Heston期权定价模型的高效稳健校准

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英文标题：
《Efficient and robust calibration of the Heston option pricing model for
  American options using an improved Cuckoo Search Algorithm》
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作者：
Stefan Haring and Ronald Hochreiter
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  In this paper an improved Cuckoo Search Algorithm is developed to allow for an efficient and robust calibration of the Heston option pricing model for American options. Calibration of stochastic volatility models like the Heston is significantly harder than classical option pricing models as more parameters have to be estimated. The difficult task of calibrating one of these models to American Put options data is the main objective of this paper. Numerical results are shown to substantiate the suitability of the chosen method to tackle this problem.
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中文摘要：
本文提出了一种改进的布谷鸟搜索算法，用于对美式期权的赫斯顿期权定价模型进行有效而稳健的校准。像赫斯顿这样的随机波动率模型的校准比经典期权定价模型要困难得多，因为需要估计更多的参数。将其中一个模型与美国看跌期权数据进行校准是本文的主要目标。数值结果证实了所选方法对解决这一问题的适用性。
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分类信息：

一级分类：Computer Science        计算机科学
二级分类：Neural and Evolutionary Computing        神经与进化计算
分类描述：Covers neural networks, connectionism, genetic algorithms, artificial life, adaptive behavior. Roughly includes some material in ACM Subject Class C.1.3, I.2.6, I.5.
涵盖神经网络，连接主义，遗传算法，人工生命，自适应行为。大致包括ACM学科类C.1.3、I.2.6、I.5中的一些材料。
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Efficient_and_robust_calibration_of_the_Heston_option_pricing_model_for_American.pdf (568.65 KB)

2022-5-8 20:59:34 上传

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关键词：期权定价模型 定价模型 期权定价 Est sto

使用改进的布谷鸟搜索算法对美式期权的赫斯顿期权定价模型进行高效稳健的校准斯特凡·哈林·罗纳德·霍克雷特劳加斯特，2015年3月摘要本文开发了一种改进的布谷鸟搜索算法，以便对美式期权的赫斯顿期权定价模型进行高效稳健的校准。与经典期权定价模型相比，Heston等随机波动率模型的校准要困难得多，因为需要估计更多的参数。将其中一个模型与美国看跌期权数据进行校准是本文的主要目标。数值结果证实了所选方法对解决这一问题的适用性。关键词。期权定价，赫斯顿模型，布谷鸟搜索，财务1简介经典教科书中的期权定价例子是著名的布莱克-斯科尔斯模型，见[1]。自1973年创立以来，由于其相对简单的可用性，它已经导致期权交易的急剧增加。它为欧洲看涨期权和看跌期权以及美国看涨期权提供封闭式解决方案。对于美式看跌期权，不存在封闭形式的解，因为必须解决最优停止时间问题。多年来，对布莱克-斯科尔斯模型的批评不断出现，因为它没有准确捕捉市场中期权价格的行为。例如，Black-Scholes模型没有考虑众所周知的波动率模型，因为它的一个主要假设是恒定波动率，该模型表明，深藏资金和出钱的期权具有更高的价格（因此隐含波动率也更高）。为了准确反映市场行为，我们创建了波动率随时间变化的期权定价模型，即所谓的随机波动率模型。在这些模型中，挥发性本身遵循一个随时间t变化的过程。

这些模型的一些例子包括Heston模型[2]、CEV模型[3][4]和Chen模型[5]。这些随机波动率模型的校准比BlackScholes模型要困难得多，因为需要估计更多的参数。将其中一个模型与美国看跌期权数据进行校准是本文的主要目标。我们将重点关注海斯顿模型，因为它被广泛地了解和引用。在他的开创性论文中，赫斯顿对期权价格的随机波动率模型进行了如下描述：dS（t）S（t）=udt+pV（t）dW（1）dV（t）=κ（θ）- V（t））dt+σpV（t）dW，（2）其中，由dW关联的Wand-Ware-Wiener过程* dW=ρdt。用于获得方差过程的参数是长期方差θ、平均反转率κ（波动率恢复为长期方差的速率）和方差的波动率σ。在谈到美国期权价格时，赫斯顿模型下的期权定价并不直接。美式看涨期权的价格与欧式看涨期权的价格相同（因为提前行使从来都不是最优的），但美式看跌期权不存在封闭形式的解，因此必须使用数值近似。文献中有许多不同的方法可用于这些选项的近似计算，例如Ritchken和Trevor[6]提出的GARCH晶格方法，Beliaeva和Nawalkha[7]提出的树模型，以及Longstaff和Schwarz[8]开发的蒙特卡罗模拟。在赫斯顿模型下，选择多种可能的美式期权定价方法中的一种，比选择其中一种更重要的是一种根据实际数据校准模型的有效且稳健的方法。毕竟，在实践中使用该模型进行预测和定价是主要目标。本文的目的是填补在Heston模型上进行的研究中存在的差距。

