不完全市场中期望效用最大化的敏感性分析

然而，作为[2]中分析的一个推论，作者在[2，Pr-oposition5.22]中表明，可以应用一个更短但更复杂的紧性论证；同样的想法将允许我们在下一节中证明UW的灵敏度结果。上述所需的紧凑性特性在适当设计的空间中保持不变。为了激活它，我们从观察X开始∈ X（X）：supY∈耶YU-1.o U（X）≤ x、 其中Y:=YP（1），我们（现在和以后经常）写Y代表yt，写x代表XT，只要上下文是明确的。然后我们看到，setting（3.3）J（·）：=supY∈耶YU-1(| · |),每X∈ X（X）我们有J（U（X））≤ x、 我们注意到（2.10）和（3.3）与[16，命题3.1]重合，所以表示法是一致的。因此，我们可以推测，如果J与anorm相连（或者说，变得比它强），并且如果由这样一个范数定义的空间，我们将很快称之为LJ，是一个强对偶空间，那么我们将得到集合{U（X）：X的弱*相对紧性∈ 从Banach-Alouglu定理直接得到。10 JULIO BACKHOFF VERAGUAS和FRANCISCO J.SILVALet us现在总结了[2，第5节]中的主要拓扑结果，以供将来参考。考虑上述JA和定义I:L→ R∪ {+∞} asI（Z）：=infY∈YE[|Z | V（Y/|Z |）]）。引理3.1。在假设（A1）下，函数I和J是凸的。证据参见[2，引理5.1]。我们考虑spacesLI：=Z∈ L:I（αZ）<∞ 对于某些α>0, EI:=Z∈ 五十： I（αZ）<∞ 对于每一个α>0,LJ:=Z∈ L:J（αZ）<∞ 对于某些α>0, EJ:=Z∈ L:J（αZ）<∞ 对于每一个α>0,对于表示I或J的F，我们设置了等价范数（见[25，定理1.10]）：kskF，l:= inf{β>0:F（s/β）≤ 1} kskF，a:=infnk+F（ks）k:k>0o。（3.4）引理3.2。在s假设（A1）下，在确定几乎相等的元素后，对于γ=l, 我们知道（EF，k·kF，γ），（LF，k·kF，γ）是赋范线性空间。

此外，EFI是Ei空间和LJare-Banach空间的闭子空间。现在，让我们来定义*:= {Y∈ Y:Y>0和β>0，E[V（βY）]<∞} 假设（A2）Y*6= , I（Z）=infY∈Y*E[|Z | V（Y/|Z |）和J（X）=supY∈Y*E[Y U-1（|X |）]）。备注3.2。例如，如果价格过程满足连续鞅M的dS=λdhMi+dM，则满足条件（A2）∈ Lloc（M），市场模型是可行的，E[V（βE（λ·M）T）]<∞对于所有的β>0。参见[2，引理5.7]来证明这个事实。[2，Proposition n 5.10]中证明的下一个结果建立了LJis是一个强对偶空间。定理3.1。假设假设（A1）-（A2）成立。然后，（EI，k·kI，a）的对偶同构于（LJ，k·kJ，l).最后，根据uw的表达式（2.11），我们在这一节中给出了条件，在此条件下，弱扰动值函数确实可以被视为弱紧集的支持函数，即{Z:J（Z）≤ x} 。我们需要在下一节中利用这一事实，在第2节概述的背景下，对我们在弱扰动下的问题进行敏感性分析。备注3.3。空间LJ是所谓模空间的例子，是H.Nakano（见[26，25]）介绍的Orlicz空间的推广。例如，通过模空间的H¨older不等式（见[2，第5.9页]），我们得到（2.11）给出的uw是有限的。此外，在我们的假设下，[2，命题5.22]表明其中的上确界已达到。最后，很容易看出这个优化器是唯一的，因为它必须位于U的图像集合中，这是一个严格的凹函数。4.稳定性和敏感性让我们回到（2.11）中定义的一些固定参数的弱扰动问题∈（L）∞,∞F） d′σ∈ （L）∞,∞F） d×n。

