具有秩依赖效用和增加赔款的最优保险

注：主要的技术困难来自于X的原子的可能存在。引理2.2在假设2.1下，我们有G={G（·）：G（·）是绝对连续的，G（0）=0，06g′（z）6（F）-1X）′（z），a.e.z∈ [0, 1]}. （7） 证明：我们用G表示（7）的右侧。对于任何G（·）∈ G、 存在R（·）∈ 例如G（·）=F-1R（X）（·）。对于任何0.6b<a.61，定义a=inf{x∈ [0，M]：R（x）=G（a）}，a=sup{x∈ [0，M]：R（x）=G（a）}，定义b和b类似。让我们展示一个6F-1X（a）6a。事实上，根据定义，F-1X（a）=inf{x∈ R+：FX（x）>a}>inf{x∈ R+：G（FX（x））>G（a）}=inf{x∈ R+：R（x）>G（a）}=a.假设F-1X（a）- ε>a对于某些ε>0。然后通过单音性，G（a）=R（a）<R（F）-1X（a）- ε） =G（FX（F）-1X（a）- ε） 6 G（a），其中我们使用了以下事实：-1X（a）- ε） <a以得到最后一个不等式。这导致了冲突；因此，它必须认为F-1X（a）6a。同样，我们可以证明b6f-1X（b）6b。然后我们有0.6克（a）- G（b）=R（a）- R（b）6 a- b 6 F-1X（a）- F-1X（b）。这个不等式表明，自F以来，G是绝对连续的-在假设2.1下，轴是一个绝对连续的函数。此外，它还意味着0 6 G′（z）6（F）-1X）′（z）），a.e.z∈ [0, 1]. 所以我们建立了G G.为了证明反向包含，取任意G（·）∈ G定义R（·）=G（FX（·））。根据假设2.1，0 6 R（0）=G（FX（0））-G（0）6 F-1X（FX（0））-F-1X（0）=0和0 6 R（a）-R（b）=G（FX（a））- G（FX（b））6 F-1X（外汇（a））- F-1X（FX（b））=a- B06b<a61。因此R（·）∈ R.现在需要显示G（a）=F-1R（X）（a）适用于任何0 6 a 6 1。如果G（a）=0，那么G（a）6f-1R（X）（a）保持不变。否则，对于任何s<G（a），存在y，使得s<R（y）=G（FX（y））<G（a）通过R（·的连续性。然后通过R（·）a和G（·）的单调性，我们得到了P（R（X）6s）6p（R（X）<R（y））6p（x6y）=FX（y）<a，这意味着G（a）6f-1R（X）（a）。

使用与上述相同的符号a，并注意到G（a）=R（a）=G（FX（a）），通过a的定义和R（·的连续性，我们得到了6 FX（a）。此外，从P（R（X）6g（a））=P（R（X）6r（a））=P（X 6a）=FX（a）得出：-1R（X）（FX（a））6克（a）。因此，G（a）6f-1R（X）（a）6 F-1R（X）（FX（a））6 G（a）由monoto nicity持有。预期结果如下。为了求解（6），我们应用拉格朗日对偶方法来去除约束-  > 0并考虑以下辅助问题：maxG（·）U（λ，G（·））：=R[u（W）- G（z））T′（z）+λG（z）]dz- λ,s、 t.G.（·）∈ G.（8）对于每个给定λ，（6）和（8）的最优解的存在性∈ R+）在附录B中建立，而当效用函数u严格凹时，唯一性是直接的。为了得到（6）的最优解，我们首先解（8）得到一个最优解，用egλ（·）表示。然后我们确定λ*∈ R+通过约束tregλ*（z） dz=. 然后，一个标准的二元论推导出G*（·）：=eGλ*（·）是（6）的n个最优解。最后，由R给出（5）的最优解*（z） =G*（外汇（z））Z∈ [0，M]和（1）由I*（z） =z- R*（z）Z∈ [0，M]。所以我们的问题归结为解决问题。然而，在这样做时，0 6 G′（z）6（F-与Bernard等人（2015）相比，G中的1X）′（z）是主要的困难。3溶液的表征在本节中，我们推导出了一个必要且有效的条件，使溶液达到（8）的最优。假设λ（·）用固定的λ解（8）。L et G（·）∈ G任意和固定。对于任何ε∈ （0,1），setG（·）=（1）- ）例如λ（·）+G（·）。然后G（·）∈ G

