寿命概率分布的内生推导与预测

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英文标题：
《Endogenous Derivation and Forecast of Lifetime PDs》
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作者：
Volodymyr Perederiy
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  This paper proposes a simple technical approach for the analytical derivation of Point-in-Time PD (probability of default) forecasts, with minimal data requirements. The inputs required are the current and future Through-the-Cycle PDs of the obligors, their last known default rates, and a measurement of the systematic dependence of the obligors. Technically, the forecasts are made from within a classical asset-based credit portfolio model, with the additional assumption of a simple (first/second order) autoregressive process for the systematic factor. This paper elaborates in detail on the practical issues of implementation, especially on the parametrization alternatives. We also show how the approach can be naturally extended to low-default portfolios with volatile default rates, using Bayesian methodology. Furthermore, expert judgments on the current macroeconomic state, although not necessary for the forecasts, can be embedded into the model using the Bayesian technique. The resulting PD forecasts can be used for the derivation of expected lifetime credit losses as required by the newly adopted accounting standard IFRS 9. In doing so, the presented approach is endogenous, as it does not require any exogenous macroeconomic forecasts, which are notoriously unreliable and often subjective. Also, it does not require any dependency modeling between PDs and macroeconomic variables, which often proves to be cumbersome and unstable.
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中文摘要：
本文提出了一种分析推导时间点违约概率（PD）预测的简单技术方法，只需最少的数据要求。所需的输入是债务人当前和未来整个周期的违约概率、其最后已知的违约率，以及债务人系统依赖性的度量。从技术上讲，这些预测是在经典的基于资产的信贷组合模型中进行的，并附加了一个简单（一阶/二阶）的系统因素自回归过程的假设。本文详细阐述了实现的实际问题，尤其是参数化方案。我们还展示了如何使用贝叶斯方法将该方法自然地扩展到违约率波动的低违约投资组合。此外，专家对当前宏观经济状况的判断，虽然不是预测所必需的，但可以使用贝叶斯技术嵌入到模型中。由此产生的PD预测可用于推导新采用的会计准则IFRS 9所要求的预期终身信用损失。在这样做的过程中，所提出的方法是内生的，因为它不需要任何外生宏观经济预测，而外生宏观经济预测众所周知是不可靠的，而且往往是主观的。此外，它不需要在PDs和宏观经济变量之间建立任何依赖关系模型，这通常被证明是繁琐且不稳定的。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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2022-5-8 14:48:49 上传

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关键词：概率分布 Quantitative Applications Econophysics Requirements

1生命周期PD的内生推导和预测Volodymyr Perederiy*2020年2月，2015年7月1日摘要本文提出了一种简单的技术方法，用于分析推导时间点PD（违约概率）预测，数据要求最低。所需的输入是债务人当前和未来整个周期的违约概率、其最后已知的违约率，以及债务人系统依赖性的度量。从技术上讲，这些预测是在经典的基于资产的信贷组合模型中进行的，并附加了一个简单（一阶/二阶）的系统因素自回归过程的假设。本文详细阐述了实现的实际问题，尤其是参数化方案。我们还展示了如何使用贝叶斯方法将该方法自然地扩展到违约率波动的低违约投资组合。此外，专家对当前宏观经济状况的判断，虽然不是预测所必需的，但可以使用贝叶斯技术嵌入到模型中。由此产生的PD预测可用于推导新采用的会计准则IFRS 9所要求的预期终身信用损失。在这样做的过程中，所提出的方法是内生的，因为它不需要任何外生宏观经济预测，而外生宏观经济预测众所周知是不可靠的，而且往往是主观的。此外，它不需要在PDs和宏观经济变量之间建立任何依赖关系模型，这通常被证明是繁琐且不稳定的。

