不完全市场中期望效用最大化的敏感性分析

工艺的精确性能¨∈ （L）∞,∞F） d′σ∈ （L）∞,∞F） d×n将很快给出，这意味着金融市场是可行的，且更高的标准（这些概念和建模细节参见[14，第1章]或[28，第7.2.4章]）。考虑到最初的财富x∈ R++和一个自我融资的投资组合π以财富为单位，例如πi∈ Lloc（Wk）（一）∈ 1.d和k=1，n） ，我们表示π∈ 通过方程（2.2）dXπt=π定义了相关的财富过程Xist′utdt+πt′σtdwtt代表t∈ [0，T]，Xπ=X。在这项工作中，我们考虑以下效用最大化问题（2.3）u（\'u，\'σ）：=sup{E（u（XπT））；π∈ π和Xπt≥ 0 T∈ [0，T]，P-a.s.}，其中U:=R→ R∪ {-∞} 是一个凹效用函数，其性质将在第3节中讨论，但目前我们假设U（x）=-∞ 如果x<0且U对R+的限制取R+中的值且是可逆的。由于金融市场是可行的，几乎可以肯定Xπt的非负性≥ 0代表所有t∈ [0，T]，P-a.s.因此，u（\'u，\'σ）=supπ∈πE（U（XπT））。如果我们想对新参数μτ、στ（通过“尺寸因子”τ>0进行索引）进行敏感性分析，至少有两种建模选项。

其中一个，我们称之为强扰动公式，是考虑一个新的过程Sτ，其动力学与S类似，但在新参数下，因此扰动财富过程的形式为：（2.4）dXπ，τt=πtμτtdt+πtστtdwtt∈ [0，T]，Xπ，τ=X。扰动问题变成（我们用s表示强扰动）（2.5）us（μτ，στ）：=supπ∈πE[U（Xπ，τT）]。现在，让我们假设“σ”几乎在所有地方都有满秩，并且（“∑”σ）)-1本质上是有界的。定义风险过程的市场价格λ：＝σ(σσ)-1u ∈ （L）∞,∞F） 方程（2.2）可以写成（2.6）dXπt=πt′σt\'\'λtdt+dWt尽管如此，t∈ [0，T]，Xπ=X。不完全布朗市场模型中预期效用最大化的敏感性分析5遵循[15]，而不是使用参考概率测度P，并考虑直接影响X的动态的相关性，对后一种过程（即标称参数）和参考概率测度受到扰动的假设进行拟合是合理的。给定扰动参数（μτ，στ），假设（στ（στ）)-1本质上是有界的，设置λτ：=（στ）(στ(στ))-1μτ，对于风险过程的相应市价，其自然定义为pτ：=eR（λτ）-λ)dWTdP。注意，Novikov的条件意味着Pτ是一个概率度量，相当于P。如[15，第2.2节]所述，如果（μτ，στ）收敛到（‘u，’σ），则Pτ在总变异范数中收敛到P。因此，从这个角度来看，我们定义（μτ，στ）：=supπ∈πEPτ[U（XπT）]，（2.7），我们称之为（2.3）中U（°u，’σ）的弱扰动公式，其中我们坚持认为，一个通过改变概率测度来修正初始问题。让我们注意到，这个函数是由¨和¨σ，决定给定π的Xπ，这个意义上的非线性激励∈ π，已被固定以确定。我们从uw的符号中省略了这种依赖性。

当然我们（\'u，\'σ）=uw（\'u，\'σ）=u（\'u，\'σ）。为了清楚起见，我们现在确定了对（‘u，’σ）和扰动参数（μτ，στ）的假设：（H1）矩阵‘σ’具有满秩和（‘σ’）σ)-1在（t，ω）中一致有界。此外，“σ”的pertur-bationστ满足Ker（”σ）=Ker（στ）（相当于Im（”σ）) = 我是（[στ])) 和（στ（στ）)-1统一地结合在（t，ω）中。关于λτ的弱扰动和强扰动值函数用重载表示法定义：uw（λτ）：=uw（μτ，στ）和us（λτ）：=us（μτ，στ）。我们注意到，在（H1）下，强扰动值函数us（μτ，στ）与[19]中给出的函数一致。在fa-ct中，注意到（H1）意味着nrt^πt[λτdt+dWt]；^π = [στ]π , π ∈ πo=nRTπt[？∑λτdt+？∑dWt]；π ∈ πo，设置∧τ：=（\'σ\'）σ)-1′σλτwe ge tus（μτ，στ）=仰卧Ux+RT^πt[λτdt+dWt]; ^π = [στ]π对于某些π∈ πo=仰卧Ux+RTπt[？∑λτdt+？∑dWt; π ∈ πo=仰卧Ux+RTπt[’σ’’σ∧λτdt+¨σdWt; π ∈ πo=仰卧Ux+RTπt[dhMit∧τ+dMt]; π ∈ πo=：~u（~λτ），式中Mt:=Rt′σdW。因此，我们可以将M解释为[19]中驱动市场的（未受干扰的）martinga le，将∧λτ解释为相应的风险市场价格，风险市场价格可能会发生变化，因此∧u（∧λτ）本身就是一个受干扰的价值函数。然而，如果Ker（¨σ）=Ker（στ）失败，那么[19]中的方法以及我们的方法都不适合。备注2.1。（i） 从前面的讨论中我们可以看出，在核条件（H1）下，UW的灵敏度分析是有意义的，在这种情况下，对上述u的研究也使我们感到不安。我们的主要假设是，在所考虑的情况下，波动项的零空间不变性，并允许我们提供波动项∑扰动的显式敏感性结果。让我们在完整的案例中指出这一点（即。

