具有秩依赖效用和增加赔款的最优保险

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英文标题：
《Optimal Insurance with Rank-Dependent Utility and Increasing Indemnities》
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作者：
Xu Zuo Quan, Zhou Xun Yu, Zhuang Sheng Chao
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  Bernard et al. (2015) study an optimal insurance design problem where an individual\'s preference is of the rank-dependent utility (RDU) type, and show that in general an optimal contract covers both large and small losses. However, their contracts suffer from a problem of moral hazard for paying more compensation for a smaller loss. This paper addresses this setback by exogenously imposing the constraint that both the indemnity function and the insured\'s retention function be increasing with respect to the loss. We characterize the optimal solutions via calculus of variations, and then apply the result to obtain explicitly expressed contracts for problems with Yaari\'s dual criterion and general RDU. Finally, we use a numerical example to compare the results between ours and that of Bernard et al. (2015).
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中文摘要：
Bernard等人（2015年）研究了一个最优保险设计问题，其中个人的偏好是秩相关效用（RDU）类型，并表明一般而言，最优合同涵盖了大小损失。然而，他们的合同存在道德风险问题，因为他们要为较小的损失支付更多的赔偿。本文通过对赔偿功能和被保险人的保留功能都会随着损失的增加而增加这一约束来解决这一挫折。我们通过变分法刻画了最优解的特征，然后将结果应用于Yaari对偶准则和一般RDU问题的显式表示契约。最后，我们使用一个数值例子来比较我们和Bernard等人（2015）的结果。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Optimal_Insurance_with_Rank-Dependent_Utility_and_Increasing_Indemnities.pdf (525.15 KB)

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关键词：Mathematical Quantitative MORAL HAZARD Compensation mathematica

具有秩相关效用和增加赔款的最优保险*周迅宇+庄胜超2018年10月11日AbstractBernard et al.（2015）研究了一个最优保险设计问题，其中个人的参考是秩相关效用（RDU）ty pe，并表明一般而言，最优合同涵盖了大小损失。然而，他们的合同不存在道德风险问题，因为他们需要为较小的损失支付更多的赔偿。本文通过外部施加约束，即赔偿函数和被保险人的保留函数都会随着损失的增加而增加，从而解决了这一挫折。我们通过变分法对最优解进行了刻画，然后利用这一结果得到了带有Yaari对偶准则和一般RDU的显式合同问题。最后，我们使用一个数值例子来比较我们和Bernard等人（2015）的结果。关键词：最优保险设计、秩相关效用理论、Yaari对偶准则、概率加权函数、道德风险、赔偿函数、保留函数、量化公式。*香港理工大学应用数学系，香港九龙。电子邮件：maxu@polyu.edu.hk.作者感谢香港早期职业计划（编号533112）、香港普通研究基金（编号529711）和中国国家自然科学基金会（编号11471276）的财政支持。+牛津大学数学研究所和野村数学金融中心，以及牛津-曼恩定量金融研究所，英国牛津大学OX2 6GG。

本文作者感谢牛津大学创业基金的支持，以及野村数学金融中心和牛津定量金融研究所的研究资助加拿大安大略省滑铁卢滑铁卢滑铁卢大学统计和精算科学系，N2L 3 G1。1引言最优保险合同设计是一个重要问题，不仅体现在理论上，也体现在保险和金融实践中。问题是根据损失（称为赔偿）确定最佳赔偿金额，以便在受保险人参与约束的情况下，最大限度地提高被保险人的满意度。在保险文献中，大多数工作假设保险人是风险中性的，而被保险人是风险规避预期效用（EU）最大化者；例如，见Arrow（1963年）、Raviv（1979年）、andGollier和Schlesinger（1996年）。在这种情况下，最优合同通常是一个可扣除的合同，涵盖了超过可扣除水平的部分损失。然而，欧盟理论受到了许多批评，因为它未能解释大量的实验观察和理论困惑。在保险合同的背景下，经典的基于欧盟的模型无法解释保险需求中的一些行为，例如f或小损失（例如担保需求）；参见Bernard等人（2015）中的详细讨论。为了克服欧盟理论的这一缺陷，人们提出了不同的评估结果不确定性的方法来描述人类行为。

