财务努森数：连续价格动态和

实际上，表达式（15）和（23）意味着v（t；k（t）~ （hI+（t；k）t） 你好-（t；k）t） 是}）-1.关系式（23）可以概括为包括不对称情况，如下所示：（t）~κjhIj（t；k）t） 是的。（26）图9显示等式（26）适用于+和- κ+=0.71和κ-= 0.69，表现出几乎对称的行为。将（19）和（26）产量相加（t）~ κj嗨（t；k）t） 是γc吗-1.（27）变量hIj（t；k）t） iS/γcis是内层粒子数与该层大小的比值。因此，它是内层粒子的（线性）密度ρo。因此，方程式（27）写道，方程式（15）中定义的平均自由程与粒子密度成反比，这正是流体动力学理论[45]所期望的。回想一下推导这种反向关系的简单参数。在长度和横截面为σ的圆柱体中，有ρLσ部分。通过定义，如果碰撞的横截面为σ，则平均自由程L表示有一个粒子要碰撞。因此，L由ρLσ确定~ 1，这导致了L~ 1/ρσ，其形式与（27）相同，ρ与hIj（t；k）的Heidentificationt） iS/γc。这进一步证实了极限阶流体中金融布朗粒子模型的有效性。此外，系数κjc可以解释为FBP与其周围极限阶粒子碰撞的反截面。把所有这些放在一起，公式（18）可以推广到给出j侧速度asvj（t；k）的依赖关系t） =γjc·κjhIji（t；k）t） iS·fji（t；k）t） +ηj（t；k）t） 式中ηj（t；k）t） 这是随机噪音。式（28）应力：内层J侧的FBP速度与内层该侧的分子数成反比。

这个表达式捕捉到的结果是，当FBP两侧的粒子数发生不对称变化时，总速度，{v+（t；kt） +v-（t；k）t） }/2将采用非对称值，从而导致定向运动。在下一节中，我们将记录此类不对称市场状态的示例。四、 不对称粒子耗尽率、努森数准则和FBPA的大速度。不对称粒子分布率表达式（28）的推广（这也使关系（15）更精确）可以解释+和+上的不对称粒子分布- 两边的读数在平均值hv（t；k）上t） iS={hv-（t；k）t） iS+hv+（t；k）t） 是}≈γ-c·κ-你好-i（t；k）t） iShf-i（t；k）t） 是吗-γ+c·κ+hI+i（t；k）t） iShf+i（t；k）t） 是吗, （29）其中γjc和κjare对于j=+和j=-. 剩余项ηjis为平均值。让我们考虑一下当速度v-取一个正值，由完全耗尽内层粒子数的事务或取消引起。我们想量化清除内层粒子数量所需的平均速度。为此，我们测量变化率hfji（t；kt） i将内层粒子数的单位时间乘以总平均数hIji（t；k）t） 内层中的iSof颗粒，均位于j侧λj（t；k（t）≡hfji（t；k）t） 石井（t；k）t） 是的。（30）与表达式（28）和（29）相比，可以看出λj（t；k）t） 与j侧的时间平均速度成正比，直到常数参数γjc和κj。通过定义，λj（t；kt） 是j侧内层中粒子数量的变化率。在连续极限下，这转换为int-oIdIdt=λ。对于λ<0的情况，用ln 2/|λ|滴答声将内层的粒子数减半。当某一价格水平的商品数量完全耗尽时，价格会跳到下一个水平。

发生这种情况的典型时间尺度是~ 1/λj（t；k）t） 。图10显示了λ的二维联合概率密度分布-λ+。近似椭圆形状符合二元高斯分布，具有负互相关-通过椭圆长轴沿反对角线的倾斜可以看到0.58。这意味着λ-λ+倾向于使用相反的符号。当粒子堆积在一边时，它们往往会在另一边消失。这体现了购买订单和取消订单的暂时主导地位。由于两侧的变化率不平衡，经常出现FBP的不对称方向运动，这是由两侧的克努森数变化的不对称性引起的。由于大的对称损耗率（λ的不平衡-λ+通常会导致强烈的定向价格波动，量化这种情况发生的频率很有用。作为基准，图10（b）显示了θ的累积分布，定义为所有时刻的总和，其中λ和-< θ和λ+<θ同时出现。我们发现，在5%的时间序列中，λ-λ+小于θ0.05=-0.044. 在这种速度下，粒子数在大约6.8个滴答声（平均10.9秒）内衰减2倍。然而，当λ-< θo或λ+<θ，但并非两者都在一起，表示一侧存在强烈的不对称粒子耗尽。B.非对称颗粒损耗率和努森数的联合条件为了检测异常市场区域，根据图10（a）中记录的负相关系数，我们预计损耗率通常一侧较高，另一侧较低或平均。图11（a）显示了当λ+<θ0.05=-0.044.

