纯随机系统中指数效用最大化问题的BSDE

微分得到λ′（π）=ZR*ψt（x）1.-E-α（πψt（x）-u（x））ν（dx）-νt.引理3.2再次保证λ′是可微的，λ′是连续的，它由λ′′（π）=ZR给出*α（ψt（x））e-α（πψt（x）-u（x））ν（dx）>0。这意味着λ′在增加，λ是一个凸函数。多亏了凸性，我们得到了λ允许最小ifλ（π）→ +∞ 对于π→ ±∞.如果我们证明λ′有一个零，并且对于足够大的kπk，λ′6=0，那么我们可以得出结论：oλ′是从下方有界的，对于足够大的π值，它是严格正的，这意味着λ↑ +∞ 对于π→ +∞oλ′从上方有界，对于足够小的π值为负值，这意味着λ↑ +∞ 对于π→ -∞.我们现在区分两种情况：情况1：假设ν（{ψt>0}）>0和ν（{ψt<0}）>0。然后对于π60λ′（π）>Z{ψt>0}α（ψt（x））e-α（πψt（x）-u（x））ν（dx）>Z{ψt>0}α（ψt（x））eαu（x）ν（dx）>0。对于π>0λ′（π）>Z{ψt<0}α（ψt（x））e-α（πψt（x）-u（x））ν（dx）>Z{ψt<0}α（ψt（x））eαu（x）ν（dx）>0。由此可知，λ′从下到下处处以正数为界，而hencelimπ→+∞λ′(π) = +∞ 和limπ→-∞λ′(π) = -∞, λ′击中原点。情况2：假设ν（{ψt>0}）=0或ν（{ψt<0}）=0。根据对称性，考虑ν（{ψt>0}）>0和ν（{ψt<0}）=0就足够了。在这种情况下，它仍然认为limπ→-∞λ′(π) = -∞, 但作为π→+∞ 它的极限不一定是有限的+∞.IfR{ψt>0}ψt（x）ν（dx）=+∞,limπ→+∞λ′（π）=limπ→+∞Z{ψt>0}ψt（x）1.-E-α（πψt（x）-u（x））ν（dx）-ψt=Z{ψt>0}ψt（x）ν（dx）-~nt=+∞,在第一个等式中，我们使用引理3.2。IfR{ψt>0}ψt（x）ν（dx）<+∞, 在假设ηt<R{ψt>0}ψt（x）ν（dx）的情况下，它认为λ′又是连续的，并且是递增的→+∞λ′（π）=Z{ψt>0}ψt（x）ν（dx）-νt>0。因此，通过中值定理我们可以得出结论。上述对二阶导数的分析表明λ是严格凸的，因此C=R的最小值是唯一的。作为前面结果的推论，我们得到了（2.7）中生成元的适定性。备注3.3。

（i） 定理3.1确保优化问题适定性的充分条件本质上与满足无免费午餐且风险为零（NFLVR）条件的市场有关。事实上，Bardhan和Chao（1996）证明了N具有有限活性的假设（参见Bardhan和Chao（1996）中的定理5.2），即定理3.1中的条件意味着NFLVR。Cont和Tankov（2004）证明了指数L’evy模型的情况（参见Cont和Tankov（2004）中的命题9.9），这些条件对于NFLVR甚至是必要和充分的。从某种意义上说，这种联系并不奇怪，因为在存在套利的情况下，优化问题不应该很好地解决。（ii）大多数指数L’evy市场模型，例如NIG、方差伽马或CGMY，都有正跳和负跳，这确保它们满足Cont和Tankov（2004）的NFLVR条件。因此，原则上，对于这些流行的模型，我们的生成器的可靠性不是问题，但这些模型都没有有界跳跃，这是我们的BSDE方法在各种情况下需要的假设。因此，当没有人考虑这些标准模型，但在非常高的水平上截断了L’evy测度时，定理3.1的条件是满足的，从实用角度来看，这应该是一个相当无辜的修正。注意，当我们ψsand~ns满足定理3.1的条件且可预测时，则可预测π*这样π*s∈ argminπ∈C{RR*gα（u（x）-πψs（x））ν（dx）-由于使用可测选择定理（如Morlais（2009）中的引理6和（Morlais，2010）中的定理3的证明）的论点，πs}可以被忽略。然而，这并不意味着π*具有可容许的所需平方可积性。为了解决这个问题，我们首先将参数限定为最小值。提议3.4。假设ν（ψt>0）>0和ν（ψt<0）>0。

