具有秩依赖效用和增加赔款的最优保险

因此λ- u′（W-eGλ（z））T′（z）<0 for z∈ [0，a。）那么（11）意味着对于z，eg′λ（z）=0∈ （0，a）。作为结果，k=eGλ（a）=eGλ（0）=0，或λ=bλu′（W), 这是一个矛盾。所以，同样，这种情况不会发生。（C） 如果k<W-（u′）-1（λbλ），然后z∈ （a，1）存在。通过引理5.1，我们得到λ-u′（W-k） T′（z）>0。因此，z可能存在，也可能不存在∈ （0，1）使得Nλ（z）=0，且Nλ（z）>0表示z∈ （z，z）。现在我们讨论四个子类，这取决于z（C.1）的存在和位置，如果z不存在或z=0（即Nλ（z）>0表示z）∈ （0，z）），然后乘以（11），eG′λ（z）=（F-1X）′（z）代表z∈ （0，z）。结合eGλ（0）=0这一事实，我们得到了：eGλ（z）=F-1X（z），如果0.6 z<z，F-1X（z），如果z6 z6 1。这相当于一份免赔合同。（C.2）如果zexists和z∈ （0，a]，然后eg′λ（z）=（F-1X）′（z）代表z∈ （z，z）鉴于（11）。结合zand z的性质，我们推导出λ-u′（W-eGλ（z））T′（z）60。然后，使用引理5。2，我们有λ- u′（W-eGλ（z））T′（z）<0表示z∈ [0，z）。由（11）可知，对于z，eg′λ（z）=0∈ （0，z）。在这种情况下，我们可以将gλ（·）表示为f ollowseGλ（z）=0，如果0 6 z<z，F-1X（z）- F-1X（z），如果z6 z<z，F-1X（z）- F-1X（z），如果z6 z6 1。这是一个三重契约，如图2所示。（C.3）如果zexists和z∈ （b，1）（回想一下，b是权重函数t（·）从凹变凸的转折点），然后与案例C.2类似的分析表明λ-u′（W-eGλ（z））T′（z）>0和λ-u′（W-eGλ（z））T′（z）<0。这意味着u′（W-eGλ（z））T′（z）>u′（W-eGλ（z））T′（z）。然而，u′（W-eGλ（z））>u′（W-例如λ（z））>0和T′（z）>T′（z）>0，这是一种对立。所以，这种情况是不可行的。（C.4）如果zexists和z∈ （a，b），然后λ- u′（W-eGλ（z））T′（z）<0。我们证明了λ（z）≡eGλ（z）Z∈ [0，z]。事实上，如果它为假，则存在zsuch thatRzz[λ-u′（W-eGλ（z）T′（T）]dt=0和rzz[λ-u′（W-对于z，eGλ（z））T′（T）]dt<0∈ （z，z）。

然而，λ- u′（W-eGλ（z））T′（z）<λ-u′（W-eGλ（z））T′（z）<0表示z∈ （z，z）自从z∈ （a，b）.所以，Rzz[λ-u′（W-eGλ（z）T′（T）]dt<（λ-u′（W-eGλ（z））T′（z））（z- z） <0，这不是矛盾。因此，k=F-1X（z）- F-1X（z）。FromRz[λ- u′（W- k） T′（T）]dt=0，它遵循λ=u′（W- k） 一,-T（z）1-z=u′（W+ F-1X（z）-F-1X（z））1-T（z）1-z、 然而，Zzzu′（W+ F-1X（z）- F-1X（z））1- T（z）1- Z- u′（W+ F-1X（z）- F-1X（t））t′（t）dt>Zzzu′（W+ F-1X（z）- F-1X（z））1- T（z）1- Z- u′（W+ F-1X（z）- F-1X（z））T′（T）dt=u′（W+ F-1X（z）- F-1X（z））（z- z）1.- T（z）1- Z-T（z）- T（z）z- Z> 0，其中最后一个不等式来自附录A中的L emma A.1-（ii）。这是一个矛盾。因此，目前的情况也不会发生。总之，对于任意λ>bλu′（W), 根据上文案例C.1和案例C.2的规定，只有免赔额和三重合同可能是最优的。接下来，我们将更仔细地调查这两起案件。定义函数h（·）在[a，c]上如下：（z） ：=Zzu′（W- F-1X（z））（1- T（z））1- Z- u′（W- F-1X（t））t′（t）dt。

