不同利率下的置换信息理论之旅

通过这种方式，可以量化从标量时间序列导出的排序符号（模式）的多样性。请注意，适当的符号seq uenc e自然来自时间序列，不需要基于模型的假设。事实上，必要的“划分”是通过比较相邻相对值的顺序来设计的，而不是根据不同的水平来分配振幅。这项技术与当前实践中的大多数技术相反，它考虑了所研究的物理过程生成的时间序列g的时间结构。这一特性使我们能够揭示有关时间序列顺序结构的重要细节[23,33,34]，还可以产生有关时间相关性的信息[35,36]。很明显，这种时间序列分析需要对原始s级的振幅信息进行详细分析。然而，仅仅通过参考该系列的固有结构，Bandt和Pompe就复杂系统的描述实现了有意义的困难缩减。借助于连续（τ=1）或非连续（τ>1）值的比较，时间序列的符号表示允许对基础相空间进行精确的经验重建，即使在存在弱（观测和动态）噪声的情况下[32]。此外，与PDF相关的顺序模式对于非线性单调变换是不变的。因此，测量设备引入的非线性漂移或标度不会改变量化器的估计，如果处理实验数据，这是一个很好的特性（例如，参见[37]）。

这些优点使得Bandt和Pompe方法比基于范围划分的传统方法（即基于直方图的PDF）更方便。为了使用Bandt和Pompe[32]方法来评估与研究中的时间序列（动力学系统）相关的PDF，P，我们首先考虑相关D维空间的划分，这将有望“揭示”给定一维时间序列X（t）={xt；t=1，···，M}的顺序结构的相关细节，嵌入维度D>1（D∈ N） 嵌入时延τ（τ）∈ N） 。我们对由（s）7生成的顺序（长度）D的“顺序模式”感兴趣→xs-（D）-1） τ，xs-（D）-2） τ，··，xs-τ、 xs, （6） 它为每个时间s指定时间s，s的值的D维向量-τ、 ··，s- （D）- 1)τ. 显然，D越大-价值观，过去的信息越多地融入到我们的载体中。我们所说的与时间相关的“顺序模式”，是指排列π=（r，r，··，rD）-1） [0,1，··，D]的- 1] 定义byxs-研发部-1τ≤ xs-研发部-2τ≤ · · · ≤ xs-rτ≤ xs-rτ。（7） 为了得到唯一的结果，我们设置ri<ri-1if xs-ri=xs-里-1.如果XT的值具有连续分布，则这是合理的，因此相等的值是非常不寻常的。为了所有的D！可能的有序环（排列）πi当嵌入维数为D时，它们的关联相对频率可以根据在时间序列中发现这个特定顺序序列的次数，除以序列的总数p（πi）自然计算出来={s|s≤ N- （D）- 1)τ; （s） 具有πi}N型- （D）- 1)τ. （8） 在最后一个表达式中，符号 代表“数字”。

因此，有序模式概率分布P={P（πi），i=1，·D！}从时间序列中获取。因此，通过评估所谓的置换熵（Shannon熵）和置换Fisher信息测度，可以量化从sc alar时间序列导出的排序符号（长度为D的模式）的多样性。当然，嵌入维度D在评估适当的概率分布时起着重要作用，因为D决定了可访问状态的数量D！并对最小可接受长度M进行了条件化>> D一个人为了处理可靠的统计数据而需要的时间序列的一部分[33]。关于参数的选择，Bandt和Pompe建议使用4≤ D≤ 6，并在他们的基础论文[32]中特别考虑了嵌入延迟τ=1。然而，很明显，τ的其他值可以提供额外的信息。最近的研究表明，该参数与所分析系统的内在时间尺度密切相关（如果相关的话）[38,39,40]。方法的其他优点在于i）其简单性（我们需要一些参数：模式长度/嵌入维度D和嵌入延迟τ）和ii）相关计算过程的外在本质[41]。BP方法不仅适用于低维动力系统的时间序列表示，而且适用于任何类型的时间序列（规则、混沌、噪声或基于现实的）。事实上，并没有假设吸引子在三维相空间中的存在。BP方法适用的唯一条件是一个非常弱的平稳假设：对于k≤ D、 xt<xt+K的概率不应取决于t。有关BP的方法学及其在物理、生物医学和经济物理信号中的应用的综述，请参见Zanin等人[42]。

Rosso[33]表明，当使用BP而不是通常的直方图方法计算PDFI时，上述数量可以更好地描述与过程相关的动力学。将概率分布与时间序列（具有潜在符号性质）相关联的Bandt和Pompe pro构成了非线性动力系统研究中的一个重大进步[32]。该方法为香农类型的普通全局熵量化器提供了单一的处方。然而，正如Rosso及其同事[22,23]所展示的，在使用Bandt和Pompe技术时，对于常规模式的排列会产生歧义。如果有人希望利用BP概率密度来构造局部熵q值，比如Fisher信息测度，它将表征非线性动力系统生成的时间序列，就会出现这种情况。在计算公式（4）中的和时，必须认真考虑离散值的特定“i-顺序”，这反映了圆盘反射PDF的费希尔信息测量的局部敏感性。每一个分子可以看作是两个连续概率之间的一种“距离”。因此，相关总和的不同排序将导致不同的Fisher信息值。事实上，如果我们有一个离散的PDF givenby P={pi，i=1，···，N}，我们将有N！i-订购的可能性。问题是，哪种安排可以被视为“适当的”顺序？在某些情况下，答案是直截了当的，基于历史的PDF构成了一个有趣的例子。对于这种程序，首先将区间[a，b]（其中a和b为时间序列中的最小和最大振幅值）划分为非重叠子区间（BIN）上的有限数。

