Heston和Black Scholes的GLWB定价和套期保值

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英文标题：
《Pricing and Hedging GLWB in the Heston and in the Black-Scholes with
  Stochastic Interest Rate Models》
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作者：
Ludovic Goudenege, Andrea Molent, Antonino Zanette
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  Valuing Guaranteed Lifelong Withdrawal Benefit (GLWB) has attracted significant attention from both the academic field and real world financial markets. As remarked by Forsyth and Vetzal the Black and Scholes framework seems to be inappropriate for such long maturity products. They propose to use a regime switching model. Alternatively, we propose here to use a stochastic volatility model (Heston model) and a Black Scholes model with stochastic interest rate (Hull White model). For this purpose we present four numerical methods for pricing GLWB variables annuities: a hybrid tree-finite difference method and a hybrid Monte Carlo method, an ADI finite difference scheme, and a standard Monte Carlo method. These methods are used to determine the no-arbitrage fee for the most popular versions of the GLWB contract, and to calculate the Greeks used in hedging. Both constant withdrawal and optimal withdrawal (including lapsation) strategies are considered. Numerical results are presented which demonstrate the sensitivity of the no-arbitrage fee to economic, contractual and longevity assumptions.
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中文摘要：
对终身取款保障福利（GLWB）的评估引起了学术界和现实世界金融市场的极大关注。正如Forsyth和Vetzal所说，Black和Scholes框架似乎不适合这种长期成熟的产品。他们建议使用政权转换模型。或者，我们建议使用随机波动率模型（赫斯顿模型）和随机利率的布莱克-斯科尔斯模型（赫尔-怀特模型）。为此，我们提出了四种GLWB变量年金定价的数值方法：混合树有限差分法和混合蒙特卡罗法、ADI有限差分格式和标准蒙特卡罗方法。这些方法用于确定最流行的GLWB合同版本的无套利费用，并计算套期保值中使用的希腊人。同时考虑了持续退出和最优退出（包括lapsation）策略。数值结果显示了无套利费用对经济、合同和寿命假设的敏感性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Pricing_and_Hedging_GLWB_in_the_Heston_and_in_the_Black-Scholes_with_Stochastic_.pdf (1.6 MB)

2022-5-9 04:26:23 上传

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关键词：SCHOLES choles Holes Black lack

基于随机利率模型的赫斯顿和布莱克-斯科尔斯GLWB定价和套期保值*Ludovic Goudenege+Andrea MolentAntonino Zanette§AbstractValuation Guaranted Life Retain Benef（GLWB）吸引了学术界和现实金融市场的极大关注。正如Forsyth和Vetzal[9]所说，Blackand Scholes框架似乎不适合这种长期成熟的产品。他们建议使用一种体制转换模型。或者，我们建议使用随机波动率模型（赫斯顿模型）和随机利率的布莱克-斯科尔斯模型（赫尔-怀特模型）。为此，我们提出了四种GLWB变量年金定价的数值方法：混合树状差异法和混合蒙特卡罗法、有限差异方案和标准蒙特卡罗法。这些方法用于确定最流行的GLWB合同版本的无套利费用，并计算套期保值中使用的希腊人。考虑了持续退出和最优退出（包括拉普拉斯化）策略。数值结果显示了无套利费用对经济、合同和寿命假设的敏感性。关键词：可变年金，随机波动，随机利率，最优提取。*这项研究得到了中央财经大学（北京）高端外国专家项目+巴黎中央大学数学模型研究中心-CNRS FR3487-卢多维奇的支持。goudenege@math.cnrs.fr迪姆斯，的里雅斯特大学-安德烈。molent@phd.units.it§乌迪内-安东尼诺大学科学与经济统计研究所。zanette@uniud.it1简介2008年次贷危机之后，金融市场抵御了影响整个世界经济的动荡。