（22）然后，使用引理5.2 a和-T（a）1-a=T′（a），我们有（a） =Zau′（W- F-1X（a））T′（a）- u′（W- F-1X（t））t′（t）dt<0。回想T（c）=c，我们有（c） =Zcu′（W- F-1X（c））（1- T（c））1- C- u′（W- F-1X（t））t′（t）dt=Zc[u′（W- F-1X（c））- u′（W- F-1X（t））t′（t）]dt>u′（W- F-1X（c））c-Zc[u′（W）- F-1X（c））T′（T）]dt=0。此外，我们取h的导数（z） 关于z∈ [a，c]获得（z） =-u′（W- F-1X（z））T′（z）+u′（W- F-1X（z））1- T（z）1- Z-u′（W- F-1X（z））1- T（z）1- zz（F）-1X）′（z）+u′（W）- F-1X（z））z1-T（z）1-Z- T′（z）1- z=u′（W- F-1X（z））1.- T（z）1- Z- T′（z）- u′（W- F-1X（z））1- T（z）1- zz（F）-1X）′（z）+u′（W）- F-1X（z））z1-T（z）1-Z- T′（z）1- z> 0。因此，存在一个独特的点l∈ （a，c）使（l）) = 0，h（z） <0代表z∈ （a、l）), 安德（z） z大于0∈ （l）, c） 。负（z）=F-1X（z），如果0.6 z<l,F-1X（长）), 如果我6 z 6 1，（23）和K:=RG（z）dz。命题5.1如果K6. < E[X]，则（6）的最优解是g*（z）=F-1X（z），如果0.6 z<f，f-1X（f），如果f 6 z 6 1，（24），其中f是唯一的标量，使得f>l安德格*（z） dz=.证明：f的存在源于G的单调性*立即回复f。表示λ:= u′（W- F-1X（f））1-T（f）1-f、 我们需要证明G*（·）满足度（11），λ=λ.首先，简单地说-F-1X（f））（1-T（f））1-F- u′（W- F-1X（f））T′（T）idt=0。接下来，我们要证明-F-1X（f））（1-T（f））1-F- u′（W- F-1X（t））t′（t）idt>0Z∈ （0，f）。

我们把证据分为两种情况如果z∈ [a，f]，然后是ZFZu′（W- F-1X（f））（1- T（f））1- F- u′（W- F-1X（t））t′（t）dt>Zfzu′（W- F-1X（f））（1- T（f））1- F- u′（W- F-1X（f））T′（T）dt=u′（W- F-1X（f））（f）- z）1.- T（f）1- F-1.- T（z）1- Z> 0，其中最后一个不等式是引理4.1的结果如果z∈ （0，a）和u′（W）- F-1X（z））T′（z）6u′（W-F-1X（f））（1-T（f））1-f、 然后通过引理5.2和上面的结果，我们得到了zfzu′（W- F-1X（f））（1- T（f））1- F- u′（W- F-1X（t））t′（t）dt=Zazu′（W- F-1X（f））（1- T（f））1- F- u′（W- F-1X（t））t′（t）dt+Zfau′（W- F-1X（f））（1- T（f））1- F- u′（W- F-1X（t））t′（t）dt>Zazu′（W- F-1X（f））（1- T（f））1- F- u′（W- F-1X（t））t′（t）dt>Zazu′（W- F-1X（z））T′（z）- u′（W- F-1X（t））t′（t）dt>0。如果z∈ （0，a）和u′（W）- F-1X（z））T′（z）>u′（W-F-1X（f））（1-T（f））1-弗霍兹u′（W- F-1X（f））（1- T（f））1- F- u′（W- F-1X（t））t′（t）dt=Zflu′（W- F-1X（f））（1- T（f））1- F- u′（W- F-1X（t））t′（t）dt+ZlZu′（W- F-1X（f））（1- T（f））1- F- u′（W- F-1X（t））t′（t）dt>ZlZu′（W- F-1X（f））（1- T（f））1- F- u′（W- F-1X（t））t′（t）dt>ZlZu′（W- F-1X（长）))(1 - T（l）))1.- L- u′（W- F-1X（t））t′（t）dt=Zlu′（W- F-1X（长）))(1 - T（l）))1.- L- u′（W- F-1X（t））t′（t）dt-Zzu′（W- F-1X（长）))(1 - T（l）))1.- L- u′（W- F-1X（t））t′（t）dt=-Zzu′（W- F-1X（长）))(1 - T（l）))1.- L- u′（W- F-1X（t））t′（t）dt>0，其中最后一个不等式是tou′（W- F-1X（z））T′（z）>u′（W- F-1X（f））（1- T（f））1- f> u′（W- F-1X（长）))(1 - T（l）))1.- L,就像我6f和u′（W- F-1X（z））T′（z）在[0，a]上严格递减。现在，这一说法如下。引理5.3如果0< < K, 那么相应的最优契约就不是一个可扣除的契约。证明：存在λ*例如λ*（·）λ下的满意度（11）*安德烈λ*（z） dz= （见附录C）。

