不完全市场中期望效用最大化的敏感性分析

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英文标题：
《Sensitivity analysis for expected utility maximization in incomplete
  Brownian market models》
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作者：
Julio Backhoff Veraguas and Francisco Silva
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We examine the issue of sensitivity with respect to model parameters for the problem of utility maximization from final wealth in an incomplete Samuelson model and mainly, but not exclusively, for utility functions of positive power-type. The method consists in moving the parameters through change of measure, which we call a weak perturbation, decoupling the usual wealth equation from the varying parameters. By rewriting the maximization problem in terms of a convex-analytical support function of a weakly-compact set, crucially leveraging on the work of Backhoff and Fontbona (SIFIN 2016), the previous formulation let us prove the Hadamard directional differentiability of the value function w.r.t. the drift and interest rate parameters, as well as for volatility matrices under a stability condition on their Kernel, and derive explicit expressions for the directional derivatives. We contrast our proposed weak perturbations against what we call strong perturbations, where the wealth equation is directly influenced by the changing parameters. Contrary to conventional wisdom, we find that both points of view generally yield different sensitivities unless e.g. if initial parameters and their perturbations are deterministic.
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中文摘要：
我们研究了不完全萨缪尔森模型中最终财富效用最大化问题的模型参数敏感性问题，主要（但不限于）正幂型效用函数。该方法包括通过测量值的变化来移动参数，我们称之为弱扰动，将通常的财富方程与变化的参数解耦。通过用弱紧集的凸分析支持函数重写最大化问题，关键是利用Backhoff和Fontbona（SIFIN 2016）的工作，前面的公式让我们证明了价值函数w.r.t.漂移和利率参数的Hadamard方向可微性，以及在其核上的稳定条件下的波动矩阵，并导出了方向导数的显式表达式。我们将我们提出的弱摄动与我们所称的强摄动进行对比，在强摄动中，财富方程直接受到变化参数的影响。与传统观点相反，我们发现这两种观点通常会产生不同的灵敏度，除非初始参数及其扰动是确定性的。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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PDF下载：
--> Sensitivity_analysis_for_expected_utility_maximization_in_incomplete_Brownian_ma.pdf (319.35 KB)

2022-5-8 19:39:54 上传

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关键词：效用最大化 敏感性分析 不完全市场 期望效用 敏感性

不完全布朗市场模型中期望效用最大化的敏感性分析Julio BACKHOFF VERAGUAS和FRANCISCO J.Silvabstract。我们研究了不完全萨缪尔森模型中最终财富效用最大化问题的模型参数敏感性问题，主要（但不限于）正幂型效用函数。该方法包括通过测量值的改变来移动参数，我们称之为弱摄动，将通常的财富方程与变化的参数解耦。通过用弱紧集的凸分析支持函数重写最大化问题，关键是在工作[2]上杠杆老化，前面的公式让我们证明值函数w.r.t.漂移和利率参数的哈达玛方向可微性，以及在其核上的稳定条件下的波动矩阵，以及方向导数的deriveexplicit表达式。我们将我们提出的弱摄动与我们所称的强摄动进行对比，在强摄动中，财富方程直接受到变化参数的影响。与传统观点相反，我们发现这两种观点通常会产生不同的灵敏度，除非初始参数及其扰动是确定性的。关键词：敏感性分析，一阶敏感性，效用最大化，Wea k公式。1.导言金融市场模型中的连续时间效用最大化问题有着悠久而丰富的历史，可以追溯到[21]-[22]的默顿，他本人在米尔莱斯和萨缪尔森的著作中受到启发。80年代，通过Pliska[29]、Karatzas等人的作品，对这一主题的研究继续进行。

[12,13]）、考克斯和黄[7]，然后可能在20世纪90年代达到顶峰，在[16]中对克拉姆科夫和沙切迈耶进行了全面治疗。当然，一份全面的清单必须涵盖许多其他人的作品，但我们不打算在这里详尽无遗，而是将感兴趣的读者传达给书籍[14]和[28]以了解细节。所有这些工作的共同点是，它们提供了一个洞察决策问题的视角，即如何在冯·诺依曼·摩根斯坦的预期效用理论提供的最优条件下，从给定的连续时间到仓促市场模型选择投资组合。不用说，在以这种方式对决策进行建模时，必须选择几个参数，因此最优投资组合规则和由此得出的最优预期效用都将是这些参数的函数。然而，直到最近，经验效用最大化问题在参数依赖性方面的行为才受到关注。在[16]中，对于一般的半马尔可夫模型和一个优化最终收益预期效用的代理，研究了问题的值函数（即最优值）对代理初始财富的一阶敏感性，扩展了[29]中的早期结果。最近，在一个类似的环境中，在[17]中对价值函数进行了二阶分析，甚至对优化财富进行了一阶敏感性分析。文献中的一个不同特点是研究了价值函数的稳定性（即连续性），即所谓的市场风险价格或夏普比率，这是一个动态随机参数，试探性地测量给定价格模型与风险中性模型（由其鞅分量给出）的差距。

