财务努森数：连续价格动态和

一般来说，当γ（Qj，t）<0时，新注入的极限顺序对j=+放低，对j=- 在相应的竞价区域中，价格高于之前的最佳价格。B.累积极限阶的性质s作为深度的函数，研究累积极限阶的一些性质，直到深度γ，Vγ（γj，t）由等式（4）定义，在两侧j=+和-. 图2（a）显示了vγ（γ+，t）的时间演化（其中t（=nt） ）表示γ=0、10、10（分别为红色、绿色和蓝色）。虽然时间序列f或γ=0有许多脉冲状峰值，但γ=10和10的峰值似乎表现得像随机游走者。为了判断这些时间序列的平稳性，研究了这些时间序列的功率谱。在图2（b）中，功率谱以对数刻度显示（颜色代码与图2（a）中相同）。用幂律S（ω）逼近给定的谱~ 1/ωα，回想一下，在小ω（大倍）范围内大于1的值α诊断为非平稳性。对于γ=0，我们观察到α接近于0，相应的时间序列可视为平稳的。相反，对于γ=10和10，α≈ 2.信号处理类似于随机游动的非平稳时间序列。这种非平稳性意味着，作为深度函数的平均极限阶结构是没有意义的。深度γ=0时的限价订单数量是固定的，这意味着以最佳买入价和卖出价下的限价订单可以具有明确的分布和时间依赖性结构。

相比之下，大深度极限阶的累积数量遵循类似于随机游动的动力学，并且是非平稳的，这一事实意味着第一个近似值是阶数作为随机加法，取消和执行没有明显的聚合策略，以防止totalorder book累积订单，就像做市商试图管理和限制其库存规模的策略一样。尽管如图2（b）所示，限制指令累积数（等式（4））的时间序列是非平稳的，但我们检查了等式定义的增量。（5） （6）在弱意义上是静态的（一阶矩和自方差不随时间变化）。这使我们能够研究在给定的时间间隔内，由于γ深度的新注入、取消和执行的订单相对于价格变化而导致的限额订单的配置变化。让我们用cor（A（t；k）定义两个变量A（t）和b（t）之间的粗粒度互相关函数t） ，B（t；k）t） )≡σAσBh（A（t；k）（t）- hAi）（B（t；k）（t）- hBi）i，（7）其中hAi和σ表示变量a的平均值和标准偏差（变量B也是如此），以及a（t；k）t） 由a（t；k）给出（t）≡kXs=0ktA（t+s）t） 。（8） 其中s和k是整数。在时间尺度k上执行的反向颗粒化操作（8）t使人们能够在很短的时间尺度上消除锯齿形和噪声行为，以提取稳健的大规模相关系数（7）。

注意A（t+k）TKt） A（t；k）之后t） 因为我们不使用相同的数据点来估计两个粗颗粒变量。替换v（t；k）t） 及Nγ（γj，t；k）t） 为了（t；k）t） 和B（t；k）t） 在式（7）中，价格变化和深度γ处有限订单数量变化之间的交叉相关系数如图3（a、b、c）所示（a:USD/JPY，b:EUR/USD，c:EUR/JPY）。蓝色和红色的圆圈指向- 和+边。对于这三个市场，我们观察到限价单的配置变化与价格变化的相关性有一个共同的函数形式。特别是，互相关函数在某些临界值γcde处改变符号，定义如下：γ+c≡ Inf{γ>0:Cor（v（t），Nγ（γ，t））<0，Cor（v（t），Nγ（γ+1，t））>0}（9）γ-C≡ Inf{γ>0:Cor（v（t），Nγ（γ，t））>0，Cor（v（t），Nγ（γ+1，t））<0}。（10） 图3（a，b，c）显示γ+c和γ-注意本质上不可区分，确认购买中限制订单簿结构的对称性- 边卖边卖。替换v（t；k）t） ,，Vγ（γj，t；k）t） 为了（t；k）t） 和B（t；k）t） 在等式（7）中，图3（d，e，f）显示了Vγ（γj，t；k）t） 和v（t；k）t） ，其中蓝色和红色对应- 和+方（d:USD/JPY，e:EUR/USD，f:EUR/JPY）。我们可以观察到这些相关函数的最大值Cor（v（t；kt） ,，Vγ（γj，t；k）t） ）发生在之前定义的临界值γ+，-c（9,10）。因此，确定CO（v（t；k）的峰值t） ,，Vγ（γj，t；k）t） ）为γ+，的数值模拟提供了一种方便而可靠的方法，-cfrom the data:γjc=sup{γj>0:|Cor（v（t；kt） ,，Vγ（γj，t；k）t） ）|}。