“∑是可逆的）类似的论证可在[15，第2.2节]中找到。“σ”的一般扰动超出了本工作的范围；参见[33]了解预期的困难。（ii）满足（H1）中στ的假设，即στ=\'σ+Aτ（\'σ\'\'σ）)-1′σ，其中Aτ∈ （L）∞,∞F） d×d是足够小的标准。这尤其适用于στ=\'σ+τA（\'σ\'σ)-1′σ与A∈ （L）∞,∞F） d×Darbitrayandτ是一个足够小的实数。6 JULIO BACKHOFF VERAGUAS和FRANCISCO J.SILVAAs我们将在第2.1节中看到，Us和uw的值以及它们的敏感性通常不同。另一方面，下一个结果表明，如果参数μ、σ及其扰动μτ、στ是确定性的，那么Us和uw（以及它们的灵敏度）确实是一致的。提议2.1。假设μτ、στ、‘u，’σ是确定性的，（H1）成立。然后，弱值函数和强值函数重合；us（μτ，στ）=uw（μτ，στ）。证据定义Bt:=重量-Rt[λτs-因此，根据Girsa-nov定理，B是一个Pτ-布朗运动。注意FB=FW。取π对于每一个膨胀问题是可行的，我们有（2.8）EPUx+RTπt（W）στt[λτtdt+dWt]= EPτUx+RTπt（B）στt[λτtdt+dBt]= EPτUx+RTπt（B）στt[°λtdt+dWt]= EPτUx+RT∏t（W）στt[°λtdt+dWt]= EPτUx+RT^πt（W）\'\'σt[\'\'λtdt+dWt]≤ uw（μτ，στ），其中我们首先使用B是Pτ-BM，然后定义B，然后我们通过过滤的等式建立∧π，最后假设矩阵的图像∑和[στ]. 从一个不受干扰的问题的可行元素开始，如上所述，产生了相反的不平等。备注2.2。请注意，如果μτ、στ、‘u，’σ是随机的，那么之前的证明不起作用。

事实上，按照证明的思路，我们将得到Bt:=Wt-Rt[λτs（W）-“λs（W）]ds是一个Pτ-布朗运动，因此，在（2.8）之后，我们将得到Ux+RTπt（W）στt（W）[λτt（W）dt+dWt]= EPτUx+RTπt（B）στt（B）[λτt（B）dt+dBt],其右手侧通常与EPτ不同Ux+RTπt（B）στt（B）[λt（W）dt+dWt].让我们一劳永逸地回到弱扰动参数。如引言中所述，uw（在更广泛的背景下）作为λ函数的连续性在[15]中进行了分析。现在我们进入一阶分析。考虑集合（2.9）Me（S）={P*~ P:S是P*-局部鞅}。根据[28，命题7.2.1]，我们得到Me（S）由随机变量集YνT给出，其中对于νi∈ Lloc（Wi）（i=1，…，m）和ν∈ 几乎所有地方都有k（°σ），其中过程Yν是指鞅Yνt:=E-R[？λ+ν]dWt、 给定Z∈ 五十、 让我们定义（2.10）J（Z）：=supM∈我是他们U-1（|Z |）.自supπ∈πEPτ[U（XπT）]=supL∈C（x）EPτ[U（L）]，其中C（x）=L∈ L+； π ∈ π，L≤ XπTa。s,假设Z=U（XT）并使用通常的预算约束（参见[28，推论7.2.1]），我们可以进一步将问题（2.7）改写为：（2.11）uw（μτ，στ）=uw（λτ）=supnEER（λτ）-λ)dWTZ; J（Z）≤ x、 Z∈ L+o。由于我们重写了uwin（2.11），我们将能够通过对所有参数的重新描述来分析该函数的差异。更准确地说，（2.11）为将UW的敏感性分析解释为凸理论支持函数的研究开辟了道路，正如我们在导言中所暗示的那样。根据σ2，我们最终证明了适当的灵敏度定理。