关键词：预测、违约概率、PD、违约率、整个周期、TtC、时间点、PiT、信贷组合模型、系统因素、宏观经济因素、时间序列、自回归、贝叶斯分析、IFRS 9、会计、金融工具、寿命、预期信用损失*Perederi Consulting（创始人兼顾问）博士（德国维亚德里纳大学）2致谢我想感谢Jan Philipp Hoffmann博士的鼓舞人心的建议。3简介和范围2018年，一项新的会计准则（国际财务报告准则9或IFRS 9）在欧盟生效，为金融工具（贷款、债券等）的会计制定了新的规则。最重要的创新之一在于需要计算一大类风险信用敞口（在此类敞口的整个生命周期内）的预期终身信用损失（ELCL）。在典型实施实践中，信用风险的ELCL在技术上计算为： （1） 这里， 代表暴露的预期寿命（以年为单位），以及贴现系数（由标准设定为信贷风险的实际利率）。违约时的预期终身风险敞口以及违约情况下的预期寿命损失这超出了本文的范围。在大多数情况下，它们几乎没有随机性，因此可以使用简单的假设（如与信贷风险的合同付款计划一致的恒定LGD和EAD）进行计算。违约的边际概率代表ELCL计算的主要挑战。未来一年 是指在所有可能的结果中，债务人在本年内违约的可能性  （鉴于目前可用的信息，即：).

这些边缘PDs可以从正向PDs中推断这反映了债务人在未来一年内违约的可能性, 鉴于它一直延续到前一个时期：（2） 有生存概率 迭代计算为：  （3） 使用“吸收”违约状态的假设（一旦违约，债务人就不复存在）。在现代信用建模实践中，人们通常区分时间点（PiT）PDs和整个周期（TtC）PDs。PiT PD的概念相当明确：它对应于债务人在特定时间段内的预期违约率（DR），考虑到所有可用的债务人特定信息和宏观经济信息。相比之下，TtC PD的实际含义（以及如何使用可观测数据进行估计或验证）存在一些模糊性。在本文中，TtC PD被定义为对债务人违约率的无条件预期，即假设宏观经济条件除了长期分布之外完全未知的情况下的预期。根据《国际财务报告准则第9号》（IFRS 9）标准，相关预期应反映债务人的具体情况和宏观经济状况。因此，用于ELCL计算的PDs显然应为坑型。预测未来（未来）PiT PDs是一项非常重要的任务。预测未来宏观经济状况本身是出了名的主观和不可靠。此外，对这种解释的确切效果进行建模（Carlehed和Petrov[2012]中也使用了这种解释）并不是唯一可能的方法。例如，Aquais等人[2008]将TtC PD解释为PiT PD，即非随机宏观经济状态假设特定的“中性/正常”水平，这意味着“长期平均违约率”。

我们认为，后一种解释不太适合IFRS 9 PD预测的目的，因为未来宏观经济状态的性质是不确定的，这需要应用统计预期来正确处理。4 PiT PDs的这些宏观经济条件也存在问题，因为不存在精确的经济理论，这使得统计/实证建模成为必要。然而，后一种建模受到各种技术挑战的困扰，例如数据中的趋势和非平稳模式（尤其是在短数据历史的情况下）、数据定义的不一致性（尤其是在长数据历史的情况下）、关系中的时滞和领先、不稳定和虚假的相关性。这使得矿坑预测非常具有挑战性，而且对于长期预测来说，通常接近水晶球透视。相比之下，为未来的TtC PDs建模问题要小得多。TtC PDs或其近似值在银行实践中广泛可用。特别是，外部信用评级和新巴塞尔协议内部信用评级可被视为近似的TtC PDs。标准技术用于预测未来的评级，例如评级转移矩阵的乘法。原则上，这些已建立的技术可以用于预测目的。然而，特别是在长期预测期内，债务人未来的TtC也存在很大的不确定性。因此，不仅要考虑预期值，还要考虑未来TtC PD的方差。如果没有另外说明，本文假设TtC PDs是已知的。

TTC-PIT转换：基于资产的信贷组合方法处理TTC-PIT转换的一种可能的理论方法借鉴了经典的基于资产（也称为默顿类型）的信贷组合模型。在这个框架下，Vasicek[2002]解析地导出了渐近投资组合损失分布（也称为ASRF或渐近单风险因素模型）。在接下来的几年里，这种渐近分布成为新巴塞尔协议信贷风险资本要求的理论基础。在此基础上，Carlehed和Petrov[2012]更详细地研究了TtC、PiT和中间（混合）PDs之间的转换。该方法尤其基于企业资产回报和违约壁垒的概念。在这个框架中，债务人的违约 在一段时间内 是由于债务人（公司）资产的价值低于某一临界（障碍）水平，这通常与公司债务有关。这种情况可以重新表述为公司的随机资产回报  证明（在特定时期）低于某个临界回报率. 因此，债务人违约的可能性可以指定为：（4） 回归 可以假设为正态分布，并表示为系统收益的加权和 （所有债务人都有）和特殊回报 （特定于债务人），这两个回报因素相互独立。在不丧失普遍性的情况下，经过适当的重新缩放后，因子可以用标准正态变量进行数学表示，相关关系如下：      （5） 这里是加权（相关）系数 是衡量债务人系统依赖性的标准。

