用于定价和对冲长寿风险产品的统计模拟器

所讨论的嵌套模拟的形式是，首先对一些代表性变量（z（1），…）近似a（z（1），T，x），z（n）），然后进一步操纵（a（z（1），T，x），a（z（n），T，x））。仿真为优化、评估和改进此类两级仿真提供了一个有原则的统计框架。评论如前所述，a（·，T，x）的估计通常是嵌入在更大环境中的一个积木，需要重复评估前者的数量。例如，Bauer等人[4]在计算偿付能力资本要求时，在计算类似人寿年金的仪器的现值时，提出了嵌套蒙特卡罗模拟。我们还可以提到Bacinello等人[1]、Boyer和Stentoft[6]的工作，他们考虑了具有早期运动特征的死亡率合同的评估，例如放弃保证。在我们的术语中，相应的最小二乘蒙特卡罗算法可以被视为经典的参数线性模型仿真器，避免了嵌套蒙特卡罗森林的需要。2.2. 随机死亡率我们专注于离散时间死亡率模型，该模型更容易根据离散的死亡率数据进行校准，通常按年度间隔进行汇总。常见的假设是，在给定的日历年内，死亡率的中心力保持不变，因此，对于所有人来说，0≤ s、 u≤1，我们有m（t+s，x+u）=m（t，x）。因此（Z（u）；t、 t，x）=E“exp-TXs=t+1m（s，x+s）！Z（u）#，u≤ 因此，P（Z（t）；T、 T+s，x+T）成为Z轨迹的函数。文献中提出了三种主要的随机死亡率方法。第一种方法由Lee和Carter[28]首创，直接将m（t，x）视为个体随机过程的产物，例如ARIM是时间序列。

这一设置允许在未来的预测中纳入人口统计见解，以及解开年龄、时期和队列效应。也就是说，人口周期队列（APC）死亡率模型假设（更多细节见附录A）logm（t，x）=β（1）x+naκ（2）（t）+naγ（3）（t- x） ，（11）式中，κ（2）和γ（3）是随机过程，NaI是x可以接受的年龄数。在这种情况下，状态过程Z（t）取决于κ（2）和γ（3）的当前值和潜在过去值。例如，Leeand Miller[27]、[8]、Booth等人[5]、Czado等人[16]、Delwarde等人[18]和Li等人[29]都曾试图理解此类模型的统计有效性。此外，Renshaw和Haberman[34]、Hyndman和Ullah[24]、Plat[32]、Debonneuil[17]和Cairns等人[12]对Lee-Carter模型进行了几次扩展。这些模型都不支持生存概率P（z；·）的闭式表达式。因此，一些作者提出了近似方法。考夫兰等人[15]使用了一种近似分析法，而凯恩斯等人[13]则推导出了一种近似分析法，指出行业实践是利用确定性预测。Bauer等人[4]等采用了更灵活的蒙特卡罗模拟工具。凯恩斯等人[9]（CBD）提出的第二种方法生成了生存概率的随机模型（10），允许对与寿命相关的产品进行直接定价；然而，更难对整个人群的未来死亡率经验进行校准和合理预测。第三种方法适用于远期死亡率[3]，借鉴了固定收入市场的观点。

