金融价格的二次霍克斯过程

核φ（τ）以对数标度绘制，其幂律系数的指数α=0.76（虚线）。尾部指数νrof rtitself，众所周知，其范围为3→ 4.另见下图5。由于ν是νr的两倍以上，因此带有高斯残差的QARCH模型和这种特殊形式的K在很大程度上解释了五分钟收益的厚尾，这似乎完全由二次反馈机制产生。我们将在第4节和第5节从理论和数字上证明为什么会出现这种情况。在QARCH模型中，波动率的内生性比（即来自反馈效应的波动率的比例）由二次核的迹Tr（K）给出。我们的参数化和q的最大滞后≥ 1，一个hasTr（K）=qXτ=1φ（τ）+qXτ=1k（τ）。我们使用fits k（τ）=kexp(-ωτ）和φlr（τ）=gτ-α来计算q=78的Tr（K），这是一个交易日五分钟仓位的总数。我们得到了qXτ=1φ（τ）\'0.74，qXτ=1k（τ）\'0.06=> Tr（K）\'0.80。这种内生性比率意味着80%的日内波动是由于内生反馈效应。有趣的是，它接近于QARCH和ARCH模型在每日时间尺度上获得的值，见[14]和[9]。请注意，尽管内生性比率很高，但显著低于临界极限Tr（K）=1，这是在更长时间范围内校准标准线性Hawkesprocess-to-activity数据得出的值：参考文献[20,21]报告nH≈ 在几个小时的时间窗内为0.9≈ 当内核延长到40天时为0.99。我们将在ZHawkes模型4的第4.2.4节波动率分布中进一步讨论这个问题。1指数情况下的SDE，如果核φ（.）和k（.）ZHawkes模型具有指数形式，过程是马尔可夫过程，可以编写一个随机微分方程来描述其演化。

虽然这一假设仅适用于k，但这种情况允许人们对模型有一个良好的直觉，因此我们将详细研究这一限制。事实证明，马尔科夫的例子实际上在数学上非常有趣。为了简单起见，让我们假设价格跳变为二进制ξ=±ψ，并且我们在不损失一般性的情况下设置ψ=1。此外，我们注意到k（t）=√2nZωexp(-ωt）和φ（t）=nHβexp(-βt），其中NH是霍克斯范数，NZ是祖姆巴赫范数。我们要求：Tr（K）=nH+nZ<1。然后可以在这种情况下编写模型：λt=λ∞+ Ht+ZT在哪里dHt=β[-Htdt+nHdNt]，dZt=-ωZtdt+kdPt（19）过程N和P以λ和振幅同时跳跃Nτ=1和Pτ=±1，概率相等。虽然非常简单，但与持续的差异相比，这种跳跃式SDE系统缺乏可操作性。因此，我们转向低频渐近线，当给定时间窗口中的跳跃次数变大时，我们会得到低频渐近线，而它们的振幅会相应地减小。这是下一节的主题。4.2低频渐近性Jaisson和Rosenbaum[25,26]详细研究了具有短程核的近临界Hawkes过程的低频渐近性。他们表明，对于适当的缩放和收敛到临界点nH=1，巴克里等人[6]基于短记忆霍克斯的价格过程收敛到赫斯顿过程（因为霍克斯强度收敛到CIR波动过程）。同样的作者[26]表明，当内核表现出幂律行为φ（t）~ T-1.-1/2 < 强度的极限过程是一个分数布朗运动，赫斯特指数H= -.

什么时候 接近1/2，如经验数据所示[20]，后一个过程的粗糙度与[4,19]的经验结果一致，后者发现Hurst指数H接近于零对数波动率（对于[4]的多重分形模型，H=0）。然而，目前尚不清楚霍克斯过程强度如何与对数波动性相一致。厚尾行为不能通过简单的线性霍克斯过程复制，因为赫斯顿CIR过程中不存在这种行为（另见下文）。在这里，我们想研究马尔科夫-扎克斯模型的低频渐近性，正如我们将看到的，它揭示了由二次反馈效应引起的非常有趣的新特征。选择一个最终会发散的时间尺度T>0，我们定义过程“HTt=HTt，\'ZTt=ZTt，\'NTt=NtTand\'PTt=PTt，参数β和ωT可能取决于T，但内生性参数nH和nZ固定：等式（19）给出d¨HTt=-βT“HTtT dt+nHd”NTt,dāZTt=-ωT¨ZTtT dt+γTd¨PTt，（20），其中γT:=2ωtn和¨n和¨PTis T×[λ]的共同跳跃强度∞+\'HTt+（\'ZTt）]。由于“pta”跳跃的迹象被认为是不可预测的且等于±1，因此该过程的单位误差发生器由ATF（h，z）给出-β-Th-Thf（h，z）- ωTz Tzf（h，z）（21）+Tλ∞+ h+zf（h+nHβT，z+γT）+f（h+nHβT，z）- γT）- f（h，z）对于在（0+∞)x R.我们现在考虑以下标度βT=β/T，ωT=ω/T，（22），其中β，ω>0。