我们首先做出以下假设：（H2）效用函数的形式为U（x）=px1/p（p∈ (1, +∞)) 如果x≥ 0，它等于-∞否则在此假设下，我们首先证明第一定理2.1，即：定理4.1。假设（H2）。考虑一些扰动(u，σ) ∈ （L）∞,∞F） d×（L）∞,∞F） d×n假设（H1）满足（μτ，στ）：=（μ+τ）u, σ + τσ） 和小enou-ghτ。然后，方向导数Duw（\'u，\'σ）(u，σ） 存在并被赋予比亚迪uuw（‘u，’σ）u=EhU（\'X（T））RT[\'σ[σσ]-1.u]dWi，Dσuw（\'u，\'σ）σ=EhU（`X（T））RTσ[σσ]-1u - σ[σσ]-1[σσ+ σσ][σσ]-1udWi，不完全布朗市场模型中预期效用最大化的敏感性分析11，其中“X（T）”是达到u（\'u，\'σ）的唯一最优终端财富。此外，应用程序（u，A）∈（L）∞,∞F） d×（L）∞,∞F） d×d7→ uw（u，A（\'σ\'）σ)-1σ) ∈ σR等于σd).我们用q:=p/（p）来表示- 1 ) ∈ (1, +∞) p的共轭指数。注4.1。在上一节更一般的上下文中，我们清楚地知道（H2）意味着（A1），并且，由于备注3.2，假设（A2）也成立。在第3节的行话中，使用效用函数的幂形式，我们得到了thatLI=nZ∈ L:infν∈K（°σ）EE(-R[？λ+ν]dW）1-qT | Z | q< ∞o、 式中k（°σ）：=ν ∈ Lloc（W）：ν（t，ω）∈ Ker（¨σ（t，ω））a.e。,从[20，命题3.2]和我们正在研究布朗过滤这一事实很容易得出结论。在这种情况下，对于某些常数C（p），我们有LI=EIand∈ R++（4.1）kZkI:=kZkI，l= C（p）infν∈K（°σ）EhE-R[？λ+ν]dW1.-qT|Z|qiq、 类似地，LJ=十、∈ L:好的∈K（°σ）EE-R[？λ+ν]dWT | X | p< ∞,我们有LJ=eja，存在常数c（p）∈ R++使得kXkJ:=kXkJ，a=c（p）supν∈K（°σ）EE-R[？λ+ν]dWT | X | pp、 既然c（p）和c（p）在这里不起作用，我们就忽略它们。我们现在陈述一个简单的引理，我们将不止一次地引用它：引理4.1。

以下断言成立：（i）让ρ≥ 2、A∈ （L）∞,∞F） n，B渐进的，n维的，使得EhRT | Bt |ρdti<∞ Z定义为求解dZ=（ZA+B）的实值过程德国之声。然后，存在一个常数c=c（ρ，T）>0，这样e小吃∈[0，T]| Zs |ρ≤ C|Z |ρ+ERT | Bt |ρdt经验cT kAkρ∞,∞.（ii）每∈ [L∞,∞F] 我们有RΓdWT∈ 锂。证据第一个断言的证明是Gronwall引理的标准应用（参见[34，第6章，第4节]）。对于第二点，利用∧和Γ本质上是有界的，我们观察到α：=EERΓdWqTexpRT（q）- 1 )λdW+q-1RT |λ| dt,满意度α≤ 总工程师ER（qΓ+（q- 1)λ)dWT= c、 对于某些常数c>0。因为α支配k ERΓdWTkqI，结果如下。我们现在的目标是研究λ的可分辨性∈ 第7页→ uw（λ）∈ R.首先，让我们定义g:（L）∞,∞F） n→ LIasg（λ）：=ER[λ-λ]dWT.引理4.1（ii）意味着g定义良好。我们现在证明了g:引理4.2的Fr\"echet可微性。地图g是局部Lipschitz和Fr’echet可区分的。此外，对所有人来说λ ∈ （L）∞,∞F） 我们有（4.2）Dg（λ）λ=ER[λ-λ]dWTnRTλtdWt-RT（λt）-“λt）·λtdto。12胡里奥·巴克霍夫·韦拉瓜斯和弗朗西斯科·J·西尔瓦普洛夫。设λ，λ∈ （L）∞,∞F） n.我们有，省略对t的依赖，用k·ktheL范数表示，分别为P，（4.3）kg（λ）- g（λ）kqI≤eRT（q-1） \'\'λdW+q-1RT |λ| dtk |（g（λ）- g（λ））T | qk。注意g:=g（λ）- g（λ）解g=g（λ）-\'\'λ）+g（λ）（λ）- λ)dWt，t∈ [0，T]，g=0，所以局部Lipschitz性质遵循引理4.1和（4.3）。让我们证明g是g^ateauxdi可微的。取λ并调用∧=λ-\'\'λ和λ：=\'\'λ+λ. 我们看到了R[λ]dW= ER‘∧dW经验RλdW- Rλ·∧dt-R|λ| dt.使用ex=1+x+xR[eax-1] 把x称为exp{。

