用于定价和对冲长寿风险产品的统计模拟器

普通嵌套蒙特卡罗的优点之一是，从固定的z（n）生成n个场景可以给出f（z（n））和τ（z（n））的自然经验估计。为了模拟这一特性，我们考虑了批量或复制设计D。也就是说，给定总预算Ntr=Ntr，1·Ntr，2训练样本，我们将它们分配到Ntr，1不同的设计站点z（1），z（Ntr，1），然后从每个z（n）生成Ntr，2个轨迹。接下来，将上述批次聚合为y（n）=Ntr，2Ntr，2Xj=1F（T，z（n），j（·））；（25）^τ（z（n））=Ntr，2- 1Ntr，2Xj=1ny（n）- F（T，z（n），j（·））o，（26）和结果数据集{z（n），y（n），^τ（z（n））}，n=1，Ntr，1用于建立^f的克里格模型，^τ（z（n））/Ntr，2模拟z（n）处的方差。Broadie等人[7]针对一个相关的风险管理问题分析了Ntr，1和Ntr，2之间的有效分配，结果表明，最优选择满足Ntr，1∝ N2/3tr，Ntr，2∝ N1/3tr。（27）这也是我们在本文中追求的分配，因此每个批次中的设计站点相对多于复制。3.3. 实验设计构建训练设计D有几种方法。首先，可以通过独立抽样z（n）生成经验设计~ Z（T）| Z（0）。这允许模拟条件密度pT（z | z（0）），这有利于计算（3）中的期望值。第二，可以使用其他建议密度z（n）生成随机D~ Q.例如，在某些域d中，统一的建议密度（即z（n）i.i.d.） Rd）对任意大小的空间填充实验设计进行了基本尝试。通过拉丁超立方抽样（LHS）技术可以获得更结构化（但仍然是随机的）设计[38]。粗略地说，LHS构建了一个规则的d维晶格，然后试图在生成的超立方体中均匀分布Ntr，1个位置。

在每个选定的超立方体中，设计场地被统一放置。第三，可以使用确定性设计，例如网格或准蒙特卡罗（QMC）序列。确定性设计确保了空间填充特性和易于再现性。例如，Sobol序列[37]重新分配一个统一的二进制网格，以产生一个最大等分布的网格。与LHS相比，QMC的使用更快（因为它可以直接硬编码），并且可以根据需要手动调整。这两种方法都将^freative的蒙特卡罗方差减少到经验D。理论上，Z（T）的典型区域是无界的，例如R+D。这不是经验设计构造的问题；对于LHS和QMC方法，必须指定适当的边界域D∈ 在生成D.Remark之前。根据上下文，设计D可能需要在空间上不一致。例如，如果使用确定性设计进行计算（3），则最好捕获Z（T）分量之间的相关结构，或对最有可能的区域进行加权。如果要估计分位数或尾部期望值，D应优先覆盖Z（T）分布的极值；在这种情况下，经验设计是不合适的。3.3.1. 生成长寿场景仿真器的构造需要生成长寿场景{Z（t），t=0，…}的基本构造块。在最简单的设置中，这只需要生成和操作一系列i.i.d均匀绘图，这些绘图描述Z（分量）的随机增量。然而，通常使用的模型还包括必须估计或校准的参数。当进行未来寿命预测时，这一方面变得不重要，因此可以进行模型重置。

重新设置引入了路径依赖性，使参数成为可能需要包含在Z中的动态数量。例如，凯恩斯等人[13]倡导PPC（部分参数确定）场景生成，将整体模拟分为[0，T]和[T]两部分，∞). 在PPC中，首先使用过去的死亡率数据在t=0时校准模型，然后模拟时间t。然后将模拟情景附加到历史数据中，使模拟成为从时间0到时间T的新“历史”。然后在时间T处重新设定模型参数，并使用由此产生的、经修改的Z寿命动力学来模拟beyondT。PPC的想法是捕捉一些关于死亡进化的记忆，本质上去除一些假定的马尔可夫结构。在PPC下，固定参数被混合到Z（T）中，因为它们影响结果F（T，Z（·））。此外，为了减少维数，可以在构建模拟器时删除整个状态空间的一些组件。为此，我们可以分析哪些动态变量会对年金价值产生重大影响，例如通过一些简单的回归模型来测试统计意义。3.4. 在给定的模拟部分，我们首先对模拟的大小进行分解，然后对模拟的大小进行分解。然后，D中的每个站点生成Ntr，即按（25）中的方式批处理在一起的2个区段。使用上述公开提供的软件包进行安装。对于克里格，我们使用Dieckriging包中KM函数的默认设置。给定^a（z，T，x），我们通过测试集Dtest=（z（1），…）评估其性能，零位的z（Nout））。注意，Dtest与训练集D不同。根据（3）我们使用了一个经验测试集Dtest:z（n）~ Z（T）| Z（0）。

