 无条件分布，这也是 ,  然后描述为：     （17） 如果我们现在假设AR（1）规格（15）为系统系数, 收敛准则（14）可以通过适当的参数化限制来实现。

尤其是 :   （18） 考虑到这些限制以及其他限制：（19） 趋同  也很满意，如（16）所示。因此，只有一个自由参数 保留，这也决定了收敛速度。考虑到（18）中的限制，（16）中的条件分布表达式适用于系统因子, 简化为：    （20） 现在，将（20）代入（13），我们最终根据系统因素的AR（1）假设得出矿坑PD的预测：参见例如Mills[2000]、Johnston和DiNardo[1997]。    （21）在参数限制下：（22）有趣的是，（21）中的表达式与简单的条件PiT PD相同，其调整（指数衰减）如下： )  系数（比较（21）到（8））。系统因子过程的另一个可行替代方法是自回归二阶过程（以下称为AR（2）），该过程通常用于随机变量 详情如下：    （23）带参数, , , 和. AR（2）过程的分布性质如下。

条件分布，给定两个已知的观测值 和, 没有分析表达式，但可以迭代导出：      (24)    （25）给定（平稳性）参数限制：    （26）无条件分布，这也是 ,  可以通过以下参数显示为正常：           （27）同样，为了使系统因子满足收敛标准（14），采用AR（2）过程需要以下参数限制：        （28）考虑到这些限制，另外：参见例如Mills[2000]、Johnston和DiNardo[1997]。（29）为  也很满意，从（23）中可以看出。基于系统因素AR（2）假设的矿坑局部放电预测如下：      （30）具有分布参数和  迭代计算为：                （31）并在以下参数限制下：     （32）TTC PDs：目前和未来TTC PDs的估计和不确定性  被认为是已知的。虽然不是本文的重点，但我们现在将简要阐述他们的估计。

通常，当前的TtC PD可以很好地近似于当前的外部和/或内部信用评级，这些评级通常被定义为离散化的违约概率。外部评级机构（标准普尔、穆迪、惠誉）明确遵守TtC方法。由于宏观经济条件的影响被认为是不确定的、不稳定的和周期性的，因此还建议将TtC用于巴塞尔II银行内部评级模型。因此，内部模型通常缺乏强有力的宏观经济输入，并根据违约率的长期平均值进行校准。原则上，当前TtC PDs对未来的预测可以通过评级转换矩阵指数（矩阵幂）的标准方法实现，参见Gerhold等人[2017]。未来（未来）TtC PDs 从这种方法可以看出，当预测范围 增加，目前TtC PDs较高和较低的债务人逐渐接近未来的一些中期TtC PDs。然而，这种趋同仅指. 对于每个债务人，未来, 特别是对于长期预测范围，将受到很大的不确定性。因为（21）和（30）之间的关系显然是非线性的, 这种未来的不确定性 在得出矿坑预测时应考虑。幸运的是，使用转移矩阵求幂的方法很容易实现这一点。特别是，该方法的标准输出也是非违约评级类别的（多项式）分布 在任意的未来时间点，具有相应的类概率. 从11个相关评级系统的评级量表中，我们可以推断出相应的TtC PDs 对于每个等级。

然后，上述方法可以通过简单的加权来适应债务人不确定的未来TtC PD：   （33）和：     （34）与： 哪里 代表评级系统中非违约评级类别的总数。也就是说，转移矩阵求幂的方法在很大程度上依赖于马尔可夫假设。根据这一假设，评级转移概率仅取决于当前评级，不取决于之前的评级，也不取决于时间点。最后规定的独立性对于某些信贷产品可能特别不现实，因为TtC PDs的动态也可能严重依赖于发起和到期时间。例如，欺诈行为导致的违约通常发生在早期，远期TtC PDs的峰值应在发起后不久出现。相比之下，对于一次性贷款，违约风险往往会延迟实现，在贷款到期日附近出现远期TtC PDs峰值。在这种情况下，可能需要改进转移矩阵求幂的方法。适应混合评级尽管大多数评级系统都遵循TtC方法，但有些系统显示出更具PiT或混合（介于TtC和PiT之间）特征。一个极端的例子是评级系统，它在短时间内将预测PD的平均投资组合重新校准为最近一段时间观察到的违约率。

一般来说，“坑性”可以很好地整合到上述框架中，如下所示（见Carlehed和Petrov[2012]）：   （35）与 为额定PD和系数表示评级系统的可靠性。两种限制情况是：=0与 和=1与.12注意，对于固定的 和它仍然适用于一个武断的观点:（36）与评级系统（包括混合系统）在一个或多个信用周期内的校准一致。从第（35）段可以看出：   （37）现在，在简单地替换为（8）之后，它认为：        再次应用（13），我们获得了具有不确定系统因素但已知未来评级PD的矿坑预测：            和和通过输入相应的   和. 更现实地说，如果未来的评级PD不确定，则（33）或（34）中规定的加权方案将是错误的，对于混合评级系统，评级类别概率 将与 以一种复杂的方式。而且 通过评级转换矩阵的通常指数（幂）在这里是有问题的（见Gerhold等人[2017]）。举个极端的例子，如果评级系统是PiT() 还有是常数，系统因子中没有自回归(), 马尔可夫性质显然不适用于评级转换：评级恶化之后很可能会出现评级大幅提升（因为在这种情况下，系统因素的极端均值回归），反之亦然。