图11（b）说明了这一点，以及当λ-< θ0.05= -0.044和同时Kn+（分别为Kn-) 大于θKn=0.1。在该分析中，上述条件在时间t被认为对相应时间间隔[t，t]内的分析有效- （S·k）- 1)t] ，k=2，S=100。图11（c）显示了不对称Knudsen数Kn+和Kn的时间依赖性-黑色水平虚线表示阈值水平θKn=0.1。图11（d）显示了相应的速率λ+（t）和λ的时间依赖性-（t） 粒子在每一侧的变化。在t=125,00左右，美元/日元汇率剧烈下跌。在今年秋天之前，伴随着全球范围内极低的锗消耗率- 边（λ）-<-0.044），如图11（b）中青色线的存在以及Knudsen数Kn+和Kn的大幅增加所示-如图11（c）所示。这表明，内层中的部分粒子数由于交换和消去的增加而减少。λ-（青色）变为负值，通常低于阈值θ0.05=-0.044，而λ+（红色）仍为正值，表明内层粒子数的耗尽速度出现了强烈的不平衡，有利于- 一边t=127000后，美元/日元汇率反弹，在+端（λ+<-0.044），如图11（b）中的红线所示，t=127000。图12显示了在图11中检测到的异常时间内的颗粒结构。图12（a）显示了美元/日元汇率x（t）（黑色）的整个时间序列以及红色的汇率崩盘。图12（b）绘制了时间序列x-（t） （蓝色）和x+（t）（红色）在面板（a）中以红色表示的时间间隔内。

图12（c）、（c）和（c）显示了在图12（b）所示的三个时间点，分别位于t=124000（c）、t=126000（c）和t=126803（c）时，以最佳价格计算的颗粒数量的结果。我们分别用蓝色表示j=- 红色表示j=+。图12（d）显示了粒子的累积数Vγ（γ-, t） （蓝色）和Vγ（γ+，t）（红色）作为γ的函数，在有限订单中。当t=12400 0（c）时，当汇率开始下降时，FBP前面的一堆粒子对向下移动产生了阻力。在汇率下降期间，集中在特定时间t=126000（c）时，表面上的粒子数- 在时间t=124000（c）时，side的价格下降至约1/8，反映了向下的d价格运动- 堆积在侧面的颗粒导致了- 一边最后，在时间t=126803（c）时，表面上的粒子数- 一方完全消失了。换句话说，市场上没有交易者-一边表面上分子的总数- 图12（d）中所示的和+面，作为限制订单簿中深度的函数，表明- 在飞机坠毁及其爆炸期间，侧面对数刻度保持大致相同。这证实了颗粒数量的变化对崩盘期间的价格信息有很大影响。从理论上讲，克努森数- 侧边在底部t=126803（c）处完整。这是一种非常罕见的情况，市场上没有美元买家，也没有人可以再出售美元。市场功能的暂停发生在一个工作小时的中间。

上述分析表明，Knudsen数的高值和内层两侧粒子数变化的不对称特性的发展可以在早期检测到这种特殊事件。V.结论从金融市场订单簿的动力学描述开始，我们将布朗粒子嵌入到流入、流出和湮灭粒子的流体中[36]，通过独立地给出每一个侧面（买入和卖出）的速度模型，对该模型进行了推广。改进后的模型基于内层粒子的时间平均数III及其每单位时间的变化（指数i代表“内层”）。内层是由颗粒分层的特定固体属性定义的，其作为订单簿深度的函数，由价格速度和颗粒数量变化之间的相关性揭示。这使我们得以引入金融布朗粒子（FBP）运动的努森数及其对称形式（在买卖双方）。以前没有考虑过，不对称的努森数在金融中至关重要，以便检测不对称的价格变化。我们甚至发现了罕见的区域，当没有粒子站在一侧时，因此相应的不对称Knudsen数原则上是有限的，如图12所示。这种情况与一种异常的市场机制有关，比如金融崩溃，在这种情况下，市场停止运行。通过测量Knudsen数，我们已经证明，可以通过连续随机过程来描述市场动态的条件。