由于真实值a（z，T，x）不可用，我们以（昂贵的）金标准估计值^aMC（z，T，x）为基准，如下所述。特别是，我们记录了（12）中的综合MSE和偏差统计数据，即\\IMSE（^a）=NoutNoutXn=1^a（z（n），T，x）- ^aMC（z（n），T，x）; （28）dBias（^a）=NoutNoutXn=1h^a（z（n），T，x）- ^aMC（z（n），T，x）i.（29）对于基准测试，我们使用高精度嵌套蒙特卡罗方法（5）-（6）。虽然代价高昂，但它是一个简单、渐近一致、无偏的估计量。具体地说，对于年金的估值，^aMC（z，T，x）是通过在每个z（n）处平均Nin=1000个{z（s），s>T}的场景来获得的∈ 数据测试。除非另有说明，否则我们使用Nout=1000，因此^aMCis O的总预算（Nout×Nout）。然后，我们将其与使用Ntr的模拟器进行比较∈ [1008000]，在10-50倍的提速范围内产生效率增益。我们还比较了完全需要训练（但确实需要解析推导）的确定性估计量，并且只需要O（Nout）预算就可以对外部的Nout模拟进行预测以进行评估（28）。案例研究：在Lee-Carter冲击框架下预测年金价值Chen和Cox[14]引入了一个基于传统Lee-Carter设置的死亡率模型：log m（t，x）=β（1）（x）+β（2）（x）κ（2）（t）。（30）这与附录A中的APC模型（M2）相同，没有队列术语。在Chen Cox模型中，β（1）（x）和β（2）（x）是捕捉年龄效应的确定性向量，而κ（2）（t）是捕捉周期效应的随机过程，其动力学为κ（2）（t+1）=κ（2）（t）+u（1）+ξ（1）（t+1）+[ξ（2）（t+1）- ξ（2）（t）]，（31），其中ξ（1）（t）~ N（0，σ（1））和ξ（2）（t）具有独立的零修正正态分布，p（ξ（2）（t）=0）=1- p、 和高斯参数（u（2），σ（2））。

（31）的动机是纳入由ξ（2）表示的特异性死亡冲击，其发生概率为p，且具有随机大小，分布为N（u（2），σ（2））。这种代表自然或地缘政治灾难的冲击是暂时的，只持续一个时期，因此减去了最后一个期限-ξ（2）（t）in（31）。由于这个项，模型似乎具有二维状态空间{κ（2）（t），ξ（2）（t）}。然而，我们注意到，从κ（2）（T）开始，假设ξ（2）（T）=0（T年无休克），生成新冠病毒是有效的。然后在估计f（κ）=E[f（T，κ（2）（·））|κ（2）（T）=κ，ξ（2）（T）=0]之后，在T年冲击的情况下很容易得到[f（T，κ（2）（·）|κ（2）（T）=κ，ξ（2）（T）=ξ]=f（κ- ξ） ，减少到“未锁定”值的预测。在m（t，x）中存在特异性电击使得相应的生存概率难以分析。然而，（31）中κ（2）的线性动力学允许获得以下未来死亡率的确定性估计器。引理1。设Z（s）={κ（2）（s），ξ（2）（s）}。在Chen-Cox模型下，以下结论成立：E[κ（2）（t）|Z（s）]=κ（2）（s）+（t- s） u（1）+u（2）p- ξ（2）（s），0≤ s≤ t<∞. （32）可以在附录B中找到证明。将（32）代入（30）中，得到E[m（T+s，x）|κ（2）（T），ξ（2）（T）]：m（T+s，x）的以下估计量经验β（1）（x）+β（2）（x）κ（2）（T）+su（1）+u（2）p- ξ（2）（T）. (33)4.1. 结果我们跟随Chen和Cox[14]使用美国国家卫生统计中心（NCHS）的死亡率数据。该数据集包含美国总体人口的特定年龄年死亡率：http://www.cdc.gov/nchs/nvss/mortality_tables.htmpopulation1900年至2003年。