让c，c∈ (0, ∞) 使ν（ψt>C）>0和ν（ψt<-c） >0。那么对于任何一个u∈L∩L∞（ν） π*T∈ argminπ∈C锆*gα（u（x）-πψt（x））ν（dx）-πφt它几乎可以肯定-3kuk∞C-2||t|αν（ψt>C）C-√pαν（ψt>C）Cp | u |απ*t6 3kuk∞c+2||t|αν（ψt<-c） c+√pαν（ψt<-c） cp | u |α。证据我们只证明下界，因为上界的证明是完全相似的。从0开始∈ C和λ是严格凸的，它可以证明，对于足够小的π，λ（π）严格大于λ（0）=| u |α，因为这样的话，最小值不可能在这些足够小的π上。我们首先观察到gα是非负的。因此，λ（π）>Zψt>Cgα（u（x）-πψt（x））ν（dx）-πηt.对于π6-库克∞我们有那个u（x）-πψt（x）>0和soλ（π）>Rψt>Cα（u（x）-πψt（x））ν（dx）-πψt>Rψt>Cα（kuk∞+πC）ν（dx）-πνt=αν（ψt>C）Cπ+kuk∞+ 2kuk∞Cπ-所以问题是αν（ψt>C）Cπ+（αν（ψt>C）kuk∞C-νt）π+αν（ψt>C）kuk∞-|u |α绝对是正面的。因为在π中，这是一个二次函数，所以基本上可以看出它总是这样，或者对于所有的π都小于-αν（ψt>C）kuk∞C+аt-q（αν（ψt>C）kuk∞C-~nt）-2αν（ψt>C）C（αν（ψt>C）kuk∞-|u |α）αν（ψt>C）C>-库克∞C-||t|αν（ψt>C）C-库克∞C-||t|αν（ψt>C）C-库克∞C-√√αν（ψt>C）Cp | u |α=-3kuk∞C-2||t|αν（ψt>C）C-√√αν（ψt>C）Cp | u |α√a+b 6√a+√b代表a，b>0。现在我们想把|u |α和|u | L（ν）联系起来。为此，我们需要Morlais（2009）中推论1第二部分的一个合适版本，下面的一般结果提供了这个版本。引理3.5。设g（1），g（2）：R→R是两个连续的非负函数，其原点只有零，其性质为ε> 以及两个常数c，c>0，使得cg（1）（h）6g（2）（h）6cg（1）（h）对于| h |<ε。对于（ν-a.e.）有界的任何H（x），它都成立 K>0以至于kzr*g（1）（H（x））ν（dx）6ZR*g（2）（H（x））ν（dx）6kzr*g（1）（H（x））ν（dx）。常数K可以取为只依赖于函数g（1）和g（2）以及H证明的基本上界。设ε为假设中的ε。

我们有{H（x）|<ε}∩R*g（1）（H（x））ν（dx）6Z{H（x）|<ε}∩R*g（2）（H（x））ν（dx）6cz{H（x）|<ε}∩R*g（1）（H（x））ν（dx）。另一方面，这两个函数中唯一的零是零，因为H是有界的c、 c>0使得集{H（x）|>ε}上的cg（2）（H（x））g（1）（H（x））6c（3.1）。综上所述，我们得到（c）∧c）Z{H（x）|<ε}∩R*g（1）（H（x））ν（dx）+Z{H（x）|>ε}∩R*g（1）（H（x））ν（dx）锆*g（2）（H（x））ν（dx）6（c）∨c）Z{H（x）|<ε}∩R*g（1）（H（x））ν（dx）+Z{H（x）|>ε}∩R*g（1）（H（x））ν（dx）.自gα（x）~ x或x→ 0，上述引理意味着对于有界u，它认为|u |α/k6 |u | L（ν）6k | u |α与K仅取决于u的界。命题3.6。假设存在c，c，δ>0，且ν（ψt>c）>δ和ν（ψt<-c） >δ，o|ψs | L（ν）有界于Ohm ×[0，T]，oBSDE（2.6）有一个带有U的解决方案∈ L（eNp）为λP-a.e.有界和Z∈L（W）。然后存在一个可预测的π*使得（i）π*T∈ argminπ∈C{RR*gα（Ut（x）-πψt（x））ν（dx）-πφt}λP-a.e.，（ii）RT |π*s|s|ds∈ L(Ohm,P） π*ψ∈ L（eNp），（iii）U（Xπ）*,0，x-Yt）是一个局部鞅。证据我们已经知道，我们可以找到一个可预测的π*满意的（i）。命题3.4和引理3.5表明，在假设存在有限常数K，K′>0，使得|π*s|6k+K′|Us|L（ν）。（3.2）作为美国∈ 这意味着RT |πs | ds< ∞ 引理2.2展示了（ii）。最后，（iii）紧随其后，因为通过发生器的定义，U（Xπ）的硝化部分*,0，x-消失。请注意，我们不是在讨论BSDE是否承认一个独特的解决方案。接下来，我们将给出一个具体的例子，证明我们的结果可以用于解决非最优套期保值问题，而无需讨论这些问题。最后一个普遍结果是进一步加强我们的条件，以确保可接受性和最佳性。定理3.7。假设命题3.6的所有条件都满足，并设π*与那里的特征相同。另外假设| Us | L（ν）是λP-a.e。