由于我们确定了nHand nZ的值，因此我们的程序可以称为“恒常性重标度”，而不是Jaisson和Rosenbaum在[25]和[26]中使用的标度，其中过程的内生性比nHat需要随着时间的推移收敛到统一。我们的选择部分是受第3.2节关于日内收益率的校准结果的影响，该校准结果产生了0.7范围内的内生性比率- 0.9，接近每日时间标度[14]和[9]获得的值，显著偏离临界值nH=1。方程（21）和（22）结合asATf（h，z）=-βhhf（h，z）- ωzzf（h，z）+Tλ∞+ h+zTFh+nHβT，z+γ√T+Fh+nHβT，z-γ√T- f（h，z）,我们介绍γ的地方=√2nZω。我们转向低频渐近线。随着时间的推移，一个人已经h+nHβT，z+γ√T+Fh+nHβT，z-γ√T-f（h，z）=nHβThf（h，z）+γ2Tzzf（h，z）+oT,因此ATf（h，z）收敛到∞f（h，z）=-β(1 - nH）h- nH（λ）∞+ z）hf（h，z）- ωzzf（h，z）+nZωλ∞+ h+zzzf（h，z）。接线员A∞是这种差异的微型发生器d\'H∞t=h-(1 - nH）`H∞t+nHλ∞+\'Z∞Tiβdt，d\'Z∞t=-ω′Z∞tdt+γqλ∞+\'H∞t+\'Z∞TdWt，（23），其中W是标准布朗运动。Kallenberg[27]（定理19.25）的标准参数给出了过程（\'HT，\'ZT）到（\'H）的收敛性∞,\'Z∞) 随着时间的推移。因此，对于非退化极限过程，不需要过程的范数趋于1（即过程几乎是临界的）。上述限制过程是本节的主要结果。虽然它是为马尔可夫扎克斯过程推导出来的，但我们认为这是对整个类具有短记忆的非临界扎克斯过程的限制过程，是霍克斯的赫斯顿CIR限制过程的类似物，如[25]。

根据[26]的精神，与长记忆/临界ZHawkes过程相对应的极限行为留给未来研究。我们现在研究限制过程的一些性质，公式（23），特别是波动率分布的诱导尾。4.3波动率分布的尾部从现在起，我们去掉上标∞ 在“H”和“Z”上；我们正在研究限制过程这一事实是隐含的。首先，我们要注意的是，SDE中不存在“H”的布朗部分，因此它可以作为（\'Zs）的确定函数显式求解≤t:\'Ht=\'H∞+ nHβZt-∞经验(-(1 - nH）β（t- s） ）Zsds；\'H∞:=λ∞1.- 因此，在所考虑的极限中，“Ht”可以写成常数项和“Zs”平方的指数移动平均值之和。我们得到了“Zt:d”Zt=-ω\'Ztdt+γs\'H∞+\'-Zt+nHβZt-∞经验(-(1 - nH）β（t- s） ）ZsdsdWt。（24）4.3.1没有霍克斯的ZHawkes我们首先考虑霍克斯反馈为零的简单情况，即nH=0。这对应于启动模型中仅存在Zumbach项的情况，即λt=λ∞+ Z不等式（4）。正如我们在续集中看到的，这个简单的模型仍然足够丰富，可以重现波动过程中一些有趣的经验特性。其中一个是：d\'Zt=-ω′Ztdt+γqλ∞+“-ZtdWt，（25）这是皮尔逊差异的一个特例，福尔曼和索伦森[18]对其进行了广泛的描述和分类。过程“Z”/√λ∞第三种分类（见[18]第2.1节），使用字典→ 0, θ → ω和a→ 新西兰。因此，\'zt是遍历的，其平稳律是一个具有1+1/nz自由度和标度参数pnzλ的Student t分布∞/（1+nZ）。这意味着Z平方的静止定律∞是一个F分布，具有1和1+1/nZ自由度，尺度参数nZλ∞/（1+nZ）。