从那时起，这些市场极其动荡：这种情况可能会持续一段时间，并可能成为新的标准。在多次失败之后，适用于不同传送器的不同利率之间的差距越来越大，关于无风险利率识别的讨论开始了。欧洲央行和美联储的利率逐渐下降，而主权债务利率则逐渐上升。对于客户来说，很难平衡风险和回报。在这种情况下，客户寻求保护他们的储蓄，以及利用市场积极变化的能力。在社会问题方面，随着预期寿命的增加，退休年金有所下降。保险公司的使命是响应客户的保护和赔偿请求。解决方案是为客户提供一个投资账户，并为其价值提供担保。这些产品被称为可变年金。用安盛人寿投资首席执行官弗朗索瓦·罗比内特（Francois Robinet）的话说，“这些产品、保证的记账单位将成为解决长期投资安全问题的解决方案，为退休做准备”。在本文中，我们考虑一种有保证的终身提取福利（GLWB）年金。我们将注意力限制在一种简化的GLWB形式上，该形式是通过向保险公司一次性付款发起的。然后一次性投资于风险资产，通常是共同基金。福利基金或担保账户余额最初设定为一次性付款金额。即使风险资产的实际投资降至零，合同持有人有权终身提取固定比例的收益基数。合同持有人死亡后，其遗产在风险资产账户中收到剩余金额。

通常，这些合同具有棘轮条款（递增条款），如果风险资产投资增加到大于担保账户价值，则会定期增加收益基础，以及根据确定性函数定期增加收益基础的累积条款。此外，如果合同持有人在某一年内没有退出（奖金），则福利基数也可能增加。最后，在支付违约金后，合同持有人可以撤回超过合同规定金额的款项，包括完全放弃合同。此处的Completesurrender指合同持有人提取投资账户中剩余的全部金额，合同终止。在大多数情况下，全部或部分自首的处罚在五到七年后降至零。本担保的套期保值成本通过从风险资产中扣除一定比例的费用来确定。从保险的角度来看，这些产品被视为金融产品：这些产品被套期保值，就好像它们是纯粹的金融产品一样，而死亡风险则是使用largenumbers法则进行套期保值的。因此，对保险公司来说，能够快速为这些产品定价是非常重要的。此外，这些产品的期限很长，可以持续近60年。具有恒定利率和波动率的Black-Scholes模型似乎不适用于这些产品：这就是为什么我们在两个框架中介绍我们的定价方法，建模随机波动率（Heston模型[11]）和随机利率（Hull-White模型[14]）。最近有几篇关于GLWBs定价的文章。尤其值得一提的是，我们还记得福赛斯和维扎尔的工作[9]：他们在多制度模型中使用PDE方法为GLWBs合同定价。这种方法被证明是非常快速和准确的，我们将其作为我们工作的参考。

关于随机波动率的使用，Kling等人[15]使用蒙特卡罗方法对产品进行定价。我们还参考了Bacinello等人[3]：可变年金（包括GLWB）采用蒙特卡洛方法定价。假设投保人（以下简称PH）的行为是半静态的，即投保人以合同价格退保或放弃合同。在本文中，我们在Heston模型和Black-Scholes随机利率模型（BS-HW模型）中为GLWBs担保定价，并确定无套利费用。首先，我们处理一种静态提取策略：PH值以合同速率提取。然后，从套期保值者的最坏情况来看，我们假设合同持有人遵循最优退出策略，对担保进行定价。Wealso使用这些方法来计算希腊对冲和风险管理的成本。此外，我们还进行了有助于风险管理框架的摊销冲击。为此，我们提出了四种数值方法：混合树-有限差分方法和混合蒙特卡罗方法（均由Briani等人[4]介绍）、有限差分格式（Haentjens和Hout[13]）和标准蒙特卡罗方法（Longsta ff-Schwartz最小二乘回归（Longsta ff和Schwartz[16]）。我们使用“无套利费”一词的意思是，这是维持复制投资组合所需的费用。Chen等人[8]和Belanger等人[6]对此类担保的复制投资组合进行了描述。本文的主要结果如下：o我们制定了无套利费用（即。