}在上面的表达式中，我们得到了（R[λ]（德国）-E（R∧）dW）=ER‘∧dWRλdW-Rλ·∧dt-R|λ| dt+-1xER‘∧dWR[eax- 1] 爸爸。为了证明（4.2），必须证明R‘∧dWR|λ| dtkI<∞ -1.xER‘∧dWR[eax- 1] 爸爸我→ 0 as→ 0.第一项索赔微不足道λ ∈ （L）∞,∞F） nand g（λ）∈ 锂。对于第二个，让ν≡ 0英寸（4.1），其对估算值的影响（q-1)λdW+（q-1） R |λ| dtER‘∧dWQxQR[eax- 1] 爸爸qi，我们可以通过QE的产品从上面得到它ER‘∧dW第二季度RλdW-Rλ·∧dt-R|λ| dt第二季度,和QEe2（q）-1） R′λdW+（q-1） R |λ| dtR[eax- 1] 爸爸第二季度.利用Cauchy-Schwartz和Burkholder-Davis-Gundy（BDG）不等式，我们得到了Firsterm是有限的。至于第二个，为了证明它收敛到零，需要证明ehr | eax- 1 | 4qdai→ 0.积分中的项a.e.收敛为0，即→ 0.另一方面，对于一些c>0的情况，|eax- 1 | 4q≤ C1+e4q | R∧·dt |+4qaRdW,和e4qaRdW≤ e4qRdW+1，这是可积的。因此，通过主导收敛，我们得到了（4.2）的结果。为了证明Fr’echet可微性，必须显示应用λ的连续性∈（L）∞,∞F） n7→ Dg（λ）（·）∈ L（（L）∞,∞F） n，LI），其中L（（L∞,∞F） n，LI）表示从（L）开始的线性有界算子的空间∞,∞F） 李娜。设Γ，λ∈ （L）∞,∞F） nandλ ∈ （L）∞,∞F） 确认那个kλk∞,∞≤ 1.

三角不等式产生（4.4）k[Dg（λ）- Dg（Γ）]λkI≤ER（λ）-λ)dW- ER（Γ）-λ)dWRλdW我+ER（λ）-λ)dWRλ · (λ - Γ）dt我+ER（λ）-λ)dW- ER（Γ）-λ)dWRλ · (Γ -\'λ）dtI.在取q根之前，第一个和第三个r.h.s项可以通过重复的CauchySchwartz和byqE在上面进行限定e4（q）-1） R′λdW+2（q）-1） R |λ| dt雷RλdW4qirEh|ZΓ- Zλ| 4qi和qee4（q）-1） R′λdW+2（q）-1） R |λ| dt雷Rλ · [Γ -\'\'λ]dt4qirEh|ZΓ- Zλ| 4qi，不完全布朗市场模型中预期效用最大化的敏感性分析13，其中ZΓ：=ER[Γ-λ]dWTand Zλ：=ER[λ-λ]dW正如在证明g的局部Lipschitz性时，我们得到了上面的bo-th表达式中的最后一项趋于零。因此，BdEngineQuality意味着（4.4）中的第一项和第三项均趋向于零w.r.t。λλk∞,∞≤ 1.最后，ER（λ）-λ)dWRλ · (λ - Γ）dt我≤ tkλ- Γk∞,∞ER（λ）-λ)dW结果如下。利用上述事实，我们证明了风险λ市场价格的uwasa函数的稳定性（连续性）和Hadamard可微性。读者可参考附录，了解哈达玛方向可区分地图的定义。以下证明的某些部分独立于效用函数的选择，指出我们将来可能会扩展我们的方法：命题4.1。函数uw：（L）∞,∞F） n→ R+与s、G^ateaux和Hadamard方向不同。用X[λ]t表示与uw（λ）相关的最佳最终财富，这对所有人来说都是唯一的λ ∈ （L）∞,∞F） n方向导数由（4.5）Duw（λ）给出λ=EhER[λ-λ]dWTU（X[λ]T）nRTλdW-RT（λ）-λ) · λdtoi。证据我们在（2.11）中看到，uw（λ）=supE[g（λ）Z]：Z∈ L+J，J（Z）≤ 十、. 定义李 Y 7→F（Y）：=supE[Y Z]：Z∈ L+J，J（Z）≤ 十、∈ R、 所以uw=Fo G

