纯随机系统中指数效用最大化问题的BSDE

这源于定理3.7，对于该定理，所有假设都可以直接使用上面给出的U、Y和Z的显式形式进行检查。备注4.3。（i） 虽然在本例中，我们能够获得明确的解决方案，但应用范围仍然有限，因为在BSDE中有一个明确的终端条件意味着对非流动资产的对数索赔。人们可以考虑将“ansatz”方法扩展到更一般的终端条件，但对于与交叉对冲问题相关的生成器，我们迄今尚未成功。然而，对于一些简单的生成器，可以使用更合适的终端条件得到明确的结果，如下一节所示。（ii）尽管我们刚才提到了对数（非流动资产价格）终端条件的相关性，但有大量关于此类“对数合约”的文献，因为它们相当于布朗市场模型中的方差互换，也与跳跃模型中的方差互换有关（见Carr et al.（2012）；例如，卡尔和李（2013）。因此，未来研究的一个有趣问题可能是，我们的结果是否可以用于对冲非流动资产的方差/已实现波动性头寸。（iii）仔细检查之前的论点表明，结果可以推广到β，b，b，∑，γ，γΞ不是常数，而是适当的可预测过程。然而，我们没有详细讨论这个问题，因为它给出了一长串技术（有界）条件。5指数安萨兹可以考虑通过使用不同的安萨兹来解决BSDE来推广第4节的方法，但这似乎需要对发电机和终端条件进行限制，这与我们的效用优化问题不兼容。

在下文中，我们将给出另一个例子，在这个例子中，对于一个相当普通的发电机，可以获得显式的解决方案，但是，这不允许根据效用优化问题的需要，在它中有一个上限。尽管如此，在我们看来，这似乎是一个有趣的例子，可以明确地解决L’evy驱动的BSDE。提议5.1。考虑以下形式的FBSDE：dRt=βdt+BRtdt+∑dWt+RR*γ（ξ）eNp（dt，dξ），R=R，-dYt=f（t，Yt，Zt，Ut）dt-ZtdWt-RR*Ut（x）eNp（dt，dx）YT=F（RT）。现在假设：o终端条件是a的F（r）=exp（ha，ri）w+v形式的指数∈R、 v，w∈ R常数生成器f的形式为f（s，y，z，u）=cy（s）y+cz（s）z+ZR*cu（s）u（x）ν（dx）+c（s）（5.1）与cy，c，cz，cu:[0，T]→ R、 时间的连续函数。设Γ（·，a）：[0，T]→ R、 ω（·，a，w）：[0，T]→ R和ξ（·，a，w，v）：[0，T]→ R是下列微分方程的唯一解：-Γs（s，a）=B*Γ（s，a）Γ（T，a）=a-ωs（s，a，w）=ω（t，a，w）htr∑∑TΓ（s，a）Γ（s，a）T+ hΓ（s，a），βi+RR*ehΓ（s，a），γ（x）i-1.-hΓ（s，a），γ（x）iν（dx）+cy（s）+cz（s）hΓ（s，a），∑i+cu（s）RR*ehΓ（s，a），γ（·）i-1.ν（dx）iω（T，a，w）=w-ξs（s，a，w，v）=cy（s）ξ（s，a，w，v）+c（s）ξ（T，a，w，v）=v其中B*是B的伴随算子。然后是适应/可预测过程的三元组Yt=exp（hΓ（t，a），Rti）ω（t，a，w）+ξ（t，a，w，v），Zt=exp（hΓ（t，a），Rt-i） ω（t，a，w）hΓ（t，a），∑iUt（x）=exp（hΓ（t，a），Rt-i） ω（t，a，w）ehΓ（t，a），γ（x）i-1.,（5.2）解决FBSDE问题。我们不想详细讨论Y、Z、U，但请注意，由于R具有所有阶的指数矩，且常微分方程最多是线性的，很明显，它们满足平方可积条件，确保所有相关的随机积分都得到很好的定义。证据将其^o公式应用于正则函数h（t，x）：=exp（hΓ（t，a），xi）ω（t，a，w）+ξ（t，a，w，v）。

ansatz Yt=h（t，Rt）=exp（hΓ（t，a），Rti）ω（t，a，w）+ξ（t，a，w，v），以及系数Γ，ω和ξ的时间演化假设-ZTtexp（hΓ（s，a），Rs-（一）ω（s，a，w）Γ（s，a）s、 Rs-+tr∑∑TΓ（s，a）Γ（s，a）T+ω（s，a，w）s+ξ（s，a，w，v）sds-ZTtexp（hΓ（s，a），Rs-i） ω（s，a，w）hΓ（s，a），βds+BRs-ds+∑dWsi-ZTtehΓ（s，a），Rs-iω（s，a，w）ZR*经验hΓ（s，a），γ（x）i-1.eNp（ds，dx）-ZTtehΓ（s，a），Rs-iω（s，a，w）ZR*经验hΓ（s，a），γ（x）i-1.-hΓ（s，a），γ（x）iν（dx）ds=F（NT，ΞT）-ZTtehΓ（s，a），Rs-我ω（s，a，w）Γ（s，a）s、 Rs-+tr∑∑TΓ（s，a）Γ（s，a）T+hΓ（s，a），βi-hΓ（s，a），BRs-i+ZR*eΓ（s，a）γ（x）-1.-hΓ（s，a），γ（x）iν（dx）+ω（s，a，w）sds-ZTtsξ（s，a，w，v）ds-ZTtexp（hΓ（s，a），Rs-i） ω（s，a，w）hΓ（s，a），∑i |{z}:=ZsdWs-ZTtZR*exp（hΓ（s，a），Rs-i） ω（s，a，w）ehΓ（s，a），γ（x）i-1.|{z}:=Us（x）eNp（ds，dx）==F（NT，ΞT）-ZTtnehΓ（s，a），Rs-iω（s，a，w）-西(s)-cz（s）hΓ（s，a），∑i-cu（s）ZR*ehΓ（s，a），γi-1.ν（dx）-cy（s）ξ（s，a，w，v）-c（s）ods-ZTtZR*美国（x）eNp（ds，dx）-ZTtZsdWs==F（NT，ΞT）-ZTtn-西(s)呃Γ（s，a），Rs-iω（s，a，w）+ξ（s，a，w，v）|{z}Ys--cz（s）ehΓ（s，a），Rs-iω（s，a，w）hΓ（s，a），∑i |{z}Zs-cu（s）ZR*呃Γ（s，a），Rs-iω（s，a，w）ehΓ（s，a），γ（·）i-1.|{z}Us（x）ν（dx）-c（s）ods-ZTtZR*美国（x）eNp（ds，dx）-ZTtZsdWs==F（NT，ΞT）+ZTtf（s，Ys）-,Zs，美国）ds-ZTtZR*美国（x）eNp（ds，dx）-ZTtZsdWs。这证明了（5.2）中给出的三元组求解了所研究的FBSDE，其终端条件为F（r）=exp（ha，ri）w+v，生成器如（5.1）所示。备注5.2。观察控件的结构，我们可以看到，这种方法只在生成器在Y、Z和U上是线性的情况下确定一些ODE。这是因为在函数的时间演化过程中，没有随机因素会出现。承认法律。科尔德弗特姆感谢他的支持。参考桑基什纳，S.，迪米特罗夫，G.，海恩，G.，和皮戈尔什，C.（2012）。期货与固定基础交叉。

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