根据gλ（·）的最优性和u的凹度，我们有0>εZ[u（W）- G（z））T′（z）+λG（z）]dz-朱（W）-eGλ（z））T′（z）+λeGλ（z）idz=εZh（u（W）- G（z））- u（W）-例如λ（z）））T′（z）+λ（G（z）-eGλ（z））idz>εZh（u′（W）- G（z））（W- G（z）- W+eGλ（z））T′（z）+λ（G（z）-eGλ（z））idz ↓ 0--→Zh（u′（W）-λ（z）- G（z））T′（z）+λ（G（z）-eGλ（z））idz=Zhu′（W-eGλ（z））T′（z）- λi（如λ（z）- G（z））dz。（9） 定义λ（z）：=-Zzhu′（W-eGλ（t））t′（t）- λidt，z∈ [0, 1]. （10） 然后（9）yields0>Zhu′（W-eGλ（z））T′（z）- λi（如λ（z）- G（z））dz=ZZz（eG′λ（t）- G′（t））dtdNλ（z）=ZZt（eG′λ（t）- G′（t））dNλ（z）dt=ZNλ（t）（G′（t）-eG′λ（t））dt，导致znλ（z）G′（z）dz 6ZNλ（z）eG′λ（z）dz，G（·）∈ 换句话说，eG′λ（·）最大化snλ（z）G′（z）dz除以G（·）∈ 因此，对于（8）iseG′λ（z）a.e.而言，Gλ（·）是最优的必要条件=0，如果Nλ（z）=Rz[λ- u′（W-eGλ（t））t′（t）]dt<0，∈ [0，（F-如果Nλ（z）=Rz[λ- u′（W-eGλ（t））t′（t）]dt=0（F-如果Nλ（z）=Rz[λ- u′（W-eGλ（t））t′（t）]dt>0。（11） 结果证明（11）完全刻画了最优解To（8）。定理3.1函数egλ（·）是（8）的最优解当且仅当ifeGλ（·）∈ G和Gλ（·）满足（11）。证据：我们只需要证明“如果”部分。对于任何可行的G（·）in G，我们有（λ，例如λ（·））- U（λ，G（·））=Z[u（W）-eGλ（z））- u（W）- G（z））]T′（z）dz+zλ（eGλ（z）- G（z））dz>Zu′（W-eGλ（z））（G（z）-eGλ（z））T′（z）dz-Zλ（G（Z）-eGλ（z））dz=ZN′λ（z）（G（z）-eGλ（z））dz=ZNλ（t）（eG′λ（t）- G′（t））dt>0。因此，eGλ（·）对于（8）是最佳的。上述定理建立了（8）最优解的一般特征结果。然而，这个结果只有在（11）两侧出现一个最优数λ（·）时才是隐含的。此外，当Nλ（z）=0时，gλ（z）的导数不确定。

在接下来的两部分中，我们将应用这个一般结果来推导解。4当u（x）时具有Yaari双重标准的模型≡ x、 相应的VRD符合所谓的Yaari双重标准（Yaari 1987）。在本节中，我们通过应用定理3.1，用Yaari的标准来解决我们的保险问题。在这种情况下，条件（11）大大简化了。实际上，当u（x）≡ x、 （11）减少toeG′λ（z）a.e=0，ifRz（λ）- T′（T））dt=λ（1- z）- (1 - T（z））<0，∈ [0，（F-1X）′（z）]，ifRz（λ- T′（T））dt=λ（1- z）- (1 - T（z））=0（F-1X）′（z），ifRz（λ）- T′（T））dt=λ（1- z）- (1 - T（z））>0。（12） 应该注意的是，尽管u（x）≡ 这里x不是严格凹的，特征条件（12）暗示了（8）的最优解的唯一性。为了应用（12），我们需要比较λ和1-T（z）1-z、 定义f（z）：=1-T（z）1-z、 z∈ [0,1）.引理4.1函数f（·）是[0,1]上的一个连续函数。此外，在假设2.3下，存在一个唯一的∈ （0，b）使得f（·）在[0，a]上严格递减，在[a，1]上严格递增。证明：我们有f′（z）=（1）-T（z））-T′（z）（1）-z） （1）-z） ，z∈ [0,1]设p（z）：=（1）- T（z））- T′（z）（1）- z） 。那么p′（z）=-T′（z）+T′（z）- T′（z）（1）- z） =-T′（z）（1）- z） 。根据假设2.3，p′（z）>0表示z∈ （0，b）和p′（z）<0表示z∈ （b，1）。此外，p（0+）=1- T′（0+）<0，p（b）=（1-T（b））-T′（b）（1）-b）=1.-T（b）1-B- T′（b）(1-b） >0和p（1-) = 林茨↑1(1-T（z）1-Z-T′（z））（1-z） >0（注意T（·）在[b，1]上是严格凸的）。因此，存在一个∈ （0，b）使得p（z）<0∈ [0，a）和p（z）>0∈ （a，1）。预期结果如下。显然，f（0）=1，f（1-) = +∞. Setbλ：=f（a）<f（0）=1。根据引理4.1的证明，a由T′（a）=1确定-T（a）1-A.