正向模型给出了死亡率曲线如何随时间演变的整体视图，并为死亡率预测提供了一个动态一致的结构。然而，它们并没有为（10）提供简单的表达式，因此需要进一步的定价操作。2.3. 偏差/方差权衡——为了接近（9），必须首先量化近似结果的质量。标准的统计方法是使用均方误差框架。固定z，让a（z）≡ a（z，T，x）是以状态z（T）=z为条件的终身年金的真实价值。如果a（z）是由^a（z）估计的，则为imse（^a）E（^a）- （a）, 偏差（^a）=E[^a- a] ，（12）其中平均值超过^a（z）的抽样分布（即用于构建数据的数据的不同实现）。从（12）开始引出基本偏差/差异权衡。在谱的一端，如（6）中所示的蒙特卡罗估计具有零偏差，但具有高方差。另一方面，分析近似值的方差为零，但非零偏差无法缓解（而蒙特卡罗IMSE将随着数据集大小的增加而变为零）→ ∞) 均匀渐近。由于低方差在实践中往往是首选，所以分析方法一直很流行。凯恩斯等人[13]也认为，工业界的惯例是使用死亡率的确定性预测，而不是使用模拟方法。确定性近似的基本思想是，如果^m（t，x）是m（t，x）的无偏估计，那么p（Z（u）；t、 t，x）=E“exp-TXs=t+1m（s，x+s）！Z（u）#≈ 经验-TXs=t+1E[m（s，x+s）| Z（u）]！=经验-TXs=t+1^m（s，x+s；Z（u））！。（13） 使用P（Z（u）；·的估计值在（13）中，我们可以近似地计算a（Z（T），T，x）项。詹森的不平等性意味着-PTs=t+1^m（s，x+s）> P（Z（u）；t、 t，x）。

因此，对于生存概率（以及随后的年金值），任何这样的近似值都会有较高的偏差。解析近似可能非常强大，当然也非常快，但它们有两个主要优点。一个是需要推导一个合适的估值器^m。这在简单模型中可能是可行的（例如，具有线性动力学的低维Z，如原始Lee-Carter模型），但否则可能需要大量的工作，导致不必要地关注简化，而代价是校准和风险管理的一致性。第二，近似的准确度未知。事实上，对于（13）中给定的模型，通常没有太多关于右手侧经验准确性的可用信息，这让用户不知道发生了多少错误。这个问题非常危险，因为风险经理可能不知道潜在的重大错误评估。为了弥补上述缺陷，在与普通MC相比仍保持显著差异减少的同时，我们提倡使用统计模拟器。后者提供准确度的后验量化（通过标准误差或贝叶斯后验方差），不需要对死亡率模型进行任何简化。另一个优点是可以直接近似z 7→ a（z，T，x），而不必对生存概率进行中间近似（这不可避免地会导致进一步的误差复合）。正如我们在案例研究中所展示的，通过保持可忽略的偏差和较小的方差，a（z）的统计模型确实可以有效地解决偏差/方差权衡问题，从而与其他方法相比改善IMSE指标。3.

统计模拟模拟模拟的想法是用一个廉价的替代模型来代替计算成本高昂的过程，即运行一个蒙特卡罗子程序来计算每个新站点z的f（z），该替代模型可以从统计上预测任何z的f（z）∈ 基于训练数据集的结果。仿真的核心是统计学习。也就是说，上述预测基于路径估计y（n）=F（T，z（n）），n=1，对于一组训练地点，称为设计D.=（z（1），z（Ntr））。接下来，我们将{y（n）}与{z（n）}进行回归，以“学习”响应曲面^f（·）。回归方面允许在不同地点的不同场景中借用信息。与嵌套模拟步骤相比，这减少了计算预算，嵌套模拟步骤通过从每个站点z（n）运行n个场景独立地进行逐点估计f（z（n））。回归的概念需求是双重的。首先，仿真器用于插值，即使用现有设计在新地点z进行预测。相比之下，普通蒙特卡罗仅在z（n）处预测。第二，与经典方法一样，仿真器从{z（s），s>T}的采样轨迹平滑蒙特卡罗。形式上，模拟的统计问题涉及采样器（或oracle）Y（z）=f（z）+（z） ，（14）其中我们确定f（z）≡ 具有未知响应面的a（z，T，x）和 是采样噪声，假设在对oracle的不同调用中是独立的、相同分布的。我们假设（z）~ N（0，τ（z）），其中τ（z）是依赖于位置z的采样方差。