（11） 图3（d，e，f）中的垂直线显示了γ共获得的f r om（1）的位置：（γ-c、 γ+c）=（18,18）美元/日元（γ-c、 γ+c）=（17,18）欧元/美元（γ）-c、 γ+c）=（22,24）欧元/日元，其中k等于20。这些结果量化了价格增量和限制指令数量变化之间的相关性，作为深度的函数，表达了一种跟随交易者行为的集体趋势。随着价格上涨，他们倾向于以略高于最佳出价的价格重新报价限价订单。三、 KNUDSEN金融市场编号a。金融布朗粒子在之前的著作中已经提到了一个类比，一方面是订单配置和演化，另一方面是相互作用的粒子流。特别是裁判。[41–44]注意物理和金融[14]之间的相似性，即物理中的nParticle碰撞和o r book中记录的交易之间的相似性。在Bak等人的观点[42]中，顺序是粒子，事务是碰撞。在Challet和Stinchcombe的观点[43]中，订单是粒子，提交限制订单是粒子沉积，取消限制订单代表蒸发，交易对应于粒子湮灭。参考文献[36]将此类定性类比推到了定量水平。我们介绍了金融市场订单簿动态的描述，即嵌入在流入、流出和湮灭粒子流中的布朗粒子，如图所示。4.金融布朗粒子（FBP）由黄色圆盘表示，由与时间t存在的不同极限顺序相对应的粒子流体包围。用绿色和橙色着色的垂直虚线表示位置γc从世界上最好的价格- 和+边。射程x--γ-C十、≤ 十、≤ x++γ+cx被称为内部。

范围x>x++γ+cx、 x<x--γ-Cx被称为外层。间隔x+≤ 十、≤ x++γ+cx a ndx-- γ-C十、≤ 十、≤ 十、-被称为“相互作用范围”，在此范围内，FBP与其周围的粒子相互作用。黄色圆圈描绘了金融布朗粒子所占据的空间，其大小为{x+- 十、-}/x、 图4（b）显示了t和t之间发生的构型变化+t、 旁边新创建的物品≥ 0和γ<0）用黑色和灰色表示。湮没顺序显示为白色。向上和向下的彩色箭头表示每个范围内车辆数量的增加和减少，这得到前面图3所示统计分析的支持。图4（c）显示了新的FBP位置和周围颗粒的配置，特别是与x+或x+位置变化相关的市场深度γ的更新-从t到t+t、 在分层订单流体模型[36]中的金融布朗粒子中，正相关系数Cor（v（t；kt） ,，Nγ（γj，t；k）t） ）如图3（a，b，c）（a:USD/JPY，b:EUR/USD，c:EUR/JPY）所示，γ<γ-c（黑色虚线左侧的蓝色曲线）被解释为是由将价格推向+侧的力造成的。对称地，负相关Cor（v（t；kt） ,，Nγ（γj，t；k）t） ）对于γ<γ+c（黑色虚线左侧的红色曲线），被解释为从一个推动价格的力产生的结果- 一边Cor（v（t；k）符号的变化t） ,，Nγ（γj，t；k）t） ）当γ穿过γ+，-C对应于限价指令变化所施加的力的逆转，该力对价格变化方向起阻力作用。B