因此，区间[a，b]的划分程序提供了自然领主序列，用于评估渔民信息测量中涉及的PDF梯度。在我们目前的论文中，我们选择了Lehmer[25]算法给出的字典排序作为Bandt–PompePDF，以及其他可能性，因为它能更好地区分Shannon–Fisher平面上的不同动态，H×F（见[22,23]）。3数据我们分析了英国英镑（GBP）、欧元（EUR）、瑞士法郎（CHF）和日元（JP Y）的伦敦银行同业拆借利率，对于以下七种到期日：隔夜（O/N）、一周（1W）、一个月（1M）、两个月（2M）、三个月（3M）、六个月（6M）和十二个月（12M）。数据覆盖范围为2001年1月2日至2015年3月24日，共3711个数据点。所有数据都是从数据流中提取的。4结果我们使用第2节描述的方法分析每个时间序列。由于这是在PDF构建中引入时间因果关系的唯一方法，所以DF是按照BP公式计算的。虽然我们已经使用嵌入维度D=3、4和5进行了分析，时间滞后τ=1，但我们仅给出了D=4的结果，因为它显示了我们解释的最佳清晰度。其他嵌入维度的结果类似。我们想知道，在观察期间，潜在的生成过程是否发生了变化。为了评估这种变化，我们构造了滑动窗口。滑动窗口的工作原理如下：我们考虑前N=300个数据点，并评估两个量化器H和F。N我们向前移动δ=20个数据点，并计算新窗口的q值，其中以下N=300个数据点。我们继续这个过程直到时间序列结束。这样做之后，我们获得了170个估计窗口。

每个窗口平移大约一年，窗口步长大约一个月。电子辅助材料ESM表1显示了每个估算窗口的初始和最终日期。在电子补充材料中，我们还提供了与英镑（ESM-图1）、欧元（ESM-图2）、瑞士法郎（ESM-图3）、日元（ESM-图4）的伦敦银行同业拆借利率的H×F平面对应的图表，这些图表分别用于在170个估计窗口上进行评估时所考虑的七种性质：O/N、1W、2M、3M、6M和12M，以这种方式给出了它们的时间演变的表示。从这些数据可以看出，100万、200万和300万到期日的形状相似。它还指出，6M和12M彼此非常相似，它们的定位点更集中。我们可以将这些结果总结为：重新检测到两种不同的动力学。在一侧，1M、2M和3M到期债券分散在飞机上。另一方面，O/N、1W、6M和12M图的分散性较小，它们的点更集中在右下角。在金融经济学词汇中，我们可以说，后一个到期日在信息上更有效：时间序列更接近随机游走。中熟期（1M、2M、3M）占据了H×F平面上与fr作用布朗运动或混沌动力学一致的位置。这是我们处理单一利率但有不同生成过程的第一个证据。为了突出两组到期日之间的不平等行为，我们计算了H×F平面上靠近右下角的点的数量，以及远离该角的点的数量。我们将这些点分为两个区域。第一，信息效率最高的区域包括H>0.75和F<0.3的点。另一个是H×F平面的补码。

我们在表1至表4中显示了点计数的结果。这些表格确定了H×F平面的眼科检查（见图ESM-图1至ESM-图4）。对于100万年期、200万年期和300万年期，只有33%到39%的点数在有效区域内，其他到期日的百分比在55%到63%之间。我们记得，每一点都反映了在给定的移动窗口下对量化器的估计。我们想询问上述特征是否随着时间的推移发生了有序的变化。考虑到我们正在研究金融时间序列的信息效率随时间的变化，我们提出了以下效率指数e:e[P]=H[P]- F[P]（9）假设两个量化器H和F都位于0和1之间，并且它们的行为预期相反，当H[P]=1，F[P]=0和e[P]=1时，我们的效率指数e[P]=1的最大值-1当H[P]=0和F[P]=1时，最有效的信息行为（即最随机的行为）是香农熵最大化和费希尔信息最小化。因此，我们的效率指数取决于[-1,1]间隔。因此，我们的效率指数可以用图1所示的颜色图表示。我们旨在评估效率随时间的演变。为此，我们在彩色地图中显示每种货币的结果，其中x轴是时间维度（即估计窗口），y轴是不同的货币。地图的颜色根据每个图形右侧的颜色比例反映出一定程度的效率，并与图1的颜色比例一致。对应于GBP的映射（参见图。