仿真现在涉及（i）提出形成训练数据集的设计的实验设计步骤，以及（ii）使用查询结果（z（n），y（n））Ntrn=1的学习过程，其中y（n）是给定z（n）的（14）的实现，以构建一个完整的响应曲面^f（·）。通过指定近似函数类^f来完成拟合∈ H、 以及一个要最小化的损失函数L（^f，f）。损失函数衡量^fvis-a-a-a-a-a-a-a-a-a-a-a-a-a-a-a-a-a-a-a-a-a-a-a-a-a-a-a-a-a-a-a-；本文主要研究均方近似误差l（^f，f）=ZRd|^f（z）- f（z）| dz。（15） 由于真实f未知，因此L（^f，f）的定义无法操作，而是基于^f周围的不确定性（如贝叶斯后验不确定性或标准误差）应用代理。此外，由于f的结构未知，因此H类近似值最好是稠密的，即具有足够丰富的结构，可以将任何f近似到任意精度。为此，我们专注于核回归方法，即线性平滑器。在接下来的小节中，我们将介绍两个这样的回归族，平滑样条和克里格（高斯过程）模型。评论在这篇论文中，我们专注于最初的任务，即生成一个精确的近似值。在某些情况下，准确度的判断不是全局性的，而是局部性的，因此使用不同的准确度度量。例如，在VaR应用中，f的模型必须在左尾精确，但在右尾可能相当粗糙。在这种情况下，（15）可以替换为加权损失度量。3.1. 基于样条曲线模型的仿真器使用正则化回归准则生成仿真器^f（·）。

也就是说，给定一个平滑参数λ≥ 我们寻找极小值^f∈ 以下平方问题的惩罚剩余和的H（f，λ）=NtrXn=1{y（n）- f（z（n））}+λJ（f），（16），其中J（f）是惩罚函数或正则化函数。我们集中讨论近似类具有再生核希尔伯特空间（RKHS）结构的情况，该结构也生成J（f）。也就是说，存在一个潜在的正定义核C（z，z），使得HC=span（C（·z）：z）∈ Rd）是由C和J（f）=kfkHC生成的希尔伯特空间。再中心定理意味着（16）的极小值在本征函数^f（z）=NtrXj=1αjC（z，z（j））方面具有展开式，（17）将z处的预测与设计点z（j）处采样的核函数相关联。我们的第一个系列是采用j（f）=ZRd的平滑（或薄板）样条曲线dXi，j=1子zjf（z）dz，（18）和H是所有两次连续可微函数的集合。众所周知[21，第5章]，在这种情况下，底层内核由C（z，z）=kz给出-zklog kz-zk，其中k·k表示Rd中的欧几里德范数。（16）和（18）的优化结果给出了一个称为薄板样条（TPS）的光滑响应曲面，其显式形式为f（z）=β+βT~z+NtrXj=1αjkz- z（j）klog kz- z（j）k，（19）与β=（β，…，βd）T。在1-d中，惩罚优化减少到inff∈CNtrXi=1{y（n）- f（z（n））}+λZR{f（u）}du。（20） （20）中的总和是数据接近度的度量，而积分会惩罚f的影响。注意λ=∞ 简化为传统的最小二乘线性函数f（z）=β+βz，因为它引入了约束f（z）=0。

众所周知，得到的解是自然三次样条函数的展开式，即^f是一个分段三次多项式，在设计点z（n）处具有连续的一阶和二阶导数，在设计边界外是线性的。有几种方法可用于选择平滑参数λ，包括交叉验证或MLE Hastine等人[21，第5章]。一个常见的参数化是通过自由度统计dfλ的影响程度。我们使用R软件包“FIELDS”[31]来拟合多维薄板样条，并使底座光滑。一维情况下的样条函数。3.2. 克里格替代项克里格替代项假设（14）中的f的形式为f（z）=u（z）+X（z），（21），其中u：Rd→ R是趋势函数，X是均零平方可积过程。具体地说，假设X是协方差核C的高斯过程的实现。CI的作用与上面的正则化回归相同，即C生成近似族HCthatX。然而，克里格法也带来了一种贝叶斯观点，将X视为一个随机函数，并根据收集的数据Y计算X的后验分布（y（1），y（Ntr））。RKHS框架意味着X（z）的后验平均值（更精确的最大后验估计值）与前一节中的正则化回归预测一致。在贝叶斯框架中，C被解释为协方差核，C（z，z）=Cov（f（z），f（z））作为HC上的f（·）范围。假设噪音（z） 也是X（z）| y的高斯级数~ N（m（z），s（z））有一个高斯后验概率，这就简化了克里格平均值m（z）和克里格方差s（z）的计算。反过来，克里格方差s（z）提供了模型精度的原则性经验估计，量化了近似质量。