在撰写本文时，还没有发布过经过严格测试的美国看涨期权模型校准方法。主要原因是，虽然在这个模型下对期权进行定价本身已经是一项艰巨的任务，但将模型校准到一组给定的期权价格则更具挑战性。在标准模型（保持利率不变）中，有五个参数必须进行校准：上述κ、θ和σ，以及方差过程的起始值，以及股价和方差ρ之间的相关性。然而，我们所做的是校准欧洲和亚洲期权的赫斯顿模型。Gilli和Schumann在校准欧洲期权的Heston模型[9]，[10]时，展示了使用启发式和进化算法的有效性。Collier概述了可用于优化噪声目标函数的算法，在本例中是蒙特卡罗模拟，以将赫斯顿模型校准为亚洲期权数据[11]。本文将使用一种自然启发的算法，即布谷鸟搜索，来解决校准问题。自然启发算法（也称为进化算法）已被用于金融领域的许多困难优化问题，并显示出巨大的前景（例如参见[12]、[13]、[14]、[15]）。参见本期刊上发表的相关示例，包括[16]、[17]、[18]、[19]和[20]。本文的结构如下。第2节详细概述了这个问题，第3节将简要介绍布谷鸟搜索算法。在第4节中，将解释该算法的CHOSEN实现，而在第5节中，将给出数值结果。

第6节总结了本文。2校准定价模型校准定价模型时，任务是找到使模型价格和实际观察价格之间差异最小化的参数。这反映在以下优化问题中：minNXi=1（Pmodeli- Pobsi），（3）平均值。反转卷。属于目标。funFigure 1：当波动率和均值反转率变化时的搜索空间Vol。属于自愿的客观的。funFigure 2：当波动率和波动率变化时的搜索空间N是观察到的价格的总数。优化问题也可以有不同的定义（[15]），但在本文中，等式（3）中给出的方法被用作目标函数。优化问题的搜索空间是有界连续且非凸的，这意味着标准优化方法（例如基于导数的梯度方法）不适用。它还具有大量局部极小值的特点，这使得手头的任务更加复杂。图1和图2显示了当改变某些参数时，等式（3）中给出的目标函数的结果。从图中可以看出，优化方法必须在探索（相对快速地遍历整个搜索空间）和利用（搜索迄今为止找到的最佳解决方案的近邻区域）之间找到完美的平衡，以避免陷入任何局部极小。为了使该算法成为一个可行的选项，它必须满足勘探开发标准，并且在数值上是稳定的，这意味着获得的解和BeginObjective函数f（x），x=（x，…，xd）的误差将n个宿主巢穴xi（i=1，2。

,n）当不满足停止标准时，用L’evy flights随机选择一只布谷鸟来评估它的能力。如果（Fi>Fj）用新的解决方案替换j，则用新的解决方案替换j。更差的巢穴的NDA分数（pa）被放弃，并被新的一组解决方案替换，并在后期处理结果和可视化结束时找到当前的最佳结果。表1：布谷鸟搜索伪代码实际值必须为1最小的另一个重要标准是计算效率。算法必须尽可能快且稳定地收敛到解。赫斯顿美式期权定价模型的这项任务的复杂性，迄今为止阻止了一种有效可靠的方法的出现。到目前为止，还没有提出任何算法来解决这个特殊问题。为了满足上述所有标准，将使用一种名为布谷鸟搜索的启发式方法将赫斯顿期权定价模型校准为一组样本数据。3布谷鸟搜索布谷鸟搜索算法是由Yangko和Deb[21]开发的一种受自然启发的优化算法。这是一种所谓的元启发式算法，意味着它对手头的问题只做很少的假设，并且在只有不完全信息和有限计算能力的情况下可以有效地使用。这使得它成为第2节中概述的优化问题的理想候选者。本文中使用的启发式方法从布谷鸟在飞行中遇到的其他鸟类的巢中产卵的行为中得到启发。这种所谓的寄生被转化为一种非常有效的优化方法。布谷鸟搜索算法遵循三条简单规则：1。每只布谷鸟在一个随机的巢中下一个蛋。2.最好的鸡蛋会传给下一代。3.