平均自由程的定义利用上述FBP的理论，我们现在将粒子数的变化与FBP的运动联系起来，FBP的运动由其速度v（t）表示。由新产生的粒子引起的属于内层的粒子数量变化记为ci（t）（>0），由新湮灭的粒子引起的变化记为ai（t）（>0）。内层颗粒数量的变化fji（t）（因此j侧的指数i）定义为fji（t）≡γjcXγ=0Nγ（γj，t）（12）≡ cji（t）- 阿吉（t）。（13） 在图4中，c-i（t）对应于绿色内层的部分。c+i（t）对应于橙色内层的粒子。这些添加的颗粒由黑色特殊标识。如图4所示，a-i（t）和a+i（t）对应于内层绿色和橙色颗粒中被去除的颗粒。这些去除的微粒在内圈以白色表示。那么，fji（t）是来自tto t+的粒子的总流量t、 如图3（d，e，f）所示，fji（t）和v（t）之间的互相关系数取最大可能（绝对）值，而v（t）和粒子数变化之间的相关性将被计算为与γc不同的值γ。事实上，与v（t）具有最高互相关系数的变量fi（t）是从fji（t）推导出来的，其中j=+，- （12） asfi（t）≡ F-i（t）- f+i（t）。（14） 优化ansatzαf的系数α和β-i（t）+βf+i（t）最大化与v（t）的相关性得到的结果在统计学上并不明显优于表达式（14）（对应于α=-β = 1).使用公式（8），我们接下来研究粗粒度变量SFi（t；k）之间的关系t） 和v（t；k）t） 。

图5（a，b，c）显示了这些变量之间存在明确的线性关系，可以用v（t；k）表示t） =L（t；k）t） fi（t；k）t） +η（t；k）t） （15）式中η（t；k）t） 包含独立的噪声项。这里，我们使用k=20。斯洛佩尔（t；k）t） 回归系数的含义是以单位计量的运输系数[x/n] 。在嵌入进、出和湮灭粒子流体中的布朗粒子的物理图像中，L可以解释为订单流体中FBP的平均自由程。实际上，在分子动力学中，平均自由粒子数、碰撞时间τ和短时间“弹道”速度v（碰撞之间）由公式[45]v=Lτ关联。（16） 因为有fi（t；k）t） 持续时间为k的时间间隔内的碰撞t、 通过对持续时间k的时间间隔进行平均得到t） （8），典型碰撞时间（即两次碰撞之间的时间）为τ=ktfi（t；k）t） 。（17） 当以k为单位计算时间时，将（17）放入（16）中得到表达式（15）（不含剩余项）t、 估计L（t；k）t） 从图5（a，b，c）所示的回归中，我们分别得到l（t；k）t） =0.38,0.34,1.49美元/日元，欧元/美元，欧元/日元。因此，平均自由路径取决于市场。正如我们将在下面展示的，金融市场往往表现出不对称行为。这促使我们将（15）归纳为+和的两种不同的线性关系- 侧面：vj（t；k）t） =Lj（t；k）t） fji（t；k）t） +ηj（t；k）t） ，（18）其中j为+或-.C.K nudsen数的定义所有金融市场都以离散的价格增量为特征x和时间戳（对应于我们外汇数据的最小精度时间0.001秒）。因此，问题在于，关于连续随机过程[40]的标准财务数学公式是否成立，以及在什么条件下成立。

考虑到流体是由离散分子构成的这一事实，在物理学中，关于流体动力学的连续Navier-Stokes方程的应用条件也经常出现类似的问题。在物理学中，这个问题是通过引入Knudsennumber Kn来解决的，Knudsennumber Kn被定义为流体粒子的平均自由粒子数与特征分子尺度的比值。当Kn充分小于1时，连续极限是动力学的良好近似值。类似地，我们对分层订单簿中金融布朗粒子的模型也提供了定义和估计相应Knudsen数的可能性，该数是给定市场的特征。因此，我们首次获得了解决量化问题的新可能性，即使用连续随机过程来模拟金融价格动态是否合理。我们引入了平均自由路径Ljin表达式（18）。作为特征标度，使用代表性长度标度γjc来表征相互作用范围是很自然的，如图F-ig所示。(4). 然后，考虑到可能的不对称情况，给定金融市场的Knudsen数Kn由KNJ定义~Ljγjc。（19） 财务努森数的对称形式由KN表示~L+γ+c+L-γ-C. （20） 对于它的经验确定，我们估计了L（t；k）t） 在时间窗口[t]中使用最小二乘法- （S·k）- 1)t、 t]，其中包含S点。反过来，我们发现特征标度γcis随时间变化是稳定的，因此我们可以根据图3（d，e，f）中解释的程序在整个周期内使用单个值。图5（a，b，c）显示了平均自由程L（t）的平均值，但这并不意味着L（t）是常数。我们发现事实上L（t；kt） 在较短的时间内（涉及S数据），p点取决于时间，因此Kn（t；k）t） 成为一个时间相关变量。D