一个值得注意的是Quiggin（1982）提出的秩依赖性（RDU），它由凹效用函数和逆S形概率加权（或失真）函数组成。通过概率加权，RDU理论抓住了一个常见的观察结果，即人们倾向于夸大极端好的和坏的结果的小概率。随着先进数学工具的发展，theRDU偏好已应用于许多金融领域，包括投资组合选择和期权定价。另一方面，Barseghyan等人（2013年）利用家庭在汽车和家庭保险中的保险免赔额决策数据来证明概率权重的重要性和重要性，并提出将其结论推广到其他保险选择的可能性。在RDU fr工作范围内，还进行了保险合同设计方面的研究；例如，参见Chateauneuf、Dana和Tallon（2000年）、Dana和Scarsini（2007年）以及Carlier和Dana（2008年）。然而，所有这些论文都假设概率加权函数是凸的。Bernard et a l.（2015）可能是第一个使用最初为投资组合选择开发的分位数公式（Jin和Zhou 2008，He和Zhou 2011）研究基于RDU的带反向加权函数的保险损失的人。他们得出的最优合同不仅能确保大损失超过免赔额水平，还能覆盖小损失。然而，当效用函数为恒等式函数时，他们的合同受到严重影响，RDU偏好降低为Yaari的双重标准（Yaari 1987）。道德风险的问题，因为它们与损失无关。因此，被保险人可能会被激励隐瞒其真实损失，以获得额外赔偿；参见Bernard等人（2015）第175-176页的讨论。本文旨在解决这一挫折。

我们考虑与Bernard等人（2015）相同的保险模式，但增加了一个明确的约束，即赔偿功能和被保险人的保留功能（即被保险人承担的部分损失）必须相对于损失在全球范围内增加。这种限制将完全排除上述口腔危害行为；然而，从数学上来说，这会带来很大的困难。Bernarder等人（2015）中使用的方法不适用。我们开发了一种克服这一困难的通用方法。具体来说，我们首先通过变分法推导出最优解的必要和充分条件。然后，通过对这些条件的详细分析，我们推导出显式表达的最优契约。一个有趣的发现是，对于一个良好且合理的参数规格范围，只有两种类型的optima合同，一个是经典的免赔额，另一个是“三倍”“一个包括小损失和大损失。本文的剩余部分组织如下。第2节介绍了RDU框架下的最优保险模型，包括其分位数公式。第3节应用变量计算，得出了最优解的一般必要和有效条件。然后，我们推导出Yaari准则和一般RDU的最优合同分别在第4节和第5节中。第6节提供了一个数值例子来说明我们的结果。最后，我们以第7节结束。一些引理的证明放在附录中。2.模型在本节中，我们介绍了最优保险控制模型，其中被保险人有RDU类型的偏好，然后是分位数公式，这将有助于推导出解决方案。2.1问题表述我们遵循Bernard et al.（2015）的问题表述，除了一个关键的差异，我们将强调这一差异。

让(Ohm, F、 P）是一个概率空间。在本文中，被赋予初始财富的被保险人，通过一个“递增”函数，我们指的是一个“非递减”函数，即当x>y时f（x）>f（y）是递增的。当x>y时，我们说f（x）>f（y）是“严格递增的”。对于“递减”和“严格递减”函数，我们也有类似的约定。W、 面临[0，M]中支持的非负随机损失X，其中M是给定的正标量。他选择保险合同来保护自己免受损失，在发生损失的情况下，他向保险人支付保费π以换取赔偿（或赔偿）。在本文中，这种补偿被确定为损失X的函数，用I（·）表示。保留函数R（X）：=X- 因此，I（X）是由被保险人承担的损失部分。对于给定的X，被保险人的目标是选择一份保险合同，根据其风险偏好在保费和赔偿之间提供最佳权衡。在本文中，我们考虑当被保险人的偏好是RDU类型时的情况。此RDU首选项由两个组件组成：实用函数u:R+7→ R+和概率加权函数T:[0,1]7→ [0, 1]. 让我们用Vrdu（W）表示被保险人最终（随机）财富W的RDU，它是u（W）相对于容量T的Choquet积分o P、 即Vrdu（W）=Zu（W）d（To P） ：=ZR+u（x）d[-T（1）- FW（x））]，其中FW（·）是W的累积分布函数（CDF）。假设T是可微的，我们可以重写vrdu（W）=ZR+u（x）T′（1）- FW（x））dFW（x）。如果T为倒S形，即先凹后凸；如图1所示，上述表达式表明，在计算U（W）的平均值时，T所起的作用是使W的两个尾部都过重。

