纯随机系统中指数效用最大化问题的BSDE

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英文标题：
《A BSDE arising in an exponential utility maximization problem in a pure
  jump market model》
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作者：
Carla Mereu and Robert Stelzer
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We consider the problem of utility maximization with exponential preferences in a market where the traded stock/risky asset price is modelled as a L\\\'evy-driven pure jump process (i.e. the driving L\\\'evy process has no Brownian component). In this setting, we study the terminal utility optimization problem in the presence of a European contingent claim. We consider in detail the BSDE (backward stochastic differential equation) characterising the value function when using an exponential utility function. First we analyse the well-definedness of the generator. This leads to some conditions on the market model related to conditions for the market to admit no free lunches. Then we give bounds on the candidate optimal strategy.   Thereafter, we discuss the example of a cross-hedging problem and, under severe assumptions on the structure of the claim, we give explicit solutions. Finally, we establish an explicit solution for a related BSDE with a suitable terminal condition but a simpler generator.
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中文摘要：
我们考虑在一个交易股票/风险资产价格被建模为勒夫驱动的纯跳跃过程（即，驱动的勒夫过程没有布朗成分）的市场中，具有指数偏好的效用最大化问题。在此背景下，我们研究了欧式未定权益下的终端效用优化问题。我们详细考虑了BSDE（倒向随机微分方程）在使用指数效用函数时表征值函数的特性。首先，我们分析了生成器的良定性。这导致了市场模型中的一些条件，即市场不允许免费午餐的条件。然后给出候选最优策略的界。然后，我们讨论了交叉套期保值问题的例子，并在对索赔结构的严格假设下，给出了明确的解决方案。最后，我们建立了一个相关BSDE的显式解，该解具有合适的终端条件，但生成器更简单。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> A_BSDE_arising_in_an_exponential_utility_maximization_problem_in_a_pure_jump_mar.pdf (195.03 KB)

2022-5-9 03:15:25 上传

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关键词：效用最大化 BSDE 随机系统 SDE 最大化

在纯跳跃市场模型中指数效用最大化问题中产生的BSDE卡拉·梅雷乌安和罗伯特·斯特尔泽鲍姆大学，数学金融研究所，德国乌尔姆赫尔姆霍尔茨大街18号，89081。ccarlammereu@gmail.combUlm德国乌尔姆赫尔姆霍尔茨大街18号数学金融研究所大学，89081。罗伯特。stelzer@uni-乌尔姆。在BerntOksendal 70岁生日之际，我们考虑了amarket中具有指数偏好的效用最大化问题，其中交易股票/风险资产价格被建模为一个LOevy驱动的纯跳跃过程（即驱动的LOevy过程没有布朗成分）。在这种情况下，我们研究了欧洲目标存在时的终端效用优化问题。我们详细考虑了BSDE（倒向随机微分方程）在使用指数效用函数时表征值函数的特性。首先，我们分析了发电机的可靠性。这导致市场上出现了一些与市场不允许免费午餐相关的条件。然后给出了候选最优策略的界。然后，我们讨论了一个交叉套期保值问题的例子，并在对索赔结构的几种假设下，给出了明确的解决方案。最后，我们建立了一个相关BSDE的显式解，该解具有一个合适的终端条件，但具有一个SimpleGenerator。关键词：BSDE、交叉对冲、指数效用、L’evy过程、平稳价差。MSC 2010：初级：91G80中级：60G51、60H10、60J75、93E20。1简介在效用最大化的背景下，指数效用因其良好的分析可处理性而被广泛使用。

特别是，当涉及或有权益时，它表现出基本的分离特性。对于It^o-扩散和连续鞅模型，向后随机微分方程（BSDE）方法已被应用，以放松Hu et al.（2005）的开创性论文以及许多作者的后续论文中关于约束集凸性的假设。Hu等人（2005年）根据所谓的“鞅最优性原理”推导出了描述问题解的BSDE。在存在跳跃的情况下，至少据我们所知，在效用最大化的背景下使用这种方法的第一篇论文是Becher（2006）（我们请读者参考例如Oksendal和Sulem（2007）对跳跃过程最优控制的一般介绍）。Becherr（2006）再次考虑了It^o-扩散市场模型，但放松了对过滤的假设。假设这是由多维布朗运动和独立的整值随机测度生成的自然过滤。Morlais（2009年、2010年）将结果扩展到了L’evy It^o扩散模型的情况，即她也允许股票价格过程中的跳跃。在上述所有论文中，一个基本假设是高斯方差矩阵是严格正定义的，这确保了等价可度量的存在。在价格动态中没有高斯成分的情况下，需要对L’evy测度和漂移项施加附加条件，以便模型接受等效（局部）鞅测度（参见。