该分析最初是在[20]中进行的（参见[23]了解最新进展），然后在[15]中扩展到有捐赠基金的情况。最后一篇文章超越了这一点，事实上证明了基于效用的价格的稳定性，第一作者非常感谢Y782-N25拨款项下的奥地利科学基金（FWF）和FA506041拨款项下的欧洲研究理事会（ERC）以及柏林大学洪堡大学和柏林数学学院的f Unding大学的部分支持。维也纳理工大学经济统计和数学方法研究所（julio.backho off@tuwien.ac.at）。第二作者感谢Gaspar Monge优化与运行研究项目（PGMO）的部分支持。法国利摩日理工大学科学与技术学院UMR-CNRS 7252，法国利摩日理工学院，87060（francisco）。silva@unilim.fr).2 JULIO BACKHOFF VERAGUAS和FRANCISCO J.Silva承认了效用函数本身的错误定义（参见[18]和本主题的更多参考文献）。前几篇文章主要讨论参考概率测度或参考价格过程的等价性；最近[33]表明，对于非等效扰动，问题可能是不稳定/不连续的。在本文中，我们重点讨论了预期效用最大化问题的最优值对市场风险价格以及模型的漂移系数和波动系数的一阶敏感性分析。我们在经典环境下工作，在没有消费和随机禀赋的情况下，效用函数定义在正半线上，我们将自己局限于布朗过滤和所谓的萨缪尔森价格模型（例如几何布朗运动），这可能是不完整的。

在这个框架中，根据[5]的一般随机最大值原理（其中的具体章节2）和[3]中的最新结果，可以通过随机最大值原理中出现的伴随态来计算期望的可微性。然而，这一路线图有几个复杂的问题需要解决，主要问题是风险的市场价格被受控财富方程中的决策变量（投资组合权重）乘以，因此凸扰动的标准凸分析论点不适用。基于抽象优化理论的替代参数（参见[4，第4章]了解一般理论，以及[3]了解其在随机控制中的应用）似乎不适用，因为它们需要一个规范化的向量空间设置，而这在我们的问题中是先验不存在的。事实上，决策变量对于时间变量几乎肯定是平方可积的。出于这些原因，我们在本文中选择了一种不同的方法，允许直接处理第一顺序敏感性问题。让我们精确地解释本文中的参数不确定性/误判。我们从普遍的观点来看，随机优化或最坏情况下的随机优化，即在不确定的概率测度中定义某些参数，在这种不确定的概率测度下，可以定义随机优化。参见[31]或[6]中关于模型误判和骑士不确定性非经济学的例子，或[15]中关于公用事业最大化/基于公用事业的价格稳定性的问题。因此，我们假设，在我们的案例中，对问题参数的充分了解相当于对受控财富方程的完整描述，具体地说是漂移、利率和波动系数（以及风险的市场价格）。

对我们来说，参数不确定性意味着受控系统的实际可能轨迹可能具有不同的“概率权重”，而不是受控方程在精确的“真实”参数下诱导的路径空间定律所规定的“概率权重”。因此，在“实”参数扰动下的预期效用最大化问题包括干扰参考概率度量，使其偏离由“实”控制方程（即给定“实”参数的控制方程）诱导的定律，但在过程中保持此类“实”控制方程固定。当然，概率测度的扰动是借助于Girsanov定理定义的，新问题的最优值被称为弱配值函数。在这项工作中，我们将研究这种弱扰动值函数的可微性，并计算其方向导数，考虑在“实”参数的邻域中计算的漂移系数和波动系数。对于已经引用的所有关于预期效用最大化问题的稳定性和敏感性的文章，只有[15]持这种观点。另一些则考虑了问题的强扰动，这意味着参考概率测量保持不变，方程受到扰动。我们注意到，在[19]中，在负指数幂函数和半鞅市场模型的背景下，我们同时独立地提出并分析了一个相关问题。相反，我们将重点分析具有正指数的幂函数，更一般地分析由正幂函数支配的效用函数（见orem 2.1及其后的评论）。

在[19]中，作者主要研究对偶问题及其相关的对偶值函数，并从中获得原始问题的期望灵敏度。更重要的是，与我们工作的主要区别在于，在引用的文章中，对风险参数的市场价格的敏感性进行了严格意义上的研究（见我们在引入假设（H1）第2节后的讨论）。在我们的工作中，我们强调了直接对漂移项和波动项进行弱意义上的扰动分析。我们考虑的布朗市场模型的优点之一是，它允许我们揭示一些与市场不完全性和我们能够处理的扰动类型有关的微妙问题。实际上，在弱公式中，我们不得不考虑波动率参数扰动的受限空间，即不完全布朗市场模型3中预期效用最大化的敏感性分析，即保留核心的模型（见备注2.1）。我们认为这种讨论是必要的，而且文献中似乎没有这种讨论。布朗框架的另一个很好的特点是，它允许我们以最透明的方式比较强意义上和弱意义上的灵敏度分析。第2节和第5节详细讨论了这些方法之间的差异。正如我们将看到的，从强扰动或弱扰动获得的值函数的灵敏度不需要重合，我们在第2.1节中提供了这种情况的示例。这与隐含的传统智慧相悖，即“对参数的扰动方式没有区别”。我们还将在一个例子中展示，懦弱的敏感性可以以一种违反直觉的方式表现出来。