我们建议读者参考定义3.1了解满足INDA条件的效用函数的含义，并参考附录了解哈达马迪可微性的定义：不完全布朗市场模型中预期效用最大化的敏感性分析7定理2.1。假设U是一个效用函数，满足INADA条件，使得U（0+）=0以及某些p的界∈ (1, ∞):U（x）≤ Cx1/p，适用于所有x≥ 0.考虑一些扰动(u, σ) ∈ （L）∞,∞F） d×（L）∞,∞F） d×nand假设（H1）满足（μτ，στ）：=（μ+τ）u, σ + τσ） 并且足够小τ。然后，方向导数Duw（\'u，\'σ）(u，σ） 存在并被赋予比亚迪uuw（‘u，’σ）u=EhU（\'X（T））RT[\'σ[σσ]-1.u]dWi，Dσuw（\'u，\'σ）σ=EhU（`X（T））RTσ[σσ]-1u - σ[σσ]-1[σσ+ σσ][σσ]-1udWi，其中X（T）是唯一的最优终端财富，达到u（°u，’σ）。此外，应用程序（u，A）∈（L）∞,∞F） d×（L）∞,∞F） d×d7→ uw（u，A（\'σ\'）σ)-1σ) ∈ σR等于σd).U满足定理2.1中假设的一个例子是U（x）=x1/p和p∈ (1, ∞), 这就是所谓的正功率情况。例如，通过y的反函数给出了另一个例子∈ [0, ∞) 7.→R（y）：=ey- Y- 1.事实上，R-1是非负的，严格凹进且增加，R-1(0) = 0. 在（0，∞) 来自[R]-1] ′（x）=1/（R′）o R-1（x））我们发现[R]-1]′(0) = +∞ 和[R]-1]′(+∞) = 最后，我们很容易看到R-1（x）≤√2x1/2，或相当于y≤ 2[ey- Y- 1]泰勒展开。我们的结果不包括负功率的情况。最后，我们指出，如果由（‘u，’σ）定义的市场是完整的，那么n=d和‘σ’是可逆的（参见[14，定理6.6，第1章]）。

在这种情况下，uwis-Hadamard在（‘u，’σ）和（2.12）Duw（‘u，’σ）下是可区分的(u，σ） =EhU（\'X（T））RT[\'σ-1.u - σ-1.σσ-1u]德瓦蒂。我们现在开始讨论在命题2.1和引言中承诺的反例。2.1. 反例。让我们来说明，即使在一维情况下，USA和uw（以及它们的方向导数）通常是如何延迟的。在这种情况下，风险的参考市场价格λ必须是随机的。例1。如果x>0，则取U（x）=log（x），且U（x）=-∞ 如果x≤ 0.虽然这个效用函数不符合我们的假设，但我们用它来说明我们正在讨论的现象。众所周知（参见[28，第7.3.5章]）对于市场模型dSt=λdhMit+DMTF，对于M a鞅和λsay本质有界，最优效用为log（x）+eRTλtdhMitλt.因此，我们在我们的布朗设置和λτ=？λ+τ中得出结论 即：us（λτ）=log（x）+ERT |λ+τ|dt,= 对数（x）+ERT |λ| dt+ τERT′λdt+τERT||dt.另一方面，表示dPτ=EτRdWTdP so Wτ=W- τRdt是一个Pτ-布朗运动，由Girsanov定理确定，取 所以FWτ=F，我们得到uw（λτ）=log（x）+EPτRT{λ+τ}dt,= 对数（x）+EPτRT |λ| dt+ τEPτRT′λdt+τEPτRT||dt.这已经表明，这两个值函数可能很容易区分，除非例如λ是进一步确定的。此外，可以很容易地计算一阶灵敏度：dus（λτ）dττ=0=ERT′λdt,duw（λτ）dττ=0=ERT′λdt+ERT |λ| dtRTdW,= ERT′λdt+ERTRtsdWs|λt|dt.8 JULIO BACKHOFF VERAGUAS和FRANCISCO J.SILVAWe得出的结论是，基因的敏感性是不同的，除非是确定的，例如λ。为了举例说明这一点，读者可以采用任何有界确定性函数 定义λ（t，ω）为。