在信贷组合模型中，该系数通常也被称为“R”或“R平方”。无条件分配  （即当两者都实现时的分配）  和  is5（未知）也是标准正常值。系统因素在上述框架中，可将其解释为影响所考虑投资组合中所有债务人的单一宏观经济因素。因此，整个周期（TtC）PD（上文定义为在不了解宏观经济状况的情况下的预期违约率）相当于每个债务人的无条件PD：（6） 与 表示累积标准正态分布函数。如果假设是外生已知的（例如基于内部或外部信用评级），隐含的未知障碍  可以通过反转 功能：（7） 另一方面，PiT PD假设了解系统因素, 尤其是它等于某个值. 随后，该PD可被视为条件PD：      并且，当从（7）中替换时：          因此，我们最终得到了转换方程（详见Carlehed和Petrov[2012]）：   （8） 根据默认统计数据估计系统因素PiT TtC关系（8）可以反转，以便根据已知PiT PDs计算宏观经济因素 本期/上期:   （9） 更现实地说，实际的单个坑PDs投资组合债务人的名单不得而知。

然而，假设投资组合中的所有债务人都具有相同的系统风险，可以在投资组合层面上利用关系（8）。特别是对于 债务人，我们假设他们的TtC一年PDs 每个债务人都知道. 我们进一步假设，在当前期间 已知数量的债务人 正在违约。然后，利用：特别是，  ,      .6.  未知的系统因素 可以这样估计：     （10） 估计的可靠性主要取决于. 对于较小的水平（低于10或20）， 可能与 相对地 项，因为内在的二项式采样噪声。因此，估计 对于低违约率的投资组合来说，第（10）条也是不可靠的。我们稍后将详细阐述这个问题。PIT PD：不确定的系统因素和宏观经济因素预测 在（8）中，假设在某种程度上是随机的，矿坑PD的自然解释是统计预期：     （11） TtC PD在这里被认为是已知的。我们进一步假设随机因素为正态分布 带参数 和 这分别反映了宏观经济状况的预期和不确定性。

我们做出以下替换：    然后 也正态分布，参数如下：      利用以下财产（见附录）：   （12） 我们最终得出了具有随机系统因子的PiT PD的以下闭式表达式：     （13） 该表达式尤其可用于预测未来时段的未来（正向）PiT PD, 未来的宏观经济因素在哪里 就其性质而言是不确定的。假设未来不确定宏观经济因素为正态分布, 预期（预测）值为7  和方差（不确定性）, 转换方程（13）允许我们轻松得出该时期的预测矿坑PD. 需要注意的是，PiT预测不仅受宏观经济因素预期值的影响，还受其方差的影响。在大多数现实情况下，提名人    将为负值，因此，未来宏观经济因素的方差越大，PiT PD预测值越高。上述等式的两种特殊情况很重要。首先，一个确切已知的未来宏观经济因素可能在技术上由假设描述 和. 在这种情况下，表达式（13）简化为简单的条件PD（如（8）所示）：    其次，如果我们使用经典环境中的无条件分布，即。

和, 表达式（13）简化为TtC PD预测：现在我们回到我们的因子估计 （10）本期 现在假设它是非常准确的，所以在形式上， 可以假定准确地知道：. 在未来的预测期内,  ,  精确分布  有条件的  通常未知，但应符合以下收敛限制：   （14） 如果满足这些条件，系统因素和（13）中的PiT PDs预测将显示违约率和宏观经济指标在实践中的连续模式，这意味着不久之后, PiT PD与表1中的违约率相差不大, 宏观经济条件也可以假设是相似的。另一方面，对于一个遥远的预测期   除了宏观经济状况的长期分布之外，无法对宏观经济状况做出任何假设。后一种情况导致PiT PD预测与TtC PD预测相等。PIT PD：自回归系统因子，并预测投资组合框架（如等式（8）所述）产生的技术PIT TtC转换，在每个时期都是独立指定的。对于系统因素之间的序列依赖性和相关性，没有直接的假设 和 对于.  直觉上预期的过程，以及条件分布的收敛标准  在（14）中，可以通过假设宏观经济因素的自回归过程轻松实现.