这两种现象都发生在标称参数不确定的情况下，因此教训是，在这种情况下应用弱（即Girsanovtype）扰动时应谨慎。虽然我们没有提供强扰动的灵敏度分析，但我们可以猜测相关灵敏度的样子（与[19]一致），并将其与我们的弱灵敏度进行比较。利用铋的分部积分公式，我们找出了这些差异的实际原因；见第5节中的方程式（5.2）。还值得注意的是，如果名义市场参数和扰动市场参数都是确定性函数，那么在我们的假设下，方向敏感性确实是一致的，如我们在命题2.1中所示。在对弱扰动pr问题进行可微性分析时，我们非常依赖于最近的结果，这些结果起源于[2]和[1]。实际上，关键的事实是，我们可以将预期效用最大化问题解释为显式B anach空间中极紧凸集的凸分析支持函数的计算。处理弱扰动和弱扰动价值函数的用途在于，它的可微性和方向导数可以通过调整Danskin的orem来计算支持函数，并使用链规则来计算方向导数。为此，必须在本质有界被积函数和前述Dbanach空间前对偶中的元素之间建立Girsanov transfor m asan算子的Fr’echet方向可微性。这个问题解决了本文中的大部分挑战。我们选择通过这种支持函数解释直接处理原始问题，这是与[19]的第二个主要区别。简而言之，我们的工作有两个原创贡献。

第一个是为弱pertur床问题提供新的灵敏度结果，并为方向导数提供精确的表达式。如前一段所述，这里的主要工具是自然拓扑空间中可行集的隐紧性。事实上，我们认为这种纯粹的原始分析本身就是一种方法论贡献，而不是数学金融中更经典的观点，如二元性或随机控制。第二个贡献是详细讨论了允许的扰动类型，以及弱扰动和强扰动及其相关灵敏度之间的差异。让我们再次强调，我们所考虑的市场模型的简单性使我们能够以一种干净、准确的方式解决问题的微妙之处，并获得上述贡献。本文的结构如下。在第2节中，我们介绍了Samuelson模式l，定义了强/弱扰动和强/弱扰动值函数，并描述了我们关于弱扰动下值函数可微性的主要结果；orem 2.1。同样重要的是，我们还证明，在确定参数和扰动的情况下，强扰动值函数和弱扰动值函数是一致的，而我们也提供了两个简单的例子，表明在一般情况下，强灵敏度和弱灵敏度可以不同。在第3节中，我们为方便读者阅读[2]中证明所需结果的摘要。第4节是本文的主干，我们在这里证明了主要的敏感性结果。然后在第5节中，我们将讨论强灵敏度和弱灵敏度是如何联系在一起的。最后，在附录中，我们简要研究了支持函数，并证明了经典丹斯金定理的必要修正。2.

问题陈述我们首先确定了一些符号。在整篇文章中，R+（分别为R++表示非负（分别为严格正）实数集。给定T∈ R++，我们考虑一个固定的过滤概率空间(Ohm, FT，F={FT}t≤T、 P），其中过滤满足通常的假设（参见[30]）。实际上，除了第3节中所述的结果，我们在其中调查了[2]中的一些发现，我们将假设F是其中定义的布朗运动的完全过滤。我们将用L（resp.L+）表示所有FT可测函数的集合（res p.非负函数），并用JULIO BACKHOFF VERAGUAS和FRANCISCO J.SILVAL表示∞,∞F具有形式k·k的本质有界实值渐进可测过程集∞,∞定义为最不必要的上限。关于量度qs的积分应表示为EQexcept for Q=P，对于该量度，我们使用符号e。给定局部连续鞅M：Ohm ×[0，T]→ R、 我们用Lloc（M）表示所有渐进可测量过程的集合：Ohm ×[0，T]→ R使得P（RTHsdhMis<+∞) = 1，其中hM i（·）表示与M相关的二次变量过程。最后，给定一个连续半鞅Y，我们用E（Y）表示Dol’eansDade随机指数，定义为Zt=1+RtZsdYs的解，对于t∈ [0，T]。让我们考虑这一部分的一般萨缪尔森价格模型，其中贴现价格持续演变为几何布朗运动，具有逐渐可测量的漂移和波动系数。具体来说，假设市场由d资产组成，SDT的价格（以同样的方式表示）在P下的演变为（2.1）dSt=diag（St）¨utdt+diag（St）¨σTDWTT∈ [0，T]，S=S∈ 其中S:=（S，…，Sd）和W是Rn（n）中的P-布朗运动≥ d） 。