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（A.4）通过求解方程，参数A和b可以由指数u和τQ表示，A=uΓ（2/u）Γ（1/u）τQ，b=Γ（2/u）Γ（1/u）τQ（A.5）拉伸指数分布的似然函数可以写成L=nYiaτQexp[-（bτQxi）u]，（A.6）取两边的对数，我们有ln L=n ln A+n lnτQ-nXi（bτQxi）u，（A.7）通过将等式（A.5）提交到等式（A.7）中，拉伸指数分布的对数似然函数只有一个变量u。我们的目的是找到与ln L的最大值相关的u值。在这里，很难通过取ln L相对于u的导数来获得表达式。因此，我们只需将u从0变为5，以10为步长来估计ln L的函数值-6.我们用最大Lnl作为最大似然估计的解来定位u。附录A.2。幂律分布的指数截断与拉伸指数一样，我们使用∞f（x）=1安德烈∞xf（x）=1以减少参数的数量。对于第一个积分，我们有∞f（x）dx=Z∞cτ-γQx-γ-1e-kτQxdx=1，（A.8）设y=kτQx，我们有x=ykτQand dx=dykτQ。然后，我们得到z∞cτ-γQx-γ-1e-kτQxdx=Z∞cτ-γQykτQ！-γ-1e-ydykτQ=ck-γZ∞Y-γ-1e-y=ck-γΓ(-γ) = 1. （A.9）对于第二个积分，我们有z∞xf（x）dx=Z∞xcτ-γQx-γ-1e-再一次，我们让y=kτQx，我们有x=ykτQand dx=dykτQ。然后，我们得到z∞xcτ-γQx-γ-1e-kτQxdx=Z∞cykτQτ-γQykτQ！-γ-1e-ydykτQ=ck1-γτQZ∞y（1-γ)-1e-y=ck1-γτQΓ（1）- γ) = 1.（A.11）通过求解这两个方程，我们得到了thatk=Γ（1）- γ)Γ(-γ） τQ=-γτQ，b=-γτQ！-γΓ(-γ） （A.12）幂律分布与指数截断的似然函数可以写成L=nYicτ-γQx-γ-1e-kτQx，（A.13）取两边的对数，我们有ln L=n ln c- γn lnτQ- （γ+1）Nsiln xi-nXikτQxi（A.14），通过将公式（A.12）提交至公式。

（A.14），具有指数分布的幂律分布的对数似然函数只有一个变量γ。我们的目的是找到与ln L的最大值相关的γ值。在这里，很难通过ln L对γ的导数获得表达式。因此，我们只需通过将u从-1更改为0（步长为10）来估计ln L的函数值-6.我们用极大似然估计的解来定位γ。