基于重现期的大波动性预警

请注意，在下面的分析中，我们只列出了按比例计算的复发间隔。图2显示了000001和900956两种股票标度重现期区间的五个候选分布的经验分布和拟合结果。请注意，在分布的中心区域，所有数据都与经验数据一致。还要注意，与任何其他候选分布相比，q指数分布更适合所有τqt的分布。为了确定哪个分布的性能最好，我们利用KS统计数据来量化经验分布和拟合分布之间的一致性。图3（a）和3（d）显示了五个候选分布相对于两个股票的平均重现时间τq的KS统计。对于股票000001，q指数分布优于其他分布，并且对所有τq具有最小的KS统计。对于股票900956，当τq≤ 当τQ>60时，强度指数分布最好。图3显示了（b）股票000001和（e）股票900956的五个候选分布的特征参数与平均区间τqf的关系图。请注意，五个候选分布的所有拟合参数与平均重现时间τq无关，并呈水平线。这表明复发间隔的分布不受阈值Q10的影响-210-110010110210-610-310010310620254060810100（a）xp（x），f（x）EmpDisStrExpPowExpqExpWBL2WBL310-210-110010110210-610-310010310620254060810100（b）xp（x），f（x）EMPDISSTRExpPOWEXPQEXPWBL2WBL3图2：（彩色在线）。两种股票的标准化重现期分布图。开放标记是经验分布，实线是五个候选分布的匹配。

为了获得更好的可见性，τQ=25、40、60、80和100的曲线分别垂直移动10、100、1000、10000和100000。（a） 股票000001。（b） 股票900956。当τQis在[20100]范围内时。图3（c）和3（f）显示了拟合参数λx的曲线图，定义为τQλ，Q是τQ的函数。请注意，当τQ>40时，股票000001和股票900956的λx的波动范围并不宽。这些结果表明，在不同阈值下，波动性重现期存在标度行为。我们的目标是找到一个能够近似重现时间分布的分布。最好的候选分布将是能够提供fit的准确性和易于估计危险函数W（t）的分布|t） 。请注意，指数衰减的幂律分布为所有股票提供了最大的KS统计数据，三参数威布尔分布的KS统计数据较少，但需要估计太多的参数。这两种分布不在候选列表中。因为对于75.7%的fits，q指数分布具有最小的KS统计体，所以我们使用它来捕捉重现间隔的分布。即使是不是最小的KS统计体，q指数仍然可以很好地近似重现时间分布。q指数分布也非常有用，因为它允许推导危险函数W（t|）的分析公式t） 根据q指数公式。4.3. 关于每个股票和每个τq值的分布参数行为，我们用q指数分布拟合相应的标度重现时间x，并估计分布参数q和λx。

为了定量检查标度行为，我们验证同一股票的参数q和λX是否与τqf无关，以及同一τq的不同股票的参数q和λX是否相同。对于每个股票，我们线性回归拟合参数q和λX相对于τq。尽管对于qvsτq我们发现最大绝对斜率为0.006，所有股票的平均斜率为0.006(5.68 ± 7.77) × 10-4.当拟合λxvsτQ时，我们没有观察到所有股票的可比小斜率。我们发现945个股票的绝对斜率<0.006，这是q对τq的最大绝对斜率。所有股票的斜率最大值为0.439，λxvsτq的平均斜率为0.0068±0.0213。这些结果表明，参数q与所有股票的平均重现时间τqf无关，参数λxis与一半股票的τqf无关，这表明，在中国市场（945/1891）的一半股票中，存在不同τq值的重复间隔中的标度行为≈ 50%).由于q值不依赖于τq，我们对每个股票的不同τq值的估计q进行平均，并在图4（a）中绘制q的平均值。请注意由两个阴影区域分隔的三个白色区域。从左到右的五个区域分别代表深圳市场的A股、深圳市场的B股、深圳市场的创业板、上海市场的A股和上海市场的B股。请注意，有两组股票，一组hqi值相对较小，另一组hqi值大得多。hqi规模较小的股票在市场上交易的时间不到三年。图中的面板。

4（b）显示了一个图20 40 60 80 10000.050.10.150.2（a）τQKS StrExpPowExpqExpWBL2WBL320 40 100-1.-0.500.511.5（b）τQu，γ，Q，ζ20 40 60 80 10000.71.42.12.83.5（c）τQq，λx Qλ20 40 80 10000.050.10.150.2（d）τQKS20 40 100-1.-0.500.511.5（e）τQu，γ，Q，ζ20 40 60 80 10000.511.522.5（f）τQq，λx图3：（在线彩色）。两种股票的拟合结果图。（a-c）股票000001。（d-f）库存900956。（a，d）关于平均区间τQ的KS统计图。KS统计用于描述经验分布和拟合分布之间的一致性。（b，e）比较五个候选分布的特征拟合参数。（c，f）关于hqi频率τQ的拟合参数λx=τQλ和Q的曲线图，其中hqi处存在显著峰值≈ 1.3，对应于大q组股票的QF平均值。还要注意的是，在q处有一个小的峰值≈ 1.1，这是小q组中股票的q平均值。由于样本中一半股票的拟合参数λxo取决于τQ，我们绘制了所有股票的λxo频率，以获得不同的τQ值[见图4（c）]，而不是平均每个股票的λxo不同的τqf。请注意，λxD的分布曲线在不同的τQ值上显示相同的模式，唯一的区别是，当τQ增大时，分布范围变宽。这进一步表明，拟合参数λxis受平均重现时间τQ的影响。为了确定Q指数参数是否受市场状态（即牛市或熊市）的影响，我们使用移动窗口分析跟踪拟合参数Q和λx的演变。因为交易记录短于三年的股票Q值较小，我们将窗口大小固定为48个月，不包括交易周期小于89个月的股票。