赵和赵（1996）；Protter和Shimbo（2008）；卡尔达拉斯（2009）。本文的目的是分析Becherer（2006）研究的“互补”情况，即当股票价格是一个由L’evy驱动的纯跳跃过程，且过滤是由其相关的跳跃测度和独立的布朗运动生成的。在这种情况下，我们首先以标准方式（如Becherr（2006）或Morlais（2009，2010））通过鞅最优性原理构造BSDE，并给出相应发电机的良好定义条件。在此，我们还要提到，这些条件与已知的条件相同，即在已知NFLVR条件的几种情况下，不存在风险为零的免费午餐。在利用鞅最优性原理推导出BSDEvia后，我们采用了一种不同于之前文献的方法，证明了在适当的空间中解的存在性和唯一性。相反，我们首先简单地假设我们有BSDE的解决方案，并研究这是否允许我们获得效用优化问题的解决方案，包括最优策略。之后，我们与里克特（2014）类似，认为一个具体问题是我们可以直接找到BSDE的解决方案。原因是我们想要获得显式的解决方案，并且我们想要考虑策略的无界约束集，对于这种策略，在通常存在跳跃的情况下，似乎很难证明策略的最优性（注意Morlais（2009，2010）表明，在她的跳跃扩散市场中，优化问题有一个根据BSDE给出的解，但是，关于无界约束集的最优策略的存在性，却只字未提。考虑问题的动机是以下应用程序。

我们感兴趣的是在股票价格由purejump过程描述，但投资者希望对另一种（非流动性）资产的衍生工具进行套期保值的情况下，研究交叉套期保值问题。想象一下，这种资产的价格——就像在一些交叉对冲问题中一样——与交易股票的价格密切相关，但它们的对数价差不是恒定的，并且表现出一种均值回复行为。在本文中，这是由一个市场建模的，其中股票价格是一个L’evy驱动的纯跳跃过程，对数价差遵循一个Ornstein-Uhlenbeck过程。本文其余部分的结构如下。在第2节中，我们将介绍该模型。第3节讨论了优化问题的适定性，尤其是定理3.1给出了市场参数的条件，使得问题得到了很好的定义。此外，我们还给出了“候选最优策略”的界以及它被判定为最优的条件。在第4节中，我们举例说明了一个交叉套期保值问题，在假设债权与非流动资产价格成对数关系的情况下，可以获得显式解。最后，在第5节中，我们讨论了将第4节的方法扩展到更一般的索赔的困难。2市场模型我们假设给定一个过滤概率空间(Ohm, F，（Ft）t∈[0，T]，P）在有限时间范围内T>0且过滤（Ft）T∈[0，T]满足通常条件。假设上述过滤由以下两个相互独立的过程生成：o标准（一维）布朗运动（Wt）t∈[0，T]；o一个实值泊松点过程p与相关计数测度Np（dt，dx）和补偿器Np（dt，dx）=ν（dx）dt，其中L′evy测度ν为正，满足ν（{0}）=0和zr*(1 ∧|x|）ν（dx）<∞. （2.1）表示其补偿计数措施。这里，我们用R表示R\\{0}*.