尽管连续体公式通常毫无疑问地适用于美元/日元和欧元/美元汇率等大型流动性市场，但我们已经证明，当克努森数如此之高，以至于离散粒子效应占主导地位时，存在一些机制，例如在市场压力和崩盘期间。此外，我们发现，欧元/日元市场在大部分时间都以相当大的努森数运行，因此应修改连续公式。我们还发现Knudsen数与内层粒子数（极限阶数）成反比。这确定了连续配方分解的条件，即当颗粒数量太小，无法确定局部平均行为时。事实上，小数量的粒子以大的努森数转换，也就是说，平均自由程比典型的粒子尺寸大。如果可以观察到，内层的限价指令数量可以很好地指示金融市场的稳定性和方向性运动。最后，我们记录了买卖双方粒子数量消耗率的不平衡，明显出现了与剧烈的方向性价格变化相关的高努森数。这个指标比大众对称性更有用。有了这些指标，我们可以在即时阶段检测价格运动的方向，而波动性对价格方向是盲目的。[1] S.Chapman和T.Cowling，《非均匀气体的数学理论》，非均匀气体的数学理论（剑桥大学出版社，1990年）。[2] 克努森先生，安。菲斯。（莱比锡）28、75（1909）。[3] E.Cussler，Diffusion:流体系统中的传质，剑桥化学工程系列（剑桥大学出版社，1997年）。[4] J.T.帕丁和A.A.路易斯，物理系。牧师。E 74031402（2006）。[5] T.Niimi，H。

Mori，H.Yamaguchi，an d Y.Matsuda，新兴多学科流体科学杂志1213（2009）。[6] 吴志强、E.S.Oran和R.S.Sinkovits，《热物理与传热杂志》11497（1977）。[7] V.库马兰，J.流体机械。561, 43 (2006).[8] W·H·费塞尔、A·T·康利斯克、S·达塔、J·M·马吉斯特雷利、J·T·格拉斯、A·J·弗莱斯曼、安得州。罗伊，微流体纳米流体10425（2011）。[9] J.Ghazanfarian和A.Abbassi，Phys。牧师。E 82026307（2010）。[10] P·W·范德帕斯，《历史科学》第13卷，第127页（1971年）。[11] A.爱因斯坦，安。普希斯。（莱比锡）17549（1905）。[12] 斯莫鲁乔夫斯基先生，安。菲斯。（莱比锡）21756（1906）。[13] L.Bachelier，《高等师范学院科学分析》第17、21页（1900年）。[14] D.索内特，进步党众议员。菲斯。77, 062001 (2014).[15] R.C.默顿，贝尔。J.经济。4, 141 (1973).[16] B.B.Mandelbrot，J.Business 36394（1963年）。[17] M.Takayasu，T.Mizuno和H.Takayasu，Physica A 370，91（2006）。[18] 渡边谦，H.高安和M.高安，Phys。牧师。E 80056110（2009）。[19] Y.Yura、H.Takayasu、K.Nakamura和M.Takayasu，《统计计算与模拟杂志》842073（2014）。[20] T.Bollerslev，《计量经济学杂志》31307（1986）。[21]L.Fabrizio和F.J.Doyne，《非线性动力学与计量经济学研究》8，1（2004）。[22]J.-P.Bouchau d、Y.Gefen、M.Potters和M.Wyart，Quant。财务部。4, 176 (2004).[23]P.Owiecimka，J.Kwapie和S.Drod，Physica A:统计力学及其应用347626（2005）。[24]J.Kwapie和S.Drod，P Physics Reports 51515115（2012），复杂系统的物理方法。[25]F.LILLO和J.DOYNE FARMER，《波动与噪音通讯》05，L209（2005年），http://www.worldscientifi c.com/doi/pdf/10.1142/S0219477505002574。[26]V.菲利莫诺夫和D.索内特，物理系。牧师。E 85056108（2012年）。[J.Orecke，J.Laderie，P\'。

