用于定价和对冲长寿风险产品的统计模拟器

[2] 这是人口寿命的典型“复杂系统”代表。我们相信，模拟器可以通过在随机动态人口框架内提供人口互动的易于处理的统计表示，显著简化这类模型中的预测。另一类保险应用程序需要功能性回归工具，模拟器可以再次非常有效[20]。一个不同之处是模拟与F（T，Z（·））相关的风险度量，如VaR或TVaR，这需要关注输入空间特定区域的目标替代物。一个出发点是结合重要性抽样的概念，生成一个目标设计D，例如优先集中在F的左尾。参考文献[1]Bacinello，A.，Bi ffis，E.，Millossovich，P.，2010年。基于回归的算法，适用于有保险人担保的人寿保险合同。定量金融10（9），1077-1090。[2] 2012年，纽约州萨尔希市，南卡罗赛尔州，拉瓦内利市，希勒莱特市，北卡罗来纳州本苏姗市，北卡罗来纳州，巴里尤，P。理解、建模和管理长寿风险：关键问题和主要挑战。斯堪的纳维亚精算杂志2012（3），203–231。[3] Bauer，D.，Benth，F.E.，基塞尔，R.，2012年。模拟死亡率的前向面。暹罗金融数学杂志3（1），639-666。[4] Bauer，D.，Reuss，A.，Singer，D.，2012年。基于嵌套模拟的偿付能力资本要求计算。ASTIN公告42（02），453-499。[5] 布思，H.，缅因州唐纳德，J.，史密斯，L.，2002年。在可变死亡率下降的情况下应用Lee-Carter。人口研究56（3），325–336。[6] 博耶，M.M.，斯滕托夫，L.，2013年。如果我们能模拟它，我们就能确保它：一个长寿风险管理的应用程序。保险：数学与经济学52（1），35-45。[7] 布罗迪，M.，杜，Y.，莫阿莱米，C.C.，2011年。

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[10] 世卫组织利用CMI数据对几种死亡率模型进行了全面比较。APC-Lee-Carter模型（由Renshaw和Haberman[34]引入）将对数死亡率建模为对数m（t，x）=β（1）（x）+β（2）（x）κ（2）（t）+β（3）（x）γ（3）（t）- x） 。（M2）人们可以将β（1）（x）、κ（2）（t）和γ（3）分别解释为年龄、周期和队列效应。Lee和Carter[28]提出的原始模型是γ（3）=0的特例。年龄效应β（k）（x），k=1，2，3是根据历史数据估计的（非参数），而周期和队列效应则被视为随机过程。在[28]中的原始提议中，周期效应κ（2）被假定为遵循随机游动（即离散时间的单位根AR（1）），κ（2）（t）=κ（2）（t）- 1) + u(2)+ σ(2)（2） 式中，u（2）是漂移，σ（2）是波动率，以及(2)~ N（0，1）i.i.d.是噪声项。或者，凯恩斯等人[10]提到，ARIM A模型可能提供更好的拟合，特别是基于2007年CMI数据集的κ（2）的拟合anARIM A（1,1,0）过程。对于队列效应，Renshaw和Haberman[34]建议对γ（3）（t）使用ARIM A模型-x） )；凯恩斯等人[10]建议使用ARIM A（0,2,1）或ARIMA（1,1,0）。Renshawand Haberman[34]和Cairns等人[10]都认为γ（3）独立于κ（2）。该模型存在可识别性问题，一组约束可能是xtκ（2）（t）=0，Xxβ（2）（x）=0，Xx，tγ（3）（t）- x） =0，和xxβ（3）（x）=1。凯恩斯、布莱克和多德[9]（CBD）从不同的角度提出了q（t，x）=1的模型- P（Z（0）；t、 1，x），即x岁的人在t年的死亡概率。也就是说，他们使用logit q（t，x）=β（1）（x）κ（1）（t）+β（2）（x）κ（2）（t），（M5），其中logit（y）=logy1-Y.如果我们让nabe计算数据集中可用于拟合的年龄数，并取xAve=n-1aPixi，CBD模型（M5）的常用参数化为β（1）（x）=1，β（2）（x）=x- 哈维。

（A.1）在这些假设下，不存在可识别性问题。附录B.分析估算的证明附录B.1。引理1的证明。由于噪声项ξ（k）（u）对于u6=s独立于κ（s），对Z（s）={κ（1）（s），ξ（2）（s）}进行条件期望，并根据增量κ（u）进行写入- κ（u）- 1） 产量[κ（t）- κ（s）|Z（s）]=tXu=s+1E[κ（u）- κ（u）- 1） |Z（s）]=tXu=s+1Ehξ（1）（u）+ξ（2）（u）- ξ（2）（u）- 1） |Z（s）i.（B.1）根据我们对u6=s+1Ehξ（1）（u）的独立性假设|Z（s）i=u（1）（B.2）Ehξ（2）（u）- ξ（2）（u）- 1） | Z（s）i=u（2）p- u（2）p=0。（B.3）对于u=s+1，Ehξ（2）（s+1）- ξ（2）（s）| Z（s）i=u（2）p- ξ（2）（s）。（B.4）结合（B.1）-（B.4），我们得到[κ（t）| Z（s）]=κ（s）+（t- s） u（1）+u（2）p- ξ（2）（s）。（B.5）附录B.2。引理2的证明。由于κ具有趋势u，E[κ（t）-κ（t-1） ]=u，并且使用条件独立性，我们得到，E[κ（T+T）| Z（T）]=κ（T）+uT.（B.6）对于协整项S（T），期望值满足[S（T+T）| Z（T）]=u+φ（E[S（T+T）]- 1） | S（T）]- u) . （B.7）以上给出了t7的递推方程→ E[S（T+T）| Z（T）]，初始条件E[S（T+0）|Z（T）]=S（T），可解为yieldE[S（T+T）|Z（T）]=u（1- φt）+φtS（t）。（B.8）最后，使用κ（t）=κ（t）- S（t）和（B.6）与（B.8）的结合导致toE[κ（t+t）| Z（t）]=κ（t）+ut-u(1 - φt）+φt[κ（t）- κ（T）].如你所愿。附录B.3。ξ（1）（t，s）引理3的证明，κ（1）与带漂移的随机游动没有区别，因此我们有[κ（1）（t）|κ（1）（s）]=κ（1）（s）+u（t- s） ，s≤ t、 接下来，我们对（42）的两侧进行期望，以获得递归关系E[κ（2）（t）|Z（s）]=（1+φ）E[κ（2）（t）- 1） | Z（s）]- φE[κ（2）（t）- 2） |Z（s）]（B.9），其中Z（s）={κ（1）（s），κ（2）（s），κ（2）（s）-1)}. 方程（B.9）是t中的一个递归关系，其一般解[κ（2）（t）|Z（s）]=cφt+c，（B.10），其中常数c有待确定。

插入初始条件cφs+c=E[κ（2）（s）|Z（s）]=κ（2）（s）和（B.11）cφs+1+c=E[κ（2）（s+1）| Z（s）]=（1+φ）E[κ（2）（s）- φκ（2）（s）- 1） |Z（s）]=（1+φ）κ（2）（s）- φκ（2）（s）- 1). （B.12）并求解c，cwe得到c=φ1-sκ（2）（s）- κ（2）（s）- 1)φ - 1，c=φκ（2）（s）- 1) - κ（2）（s）φ- 最后，结合（B.13）和（B.10），我们得出（44）。