（Ft）t∈[0，T]因此是由这两个过程生成并由P-null集完成的正确连续过滤。我们用P=P（Ft）表示[0，T]×上的关联可预测σ-代数Ohm 我们定义了以下空间：L（W）：=n（Zt）t∈[0，T]可预测的s.T.EhRT | Zs | dsi<∞o、 L（eNp）：=n（Ut）t∈[0，T]PB（R）*)-可测s.t.EhR[0，t]×R*|Us（x）|ν（dx）dsi<∞o、 对于R\\{0}上的测度ν，我们将L（ν）定义为所有u:R的空间→R可测性与测度收敛的（局部）拓扑相匹配（参见Bauer（2001），§20，第二部分），我们进一步设置L（ν）：={u∈ L（ν）这样*|u（x）|ν（dx）<∞},L∞（ν） ：={u∈L（ν）使得u取有界值ν-几乎肯定}。考虑一个市场模型，该模型由一个无风险资产和一个贴现价格过程为S=（St）t的风险资产组成∈[0，T]根据以下SDE演化：（dSt=St）-~ntdt+RR*ψt（x）eNp（dt，dx）, T∈ [0，T]S=S∈ (0,∞),（2.2）对于ψ，ψ一致有界的可预测过程∈ L（eNp）和ψ>-1便士-a、 每次都是。后一种假设确保价格保持绝对正。显然，对于常数确定的ψ和ψ，这是一个标准的指数L’evy模型（见Cont和Tankov（2004）），在金融领域很流行。然而，我们的模型要普遍得多。它不仅允许时间不均匀的L’evy模型，而且还允许，例如，随机波动类型的模型，因为系数可能是随机的。注意到ψ可能依赖于W，例如，可以有类似于dSt=St的动力学-qσt-dLtwith L a纯跳跃L′evyprocess和σt-与Heston模型类似的平方根扩散（截断以确保假定的有界性）。因此，我们的建模设置可以灵活地涵盖金融数据集的许多程式化事实（参见Cont（2001），Guillaume et al.（1997））。

最后应该指出的是，我们考虑的是真实世界下的价格过程，而不是arisk中立的价格过程。现在假设我们想在终端时间T对冲头寸，即我们知道我们必须支付一笔可测量的贴现金额B。我们想最大化贴现终端财富的预期效用。贴现财富过程Xx，π由初始资本x组成∈R、 以及在市场上以自我融资策略进行交易的收益。策略π对应于投资股票的折扣金额，股票数量为πt/St。由于我们只考虑折扣数量，因此从现在起，我们将经常省略形容词“折扣”。还要注意的是，如果零利率的无风险银行账户是数字，那么我们的方法会考虑未贴现的数量。时间t时初始资本x的财富过程解出方程xπ，t，xs=x+ZstπrdSrSr-, s∈ [t，t]财富过程的动态可以改写为dXπ，t，x=πs k sds+RR*πsψs（x）eNp（ds，dx），s∈ [t，t]Xπ，t，xt=X.（2.3）为了简化符号，我们有时会在财富过程中省略一个或多个上标，参数是隐式固定的。如果没有规定，则假设初始时间为t=0。我们想解决以下问题v（x）=supπ∈AE[U（Xπ，0，xT-B） ]，x∈ rwu（x）=-经验(-αx）是指数效用函数，α∈ (0, ∞) 风险规避参数，A是定义2.1中定义的一组固定的可接受交易策略。在本文中，我们只考虑指数效用函数（类似于Becherr（2006）和Morlais（2009、2010）的工作）。一个原因是，指数函数具有特别好的（分离）特性，便于我们进一步分析。

然而，BSDEs解决随机优化问题的方法原则上也适用于不同的效用函数，尤其是电力效用（例如，参见Hu等人（2005），Richter（2014）。然而，不同的效用函数已经导致不同的BSDE生成器，指数效用函数的一个非常特殊的特征是，初始财富因子超出了价值函数V，因此最优策略不依赖于初始财富。因此，所有即将进行的调查都必须针对不同的效用函数进行，目前尚不清楚我们可以在多大程度上找到特殊情况，如我们稍后将要做的明确解决方案。因此，研究不同效用函数在我们的设置中的使用对于未来的研究来说是一个非常有趣的问题，但超出了本文的范围。定义2.1。设C是R中的闭集，且为0∈C.容许策略集包括所有可预测过程π=（πt）06t6T，π取Cλ中的值P-a、 e.，式中λ表示R上的勒贝格测度，如Rt |πs|s | ds∈ L(Ohm,P） πψ∈ L（eNp）这样的集合{exp{-αXπτ}s.t.τ是一个停止时间，其值在[0，t]}（2.4）是一个一致可积族。以上λ表示勒贝格测度。关于可积性，基本参数包括Jensen不等式和φ的有界性如下所示。引理2.2。假设π是可预测的，ERT |πs | ds< ∞.如果|ψs | L（ν）：=RR*ψs（x）ν（dx）1/2的边界在Ohm×[0，T]，然后rt |πs|s |ds∈L(Ohm,P） πψ∈ L（eNp）。我们定义了与问题相关的价值函数的动态版本，如下所示vt（x）=supπ∈AE[U（Xx，t，πt-B） ]，x∈ R、 t∈ [0，T]。

