具有秩依赖效用和增加赔款的最优保险

类似地，我们可以证明G*（a）- G*（b） 6楼-1X（a）- F-1X（b）。现在可以证明（6）和（8）的最优解的存在性。例如，对于（8），设vλ() 是（8）在给定λ和. 我们可以取一个序列（Gn（·））n∈Nin Gsuch vλ() = 画↑+∞U（λ，Gn（·））。然后，根据引理B.1，存在一个子序列NK（·）收敛到G*（·）在G和G中*（·）是（8）的最优解。对于r（6），证明是相似的。C拉格朗日乘子到（6）的存在对于以下引理，请参考Komiya（1988）的基本证明。引理C.1（Sion\'s Minimax Th eorem）设X是l i近拓扑空间的紧凸子集，Y是线性拓扑空间的共凸子集。如果f是X×Y上的实值函数，则f（X，·）在Y上是连续且凹的十、∈ 十、 f（·，y）在X上是连续凸的Y∈ 好吧，明克斯∈Xmaxy∈Yf（x，y）=maxy∈Yminx∈Xf（x，y）。提案C.1适用于任何0< < E[X]，有λ*例如λ*（·）是λ下（8）的最优解*安德烈λ*（z） dz=.证据：让我们 以0< < E[X]。用G表示*（·）下（6）的最优解（这很容易展示。）*（z） dz=) 在λ和下，byeGλ（·）是（8）的最优解. 用v表示() a和v（λ，) 分别为（6）和（8）的最佳值。我们首先证明了t v（λ，) 是给定的λ中的凸函数. 注意到（λ，G（·））在λ中是线性的，对于任何给定的G（·），我们有v（αλ+（1）- α)λ, ) = maxG（·）U(αλ+ (1 - α） λ，G（·））=maxG（·）{αU（λ，G（·））+（1）- α） U（λ，G（·））}6maxg（·）{αU（λ，G（·））}+maxG（·）{（1）- α） U（λ，G（·））}=αmaxG（·）{U（λ，G（·））}+（1）- α） maxG（·）{U（λ，G（·））}=αv（λ，) + (1 - α） v（λ，).此外，根据Sion的极小极大定理，以下等式成立：max06λminG（·）∈G-U（λ，G（·））=minG（·）∈Gmax06λ-U（λ，G（·））；因此min06λmaxG（·）∈顾（λ，G（·））=maxG（·）∈Gmin06λU（λ，G（·））。

最后，我们有了() = inf06λv（λ，) （即min06λmaxG（·）∈顾（λ，G（·））=U（G）*(·))).让我们表示λ：=v()+1RF-1X（z）dz-=U（G）*（·））+1E[X]-. 对于任何λ>λ，我们有v（λ，) = maxG（·）∈顾（λ，G（·））>U（λ，F）-1X（z））=Zu（W）- F-1X（z））T′（z）dz+λ（ZF-1X（z）dz- ) > λ（ZF）-1X（z）dz- )>λ（ZF）-1X（z）dz- ) （自-1X（z）dz>)= 五() + 1，产生v() = inf06λv（λ，) = inf06λ6λv（λ，).因此，利用v（λ）的凸性，), 我们可以找到最佳λ*∈ [0，λ]使右侧部分最小化，并满足v() = v（λ）*, ). 此外，v（λ）*, ) > U(λ*, G*（·））=Zu（W）- G*（z） ）T′（z）dz+λ*（ZG）*（z） dz- )=Z[u（W）- G*（z） ）T′（z）]dz=U（G）*（·））=v().第二个等式来自G*（·）是（6）下的最优解; 亨塞格*（z） dz=. 由v() = v（λ）*, ) 和v（λ）*, ) > U(λ*, G*（·））=v(), 我们有G*（·）是给定λ下（8）的最优解*. 通过（8）最优解的唯一性，我们知道*（·）是（8）在给定λ下的唯一最优解*让人满意*（z） dz=. 参考文献[1]Arrow，K.J.（1963）：医疗保健的不确定性和福利经济学，《美国经济评论》，第53（5）卷，第941-9页73[2]Arrow，K.J.（1971）：风险承担理论论文，北荷兰出版公司，阿姆斯特丹和伦敦[3]Barseghyan，L.，Molinari，F.，O\'Donoghue，T.，和Teitelbaum，J.C.（2013）：风险偏好的本质：来自保险选择的证据，《美国经济评论》，第103卷（6），第2 499-2529页[4]伯纳德，C.，何，X.D.，闫，J.-A.，和周，X.Y.（2015）：在秩相关预期效用下的最优保险设计，数学金融，第25卷，第154-186页[5]卡利尔，G.，和达纳，R-A.（2008）：凹律不变效用的两人有效风险分担和均衡，经济理论，第36卷（2），第189-223页[6]A.夏多诺夫，R-A.达纳和塔隆。J-M。

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