使用不同的定价方法在Heston模型和BS HW模型中维护复制套期保值组合的成本我们展示了随机波动率和随机利率对定价和计算的影响，以及GLWB费用对各种建模参数的敏感性我们使用不同的数值方法为GLWB合同定价我们给出了数值例子，证明了这些方法的收敛性。本文的结构如下：在第2节中，我们描述了合同的主要特征，如重要性、撤回和棘轮。在第3节中，我们简要回顾了以后使用的随机模型。在第4节中，我们介绍了数值方法，以及如何实现它们来解决GLWB合同定价问题。在第5节中，我们进行测试以显示他们的行为，并研究无套利费用对经济、合同和寿命假设的敏感性。最后，在第6节中，我们给出了结论。2 GLWB合同在下文中，我们将参考Forsyth[9]的论文中描述的合同，其中有一些变量可用于将我们的结果与其他工程进行比较。我们对合同的主要特点做一个简短的总结。2.1死亡率我们以风险中性的标准对产品进行定价，因此在下文中，我们假设死亡率风险是多样化的（米列夫斯基和索尔兹伯里[17]）。如果该假设不合理，则可以使用精算保费原则调整合同的风险中性价值（Gaillardetz和Lakhmiri[10]）。在下文中，时间变量将用字母t表示，我们假设合同开始时att=0。考虑到这个年龄，我们不能再活下去了。该年龄用τ表示（通常τ=122）。初始PH值的年龄用a表示（通常a=65）。

所以，合同的到期日是T=τ- a（通常T=57）：当时间变量T达到T时，所有PHs都会消失，合同值为零。使用两个函数来描述死亡率对合同的影响：oM:[0，T]→ R是描述与PH死亡年份相关的随机变量M的概率密度。在[t，t+dt]中死亡的原始所有者的分数等于M（t）dtR:[0，T]→ R是在tR（t）=1时仍然活着的原始所有者的分数-^tM（s）ds。我们注意到R（0）=1，R（T）=0。为了简单起见，我们假设M在合同的周年纪念日之间是常数：如果t∈ [k，k+1[，k]∈ N然后M（t）=M（k）。2.2合同状态参数在t=0时，投保人向保险公司一次性支付总保费GP。这可能会减少一些初始费用，从而产生净溢价P。溢价P投资于一只基金，其价格由变量St表示。合同的状态参数为：o账户价值：At，a=P。o基本收益：Bt，B=GP。这两个变量最初都设置为等于总保费或保费。我们假设收购费用等于GP-P不用于对冲目的，但仅用于支付管理控制的进入成本。我们假设有一组离散时间ti，它表示事件时间。在这些时候，可能会出现提款、棘轮和奖金。通常情况下，事件时间为每年或每季度。我们首先考虑担保价值的演变，不包括这些事件。时间t时合同的价值用V（at，Bt，t）表示。2.3事件时间之间合同的演变。让我们∈ ]ti，ti+1[ [0，T]。正如我们之前所说，ST表示推动账户价值的基础基金。ST的动力学将在下一节中描述。

账户价值At遵循相同的STDST动态，但某些费用可能会被连续减去：dAt=AtStdSt- αtotAtdt。（2.1）我们假设向投保人收取总年费，并从位于的投资账户中连续提取。这些费用包括共同基金管理费α和为担保（也称为附加条款）αg而收取的费用αtot=αm+αg。保险公司用于对冲合同的唯一部分是来自αg的费用：其他费用必须视为PH提款时的流出资金。不断撤回的费用是福赛斯描述的合同的典型特征。在每个政策年度结束时，费用也可能被收回。ti：这是Kling等人在[15]中所做的。在第二种情况下，dat=AtStdSt。（2.2）当PH死亡时，死亡抚恤金（通常等于）将支付给PH的继承人。根据合同的规定，该死亡抚恤金可立即支付或在即将到来的活动时间支付。如果立即付款，合同立即终止，账户价值和收益基数等于零；否则，合同会一直延续到下一个活动时间，就好像什么都没发生一样。2.4事件时间事件时间是合同项下的一系列操作，发生在固定日期，通常发生在合同签署的每一天。这些事件发生的时间用ti=t·i和通常t=1。让我们定义I=T/T然后，我在{0，…i}中运行。当事件发生时，我们假设以下事件按以下顺序发生：1。保险公司提取费用（如果不是连续时间）；2.如果PH死亡，支付死亡抚恤金；3.如果PH仍然活着，他（她）有权提取一定金额的资金；4.