有界。（i） 然后π*有界且π*∈ A.（ii）如果进一步dHt:=αZtdWt+RR*（e）-α(π*tψt（x）-Ut（x））-1） eN（dt，dx）定义了一个b马氏体，然后是π*这是一个最佳策略。（iii）如果Z是有界的（回想一下，在Proposition 3.6中已经假设了U的有界性）和U（Xπ）*-Y） 有明确的预期，那么过程dHt:=αZtdWt+RR*（e）-α(π*tψt（x）-Ut（x））-1） eN（dt，dx）是BMO鞅和π*这是一个最佳策略。证据π的有界性*紧接着从（3.2）开始。这意味着我们实际上可以将非紧集C上的优化问题视为紧约束集上的优化问题，其中可容许性已在Morlais（2009）的引理1和Morlais（2010）的引理2中给出。从发电机的选择中，我们得到了U（Xπ）*-Y）=U（Xπ）*-Y） E（H）等由Kazamaki的标准（见He et al.（1992）或Kazamaki（1979）第X章后的练习）U（Xπ）*-Y）是一致可积鞅。因此，鞅最优性原则包括：。对于（iii），很容易看出H是一个局部鞅，它有界跳跃。此外，对于任何t∈ [0，T]我们有[H，H]T-[H，H]t=ztzsds+ztzr*（e）-α(π*sψs（x）-美国（x））-1） N（ds，dx）ztzsds+kztzr*(α(π*sψs（x）-Us（x）））N（ds，dx），常数k>0，使用引理3.5的明显变体。应用条件期望的补偿公式（参见Kyprianou（2006），推论4.5），我们得到（[H，H]T-[H，H]t|Ft）6EZTtZsds+kZTtZR*(α(π*sψs（x）-Us（x））ν（dx）ds英尺6KT+eKEZTt |ψs | L（ν）+Us | L（ν）ds英尺K，K，\'K>0是合适的常数，因为Z，π，|ψs | L（ν）和| Us | L（ν）都是有界的。因此，他等人（1992年）的定理10.9得出结论，并确定H不是BMO，我们只看有限的时间范围[0，T]。备注3.8。

在任何具有负跳跃、正跳跃和有界跳跃的指数纯跳跃L’evy市场模型中，命题3.6的前两个条件总是满足的。因此，对于此类模型，尤其是对于最流行的模型（如NIG、方差伽马或CGMY）的“跳跃截断版本”，唯一的问题是BSDE是否有一个具有所需性质的解。关于跳跃有界性的必要性，我们可以推测，在许多情况下，我们可以通过假设合适的（指数）矩的唯一性来推广我们的结果。然而，目前我们还不知道如何证明π的最优性*不使用绝对需要有界跳转的BMO参数。4跳跃市场模型中的交叉套期保值在与上一节相同的市场模型中，考虑一个额外的非流动资产与价格过程（It）t∈[0，T]并假设我们想要对冲一个位置B=h（IT），在终端时间，对于一个支付函数h:R→ R待以后指定。我们假设股票如前几节所示，而对数价差（Ξt=logSt-记录它）t∈[0，T]的动力学由一维独立布朗运动W给出，且具有连续路径。这是最简单的情况。应用程序的动机是，流动性资产和非流动性资产的大幅变动和跳跃同样发生，而且由于非流动性资产的供求波动较小，非流动性资产的价格会围绕固定价差波动一点（对于我们下面的原油/喷气燃料示例，这基本上由重整过程的成本给出）。然而，正如我们将看到的，日志传播也可能再次出现跳跃。例如，这种设置可能适用于一家公司，该公司希望对冲因所需商品价格大幅上涨而产生的损失，而该商品不是流动交易的。