连续时间形式主义有效性的条件：Kn（t；k）t） <θKnFig。图6显示了FBP位置x（T）的时间演变，以及如上所述使用k=4和S=100在三个市场中估算的Knudsennumber Kn（T），作为日历时间T的函数。我们使用日历时间来比较交易不总是同时发生的市场。三种货币分别为美元/日元、欧元/美元和欧元/日元。每个货币对的x（t）和Kn（t）使用相同的色码。图6（d）中的水平直线对应于所示时间段内努森数的平均水平hKn（T）i。对于美元/日元、欧元/美元、欧元/日元，K努森数的平均值分别为{0.046、0.039、0.14}。黑色虚线水平线表示0.1级，这是通常认为有效的连续极限以下的典型阈值。因此，第一个结论是，对于美元/日元和欧元/美元货币对来说，持续限额似乎总体上足够了，但对于欧元/日元货币对来说，则更值得怀疑。对于欧元/日元对，这是因为，FBP（中间价格值）的位置在少量粒子（限制指令）的影响下发生变化，这使得离散性相关。但即使是美元/日元和欧元/美元对，人们也可以观察到，Kn（t）j的涨势有时会出现，表明对价格动态的持续描述变得不正确。考虑图7，比较面板（a）中美元/日元汇率x（t）（FBP的位置）和面板（b）中克努森数的时间序列。该时间段包括一个价格波动较大且努森数高于0.1阈值的制度（用红色表示），以及另一个价格波动较小且努森数远低于0.1阈值的绿色制度。

图7（c，d）放大了这两个时期x（t）的动力学。E.平均自由程和粒子密度之间的关系我们现在根据经验证明，当相互作用范围内的粒子数（极限阶数）很小时，就会出现高努森数，这与连续近似分解的物理解释一致。j侧内层粒子总数Ij（t）由Ij（t）=γjcXγ′j=0Nγ（γ′j，t）给出。（21）我们在S个数据点上平均Ij（t），hIj（t；k）t） iS=S·k-1Xt′=0S·ktIj（t）- t′t） kt、 （22）其中t′是整数索引。我们还将在以后的其他变量中使用S过去时间瞬间的时间平均值。F IG。8（a）证明Knudsen数Kn与平均粒子数成反比（hI+is+hI）-S=100个数据点上两侧平均的iS）/2，Kn（t；k（t）~ 2κhI+（t；k）t） 你好-（t；k）t） 是}-1、（23）对于三种货币对（美元/日元、欧元/美元和欧元/日元）。在表达式（23）中，我们使用表达式（20）表示Kn（t；kt） 在对称情况下，因此平均数（hI+为+hI-是两个面上的粒子数。我们用最小二乘法估计κ=0.72。给定一个阈值θKn（通常设置为0.1），超过该阈值，连续近似被视为不可靠，离散效应开始变得重要，那么连续近似的有效性条件Kn（t；k）t） <θKn（24）转化为（hI+（t；kt） 你好-（t；k）t） iS）>κ/θKn，（25），即每侧内层的平均颗粒数应至少为κ/θKn=7.2（对于θKn=0.1）。综合两个方面，这意味着至少14个粒子应该存在于内层，以保持连续近似。我们注意到，参考文献[46]发现，股票在最佳报价时的平均限价订单数量与价格变化之间存在类似的关系。