通常使用经验（队列）评级迁移矩阵的矩阵求幂法忽略了这种序列依赖性，这将导致渐进地 分布范围太广，以及预期未来评级PDs过高。可能需要进一步调查以纠正此问题。参数化备选方案等式（21）和（30）-（31）显示了如何根据以下参数分别假设系统参数的AR（1）和AR（2）过程来预测未来的PiT PDs：-当前/以前（估计的）宏观经济风险因素（对于AR（1）情况）或 （对于AR（2）情况）-系统相关系数 -  自回归系数 （对于AR（1）情况）或 和 （对于AR（2）案例），分别受（22）和（32）中的限制。13当前的系统因素 以及之前的系统因素 例如，可以根据（10）中规定的当前和以前期间的已知已实现违约统计数据进行估计。此外，在专家判断和低违约投资组合的情况下，该参数的估计也应在下文关于贝叶斯估计的章节中重新讨论。现在，我们将详细说明如何在实践中确定剩余参数。相关系数的自然选择 是基于资产的信贷组合模型中使用的值，可以是巴塞尔协议II框架中的隐性监管组合模型，也可以是银行的内部信贷组合模型。事实上，巴塞尔投资组合模型基于的理论基础与本文提出的方法非常相似，并且还使用了一个单一的系统因素（见BCBS[2002]）。

现行欧盟法规（EU-CRR[2013]中实施的巴塞尔协议III）规定了以下系数值（在CRR文本中表示为“R”系数）：非零售义务人（EU-CRR第153条）：-一般设置：12%（PD=100%）至24%（PD=0%）-金融大型非监管公司：如上所述，乘以系数1.25——销售额低于5000万欧元的中小型公司（SME）：如上所述，扣减率高达4%，根据公司的销售零售义务人（EU-CRR第154条）：-一般设置：3%（PD=100%）至16%（PD=0%）-房地产抵押贷款（住宅抵押贷款）：15%-某些合格循环贷款（信用卡和类似贷款）：4%。因此，巴塞尔/CRR公式通常假定  关于PD（风险较高的公司对系统性因素的依赖性较小）。这是一个很有问题的假设，尽管在上述框架中实现这种依赖性不会有问题，因为目前和未来的TtC PDs都是已知的。此外，巴塞尔协议的设置实际反映了公司规模：公司越大，对宏观经济条件的依赖性越大，因此系统风险越高。此外，尽管巴塞尔新协议投资组合模型使用的基本风险期限为一年，但CRR法规确实考虑了贷款到期日（见BCBS[2002]）。对于零售风险敞口，其形式为对 系数。这就解释了为什么长期住房抵押贷款比短期或可撤销循环贷款具有更高的设置。这扭曲了CRR‘R’系数，将其作为零售投资组合系统风险的衡量标准。

相比之下，对于非零售风险敞口，巴塞尔协议II单独考虑到期日（在所谓的“M”术语中），因此“R”系数似乎很好地捕捉了系统风险。上述新巴塞尔协议的设置 确实有“官方”来源的优势。然而，早在21世纪初，他们就使用国家银行收集和汇总的违约统计数据进行了经验估算。因此，当代银行内部信贷组合模型可能是一个更合适的选择，作为. 如今，这些模型中的大多数都采用了与上述类似的基于资产的方法，将风险分解为系统性和特殊性的部分。然而，许多基于内部资产的模型利用了几个相关的系统性因素（而不是巴塞尔协议II中的单一因素），通常根据债务人的行业和/或地区将这些因素分配给债务人。尽管如此，如果所考虑的投资组合中的所有债务人都属于同一行业和地区，那么模型规范与单因素模型没有太大差异。这个14内部模型中指定给债务人的系数也取决于其行业和/或地区。一些内部模型也解释了公司的规模。当使用 对于内部模型中的系数，重要的是要确保系数的估算方式与TtC PiT变换中使用系数的方式一致。尤其是，估算所涉及的数据应至少涵盖违约统计的1-2个信用周期，估算所用的PDs应为TtC PDs。技术程序 估计（通常为最大似然，参见Kalkbrener&Onwunta[2009]）通常不考虑序列相关模式。

然而，考虑到足够长的估算数据，这不会对估算造成很大影响。一般来说，对于非零售风险敞口，内部模型似乎依赖于 值在10%到40%之间，零售风险在0.5%到5%之间。关于自回归系数 和, 直接外部来源不会太多，而估算应该基于现有数据和专家判断，以及有关所涉业务部门宏观经济信贷周期的共同知识。简单AR（1）过程中的矿坑预测通常会表现出均值回复行为，系数为 确定恢复的速度。该系数越低，预测的矿坑PDs越快收敛到相应的预测TtC PDs（在极端情况下，如果,  所有预测的矿坑PDs均等于预测的TtC PDs）。AR（1）过程是完全无记忆的，因为之前的状态对未来没有任何影响。特别是，在恢复到平均值后，这个过程同样可能朝着两个方向继续，而与恢复是从下方还是上方无关。AR（1）过程在技术意义上也没有表现出明显的周期性，因为其光谱密度没有显示峰值。然而，周期性可以用一些代理来近似。例如，可以使用“双交叉”的标准。根据该标准，当过程从下方（或者，从上方）穿过其平均值时，循环开始，并持续到下一次从下方（或者，从上方）穿过；参见下面“插图”一节中的图1。这些事件之间的平均时间间隔可以被视为周期性代理。