拟合得到随机游动参数u（1）=-0.2173，σ（1）=0.3733 in（31），以及估计的冲击概率p=0.0436，跳跃分布（u（2），σ（2））=（0.8393，1.4316）。正如所料，u（2） 0较大且为正值，因此电击会导致死亡率的暂时性增加。其目的是分析和比较克里金模型和分析估计的能力，以预测x=65岁男女的T=10年递延年金价值。x=94岁时，付款将被削减。我们使用r=4%的贴现率。Ntr=125 Ntr=512 Ntr=1000类型偏差√IMSE偏倚√IMSE偏倚√IMSEanalysis 1.668e-03 2.148e-03 1.668e-03 2.148e-03 1.668e-03 2.148e-03Ord。克里格法5.145e-03 5.923e-03 1.582e-04 1.975e-03-1.999e-04 1.634e-03大学。克里格法5.832e-03 6.059e-03 4.816e-04 1.045e-03-1.243e-05 7.428e-04表1：在不同规模的实验设计下，比较陈-考克斯模型下的终身年金价值估算值。设计D的Ntr=N2/3tr，1·N1/3tr，2。使用（28）和（29）从Monte Carlobenchmark评估报告值。分析估计基于（33）；通用克里格模型使用一阶线性基函数。预算为Ntr的W fit模拟器∈ {125, 512, 1000}. 相应的训练设计D是确定的，并且在适当选择的间隔D=[κ，\'-κ]上均匀分布；优化设计将蒙特卡罗噪声降至最低，单位为^f（·）。因为Z≡ κ（2）只是一维的，使用的训练预算相对较小。对于仿真器，我们将普通克里格（OK）模型和一阶线性通用克里格（UK）模型分别设置为常数趋势u（κ）=β和u（κ）=β+βκ。为了进行评估，我们使用一个包含Nout=50个Z（T）值的测试集，每个测试集都带有一个包含Nin=10模拟的蒙特卡罗基准。

由于涉及的MSE非常小，因此需要一个非常高的可靠性基准（以便将模拟器的MSE与基准的MSE隔离），从而产生非常大的Nin。为了在计算上可行，我们选择了一个小测试集。为了确保Dtest准确地代表Z（T）的分布，其位置被选为经验的1%，3%，Z（T）大样本的99%百分位数。在比较过程中使用了与这些百分位数相关的死亡率冲击。表1和图1总结了结果。我们观察到，未来年金的潜在价格存在相当大的差异，差异超过10%（或年金NPV的1美元），取决于实现的Z（T）。这证实了长寿风险的显著水平。如图1所示，z 7几乎呈线性关系→ a（z，T，x），考虑到上述预测范围，这可能是令人惊讶的。这种强烈的线性趋势在一定程度上解释了英国模式相对于OK模式的优势。该图还反映了训练集大小和分布的影响：Ntr=512模型的表现明显优于Ntr=125模型。我们看到，所有方法都表现良好，IMSE的顺序为1e-03。尽管计算的偏差相当小，但我们注意到，由于养老金投资组合的面值非常大，相应的近似误差可能具有财务意义。例如，对于一个负债为100万美元的普通养老基金，1e-03的偏差意味着10万美元的不准确。图1的右面板提供了估计器相对于^aMC的偏差的放大可视化。正如预期的那样，基于引理1的分析估计器高估了所有κ（2）（T）的真实年值。对于Ntr=125，克里格模拟程序显然具有更大的MSE，在这种情况下，通常低于估计值a（κ（2）（T））。