IfeGλ*（·）对应于免赔额合同，则存在sz（自 < K, 我们有z<l)例如λ*（z）=F-1X（z），如果0.6 z<z，F-1X（z），如果z 6 z 6 1。（25）自λ*（·）满足（11），我们有z[λ*- u′（W- F-1X（z））T′（T）]dt=0，或λ*= u′（W-F-1X（z））1-T′（z）1-z、 另一方面，M（z）：=Rzz[u′（W- F-1X（z））1-T′（z）1-Z- u′（W- F-1X（t）t′（t）]dt>0 forz∈ [0，z]。然而，根据l, H（z）≡ M（0）=Rz[u′（W）-F-1X（z））（1-T（z））1-Z- u′（W-F-1X（t）t′（t）]dt<0 asz<l. 因为M（·）是一个连续函数，所以产生了矛盾。由引理5.3可知，如果0 < K, 最佳控制行为（始终存在）通常是三重控制行为，对应于情况C.2。我们现在被引导到以下命题。命题5.2如果0< < K, 然后给出了（6）的最优解*（z）=0，如果0 6 z<z，F-1X（z）- F-1X（z），如果z6 z<z，F-1X（z）- F-1X（z），如果z6 z6 1，其中z，zare使得z6 a 6 z，Rzz[u′（W-F-1X（z）+F-1X（z））（1-T（z））1-Z- u′（W- F-1X（t）+F-1X（z））T′（T）]dt=0和rg*（z） dz=.证明：结论是引理5.3的直接结果。注：任何一对（z，z）满足命题5.2中的要求都会导致（6）的最优解。因此，这样一对（z，z）是唯一的，因为（6）的最优解是唯一的。命题5.1和命题5.2给出了两个在质量上不同的最优契约，用于任何给定的0< < E[X]，这两种情况根据是否 < K. 然而，K大体上取决于 以含蓄而复杂的方式；所以很难比较 安德克. 然而，我们能够处理至少两种情况，其中Au（z）在z中是常数或严格递减。首先，假设效用函数表现出恒定的绝对风险厌恶，例如u（z）=1-E-αzZ∈ R+。那么很容易从m（22）中看出独立于, 因此，K也是如此.

在本例中，表示K≡ Kbπ=（1+ρ）（E[X]- K） 。然后我们得到以下结果。定理5.4假设假设假设2.1、2.3和5。2小时后，u（·）表现出恒定的风险规避。最优独立函数I*问题（2）的（·）表示为（i）如果π=（1+ρ）E[X]，则i*（z） =z代表z∈ [0，M]。（ii）如果bπ<π<（1+ρ）E[X]，则*（z）=z、 如果0.6z<F-1X（z），F-1X（z），如果F-1X（z）6 z<F-1X（z），z- F-1X（z）+F-1X（z），如果F-1X（z）6z6m，其中（z，z）是满足z6a6z，Rzz[u′（W）的唯一对-F-1X（z）+F-1X（z））（1-T（z））1-Z-u′（W- F-1X（t）+F-1X（z））T′（T）]dt=0，E[I*（十） ]=π1+ρ。（iii）如果0 6π6 bπ*（z）=0，如果0 6 z<F-1X（f），z- F-1X（f），如果f-1X（f）6z6m，其中f是满足E[I]的唯一标量*（十） ]=π1+ρ。证明：结果来自命题5.1、5.2和K是任意0的常数 < E[X]。现在，我们研究Au（z）严格递减的情况。我们需要下面的引理。引理5.5如果0<< < E[X]，然后a<l< L< C证据：根据l的定义, 我们有（l）) =Zlu′（W- F-1X（长）))(1 - T（l）))1.- L- u′（W- F-1X（t））t′（t）dt=0。自从W< W, 我们有‘（W-F-1X（长）))u′（W-F-1X（长）))<u′（W-F-1X（t）u′（W-F-1X（t））代表t∈ [0，l) 引理A.2附录A.亨塞（l）) =Zlu′（W- F-1X（长）))(1 - T（l）))1.- L- u′（W- F-1X（t））t′（t）dt<0。因此，h（l）) < 0，h（c） >0。自h′以来（z） z大于0∈ [l], c） 我们得到了∈ （l）, c） 。定义（d） ：=RdF-1X（z）dz+RdF-1X（d）dz=RdF-1X（z）dz+F-1X（d）（1）- d） 在d∈ [a，c]。然后′（d） =（1）-d） （F）-1X）′（d）>0。因此（·）是一个连续且严格递增的函数。