（2.5）现在，我们将描述通过以下类型的BSDE解决此问题：-dYt=f（t，Yt）-,Zt，Ut）dt-ZtdWt-RR*Ut（x）eN（dt，dx），T∈ [0，T]YT=B.（2.6）BSDE由终端条件（在本例中为权利要求B）和发电机决定。下面通过“鞅最优性原理”进行的推导遵循了标准路线（参见E.g.Hu et al.（2005），Morlais（2009）），因此我们只对其进行了概述：鞅最优性原理（参见罗杰斯和威廉姆斯（2000），例如）意味着我们应该分解过程U（Xx，πt）-Yt）在这样一种情况下，它是每个可容许π的超鞅，以及某个可容许策略π的鞅*.我们首先将它的公式应用于由过程Xx，π组成的函数U-安德烈（2.3）。我们得到了du（X）-Y）t=U（Xt）--Yt-)αZtdWt+ZR*（e）-α（πsψs（x）-美国（x））-1） eN（dt，dx）-αf（t，Yt）-,Zt，Ut）dt-απt|tdt+α| Zt | dt+ZR+E-α（πtψt（x）-Ut（x））-1+α（πtψt（x）-Ut（x））ν（dx）dt.我们想要选择生成器f，这样上面的过程对于每一个可接受的策略来说都是一个超级马尔可夫过程。因此，我们关注的是形式的有限变化部分-eAπt其中aπt=ZtαZs-απs~ns-αf（s，Ys）-,（美国佐治亚州）+锆*αgα（Us（x）-πsψs（x））ν（dx）dsgα是由gα（y）=eαy定义的实凸函数-αy-1α.特别是，如果定义Aπ的积分的变元是非负的，则满足所需的超鞅性质。因此，鞅最优性原则意味着生成器f的以下选择：f（t，y，z，u）=f（t，z，u）：=infπ∈Cα| z |+ZR*gα（u（x）-πψs（x））ν（dx）-π~ns= infπ∈C锆*gα（u（x）-πψs（x））ν（dx）-π~ns+α| z |。（2.7）有时我们使用符号|u |α：=RR*gα（u（x））ν（dx）。3优化问题的适定性乍一看，立即要问方程（2.7）中的生成器是否定义良好，因为我们取的是一个具有负线性项的函数的最小值。

因此，我们给出了极小化问题适定的条件。定理3.1。设T+为（T，ω）的集合∈ [0，T]×Ohm 使得ν（{ψt<0}）=0（即跳跃大小为非负）。同样地，让我们-是（t，ω）的集合∈ [0，T]×Ohm 使得ν（{ψt>0}）=0（即跳跃大小为非正）。假设ot<RR*ψt（x）ν（dx）（t，ω）∈ T+，oT>RR*ψt（x）ν（dx）（t，ω）∈ T-.那么每一个u∈ L（ν）∩L∞（ν） 和t∈ [0，T]函数λ：C→ 定义为λ（π）=ZR*gα（u（x）-πψt（x））ν（dx）-π~nt最小值（以C为单位）。如果C等于R，则最小值是唯一的。为了证明，我们需要一个引理来保证积分符号下的微分是允许的。引理3.2。函数π7→RR*gα（u（x）-πψ（x））ν（dx）对于每一个u，ψ都是全纯的∈L（ν）∩L∞（ν） B（R）*)-可测量，导数由π7给出→RR*ddπgα（u（x）-πψ（x））ν（dx）。证据这个结果来源于积分符号下的可微性结果（参见g.Mattner（2001）），这得益于以下性质：1）gα（u（·）-πψ（·））是B（R）*)-每π可测∈ R.这仅仅是因为u和ψ都是可测函数，而函数gα和函数Fα都是可测运算。2)π7→ gα（u（x）-πψ（x））对于每个x都是全纯的∈ R*.这是因为该函数是全纯函数gα与参数的一个精确函数的组合。3） RR*|gα（u（x）-πψ（x））|ν（dx）在π中是局部有界的。实际上，函数π7→ gα（u（x）-πψ（x））是非负的、连续的、凹的，并且在每个紧集的边界处达到最大值。而且这个最大值是可积分的，因为u，ψ∈ L（ν）∩L∞（ν） 函数gα是0附近的二次函数，这意味着gα（u（x）-πψ（x））∈ L（ν）。证据修正t∈ [0，T]。引理3.2意味着λ是π的全纯函数，并且允许我们在积分符号下进行微分。