布乔德，菲斯。牧师。X1021006（2011年）。[28]I.Mastromateo，B.T\'oth和J.-P.Bouchaud，Phys。牧师。E 89042805（2014年）。[29]V.Plerou，P.Gopikrishnan和H.E.Stanley，Phys。牧师。E 71046131（2005年）。[30]A.Gar`eche，G.Disdier，J.Kockelkoren和J.-P.Bouchaud，Phys。牧师。E 88032809（2013年）。[31]T.F.C.-A.L.Fr\'ed\'er ic Abergel，Jean-Philippe Bouchaud和M.Rosenbaum，《市场微观结构：面对多种观点》，威利金融和ce系列（西塞克斯州奇切斯特：威利，2012）。[32]Z.Eisler，J.-P.Bouchaud，and d J.Kockelkoren，数量金融12（2011），10.1080/14697688.2010.528444。[33]R.Huang和T.Polak，“龙虾：限价订单重组书”（2012），柏林洪堡大学商业与经济学院论文讨论会，http://lobster.wiwi.hu-berlin.de/Lobster/LobsterReport.pdf.[34]R.Kubo，众议员P rog。菲斯。29, 255 (1966).[35]H.Mor i，Prog。理论。菲斯。33, 423 (1965).[36]Y.Yura，H.Takayasu，D.Sornette和M.Takayasu，Phys。牧师。莱特。112, 098703 (2014).[37]D.索内特，欧元。J·P·希斯。11, 334 (1990).[38]H.Takayasu和K.Hiramatsu，Phys。牧师。莱特。53, 633 (1984).[39]J.C.赫尔、期权、期货和其他衍生工具与D erivagem CD（普伦蒂斯·霍尔，2008年）。[40]M.Jeanblanc、M.Yor和M.Chesney，《金融市场的数学方法》（斯普林格，斯普林格金融系列（多德雷赫特，海德堡，伦敦，纽约），2009年）。[41]S.Maslov，Phys ica A 278571（2000）。[42]P.Bak，M.Paczuski和M.Shubik，Phy sica A 246430（1997）。[43]D.Challet和R.Stinchcombe，Physica A 300285（2001）。[44]D.L.C.Chan、D.Eliezer和I.I.Kogan，eprint arXiv:cond mat/0101474（2001）。[45]Y.Sone，基础理论与流体动力学（Birk h–auser，2002）。[46]R.Cont，A.Kukanov和S.Stoikov，《金融计量经济学杂志》第12期，第47期（2013年）。图1。

对订单中包含的信息进行编码的变量的示意图表示和定义。（a） 时间t时订单簿的配置显示在水平轴x和垂直轴N（x，t）上。蓝色圆圈对应的是市场上的限价指令- 侧边和红色圆圈对应+侧的限制指令。蓝色虚线表示市场上最好的价格- 侧边和红色表示+侧的最佳价格。（b） （a）中的配置表示在水平γjaxis和垂直Nγ（γ，t）轴上。在水平轴下，数字表示深度值。（c） 时间t+时订单簿的配置t显示在水平γ和垂直轴Nγ（γ，t+t） 。新注入的订单在黑色f或γ中着色≥ 0或灰色表示γ<0，而取消或执行的订单为白色。（d） t+上限额订单数量的差异t和dt显示在水平γ轴和垂直γ（γ，t）轴上。100000 105000 110000 115000 120000吨（a）-3-2-1ω（b）ω-1ω-2ω图2。研究作为时间e函数的极限指令数的平稳性：（a）在γ=0（红色）、γ=10（绿色）和γ=10（蓝色）时，深度γ之前极限指令的累积数Vγ（γ，t）作为时间t的函数。（b） 面板（a）三次序列的功率谱Sγ（ω）显示为角频率ω的函数，颜色代码与pan el（a）中的颜色代码相同。在长期尺度下（ω<10-2） ，我们可以观察到Sγ=0（ω）变为F，即指数（见本文）收敛到0，d诊断为平稳行为。