如果合同规定，棘轮可能会增加收益基数Bt。我们用A.-ti，B-ti，ti事件时间之前的状态变量，该事件时间发生在Ak+ti，Bk+ti，ti由于前一个编号列表的第i个点，更新后的状态变量。2.4.1 FeesFees可按账户价值连续提取，如[9]中Forsyth和Vetzal所述。在这种情况下，在两个事件时间之间，账户价值会按照（2.1）的规定发生变化，并且在事件时间内不会发生任何特殊情况：A1+ti，B1+ti，ti=A.-ti，B-ti，ti.否则，费用可能会在期限结束时收回，正如Kling等人[15]所设想的那样。在这种情况下，在两个事件时间之间，账户价值按照（2.2）的规定发生变化，在事件时间，账户价值变为A1+ti，B1+ti，ti=A.-领带-αtott、 B-ti，ti.能够根据账户价值推断管理费是很重要的，因为管理费不用于对冲合同，因此必须将其视为流出资金流。如果这些费用持续提取，我们可以通过观察两个事件时间之间的动态为fmant=αmAtdt+rtdt来计算它们。该常微分方程具有以下解fmant=^teKtsruduαmAsds。可以用在蒙特卡罗方法中。如果费用在期末提取，我们可以计算管理费占提取的总费用的一小部分：Ftotti=Ftotti-1+Ati1.- E-αtotT,Fmanti=Fmanti-1+α人αtot弗托蒂- 弗托蒂-1..2.4.2死亡福利如果保单持有人在瞬间死亡∈ ]钛-1.他（她）的继承人将获得死亡抚恤金，通常与账户价值相等。如果合同规定死亡抚恤金立即支付，则死亡抚恤金以t支付，等于。

否则，如果DB在下一个事件时间付款，DBti=A1+Tian，则合同签订（在DB付款后，合同毫无价值）：A2+ti，B2+ti，ti= （0，0，ti）。2.4.3取款、奖金、退保事件根据合同，如果保单持有人在事件发生时仍然活着，则有权从他（她）的警察处取款，前提是账户价值等于0。该金额由WTI=G给出t·B2+ti，其中G是合同规定的常数。在一个静态框架中，我们假设PH简单地绘制了WAti。否则，在优化框架中，他（她）可能会从保证撤回的部分中撤回γiof：Wti=γiGt·B2+ti.oγi=0的情况对应于不提取。在这种情况下，合同可能会提供奖金（合同规定的BTIIS）：A3+ti，B3+ti，ti=A2+ti，B2+ti（1+bti），ti.o 如果0<γi≤ 1 PH值以低于标准速率的速率提取，新的状态变量为A3+ti，B3+ti，ti=最大值0，A2+ti- Wti, B2+ti，ti.o 第三种情况是可能的：PH可能希望提取超过最大允许值的药物。在这种情况下，我们假设γi∈ ]1，2]，其中γi=2对应于完全放弃。我们的财务状况=最大0，A2+ti- Gt·B2+ti.提取金额为WTI=Gt·B2+ti+（γi- 1） A（1）- κti）。κti在哪里∈ [0,1]是超过合同金额的提款罚款。新的状态变量是A3+ti，B3+ti，ti=最大值0，A2+ti- Gt·B2+ti- （i）- 1） A, (2 - γi）B2+ti，ti=(2 - γi）A，（2）- γi）B2+ti，ti.2.4.4棘轮如果合同品种a具有棘轮（递增）特征，则如果投资账户增加，则收益基数B的价值增加。