定理3.1和BanachAlaoglu定理暗示集合{Z∈ L+J:J（Z）≤ x} 它很弱，很紧凑。因此，附录中的引理5.1（ii）暗示F在方向上是可微的。因此引理4.2和[27，定理2.28]中的链式规则意味着uwis Hadamard方向是可微的。其方向导数由duw（λ）给出λ=EhZ（λ）ER[λ-λ]dWTnRTλdW-RT（λ）-λ) · λdtoi，Z（λ）=U（X[λ]T）。利用[2，命题5.9]中的H¨older不等式，我们对|Duw（λ）进行了定界λ| ≤ kZ（λ）kJER[λ-λ]dWTnRTλdW-RThλ-λ, λidtoI.取k=1 in（3.4）并使用该J（Z（λ））≤ x、 我们得到kZ（λ）kJ≤ 1+x。上述表达式的第二个端点是一致有界的λ取有界s e t（如EMMA 4.2中的证明）。因此，Duw（λ）（·）是线性和连续的，因此uw是G^ateaux可微的。我们现在可以证明定理4.1，而不是定理4.1。通过（H1）我们得到了（“∑”σ）)-1本质上是有界的。因此，（u，σ）∈ （L）∞,∞F） d×（L）∞,∞F） d×n7→ λ(u, σ) := σ[σσ]-1u是Fr′echet在（u，σ）处可微分的，其方向导数由dλ（u，σ）给出(u，σ) = σ[σσ]-1.u + σ[σσ]-1u-σ[σσ]-1.σσ+ σσ[σσ]-1u.结果很容易遵循位置4.1和[27，定理2.28]中的链式法则。现在我们提升假设（H2）并证明我们的主要结果定理2.1：定理2.1的证明。我们让‘U（x）=Cx1/pand’V为它的共轭体。对于其他常数c，我们有V（y）≤V（y）=cy1/（1）-p） 所以zV（y/z）≤ cy1/（1）-p） zp/（p）-1). 对与zV（y/z）相关的模空间写入LIF，对与cy1/（1）相关的模空间写入L\'If-p） zp/（p）-1） （正如本节大部分内容所述）我们得出结论： 连续注射。让我：我→ LIbe恒等式ma p，然后它是线性连续的，因此Fr’echet可与di=i区分。

特别是G:（L）∞,∞F） n→ 由G（λ）决定：=ER[λ-λ]dW这很明确，我们有G=iog和以前一样。B y引理4.2我们得出结论，G是loc。Lipschitz和Fr’echet可与（4.2）中的相同衍生物区分。然后，我们可以像命题4.1和定理2.1的证明那样进行论证。14胡里奥·巴克霍夫·维拉瓜斯和弗朗西斯科·J·西尔瓦雷马克4.2。注意，该证明为uwto P的自然延伸提供了哈达玛可微性，其中P为定义的asP：=(u, σ) ∈ （L）∞,∞F） d×（L）∞,∞F） d×n:σ是a.e.可逆的，且为ess-supt，ω|[σ∑]-1| < ∞,i、 e.对于不一定满足（H1）中核稳定性的扰动。然而，正如我们已经讨论过的，对于不满足（H1）的扰动，这种扩展是没有意义的。现在，我们提供了一阶近似误差的单边二阶界。看来，一个完整的二阶展开式或更好的二阶展开式，一个对最优财富的敏感性分析，超出了我们只看原始问题所能达到的范围。参见[19]了解通过对偶方法得到的结果，以及负功率效用情况下的forstrong扰动。为简单起见，我们只考虑参考参数∧周围风险市场价格的扰动。提议4.2。对于任何δ>0和||≤ δwe haveuw（\'）λ+λ) - uw（°λ）- Duw（°λ）λ ≥ -C（δ）（4.6），其中C（δ）≥ 0和Duwis由（4.5）给出。证据将“Z”表示为uw（“λ”）的优化器，我们通过H¨older不等式uw（“λ+λ) - uw（°λ）- Duw（°λ）λ ≥ E\'Zg（¨λ+）λ) - 1.- RTλdW≥ -k\'ZkJg（¨λ+）λ) - 1.- RTλdWI.定义Yt:=g（°λ+）λ） t- 1.- RtλdW，我们在引理4.2 thatdYt的证明中论证=Ytλt+λtRtλsdWs因此，根据引理4.1中的SDE估计，我们得出[YqT]≤ 切克qkλkq∞,∞ERT2q|λt | q（Rt）λsdWs）qdt,因此kYTkqI≤~C（δ）2q我们得出结论。