我们还放弃了剩余股票的第一个月交易数据，因为第一个月的记录往往是部分的（即不跨越整个月），新IPO的波动性超过0 450 900 1350 180011.11.21.31.41.51.61.7（a）股票HQI1 1.2 1.4 1.600.020.040.060.08（b）hqifr（hqi）10010110210-410-310-210-1100（c）λxfr（λx）τQ=20τQ=40τQ=60τQ=80τQ=100图4：（彩色在线）。所有股票的估计q和λxof q指数分布图。（a） 不同股票的拟合参数q的曲线图。共有五个区域，三个白色区域由两个黑色区域隔开。从左到右，第一个区域代表深圳市场的A股，第二个区域代表深圳市场的B股，第三个区域代表深圳市场的创业板股票，第四个区域代表上海市场的A股，第五个区域代表上海市场的B股。（b） 拟合参数q的频率。（c）不同τq值的拟合参数λxf的频率。我们得出1395只股票作为滚动窗口分析的对象。04 06 08 10 121.11.31.11.31.21.61.21.4thqi（a）04 06 08 10 121.52.51.52.52.06.01.52.5tλxτQ=20τQ=40τQ=60τQ=80τQ=100（b）图5：（在线彩色）。四个选定股票的估计q和λxof q指数分布的演化图。从底部面板到上部面板，股票代码分别为000001、200002、600220和900956。（a） q的演变。虚线代表所有窗口中q的平均值。实线对应于整个周期的q。（b） λxf的演变对于τQ的不同值。对于每种股票，我们在系列的每个移动窗口中执行与我们在批发市场上执行的相同分析。

我们首先用q指数分布确定不同τq0值的重复间隔，并估计每个窗口对应的分布参数q和λxin。我们再次发现，参数q与每个股票的每个窗口无关，但参数λxd没有表现出这种行为。我们平均每个窗口τQin的不同值，并将平均值q绘制为时间的函数，对应于每个移动窗口的最后一个月[见图5（a）]。为了便于比较，整个周期的估计q为实线，所有窗口的q平均值为虚线。请注意，对于这四只股票，实线和虚线之间有很大的差距。还要注意的是，hqi曲线沿时间轴也表现出显著的波动。图5（b）显示了不同τQ值下λxF的演变。请注意，λxHxHibits的轨迹与hqi的轨迹具有相同的趋势。目前尚不清楚这些趋势是否反映了股票价格的趋势，但我们的结果表明，q分布的估计参数受市场状况的影响，因此在解释市场回报时，可能被视为一个单独的风险因素。5.大波动预测的结果5。1.风险概率超过阈值Q的波动率之间的复发间隔很好地近似于Q指数分布，这给了我们区间分布p（t）=（2）的公式- q） λ[1+（q- 1） λt]-Q-1.通过将该方程代入方程（3），我们得到WQ(t | t）=1-“1+（q- 1)λt1+（q- 1） λt#1-Q-1.（19）如果我们将波动率值的前1%（对应于平均重现时间τQ=100）指定为极端事件，我们可以估计风险概率Wq(t、 t）在t时t、 图6显示了当t=1、5和10。

请注意，表示解析解方程（19）的实线和表示经验数据的标记都缓慢减少，并且在每个面板中都非常一致。W的下降趋势(t | t）与波动率序列中的聚集行为一致。注意危险概率W(t | t）是通用的，可以用来估计任何时间序列中的风险。0 60 120 180 24000.010.020.03（a）tW（1 | t）0 60 120 180 24000.030.060.090.12（b）tW（5 | t）0 60 120 180 24000.050.10.150.2（c）tW（10 | t）0 60 120 24000.010.020.03（d）tW（1 | t）0 60 120 24000.020.040.060.080.1（e）tW（5 | t）0 120 24000.10.10 | t）0.150（10 1240.050）图6：（f）彩色在线。危险概率W图(t | t）表示两种股票和 t=1、5和10。（a-c）股票000001。（d-f）库存900956.5.2。预测大波动率为了预测波动率序列中的大波动率事件，我们首先计算给定τQ（例如τQ=100）的重现时间，并估计参数的分布。利用方程式（19）和估计的分布参数，确定下一个时期将发生极端事件的危险概率W（1 | t）。一旦危险概率突破预先设定的阈值Qp，就会触发警报，警告大波动事件是内在的。图7（a）绘制了波动率值的子系列，并突出显示了toppanel中高于阈值Q的事件，这些事件对应于平均重现时间τQ。风险概率W（1 | t）显示在底部面板中。注意，W（1 | t）随着从上一次大波动性事件开始经过的时间t的增加而减小。阈值Qp以水平线绘制，以显示激活报警过程。通过在[0,1]范围内改变qp，我们得到（a，D）的所有对。图7（b）显示了十只股票的ROC曲线。