让c∈ （a，1]是唯一的标量，使得f（c）=1或T（c）=c。点a和c的位置见图1。现在，我们根据λ的值考虑三种情况。情况4.1λ6bλ。在这种情况下，Nλ（z）=（1- z） （λ）- f（z））<0Z∈ [0，a）∪ （a，1）。然后从（12）得出eg′λ（z）a.e.=0；henceeGλ（z）=0 Z∈ [0, 1]. 因此，相应的r检测器λ（z）=0Z∈ [0，M]和赔偿iλ（z）=zZ∈ [0，M]，即最优合同是完全保险合同。案例4.2bλ<λ<1。根据引理4.1，存在唯一的x∈ （0，a）和y∈ （a，c）使得f（x）=f（y）=λ。因此，我们没有λ（z）=< 0，如果0<z<x，>0，如果x<z<y，<0，如果y<z<1。因此，（12）导致以下函数：eGλ（z）=0，如果0 6 z<x，F-1X（z）- F-1X（x），如果x6 z<y，F-1X（y）- F-1X（x），如果y6 z 6 1。（13） 相应的保留和赔偿函数分别为eRλ（z）≡eGλ（FX（z））=0，如果0 6 z<F-1X（x），z- F-1X（x），如果F-1X（x）6 z<F-1X（y），F-1X（y）- F-1X（x），如果F-1X（y）6 z 6 M，安第斯λ（z）≡ Z-eRλ（z）=z、 如果0.6z<F-1X（x），F-1X（x），如果F-1X（x）6 z<F-1X（y），z- F-1X（y）+F-1X（x），如果F-1X（y）6 z 6 M.（14）相应的赔偿功能如图2所示。从质量上讲，保险不仅包括重大损失（z>F时）-1X（y）），但也有较小的损失（当z<F时-1X（x）），补偿是损失中值的常数。我们把这样的合同称为三重合同。Bernard等人（2015年）详细讨论了小损失保险的必要性及其与概率权重的关系。然而，在Bernard等人（2015年）的研究中，在某些损失范围内，最优赔款是严格递减的。这种合同可能会激励被保险人隐瞒部分损失，以获得更多赔偿。

相比之下，我们的赔偿和保留都是增加损失的功能，这将排除这种道德风险。案例4.3 1 6λ<+∞图2：一份三重合同。根据《艾玛4.1》，存在一个独特的z∈ [c，1]使得f（z）=λ。ThusNλ（z）=> 0，如果0<z<z，<0，如果z<z<1。通过（12），我们得到了λ（z）=F-1X（z），如果0.6 z<z，F-1X（z），如果z6 z6 1。（15） SoeIλ（z）≡ Z-eRλ（z）=0，如果0 6 z<F-1X（z），z- F-1X（z），如果F-1X（z）6 z 6 M.（16）本合同是一份标准的免赔合同，其中仅涵盖超过免赔点的损失。现在我们总结一下我们的结果。定义G（z）=F-1X（z），如果0.6 z<c，F-1X（c），如果c6z61，（17），并让Kc:=R’G（z）dz。显然是KcRF-1X（z）dz=E[X]。Yaari标准下的命题4.1，u（x）≡ x、 假设2.1和2.3，我们得出以下结论：（i）如果 = 那么（6）的最优解是G*（z） =0，06z61。（ii）如果0< < Kc，然后是（6）isG的最优解*（z）=0，如果0 6 z<d，F-1X（z）- F-1X（d），如果D6Z<e，F-1X（e）- F-1X（d），如果e6z61，（18），其中（d，e）是满足06d<a<e6c，f（d）=f（e）和rg的唯一对*（z） dz=.（iii）如果Kc6 6e[X]，则（6）isG的最优解*（z）=F-1X（z），如果0.6 z<q，F-1X（q），如果q6z61，（19），其中q是满足c6q和rg的唯一数*（z） dz=.证据：（i）什么时候 = （6）的最优解是平凡的G*（z） =0，06z61。（ii）当0< < Kc，存在一个唯一的对（d，e），例如0.6d<a<e.6c，f（d）=f（e）和rg*（z） dz= G在哪里*定义为（18）。这一对的存在源于以下条件： < Kc和Kc的定义，而唯一性来自f（d）=f（e）和RG的要求*（z） dz=. 让λ≡ λ:= f（d），很容易证明G*（·）λ下的满意度（12），对应于上述情况4.2。