另一方面，如果保险人是风险中性的，并且提供赔偿的成本与赔偿的预期成比例，那么保险合同的保费应满足参与约束π>（1+ρ）E[I（X）]，其中常数ρ是保险人的安全负荷。需要一个补偿函数来满足yi（0）=0，06i（x）6x， 0 6 x 6 M，（1）大多数保险合同文献中施加的约束。如果被保险人的偏好是由经典的欧盟理论决定的，那么最优合同通常是一个免赔额合同，它自动使赔偿函数增加；例如，见Arrow（1971）和Raviv（1979）。然而，对于RDU偏好，由此产生的最佳赔偿可能不是递增函数，如Bernard等人（2015）所示。正如前面指出的那样，这可能会导致道德风险。同样，非单调保留函数也可能导致道德风险。因此，在合同中加入越来越多的约束是一个悬而未决的问题。在本文中，我们要求赔偿函数满足I（0）=0和0 6 I（x）- I（y）6x- Y 06y<x6m。换句话说，我们开始在全球范围内限制保留和赔偿功能。我们现在可以把我们的保险合同问题表述为axi（·）Vrdu（W）- π - X+I（X））s.t。

（1+ρ）E[I（X）]6π，I（·）∈ 一、 其中I:={I（·）：I（0）=0,06i（x）- I（y）6x- Y 6和6是固定的。对于任何随机变量Y>0 a.s.，定义Y asF的分位数函数-1Y（t）：=inf{x∈ R+：P（y6x）>t}，t∈ [0, 1].请注意，任何量子函数都是非负的、递增的和左连续的（ILC）。我们现在介绍以下假设，这些假设将在下文中使用。假设2.1随机损失X具有严格递增的分布函数FX。此外，F-1Xis在[0,1]上绝对连续。假设2.2（凹效用）效用函数u:R+7→ R+在严格地增加，并且不断地变化。此外，u′正在减小。假设2.3（逆S形加权）概率加权函数T是一个连续且严格递增的映射，从[0,1]到[0,1]，在（0,1）上是两次可微分的。此外，还有b∈ （0，1）使得T′（·）在（0，b）上严格递减，在（b，1）上严格递增。此外，T′（0+）：=limz↓0T′（z）>1和d′（1）-) := 林茨↑1T′（z）=+∞.假设2.1的第一部分对分位数公式至关重要，是标准的；例如，见拉维夫（1979年）。注：与Bernard等人（2015年）的一个显著不同之处在于，我们在这里允许有原子（在保险领域通常是这样）。例如，假设X的分布为fx（X）=1-γe-ηx1-γe-ηMfor x∈ [0，M]，其中γ∈ （0,1）和η>0。然后，X满足假设2。1，并且在0处有一个原子，概率P（X=0）=1-γ1-γe-ηM>0。这个假设也保证了F-1X（FX（x））≡ 十、 十、∈ [0，M]，这一事实将在后续分析中经常使用。接下来，假设2.2是效用函数的标准。最后，假设2.3满足文献中提出或使用的许多权重函数，例如：。