特别是，可以使用s（z）作为z处^f的代表。将s（z（n））积分到外部设计位置，然后得出（3）误差的评估结果。3.2.1。简单克里金简单克里金（SK）假设趋势u（z）已知。通过考虑过程f（z）-u（z），我们可以假设f（z）以0和u为中心，而不失一般性≡ 0.由此得出的后验均值和方差为[35]（mSK（z）。=c（z）TC-1y；sSK（z）。=C（z，z）- c（z）TC-1c（z）、（22）式中c（z）=C（n，z））1.≤N≤NtrandC=hC（z（i），z（j））i1≤i、 j≤Ntr+, （23）与 带条目的对角矩阵τ（z（1）），τ（z（Ntr））.3.2.2。Universal kriging Universal kriging（UK）将（21）推广到形式为u（z）=β+Ppj=1βjhj（z）的参数趋势函数的情况，其中βjare常数被估计，hj（·）被给出基本函数。系数向量β=（β，…，βp）与高斯过程分量X（z）同时估计。一种常见的选择是一阶UK，它使用hj（z）=ZJJ表示j=1，d、 另一个常见的选择是零阶UK，也被称为普通克里格法（OK），它采用u（z）=βa常数进行估计。如果我们让h（z）=（h（z），hp（z））和H=h（z（1）），h（z（N））, 那么，位置z处的通用克里金均值和方差为[35]（mUK（z）=h（z）T^β+c（z）TC-1（y）- H^β）；sUK（z）=sSK（z）+h（z）T- c（z）TC-1小时T宏达电-1小时-1.h（z）T- c（z）TC-1小时,（24）其中趋势系数β的最佳线性估计值由通常的线性回归公式β给出=宏达电-1小时-1HTC-1y。趋势和高斯过程（GP）模型的结合为拟合响应面提供了一个有吸引力的框架。趋势组件允许纳入关于响应的领域知识，而GP组件提供灵活的非参数校正。

一种策略是指定一个已知的趋势（来自某种分析近似），并将一个GPT转换为残差，从而产生一个简单的克里格设置。另一种策略是采用低维参数近似，例如Z分量的线性函数，然后再次将GP输入残差，从而形成通用克里格设置。3.2.3. 协方差核和参数估计协方差函数C（·，·）是克里格模型的关键部分。在实践中，我们通常考虑空间静止或各向同性核，C（z，z）≡ c（z）- z） =σdYj=1g（z- z） j；θj），简化为一维基核g。下面我们使用幂指数核g（h；θ）=exp-|h |θP. Rasmussen和Williams[33，第2章]表示，超参数θjare被称为特征长度标度，可以非正式地视为在响应函数发生显著变化之前，你在输入空间中移动的大致距离。用户指定的powerp∈ [1，2]通常被认为是p=1（指数核）或p=2（高斯核）。拟合克里格模型需要选取核族和超参数σj，θj。两种常用的估计方法是基于上述分布的似然函数的最大似然估计和惩罚极大似然估计（PMLE）。任何一种情况都会导致一个非线性优化问题，以满足θjand过程方差σ。我们也可以考虑贝叶斯克里格法，其中趋势和/或协方差参数具有先验分布，见Helbert等人[22]。我们利用R软件包“Dieckriging”[35]，该软件包允许使用协方差核族的五个选项以及如何估计超参数的几个选项来拟合SK和UK模型。3.2.4. 为了构造一个精确的f（·）仿真器，对采样噪声τ（z）有一个良好的估计是很重要的。通常情况下，建模者事先无法获得这些信息。