不完全市场中期望效用最大化的敏感性分析

CallRt:=RtD[π*s] （ω，Δλ）·ελds+RtDπ*s（ω，Δλ）dWs=RtD[π*s] （ω，Δλ）·{λds+dWs}。通过对偶和[20，推论3.3]我们知道有一个标量a（确保X*（T）满足预算约束），使U′（X*（T））=aE-R[？λ+ν]dW, 有些时候∈ K（σ）；见第4节。通过产品公式，我们可以看出，在定义dZt时：-Zt[°λ+ν]dWt，我们得到：EU′（X）*（T）RTD[π*·¨λ]Δλds+RTDπ*ΔλdW= aE[ZTRT]=aERTDZT+ aERTZtD[π*t] （ω，Δλ）·{λdt+dWt}- aERTZt[°λt+νt]·D[π*s] （ω，Δλ）ds.16 JULIO BACKHOFF VERAGUAS和FRANCISCO J.SILVAUnder在充分的可积条件下，使得布朗积分是鞅，我们得出结论：U′（X）*（T）RTD[π*·¨λ]Δλds+RTDπ*ΔλdW= - aERTZtνt·D[π*s] （ω，Δλ）ds,回想一下，一个最佳的n维π*corres ponds到aσπ在原始的d-asse ts中，我们发现如果‘∑是确定性的，那么r.h.s.也消失了。总之，我们得到了（5.3）Duw（¨λ）Δλ=Dus（¨λ）Δλ，这与我们的位置2.1以及[9，引理9.2]和[24，定理3.1]是一致的。附录我们提供了一个信封或丹斯金定理（见[8]）版本的证明，适用于我们的目的。首先，我们回顾了哈达玛差异性的概念。给定两个Banach空间（X，k·kX）和（Z，k·kZ）一个映射f:X→ 如果对于所有h，Z在x处是方向可微的∈ X ZDf（X，h）中的极限：=limτ↓0f（x+τh）-f（x）τ存在。如果除此之外∈ Z中的以下等式保持sdf（X，h）=limτ↓0，h′→hf（x+τh′）-f（x）τ，那么我们说，在哈达玛意义下，f在x是方向可微的。哈达玛可微函数的一个重要性质是链式规则。更精确地说，如果（V，k·kV）是另一个Banach空间，g:V→ 在哈达马森，X在v方向可微，f在g（v）方向可微，然后组成fo g在v方向上是可区分的（参见。

[4，位置2.47]）和D（fo g） （v，v′）=Df（g（v），Dg（v，v′）表示所有v′∈ V.此外，如果g在V处也是哈达玛方向可微的，那么fo 在哈达玛意义上，g在v处是方向可微的。现在，请支持 X是弱紧集。让我们考虑一下这个问题：supZ∈Xhd，Zi s.t.Z∈ K、 （APd）在哪里∈ 十、*h·，·i表示X和X之间的双线性对*. 让我们定义v:X*→ R为问题（APd）的最优值，S（d）为（APd）的最优解集，即v（d）：=supZ∈{d，khz]：∈ Kv（d）=hd，Zi}。请注意，v定义良好，它是一个Lipschitz函数，S（d）6=. 事实上，（5.4）|v（d）- v（d）|≤ 杜兰特- dkX*苏普兹∈KkZkX。以下结果的证明是对[4，定理4.13]中证明的简单修改。引理5.1。任何∈ 十、*, 以下断言成立（i）集合S（`d）是弱紧的。（ii）函数v在阿达玛意义上是方向可微的，其方向导数为（5.5）Dv（`d），d） =supZ∈S（`d）hd、 所有人D∈ 十、*.证据第一个断言直接来自h’d，·i的弱连续性，这意味着S（\'d）的弱封闭性。现在，鉴于[4，位置2.49]和（5.4），有必要证明v是直接可微的。让我们∈ S（\'d）是指hd、 \'Zi=supZ∈S（`d）hd、 对于τ>0，设置dτ：=\'d+τd、 定义v（dτ）- v（`d）≥ hdτ-\'d，\'Zi=τhd、 \'Zi，这意味着（5.6）lim infτ→0v（dτ）-v（`d）τ≥ Hd、 \'Zi=supZ∈S（`d）hd、 子。类似地，让Zτ∈ S（dτ）。然后（5.7）v（\'d）- v（dτ）≥ -hdτ-\'d，Zτi=-τhd、 另一方面，使用（5.4）我们得到v（dτ）→ v（`d）为τ↓ 0，这意味着，由于dτ→\'d stronglyin X*, Zτ的任何弱极限点都属于S（`d）。因此，（5.7）产生（5.8）lim supτ→0v（dτ）-v（`d）τ≤ lim supτ→0hd、 Zτi≤ 苏普兹∈S（`d）hd、 子。因此，（5.5）是（5.6）和（5.8）的结果。

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