请注意，所有十条曲线都在虚线D=A上方，这表明我们的预测不是随机的。这十条曲线没有重叠，这表明该预测算法的准确性因不同股票而异。对于相同的假警报A（例如，绘制垂直虚线atA=0.1），股票900901的正确预测率最高，股票300066的正确预测率最低。我们还计算了所有股票在0.1的虚警水平下的正确预测率DA=0.1。图7（c）显示了DA=0.1的频率批次。请注意，峰值位于≈ 0.2，比随机预测高出10%。我们还发现存在DA=0.1>0.4的arenine股票。股票000529、000557和000592的前三个值分别为0.7、0.68和0.60，这表明我们的预测算法能够准确预测这三支股票的大幅波动。之前的研究表明，算法的效率主要受原始波动率中线性和非线性记忆行为的影响[4]。我们的结果表明，使用我们的算法可以更准确地预测具有更强记忆行为的股票的行为，如波动性聚类和多资产性。我们的算法只考虑了递归区间的概率分布，但如果同时考虑了递归区间的记忆行为，我们相信它的预测精度将大大提高。6.结论在这项工作中，我们使用了一种决策算法，根据风险概率预测中国股市的大波动的发生，风险概率来自波动率超过阈值Q之间的重复间隔分布。

通过五个候选分布拟合波动率重现期，并比较其KS统计数据，我们发现波动率重现期与q指数分布非常接近。我们发现，对于样本中的所有股票，拟合参数q独立于平均重现时间τq，其与阈值q呈一一对应关系。然而200 400 600 800 100000.010.02QptW（1 | t）36912τQv（a）0.2 0.4 0.6 0.8 100.20.40.60.81AD（b）00000 100004252000022007063000023000666002206007899009019009560.1 0.2 0.3 0.400.10.20.3DA=0.1fr（DA=0.1）（c）图7：（在线彩色）。大波动的预测。（a） 顶部面板中具有代表性的波动性系列图和风险概率W（1|t） 在底部面板中。（b） 十只股票的ROC曲线图。（c） 所有股票在0.1的虚警水平下的正确预测率分布图。q分布的参数λxO与q表现出不同的行为。对于一半的股票，λxOxHibits与τq有很大的依赖性。通过移动窗口分析，我们发现这两个参数都受市场状态的影响，并且随着时间的推移呈现出相同的趋势。这种行为可能在解释股票收益的自愿性方面有潜在的应用。利用q分布公式，我们导出了危险概率W的解析解(在短时间间隔内超过阈值Q的下一次大波动事件的t | t）从Q以上的最后一个大波动率经过一段时间后，这个解析解是W(t | t）与从真实股票数据得出的经验风险概率非常一致。我们采用了一种决策标记算法，并使用风险概率来预测大的波动性。

在0.1的虚警水平下，我们发现所有股票的平均正确预测率为0.2。我们还发现，有三只股票的正确预测率大于0.6，这表明我们的预测算法在预测大波动时是准确的。我们的发现可能有助于我们对极端波动行为的理解，并可能在管理股市风险方面有潜在的应用。致谢-Q.J.和W.-X.Z.感谢国家自然科学基金（71131007）、上海“陈光”项目（2012CG34）、大学长江学者和创新研究团队项目（IRT1028）、中国学术委员会（201406745014）和中央大学基础研究基金的支持。AC.感谢巴西机构FAPEAL（PPP 20110902-011-0025069/60030-733/2011）和CNPq（PDE 2073602014-6）的支持。参考文献[1]S.Hallerberg，例如Altmann，D.Holstein，H.Kantz，极端增量的前兆，Phys。牧师。E 75（2007）016706。doi:10.1103/PhysRevE。75.016706.[2] S.Hallerberg，H.Kantz，《事件大小对极端事件可预测性的影响》，Phys。牧师。E 77（2008）011108。doi:10.1103/PhysRevE。77.011108.[3] M.I.Bogachev，A.Bunde，《多重分形记录中改进的风险估计：金融风险价值的应用》，Phys。牧师。E 80（2009）026131。doi:10.1103/PhysRevE。80.026131.[4] M.I.Bogachev，A.Bunde，《线性和非线性长程记忆记录中极端事件的可预测性：效率和噪声鲁棒性》，Physica A 390（2011）2240–2250。doi:10.1016/j.physa。2011.02.024.[5] A.Bunde，J.F.Eichner，S.Havlin，J.W.Kantelhardt，长期持续记录中罕见事件的返回间隔，Physica A 342（2004）308–314。[6] A.Bunde，J.F.Eichner，J.W.Kantelhardt，S。