决断力（a） 我呢（c） 由h（a） （l）（a） ）=0和h（c） （l）（c） ）=0，和sete := （l）（a） ）及 := （l）（c） ）。最后，将[a，c]上的函数g（·）定义为：g（z）：=Zzu′（W+（1+ρ）（z）- F-1X（z））（1- T（z））1- Z- u′（W+（1+ρ）（z）- F-1X（t））t′（t）dt。命题5.3假设假设假设2.1、2.3和5.2成立，且Au（·）严格递减。然后（6）的最优解为（i）如果 = 0，然后是G*（z） =00 6 z 6 1。（ii）如果0< 6e, 曾*（z）=0，如果0 6 z<z，F-1X（z）- F-1X（z），如果z6 z<z，F-1X（z）- F-1X（z），如果z6 z6 1，（26），其中z，zare使得z6 a 6 z，Rzz[u′（W-F-1X（z）+F-1X（z））（1-T（z））1-Z- u′（W- F-1X（t）+F-1X（z））T′（T）]dt=0，和rg*（z） dz=.（三）外地综合行动 <  < , 那就让p∈ （l）（a） ，l（c） ）以至于（p） =. 如果g（p）<0，则*（z）=0，如果0 6 z<z，F-1X（z）- F-1X（z），如果z6 z<z，F-1X（z）- F-1X（z），如果z6 z6 1，（27），其中z，zare使得z6 a 6 z，Rzz[u′（W-F-1X（z）+F-1X（z））（1-T（z））1-Z- u′（W- F-1X（t）+F-1X（z））T′（T）]dt=0，和rg*（z） dz=. 如果g（p）>0，那么*（z）=F-1X（z），如果0.6 z<f，f-1X（f），如果f 6 z 6 1，（28），其中f小于l（c） 安德格*（z） dz=.（iv）如果 6. 6 E[X]，曾*（z）=F-1X（z），如果0.6 z<f，f-1X（f），如果f 6 z 6 1，（29），其中f等于f>l（c） 安德格*（z） dz=.证明：（i）、（ii）和（iv）是命题5.1、5.2和引理5.5的直接结果。对于（iii），有一个独特的p∈ （l）（a） ，l（c） ）以至于（p） =, 这源于ofe的定义,事实上（·）是一个连续且严格递增的函数。如果g（p）<0，那么h（p） <0；因此我> p、 所以， < K. 预期结果来自命题5.2。（p）>0的证明是相似的。

让我们给出保险费和赔偿函数的结果。定理5.6假设假设假设2.1、2.3和5.2成立，并且Au（·）严格递减。然后是最优独立函数i*问题（1）的（·）表示为（i）如果π=（1+ρ）E[X]，则i*（z） =zZ∈ [0，M]。（ii）如果（1+ρ）（E[X]-E) 6π<（1+ρ）E[X]，然后*（z）=z、 如果0.6z<F-1X（z），F-1X（z），如果F-1X（z）6 z<F-1X（z），z- F-1X（z）+F-1X（z），如果F-1X（z）6z6m，其中（z，z）是满足z6a6z，Rzz[u′（W）的唯一对-F-1X（z）+F-1X（z））（1-T（z））1-Z-u′（W- F-1X（t）+F-1X（z））T′（T）]dt=0，E[I*（十） ]=π1+ρ。（iii）如果（1+ρ）（E[X]-) < π<（1+ρ）（E[X]-E), 那就让p∈ （l）（a） ，l（c） ）以至于（p） =E[X]-π1+ρ. 如果g（p）<0，那么*（z）=z、 如果0.6z<F-1X（z），F-1X（z），如果F-1X（z）6 z<F-1X（z），z- F-1X（z）+F-1X（z），如果F-1X（z）6z6m，其中（z，z）是满足z6a6z，Rzz[u′（W）的唯一对-F-1X（z）+F-1X（z））（1-T（z））1-Z-u′（W- F-1X（t）+F-1X（z））T′（T）]dt=0，E[I*（十） ]=π1+ρ。如果g（p）>0，那么i*（z）=0，如果0 6 z<F-1X（f），z- F-1X（f），如果f-1X（f）6 z 6 M，其中q是满足gf<l的唯一数（c） 和E[I]*（十） ]=π1+ρ。（iv）如果0 6π6（1+ρ）（E[X]-), 塞尼*（z）=0，如果0 6 z<F-1X（f），z- F-1X（f），如果f-1X（f）6 z 6 M，其中q是满足g f>l的唯一数（c） 和E[I]*（十） ]=π1+ρ。证据：它很容易遵循命题5.3。6数值说明在本节中，我们用一个数值例子来说明我们的结果，给出了一个溢价π。为了进行比较，我们采用了与Bernard等人（2015）相同的数值设置：损失X服从截尾指数分布，密度函数f（X）=me-mx1-E-mM，其中强度参数m=0.1，m=10。初始财富W=15，u（x）=1- E-γx，γ=0.02。此外，ρ=0.2，π=3。最后，加权函数Tθ（x）=xθ（xθ+（1-x） θ）θ，θ=0.5。