2（a））清楚地反映了两个特点。首先，O/N、1W、6M和1200万到期日的表现优于标准化香农熵钓鱼信息HMER0.20.40.6 0.8 10.10.20.30.40.50.60.70.80.91-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81图1：根据等式（9），反映出萨农-费舍尔平面效率不同程度的颜色图。中期到期。更重要的是，600万和120万在整个时期内是全球效率最高的。相反，在窗口100（2008年8月5日至2009年8月31日）之前，1M、2M和3M在信息上是有效的，并在随机行为中发生了突然的转变，即返回到窗口160（2013年3月12日至2014年5月5日）之前的路径。另外，我们可以观察到的窗口大约相当于2006年的80到65年。这张彩色地图检测到的行为与媒体报道的涉嫌操纵诽谤罪一致[7]。根据我们的结果，2006-2012年期间，伦敦银行同业拆借利率受到某种无效行为（与操纵相关）的影响。2013年，信息效率水平恢复到金融危机前的水平。就这两组到期日而言，欧元市场表现出类似的模式。然而，效率的损失并不那么严重。这可以在图2（b）中观察到，图中普遍存在橙色和红色。瑞士法郎的市场行为（见图2（c））与英国英镑市场（见图2（a））更为相似。在观察期结束时，由windows 120至windows 160组成的区域反映了信息效率的下降，信息效率的恢复缓慢。此外，在100万、200万和300万期中，60-70窗口周围有一个黄斑。日元市场（见图2（d））的效率也受到影响。

在一般情况下，我们可以从颜色图中观察到，这是一个信息较少的市场：浅橙色、黄色和浅蓝色占主导地位。在视窗120到160之间，信息效率也有严重的下降，在观察期结束时恢复，主要是O/N和12m成熟度。表1:Libor英镑不同到期日的有效期（H<0.75，F>0.3）和有效期（H>0.75，F<0.3）区域点数。信息量化器使用D=4和τ=1的Bandt-Pompe PDF进行计算。在服务效率边界百分比之外的点内点效率边界效率窗口107 63%GBP Libor O/N103 67 61%GBP Libor 1W67 103 39%GBP Libor 1M56 114 33%GBP Libor 2M58 112 34%GBP Libor 3M93 77 55%GBP Libor 6M10664 62%GBP Libor 12表2：有效期（H<0.75，F>0.3）和有效期（H>0.75，F<0.3）地区的点数伦敦银行同业拆借利率欧元。信息量化器使用D=4和τ=1的Bandt-Pompe PDF进行计算。在服务效率边界百分比之外的点数145 25 85%欧元Libor O/N113 57 66%欧元Libor 1W87 83 51%欧元Libor 1M68 102 40%欧元Libor 2M84 86 49%欧元Libor 3M90 80 53%欧元Libor 6M121 49 71%欧元Libor 12表3：不同到期日的有效（H<0.75，F>0.3）和有效（H>0.75，F<0.3）区域的点数伦敦银行同业拆借利率瑞士法郎。信息量化器使用D=4和τ=1的Bandt-Pompe PDF进行计算。在一系列效率边界百分比之外的点内点效率边界效率窗口107 63%CHF Libor O/N95 75 56%CHF Libor 1W59 111 35%CHF Libor 1M66 104 39%CHF Libor 2M58 112 34%CHF Libor 3M78 92 46%CHF Libor 6M10268 60%CHF Libor 12表4：有效期（H<0.75，F>0.3）和有效期（H>0.75，F<0.3）区域的点数伦敦银行同业拆借利率。

信息量化器使用D=4和τ=1的Bandt-Pompe PDF进行计算。在服务效率边界百分比之外的点内点效率边界效率窗口49 121 29%日元Libor S/N50 120 29%日元Libor 1W59 111 35%日元Libor 1M64 106 38%日元Libor 2M64 106 38%日元Libor 3M82 88 48%日元Libor 6M68 102 40%日元Libor 12M5我们可以从数据分析中得出的第一个结论是，所有货币和到期日的Libor，与其他到期日相比，200万美元和300万美元采用了不同的流程。与其他到期日相比，上述到期日通常反映出较低的信息效率水平。第二个重要发现是，在2007-2012年（windows 12 0-160）期间，除欧元市场外，所有市场的信息效率都显著降低。这种行为似乎与报纸上公布的未经证实的操作方式是同步的[7]。我们想强调的是，我们的方法不是为了发现操作，而是为了揭示隐藏的随机数据结构的变化。然而，它能够清楚地区分时间序列中更具确定性行为的区域，这可能与所谓的利率波动一致。参考文献[1]Bachelier L，第1900页。《生态环境科学年鉴》；巴黎，1721-86。[2] Fama EF，1976金融基础：投资组合决策和证券价格。纽约：基础书籍。[3] Sa muelson，1965证明了合理预期的价格是随机波动的。工业管理评论6 41-49。[4] Cajueiro DO，Tabak BM，2006年：中国的长期依赖现象。A应用经济学信函13 131–133。[5] Bariviera AF，2011流动性对信息效率的影响：以泰国股市为例。