布谷鸟蛋被寄主鸟发现的可能性很小∈ [0, 1].在这里，嵌套表示优化过程每次迭代中不同解决方案的数量。蛋代表目标函数的解，并从布谷鸟的飞行路径中获得。在每次迭代中，一个新的解决方案有可能被一个随机结果取代。表1.0.4 0.6 0.8 1.0 1.2给出了标准布谷鸟搜索算法的伪代码-1-0.5 0.0 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5图3：2维1000步的列维飞行为了模拟导致新解决方案的飞行路径，使用了列维飞行（列维飞行的介绍见[22]）。关于昆虫、动物甚至人类的飞行行为如何显示出与列维飞行相同的特征，有大量研究可用（例如，见[23]、[24]）。L’evy flight本质上是一种随机行走，其中步长是从L’evy分布中提取的，该分布是重尾分布。当L’evy flight的定义尺寸大于1时，台阶是各向同性和随机的，这意味着它们在所有方向上都是一致的。在图3中可以看到L’evy荧光灯的显著特征。L'evy flights的特点是在跳跃结束后进行一系列小步跳跃。这正是我们的优化算法所需要的行为，因为它完美地融合了开发（跳远）和开发（一系列小步骤）。

跳远还保证了算法不会陷入搜索空间中存在的许多局部极小值。下一节将详细解释本文中使用的布谷鸟搜索算法的实现。4实施Heston定价模型本身的实施将不在这里讨论，因为任何满足稳健性、数值稳定性以及快速计算时间标准的方法都是合适的。为了实现这一点，pricer应该用C++、Julia、Pythonor或任何类似的快速语言实现。本文中使用的布谷鸟搜索算法已由作者实现为R[25]包。使用该软件包对标准优化问题（Schwefel’s函数、Rastrigins函数、Easoms函数）进行的运行时测试在足够的时间内解决了Financeapplication。本质上，实现的算法遵循表1中给出的伪代码中列出的步骤。它在某些部分进行了修改，以增强其有效性和收敛性。由于其启发式性质，实现的方法需要少量参数。必要的输入包括嵌套的数量（每次迭代的起点和不同的解）、迭代的数量（或目标函数中的误差容限），√v0。2 0.5 0.3 0.4σ0.1 0.1 0.25 0.25κ3 3 2 1θ0.04 0.25 0.09 0.16ρ-0.1-0.5-0.1-0.2表2：赫斯顿定价模型的参数集赫斯顿定价模型参数的上限和下限，以及计算pα所需的pmax、PMI和PBASE值。选择的实现与原始算法不同的部分在于pa的设置方式，即宿主鸟发现杜鹃蛋的概率。在最初的论文中，这是一个固定值。

然而，Valian、Tavakoli、Mohanna和Haghi[26]展示了一些改进，这些改进提高了布谷鸟搜索算法的准确性和收敛性。其中一个修改是PAI不是固定的，而是两个设定值Pmax和pmin之间的递减函数。函数如下所示：pa（iter）=pmax-（pmax- pmin）N×iter，（4）其中N是迭代的总数，iter是当前迭代。这保证了算法在一开始就找到许多新的解决方案（探索得到加强），并逐渐在已经具备良好能力的点附近找到新的解决方案（开发得到加强）。在这里，我们将pmaxto的值设置为0.95，以便在优化开始时有很多新的解决方案，从而进一步增加探索。pminis的值设置为0.05，以便在优化结束时，算法几乎在最佳位置周围进行唯一搜索。用于评估搜索空间中每个解决方案的fifitness函数只计算赫斯顿模型计算的价格与观察到的（实际）价格之间的平方误差之和。它将布谷鸟搜索算法中鸡蛋给出的参数作为输入，并计算所有资产价值/执行价格组合的价格。5数值结果为了测试和校准模型，使用了一个人工数据集来验证解决方案。创建数据集时使用的参数与自然计算第4卷第2章[15]中的数据集相似。该模型已经通过改变现货价格和履约价格K进行了测试。在这两种情况下，固定价格都设置为100，其他价格在80和120之间，以2步为单位。无风险利率已设定为5%，但很容易调整模型以允许利率变化。

期权的到期日τ为、、和1年。这导致总共有84个价格用于校准模型。赫斯顿定价模型的参数集如表5所示。基于逻辑和经验发现的所有5个参数的下限和上限都已被引入，以将搜索空间仅限于合理的解决方案。边界如表3所示。对于捕捉波动性和股票价格之间相关性的相关参数ρ，根据几篇关注该问题的论文，该范围被设置为大部分为负值√vσκθρ下限0.01 0.05 0.50.01-0.8上限0.10.3 4 0.1 0.1表3：参数的下限和上限。0 100 200 300 4001e-04 5e-04 2e-03 5e-03 2e-02 5e-02迭代目标函数20嵌套30嵌套40嵌套50嵌套图4：不同嵌套大小的收敛性比较。这个话题，例如南迪[27]。为了选择使用的嵌套数量，已经测试了多个值。该算法已被证明对嵌套数量的变化非常稳定，这意味着20到50之间的值都显示出快速收敛和高精度。从图4可以看出，对于所有的嵌套选择，目标函数的收敛性是给定的，并且相对较快。这意味着无需为模型设置该参数，可以完全选择该参数以提高计算效率。这篇论文所做的选择是巢数为20。此外，还对算法需要多少价格作为校准输入进行了测试。图5显示了5、13和21种价格的投入在对数尺度上的收敛性。很明显，如果价格的数量增加，算法需要更少的迭代次数。