欧几里德范数1 ifRtSDW为正，其他为0。这个例子还表明，在存在随机参数的情况下，弱值函数可以以反直觉的方式运行。例如，取¨λt:=1Wt<0 ≡ 1基本上可以看出dus（¨λ+τ）dττ=0=Tandduw（¨λ+τ）dττ=0=T-T3/2√2π，因此直觉表明，效用在强公式中增加，而（对于足够大的T）在弱公式中减少。例2。现在，我们给出一个例子，充分证明了我们对效用函数的假设。让我们假设U（x）=2√如果x≥ 0和-∞ 否则为了简单起见，我们取x=1。例如[28，第7.3.5章]我们知道，在单一资产的情况下，市场模型dS=λdhMi+dM的最佳效用为qe经验RTλdM+RTλdhMi.因此，在一维布朗环境中，对于λτ=？λ+τ 它适用于：us（λτ）=2qE经验RT[？λ+τ]dW+RT[°λ+τ]dt,根据Girsanov定理和假设 确定性：uw（λτ）=2qEPτ经验RT[？λ+τ]（德国）- τdt）+RT[°λ+τ]dt,其中dPτ=EτRdWTdP。因此，我们获得了以下一阶灵敏度：dus（λτ）dττ=0=EeRT′λdW+RT′λdt[RTdW+RT“λdt]rEheRT′λdW+RT′λdti，duw（λτ）dττ=0=2EeRT′λdW+RT′λdtRTdW雷赫特‘λdW+RT‘λdti。从这里，我们可以看到dus（λτ）dττ=0=duw（λτ）dττ =0<==> EeRT′λdW+RT′λdtRTdW-RT\'\'λdt= 0.这表明，灵敏度一般不同，除非进一步的情况，例如“λ”是确定的。举个例子，用Girsanov定理和乘积公式，上面r.h.s中的期望值是EhRTRtsdWs-Rts′λsdseRt′λsds′λtdti，其中E表示在dP:=E下的期望值R′λdWTdP。读者可以接受任何否定的、有界的函数 定义λ（t，ω）等于1 ifRtSDWSP为正，否则为0。然后RtsdWs-Rts′λsds“λ”是非负a.e.，在非渐逝ntset中可以被视为严格正。

因此，在这种情况下，灵敏度会有所不同，四分之一的灵敏度值也会自行发挥作用。3.效用最大化问题作为弱紧集的支持函数在本节中，我们考察了[2]中的一些结果，其中的设置类似于[16]中的设置，比上一节中描述的更一般。假设有d股和债券，为了简单起见，标准化为1。让我们=硅1.≤我≤dbe这些股票的价格过程，以及∞ 一个确定的投资期限。假设过程S是过滤概率空间中的连续半鞅(Ohm, F、 （Ft）t≤T、 P），其中P始终代表参考测量值。关于P的表达式将用E表示，如前所述。（自我融资）投资组合π定义为一对（X，H），其中X≥ 0表示与之相关的（常数）初始值，H=（Hi）di=1是一个可预测的S-可积过程，它代表了不完全布朗市场模型中预期效用最大化的敏感性分析9持有的每种类型的股票数量。财富X=（Xt）t≤与投资组合π相关的t定义为（3.1）Xt=X+r所有t∈ [0，T]，x可获得的财富集定义为（3.2）x（x）={x≥ 年获得0分Ohm ×[0，T]；带X的（3.1）中的X≤ x} 。在续集中，我们假设市场是无套利的，在NFLVR的意义上（参见[10]），而我（定义为（2.9））不是空的。如往常一样，如果Me（S）被简化为一个单体，即Me（S）={P，则市场模型被完全创造出来*}, 否则就不完整了。

[16]中介绍的以下集合在不完全市场中的投资组合优化中起着核心作用p（y）：={y≥ 0 | Y=Y，XY是P- 超级马丁格尔十、∈ X（1）}。集合YP（y）概括了与之等价的风险中性度量的密度过程集合（关于P）。现在，我们考虑效用函数的以下概念。定义3.1。有趣的行动→ R∪{-∞} 如果U（x）=-∞ 如果x∈ (-∞, 0）和[0，∞) 我们知道U是严格递增的，严格凹的，并且是连续可微的。我们认为，如果U′（0+）=limx，则U满足INADA条件（[11]）↓0U′（x）=∞ 还有你(+∞) = 0 .如例[16]所示，我们将利用-U(-·), 即：V（y）：=supx>0[U（x）- xy]， y>0。在本节的剩余部分中，我们将把注意力限制在以下设置上：（A1）U是一个满足INDA条件的效用函数，并且U（0+）=0。备注3.1。上述假设意味着≥ 0与逆U的存在性-1： （0，∞) →(0, ∞). 当然，通过翻译参数，我们可以假设U（0+）存在，而不是strongerU（0+）=0。在[2]中，我们依赖于其结果，为了简单起见，假设U从上面是无界的，但这可以很容易地从他们的工作中省去。处理元素^X存在问题的通常方法∈ X（X）令人满意[U（^XT）]≥ E[U（XT）]代表所有X∈ X（X）使用了一个通常被称为科尔莫斯定理的结果。该结果表明，从概率有界的随机变量序列中，可以提取概率收敛的凸组合序列。要应用这一点，还需要U和U′上的增长条件（参见[16]或[28，定理7.3.4]）。