这意味着*（·）最适合（6）以下情况.（iii）当Kc6 6 E[X]，对应于情况4.3的情况，可得出与（ii）类似的预期结果。证据已经完成。我们现在可以用保费π和赔偿函数I（·）来说明我们的主要结果。用πc表示：=（1+ρ）（E[X]- Kc）。定理4.2关于Yaari准则u（x）≡ x、 假设2.1和2.3，最优赔偿函数I*问题（2）的（·）表示为（i）如果π>（1+ρ）E[X]，那么i*（z） =zZ∈ [0，M]。（ii）如果πc<π<（1+ρ）E[X]，则*（z）=z、 如果0.6z<F-1X（d），F-1X（d），如果是F-1X（d）6 z<F-1X（e），z- F-1X（e）+F-1X（d），如果是F-其中（d，e）是满足06d<a<e6c，f（d）=f（e）和e[I]的唯一对*（十） ]=π1+ρ。（iii）如果0 6π6πc，则*（z）=0，如果0 6 z<F-1X（q），z- F-1X（q），如果F-1X（q）6 z 6 M，（21），其中q是满足c6 q和E[I]的唯一标量*（十） ]=π1+ρ。证据：自从 = E[X]-π1+ρ，约束E[R（X）]≡RGR（X）（z）dz= 相当于E[I（X）]=E[X]- E[R（X）]=π1+ρ。因此，期望的结果是命题4的直接结果。1.对这一结果的经济解释是明确的。当保费很小（0.6π6πc）时，保险只赔偿超过一定金额的重大损失。当保险费在中等范围内（πc<π<（1+ρ）E[X]）时，合同为三重合同，包括大小损失。当保费足够大时（π>（1+ρ）E[X]），它是一个完整的保险范围。研究πc点的比较静力学（以c为单位）很有趣，它触发了小损失的覆盖范围。实际上，当Kc=RcF时-1X（z）dz+F-1X（c）（1）- c） ，我们有Kcc=（1）-c） （F）-1X）′（c）。然而，πc=（1+ρ）（E[X]- Kc）；因此πcc=（1+ρ）（c）- 1） （F）-1X）′（c）<0。

这意味着，如果保险人的加权函数具有更大的c，则保险人更愿意受到小损失的保护。这与c越大，则概率加权的凹域越大的事实相一致（参见图1）。5模型与RDU准则在本节中，我们研究了效用函数严格为凹面的与Yaari模型相比，解决相应的保险问题需要更细致的分析。对于f′（x）6=0的任何二次可微函数f，定义其绝对风险规避的Arrow-Pratt测度Af（x）：=-f′（x）f′（x）。我们现在介绍以下假设。假设5.1（严格意义上的Concav e效用）效用函数u:R+7→ R+是严格递增的，是可区分的两倍。此外，u′是严格递减的。假设5.2（i）函数Au（z）在0，∞).（ii）在（z）>Au（W）- F-1X（z））（F-1X）′（z）Z∈ （0，a）.假设5.1将取代假设2.2，以确保真正的RDU标准。假设5.2-（i）要求效用函数的绝对风险规避度量u是递减的，这适用于许多常用的效用函数，包括对数、幂和指数。总的来说，实验和经验证据与绝对风险厌恶程度的降低是一致的；参见《朋友，欧文和布鲁姆，马歇尔》（1975）。另一方面，在（z），z∈ （0，a）衡量小损失的概率加权水平。因此，假设5.2-（ii）的经济解释是，相对于效用函数的绝对风险规避，被保险人对小损失的关注程度非常大。