由Tversky和Kahneman（1992）提出（由θ参数化）：Tθ（x）=xθ（xθ+（1- x） θ）θ。（3） 图1显示了当θ=0.5.0 0.2 0.4 0.6 0.8 100.10.20.30.40.50.60.70.80.91xT（x）a C图1：一个满足假设2.3的反S形加权函数。标记点A和c将在后面解释。实际上，大多数保险合同都不是为个人客户量身定制的。相反，保险公司通常有不同保费的合同，以满足不同需求的客户。每项合同的设计都以代表客户的最佳利益为出发点，以保持市场竞争力和竞争力，同时保持预期的稳定性（参与约束）。然后，被保险人可以从合同菜单中选择一项来满足个人需求。因此，问题（2）是由保险公司制作此菜单引起的。如果溢价π>（1+ρ）E[X]，那么I*（十）≡ x（对应于一个完全覆盖）是可行的，并有针对性地最大化问题（2）中的目标函数；因此是最优的。为了排除这种简单的情况，从今往后我们限制0<π<（1+ρ）E[X]。此外，我们假设- （1+ρ）E[X]- M>0，（4）确保投保人不会破产。这是因为W- π - M>0， π ∈（0，（1+ρ）E[X]）。考虑保留函数R（x）=x更方便- 在我们下面的研究中，是I（x）而不是I（x）。让 := E[X]-π1+ρ∈ （0，E[X]），W:=W- （1+ρ）E[X]>0，W:=W+（1+ρ） ≡ W- π、 我们可以将（2）重新表示为R（·）：maxR（·）Vrdu（W）- R（X）s.t.E[R（X）]>,R（·）∈ R、 （5）式中：={R（·）：R（0）=0，06r（x）- R（y）6x- Y 2.2分位数公式（5）中的目标函数在R（x）中不是凹的（由于非线性加权函数T），导致求解（5）的一大困难。

然而，根据假设- R（X））=ZR+u（X）d[-T（1）- FW-R（X）（X））]=Zu（F-1W-R（X）（z））T′（1- z） dz=Zu（W- F-1R（X）（1）- z） ）T′（1- z） dz=Zu（W- F-1R（X）（z））T′（z）dz，其中第三个等式是因为F-1W-R（X）（z）=W- F-1R（X）（1）- z） 除了一组可数的z。另一方面，E[R（X）]> 是等效的toRF-1R（X）（z）dz>.以上表明，我们可以将决策变量从随机变量R（X）改为其分位数函数F-1R（X），其中f（5）的目标函数为凹函数，且FirstConstraint为线性。它仍然需要重写单调性约束（由约束集r表示）也就是F-1R（X）。为此，下一个引理起着重要作用。引理2.1在假设2.1下，对于任何g i ven R（·）∈ R、 我们有R（x）=F-1R（X）（FX（X））， 十、∈ [0，M]。证明：首先，通过R（·）的单数性，我们得到了P（R（X）6r（X））>P（X 6x）=FX（X），通过F的定义-1R（X）（FX（X）），我们得出结论-1R（X）（FX（X））6 R（X）。必须证明逆不等式。考虑两种情况R（x）=0：在这种情况下，我们有F-1R（X）（FX（X））=0，因为分位数函数是非负的R（x）>0：对于任何z<R（x），证明P（R（x）6z）<FX（x）是必要的。以z<z<R（x）为例。通过R（·）的连续性和单调性，存在y，使得y<x和R（y）=z。然后，P（R（x）6 z）6 P（R（x）<z）=P（R（x）<R（y））6 P（x 6 y）=FX（y）<FX（x），其中我们使用了FX在假设2.1下严格增加的fact。这一主张由此得到证实。鉴于上述结果，我们可以将（5）改写为以下问题，其中decisionvariable为f-1R（X）（·）（为了简单起见，用G（·）表示）：maxG（·）Ru（W）- G（z））T′（z）dz，s.T.RG（z）dz>,G（·）∈ G、 （6）式中G:={F-1R（X）（·）：R（·）∈ R} 。在没有显式表达式的情况下，约束集G很难处理。以下结果解决了这个问题。