为了结束本节，我们将展示定理2.1中的结果如何扩展到非平凡利率的情况。更准确地说，现在市场由之前的d r isky组成，s，SDA也是无风险资产S，满足dSt=rtStdt，S=S∈ R++，带R∈ L∞,∞F.在这种情况下，财富过程满足SDEdXπt=r（t）Xπt+πt（ut- rt1）dt+πtσtdWt，t∈ [0，T]，Xπ=X，其中1表示Rd中1的向量。让我们fix（\'r，\'u，\'σ）∈ L∞,∞F×P和任意（rτ，μτ，στ）∈L∞,∞F×P用us（rτ，μτ，στ）表示强扰动问题m的值。然后，用简单的变量变化表示P次效用函数（P∈ (1, ∞)) 我们发现我们（rτ，μτ，στ）=supπ∈πEPepRTrτtdtU（^Xπ，τT）,式中，^Xπ，τTsolvesd^Xπ，τt=πt（μτt）- rτt1）dt+πtστtdWt，t∈ [0，T]，^Xπ，τ=X。假设¨σ和∑τ满足（H1），我们然后定义弱扰动值函数asuw（rτ，μτ，στ）=supπ∈πEPτepRTrτtdtU（^XπT）,用^Xπt解决^Xπt=πt（°ut- \'rt1）dt+πt′σtdWt，t∈ [0，T]，^Xπ=X，不完全布朗市场模型15和dPτ=E中预期效用最大化的敏感性分析Rλτr-λdWTdP，带λτr:=（στ）[στ(στ)]-1(uτ- rτ1）和‘λr:=’σ[σσ]-1(u -\'r1）。因此，在我们获得以下敏感度之前，我们进行了完全相同的辩论；每(Ru，σ) ∈L∞,∞F×（L）∞,∞F） d×（L）∞,∞F） d×n确保στ：＝σ+τσ满足度（H1）对于τ>0的小enoug h，我们有druw（\'r，\'u，\'σ）r=EHEPRTRTTU（^XπT）npRTrtdt-RT[\'）σ[σσ]-1.r1]dWoi，Duuw（\'r，\'u，\'σ）u=EHEPRTDTTU（^XπT）RT[？σ[σσ]-1.u]dWi，Dσuw（\'r，\'u，\'σ）σ=eheprtdttu（^XπT）RTσ[σσ]-1(u - \'-r1）dWi-eheprtdttu（^XπT）RTσ[σσ]-1[σσ+ σσ][σσ]-1(u - \'-r1）dWi。5.我们在第2.1节中进行了最后的讨论，弱配方和强配方的敏感性可能会有所不同。另一方面，命题2.1和之后的备注2.2则暗示了为什么会发生这种情况。

我们通过提供一个表达式来结束这篇文章，这个表达式是我们启发式推导的，它连接了弱扰动和强扰动问题的敏感性。为简单起见，我们将分析仅限于风险的不同市场价格（以及固定的波动率，因此只有漂移是每turd）。我们在正则连续路径空间中工作。让我们在正则空间和X中表示θ（ω）=ω+RΔλds a移位*最优财富（π）*参考参数下的最优投资组合。ThenE[U（X*（T）o θ)] - E[U（X*（T））]=EUx+RT[π*·λ] o θds+RTπ*o θ·dW+RT[π*o θ]·Δλds- E[U（X*（T））]。由此我们得出结论，如果路径空间中相应的方向导数定义得很好，dde[U（X*（T）o θ)]=0=EU′（X）*（T）RTD[π*s·′λs]（ω，Δλ）ds+RTDπ*s（ω，Δλ）dWs+RTπ*· Δλds.现在，根据Bis mut的分部积分公式（参见[32，第四章，第41节]和假设TheRein），在给定条件下，这意味着：（5.1）eU（X）*（T）RTΔλdW=EU′（X）*（T）RTD[π*s·′λ]（ω，Δλ）ds+RTDπ*s（ω，Δλ）dWs+RTπ*· Δλds.我们可以合理地推测，如果像“包络线”或“丹斯金定理”这样的东西，以及一个方向链规则，都能成立，那么dus（¨λ）Δλ=EU′（X）*（T））RTπ*· Δλdt,根据[19]关于负功率效用的情况，因此（5.1）中的l.h.s.是与弱扰动相关的灵敏度（见（4.5），以λ计算），而强扰动的灵敏度包含在r.h.s.中。因此，我们得到了灵敏度之间寻求的关系：（5.2）Duw（\'）λ）Δλ- Dus（¨λ）Δλ=E“U′（X*（T））（ZTD[π*s·′λs]（ω，Δλ）ds+ZTDπ*s（ω，Δλ）dW）#。在我们看来，（5.2）的严格竞争是一个有趣且具有挑战性的开放问题。我们现在利用（5.2）来恢复命题2.1中的结果。让我们假设λ是deterministics，看看这意味着什么。