注意假设5。2-（ii）在F时自动满足-1X（z）=0，Z∈ [0，a]相当于P（X=0）>a。实际上，P（X=0）>0.5是许多保险产品（如汽车和房屋保险）的合理假设。另一方面，对于许多常用的逆S形加权函数，a非常小。以Tversky和Kahneman的加权函数（3）为例≈ 0.013当θ=0.3时，a≈ θ=0.5时为0.07，a≈ θ=0.8时为0.166。在这些情况下，假设。2-（ii）自动保持。在以下两种情况下，问题（6）有简单的解决方案。什么时候 = 0，最优解为G*（z） =0Z∈ [0,1]，对应于全覆盖。什么时候 = E[X]，最优解是g*（z） =F-1X（z）Z∈ [0,1]因为这是唯一可行的解决方案，对应于没有覆盖。因此，我们只对案例0感兴趣 < E[X]。根据附录C中的命题C.1，存在λ*例如λ*（·）是λ下（8）的最优解*安德烈λ*（z） dz=.此外，回想一下，我们已经证明了（8）在u严格凹时有唯一解，（11）为最优解提供了必要且充分的条件。引理5.1适用于任意G（·）∈ G、 如果存在z∈ （0，1）使得λ- u′（W- G（z））T′（z）=Rz[λ- u′（W- G（t）t′（t）]dt=0，那么z6a.证明：从λ- u′（W- G（z））T′（z）=0，它跟在u′（W）后面- G（z））=λT′（z）。因此，如果z>a，那么0=Zz[λ- u′（W- G（t）t′（t）]dtZz[λ- u′（W- G（z））T′（T）]dt=λT′（z）（1- z）T′（z）-1.- T（z）1- Z< 0，其中最后一个不等式是由于引理A.1-（i）在附录A中，注意z>A。这是一个矛盾。引理5.2在假设5.2下，对于任何G（·）∈ G、 u′（W- G（z））T′（z）是[0，a]上z的严格递减函数。证据：注意W> 根据假设5.2，AT（z）>Au（W）-F-1X（z））（F-1X）′（z）>Au（W）-F-1X（z））（F-1X）′（z）Z∈ （0，a）。

现在，我们计算u′（W）的偏导数-G（z））T′（z）相对于z∈ [0，a]：z（u′（W- G（z）T′（z））=-u′（W- G（z））G′（z）T′（z）+u′（W- G（z））T′（z）=u′（W- G（z））T′（z）[Au（W]- G（z））G′（z）- 在（z）<u′（W）处- G（z））T′（z）Au（W）- G（z））G′（z）- Au（W）- F-1X（z））（F-1X）′（z）6U′（W- G（z））T′（z）Au（W）- G（z））（F-1X）′（z）- Au（W）- F-1X（z））（F-1X）′（z）6U′（W- G（z））T′（z）Au（W）- F-1X（z））（F-1X）′（z）- Au（W）- F-1X（z））（F-1X）′（z）= 证据是完整的。现在，对于任何λ6bλu′（W), 我们有zλ- u′（W-eGλ（t））t′（t）idt 6Zzhbλu′（W) - u′（W)T′（T）idt=u′（W）)Zz[bλ- T′（T）]dt=u′（W)(1 - z）bλ-1.- T（z）1- Z< 0，其中最后一个不等式是引理4.1的结果。HenceeGλ（z）=0Z∈ [0,1]是唯一令人满意的解决方案（11）。然而，ReGλ（z）dz=0<, 矛盾。因此，只有当λ>bλu′（W)（11）有可能保持不变吗。固定λ>bλu′（W), 现在我们分析满足（11）的函数gλ（·）的形状。假设egλ（1）=k<W. 我们有Nλ（1）=0和λ- u′（W- k） T′（1）-) < 自T′（1）起0-) = +∞.因此，当z接近1时，eG′λ（z）=0，因为对于这样的z，Nλ（z）<0。因此，eGλ（z）≡ KZ∈ [z，1]对于某些z∈ [0,1），其中Nλ（z）=0且Nλ（z）<0Z∈ （z，1）。接下来，我们考虑三种情况，分别取决于k.（A）的值，如果k>W- （u′）-1（λbλ）（即λ<bλu′（W- k） ）然后我们，Z∈ [0,1）Zz[λ- u′（W- k） T′（T）]dt<Zzhbλu′（W- （k）- u′（W- k） T′（T）idt=u′（W）- k） （1）- z）bλ-1.- T（z）1- Z6 0.然后从（11）得出，egλ（z）≡ k=eGλ（0）=0。然而，0=k>W- （u′）-1（λbλ）或λ6bλu′（W), 导致矛盾。所以，这种情况实际上不会发生。（B） 如果k=W- （u′）-1（λbλ），那么z应该是a。这是因为a[λ- u′（W- k） T′（T）]dt=0andRz[λ- u′（W- k） T′（T）]dt=λbλ（1）- z） （bλ）-1.-T（z）1-z） <0 f或z∈ （a，1）引理4.1。此外，λ- u′（W- k） T′（a）=0。引理5.2，λ- u′（W-eGλ（z））T′（z）严格地相对于z增加∈ [0，a]。