一个典型的例子是“燃油对冲”，公司（航空公司）需要定期购买航空燃油。如果市场上没有所需商品的期货，公司可以考虑购买另一种商品的期货，其价格与所需商品的价格密切相关（在上面的例子中，公司可以决定购买futureson原油，这是生产燃料所需的）。我们假设，在最简单的情况下，这两种价格的对数价差是根据扩散而演化的，但具有均值回复行为。例如，参见Ankirchner and Imkeller（2011）或Ankirchner et al.（2012）及其参考文献，以全面介绍此类交叉对冲问题。众所周知（参见Kallsen和Shiryaev（2002））随机指数总是可以表示为另一个过程的经典指数，这里用N:=对数表示。这个符号在下面更方便，我们得到I=exp（N-Ξ）。4.1具有精确正向动态的FBSDE的显式解将R=（N，Ξ）对作为不确定性来源。贴现对数价格过程将具有动态性dNt=βdt+RR*γ（x）eNp（dt，dx），T∈ [0，T]N=N（4.1），其中γ：=log（ψ+1）和β：=ν-RR*（eγ（x）-1.-γ（x））ν（dx）。假设β，γ是确定性的且与时间无关，且φ，ψ（由β，γ隐式定义）满足定理3.1的假设。请注意，正如所宣布的，我们现在已经改变了我们模型的参数化，着眼于对数价格的动态，而不是价格的随机对数，因为这样更便于记录模型。

然而，为了方便地陈述一切，BSDE的解稍后将使用这两个参数部分地表示。在最简单的情况下，我们假设对数扩展由均值为零的（均值回复）GaussianOrnstein-Uhlenbeck过程给出，即。dΞt=-BΞtdt+σdWt，T∈ [0，T]Ξ=ξ，（4.2），其中B，∑是实常数，∑>0。然而，我们下面的方法同样适用于一般的Ornstein-Uhlenbeck类型动力学，即。dΞt=（b）-BΞt）dt+∑dWt+RR*γΞ（x）eNp（dx，dt），T∈ [0，T]Ξ=ξ，（4.3）带有附加常数b∈ R和有界γΞ∈ L（ν）。这些动力学现在有一个总体平均回归b级，并允许对数分布有来自给定泊松点过程的跳跃。通过适当选择γ和γΞ，可以使流动资产价格过程和对数价差既有共同的跳跃，也有个别的跳跃。对数分布动态的假设为过程R提供了一个重要属性：由于第一个组成部分是一个列维过程，第二个组成部分是一个奥恩斯坦-乌伦贝克过程，因此驱动所考虑的FBSDE正向方程的风险源被证明是一个随机过程。这一系列过程特别容易处理。事实上，FBSDE的明确解决方案存在一些结果，其中正向过程是有限的，见里克特（2014）。在这种情况下，财富过程是动态的，πt=πtβ+ZR*（eγ（x）-1.-γ（x））ν（dx）|{z}~ndt+πtZR*（eγ（x）-1） |{z}ψ（x）eNp（dx，dt）。我们将考虑一个正向和反向随机微分方程（FBSDE）系统，其中正向过程由R-有值进程=新界.