对于Ntr=512，我们观察到统计学习正在发生，因为克里格模型现在在图的中间有一个很好的fit，基本上为零。图1：Chen-Cox模型中的年金模拟器。左图：三个估值器（MC、UK w/Ntr=125和分析）的数值a（κ（2）（T））和κ（2）（T）。训练设计（由垂直虚线表示）为D={κ（2）（T）∈(-17.5, -10） }对于Ntr，1=25，Ntr，2=5。右图：与蒙特卡罗基准^amco的相对年金价值，Nin=10。对κ（2）（T）的电位进行偏倚平均。较大培训预算的影响在表1中得到确认，随着NTR的增加，IMSE都朝着零的方向减少。上述分析表明，在某些情况下，形状z 7→ a（z，T，x）非常简单，几乎不需要建模，分析估计器表现良好（统计学家也是如此）。然而，我们强调，没有简单的方法可以先验地判断分析估计器是否足够，而且在任何情况下，足够大的训练集大小都将保证克里格模型具有更好的预测能力。一维案例还提供了网格设计效果的可视化表示，如图2所示。该图展示了模拟器的两个特点：（i）s（z）测量的局部精度和网格大小Ntr之间的依赖性；s（z）和网格形状之间的依赖关系。首先，较大的训练集可以提高准确性（一般关系为O（N-1/2tr）就像在普通的蒙特卡洛一样）。这可以在图2中看到，与N（A）tr=125相比，N（B）tr=1000的克里格标准偏差s（z）始终较低。其中一个含义是，作为Ntr→ ∞,我们会有s（z）→ 0，即f（·）将以完全精确的方式学习，这是模拟器全局一致性的一个特性。

第二，s（z）受D形状的影响，在这个意义上，训练点的局部密度越高，局部后验方差越低。如果将^f视为插值器或核回归器，这是直观的——z周围的训练集越密集，我们就越能推断f（z）。因此，集中在Z（T）模式附近的经验网格D（C）在该邻域（κ（2）（T）附近）具有更好的精度-图2中的14）与均匀的D（B）相比，但边缘的精度较低，其中D（C）变得更稀疏。对于所有设计，当我们迁移到训练集之外时，后不确定性显著恶化（例如κ（2）（T）>-图中的11）。图2中显示的s（z）值也提供了emulator IMSE的近似值。图2：训练设计D对Chen-Cox模型中模拟器精度的影响。我们展示了具有三种不同设计的通用克里格模型的克里格标准差s（z）：D（A）（小均匀）、D（B）（大均匀）和D（C）（大经验）。确定性设计D（A），D（B）包含均匀分布的κ（2）（T）值∈(-17.5,10），尺寸分别为N（A）tr=125和N（B）tr=1000。D（C）是一个尺寸为N（C）tr=1000的经验设计，使用κ（2）（T）|κ（2）（0）的密度生成。例如，使用NTR=1000的英国模型对测试集上的克里格标准偏差s（z）求平均值，得到sAve=q{NoutPns（z（n））}=7.159e- 03，而在表1中，相应报告的IMSE为\\IMSE=7.428e- 04.不匹配的原因包括蒙特卡罗估计中的剩余MSE^aMCand和英国模型的模型错误规格，这将对自我评估的准确性产生偏差。此外，不同测试位置z（n）之间的^a（z）之间的强相关性意味着IMSE有很大的标准误差。

然而，SAVE是一个非常有用的指标，它允许在没有任何金标准基准的情况下量化不同模拟器的相对准确性。5.案例研究：在双种群模型中对冲指数型基金最近有很多关于指数型长寿基金的讨论。公众的死亡率信息随处可见，一家市场基金使用不同的死亡老鼠作为价格指数，提供了一种衡量人口寿命的标准化方法。特别是，它允许长寿掉期证券化，养老基金可以使用这些掉期对冲其长寿风险敞口。如果养老基金可以购买尽可能多的互换单位，就像它必须支付给其年金受益人一样，这将导致支付的金额几乎等于从互换中获得的金额。对冲等资产的质量由指数化人群和年金受益人池（通常是指数的子集）之间的基本风险决定。因此，有必要创建一个模型来捕捉指数和被调查的子群体之间的联系。评论从不同的角度来看，一些长寿产品明确整合了多个地区的死亡率经验，例如跨不同国家（英国、德国、荷兰）或跨不同选区（英国与英国）。Lin等人[30]指出，官方机构报告的大多数死亡率数据都计算了不同基础人群的加权平均死亡率指数。他们还研究了这种多人口指数的建模方面。为了展示创意，我们称之为指数人口池1和年金受益人池2。现在，考虑一位来自第二池的个人，当她开始领取终身年金时，她将在T日达到x岁。养老基金对应的时间T负债表示为a（Z（T），T，x）。