我们可以验证，在这种情况下，定理5.4的假设是满足的。0 1 2 3 4 5 600.511.522.533.544.5损失风险I（X）Bernard et al.（2015）我们的结果图3：我们的结果与Bernard et al.（2015）的对比。Bernard等人（2015年）获得的最佳赔偿在图3中以蓝色绘制。我们注意到，根据Bernard等人（2015）的结果，如果损失在1到2之间，那么被保险人有动机隐藏部分损失，以便获得更大的赔偿。与此相反，我们的赔偿功能（用红色表示）正在增加，赔偿的任何增加总是小于或等于损失的增加。它有效地排除了上述口腔危害行为。7结论在本文中，我们研究了一个最优保险设计问题，其中被保险人具有RDUpreference。有文献证明，这种偏好比欧盟偏好更能捕捉人类行为。我们工作的主要贡献在于，我们的最优契约对于损失是单调的，从而消除了与现有结果相关的道德风险的潜在问题。从我们的结果中得出的一个有趣结论是，在我们的假设（特别是假设5.2-（ii））下，只有两种类型的非平凡最优合同是可能的，一种是经典免赔额，另一种是三重合同，涵盖小的和大的损失。虽然我们已经证明了假设5.2-（ii）适用于许多经济利益案例，但在数学上仍然是一个悬而未决的问题。A一些引理在这一部分中，我们证明了在第5节中使用的一些引理。引理A.1假设T（·）：[0,1]7→ [0,1]假设2.3。

我们得到以下结果：（i）如果a<z，那么T′（z）<1-T（z）1-z、 （ii）如果a<z<b且z<z<1，则-T（z）1-z> T（z）-T（z）z-z、 证明：（i）如果a<z6b，那么T′（z）<T′（a）<1-T（z）1-z、 如果b<z，那么T′（z）<1-T（z）1-zsince T（·）是凸的，并且在[b，1]上严格递增。（ii）自- T（z），1- z、 T（z）- T（z）和z- zare完全肯定，我们有1个- T（z）1- z> T（z）- T（z）z- Z<==>1.- T（z）1- z> （1）- T（z））+（T（z）- T（z））（1- z） +（z）- z）<==>1.- T（z）1- z> 一,- T（z）1- z、 然而，1-T（z）1-z> 一,-T（z）1-从引理4.1开始。对于固定x>0，定义q（z）：=u′（x+z）u′（x- z） 在z上∈ （0，x）。引理A.2如果-u′（z）u′（z）是严格递减的，那么q（z）是z上的严格递增函数∈ （0，x）。证明：我们取导数：q′（z）=u′（x+z）u′（x- z）- u′（x+z）u′（x）- z） =u′（x+z）u′（x- z）(-u′（x）- z） u′（x）- z） )- (-u′（x+z）u′（x+z））> 因此，我们得到了结果。B（6）和（8）最优解的存在性我们首先证明了约束集G在某些范数下是紧的。我们考虑[0,1]上的所有连续函数，表示为C[0,1]。将x（·）、y（·）之间的度量定义为ρ（x（·）、y（·））=max06t61 | x（t）- y（t）|，x（·），y（·）∈ C[0,1]。显然，C[0，1]是ρ下的度量空间。根据Arzela–Ascoli定理，对于任意序列（Gn（·））n∈在G中，存在一个在ρ下收敛于C[0,1]的子序列Gnk（·）。引理B.1可行集G在ρ下是紧的。证明：对于任意序列（Gn（·））n∈在G中，存在一个子序列Gnk（·），它在G中一致收敛*(·) ∈ C[0,1]。我们现在证明G*(·) ∈ 如果存在这样的a>b*（b）- G*（a） =η>0，然后取ε：=η。如果从一致收敛性得出，存在ρ（Gnk（·），G*(·)) 6 ε  k>k。因此，0<η=G*（b）- G*（a） =G*（b）- Gnk（b）+Gnk（b）- Gnk（a）+Gnk（a）- G*（a） 6ε+0+ε=η k>k，这是一个矛盾。这证明了0.6克*（a）- G*（b）a>b。