（4.4）drt=βz}|{βbdt+Bz}|{0 00 -B新界dt+ZR*γ（x）γΞ（x）|{z}γeNp（dt，dx）+Σ|{z}∑dwt如前一节所述，生成器是通过对Xt的效用施加超马氏条件而得到的-其中，对于Yt，由于过滤的鞅表示性质，我们假设动力学-dYt=f（t，Yt）-,Zt，Ut）dt-ZtdWt-RR*Ut（x）eNp（dt，dx），T∈ [0，T]YT=h（exp（NT-ΞT）。（4.5）如第2节所示，必须根据（2.7）取发电机。当然，这是我们想要对冲的非流动资产的“衍生品”。我们首先假设（2.7）中的最大值是在某个最优策略π下实现的*∈ A.Thenf（t，Zt，Ut）=ZR*gα（Ut（x）-π*tψ（x））ν（dx）-π*t|+α| Zt |，（4.6），式中|=β+RR*（eγ（x）-1.-γ（x））ν（dx），ψ：=exp（γ）-1和（Y，U，Z）是带生成器f的BSDE的解，终端条件B=h（IT）=f（RT），对于f（n，s）：=h（exp（n-s） ）。我们将看到，上述假设不会导致循环论证。现在的想法是使用里克特（2014）中的方法，对正酰胺有限矩阵中的过程进行处理，为所研究的FBSDE找到一个明确的解决方案，从而生成一个af fi neansatz。由于我们在这里考虑的是一个与里氏（2014）稍有不同的发电机，我们将给出一个直接的证明。提议4.1。设Γ：[0，T]×R→ 兰德ω（·，a，v）：[0，T]→ R be以下ODE的解决方案-Γt（t，a）=B*Γ（t，a），T∈ [0，T）Γ（T，a）=a（4.7）-ωt（t，a，v）=hΓ（t，a），βi-π*t~n+RR*gαhΓ（t，a），γ（x）i-π*tψ（x）ν（dx）+αh∑，Γ（t，a）iT∈ [0，T）ω（T，a，v）=v，（4.8）对于a∈ 兰德五世∈ R一些恒定的初始条件。

这里是B*表示B的伴随算子。然后，对于每一个（t，a，v）∈[0，T]×R×R，Yt=Γ（t，a），新界+ω（t，a，v）Zt=hΓ（t，a），∑iUt（x）=hΓ（t，a），γ（x）i（4.9）用终端条件f（NT，Ξt）和生成器f（t，z，u）=ZR求解BSDE（4.5）*gα（u（·）-π*ψ（·））dν-π*ψ+α| z |，其中f（n，s）=A.ns+ v、 注意（4.7）是线性常微分方程，（4.8）只是表示积分。证据回想一下Rt=（Nt，Ξt）satifiesdrt=βdt+BRtdt+∑dWt+ZR*γ（x）eNp（dt，dx）（4.10）和发电机如（4.6）所示。ansatz-Yt=hΓ（t，a），（Nt，Ξt）Ti+ω（t，a，v）及其（向后）公式的应用，yieldsYt=hΓ（t，a），Rti+ω（t，a，v）Ito==hΓ（t，a），Rti+ω（t，a，v）-ZTthΓ（s，a），βi+hΓ（s，a），BRs-我ds-ZTtZR*Us（x）z}{hΓ（s，a），γ（x）ieNp（ds，dx）-ZTtZsz}{hΓ（s，a），∑i dWs-ZTtHΓ（s，a）s、 Rs-我+ω（s，a，v）sds==F（RT）z}{ha，RTi+v-ZTthΓ（s，a），βi+hB*Γ（s，a），Rs-我-血红蛋白*Γ（s，a），Rs-我-hΓ（s，a），βi+π*s~n-锆*gα（Us（x）-π*sψ（x））ν（dx）ds-ZTtα| Zs | ds-ZTtZR*美国（x）eNp（ds，dx）-ZTtZsdWs=F（RT）+ZTtf（s，Zs，Us）ds-ZTtZR*美国（x）eNp（ds，dx）-ZTtZsdWs。这表明（4.9）确实为所研究的FBSDE提供了一个解决方案。由于这个结果，在定理3.1的假设下，我们现在可以通过（4.6）中生成器的逐点最小化来计算最优策略。因为上面的对（Z，U）不依赖于π*, 我们可以把它代入方程（4.6），得到f（t，Zt，Ut）=infπ∈C锆*gαhΓ（t，a），γ（x）i-πψ（x）ν（dx）-πφ+α| hΓ（t，a），∑i |。通过计算最小值，我们得到了效用最大化问题的最优解。定理4.2。设Γ如命题4.1所示，并假设ν（ψ>0）>0和ν（ψ<0）>0。那么任何可预测的π*满足π*T∈ argminπ∈C锆*gαhΓ（t，a），γ（x）i-πψ（x）ν（dx）-πφ是终端收益的最优交叉对冲A.新界+v表示具有参数α的指数效用。请注意，最优策略是有界的，可以采用确定性策略。证据