我们将表示为asVt=ψλ∞+“Zt价格的低频平方波动率（为了完整性，我们重新引入跳跃大小ψ）。变量的直接变化产生过程v的稳态密度q（v）：q（v）=Γ1+2nZΓ+2nZpπv∞（五）- 五、∞)五、∞五、1+2nZ{v>v∞}（26）其中v∞= λ∞ψ是平方波动率的基线水平。对于Vt分布的尾部指数，我们得到一个幂律尾部：q（v）~五、→+∞C v-+2nZ（27）C是一个显式常数。我们发现这个结果有趣有两个原因。首先，我们可以从以下事实中获得一个自然出现的幂律行为：对于较大的| Zt值，波动性表现为| Zt |，描述其动力学的过程只是一个带漂移的乘法布朗运动（见25）。这与[25]中的“对角线”霍克斯对应物不同，在[25]中，布朗噪声前面的系数仅为波动率的平方根，这必然导致一个具有特征尺度和细尾的过程。其次，V的平稳分布只取决于Zumbach范数nZ，这可以被视为过程的内生性。这最后一个结果表明，与霍克斯过程类似，在霍克斯过程中，当核是短程核时，渐近性质仅依赖于范数nHas，对于任何短程核，平方效用的分布（26）都应该保持不变。另一句话是≥ 1/3，活动V的方差σVO爆炸，其平均值为uVremains fine至nZ→ 1.-. 现在，当使用一个简单的霍克斯过程拟合这个过程生成的时间序列时，我们会发现nH≈ 1.-puV（W）/σV（W）用于选择合适的窗口尺寸W（见[21]）。因此，均值/方差比的消失必然会导致fitted Hawkes过程必须是关键的，即。

nH=1！我们在这里争论的是，这种明显的临界性实际上可能是由二次反馈效应引起的，但并不一定意味着真正的潜在过程是关键的。最后，请注意，在价格过程满足方程式d’P的差异极限中∞t=√VtdWt，收益的渐近平稳分布由以下公式给出：p（r）~|r|→∞C | r | 1+v；ν ≡ 1+nZ。我们的模型产生的厚尾波动率自然会产生瞬时收益的厚尾分布，累积分布的指数ν等于1+1/nZ≥ 2.内生性越强，回报的尾部越厚：这种解释似乎是直观的。对于一个关键过程，nZ=1，尾部是这样的，即收益的波动性会发生分歧。累积分布的尾指数≈ 3（所谓的“逆立方定律”，在交易产品的大宇宙中观察到）为nZ=0.5。然而，请注意，上述通过校准模型获得的nZ值要小得多，nZ≈ 0.06，导致ν≈ 18.Farto large解释了财务回报的尾部。现在我们将看到，非常有趣的是，与非临界Hawkes核的相互作用可以极大地降低v.4.3.2 ZHawkes与Hawkes的值。当nH>0时，情况更复杂，但值得注意的是，活动分布的尾部指数q（v）仍然可以在某些极限下解析计算。这个想法是要意识到→ ∞, H的分布取决于Y的某个大值：=\'Zis的形式：∏（\'H|Y）=\'YFH\'Y+ o（Y）；（\'Y→ ∞),其中F（.）是一个特定的标度函数，它遵循附录B中导出的微分方程。相应地，我们可以证明Vt=ψ分布的远尾λ∞+“Zt仍然是幂律，由q（v）给出~五、→+∞个人简历-+2nZ（1+a）*), （28）其中Cis是另一个常数，a*定义为：a*=Z∞dx×F（x）。

（29）引入χ：=2ωβ作为Hawkes过程的相关时标与ZHawkes过程的相关时标之比，可以在两个极限χ中找到F的完整解→ 0和χ→ ∞,允许一个人乘以*. 结论之一（见附录B）：a*≈nH1- 新罕布什尔州1.- χ1 - 新罕布什尔州- 新西兰（1）- （新罕布什尔州）, (χ → 0); A.*≈nHχ（1）- nZ），（χ，χnZ→ ∞). （30）另外两种极限情况可以精确解决：一种是nH→ 0，1发现a*≈nHχ（1）-新西兰）仍然持有* 1，另一个是新西兰→ 0，我们找到了*作为二次方程的解（见附录B）。返回值累积分布的渐近尾部对应的指数现在由：ν=1+nZ（1+a）给出*), （31）使用：o对于nH=0（ZHawkes无Hawkes），可以恢复之前的情况，其中*= 0和ν=1+1/nZ.o对于0<nH<1和χ→ 0（Hawkes比ZHawkes“快得多”），指数ν减小到ν=1+（1）- nH）/nZ+O（χ）对于0<nH<1和χ→ ∞ （霍克斯比扎克斯“慢得多”），指数ν再次从ν=1+1/nz减少了一个数量~ 1/χ.o 就新西兰而言→ 0，one-findsν=1+bnZ，其中b可以用nHandχ计算，见附录b。我们认为，本节的结果非常有趣。首先，由等式定义的二维极限过程。（23）导致波动率的幂律尾部，可以在某些极限下准确描述。从理论角度来看，如果ZHawkes过程被证明是金融市场动力学建模的核心要素，那么在该模型中精确计算尾部指数的可能性可能非常重要。其次，我们发现，虽然霍克斯核本身不会导致幂律尾（即，ν）→ ∞ 当新西兰→ 0），Hawkes内核实际上与ZHawkes内核“合作”以使分布的尾部更肥。

经验兴趣的情况是nZ=0.06，nH≈ 0.8导致ν=1+（1- nH）/新西兰≈ 4对于χ→ 0，对于非马尔可夫ZHawkes过程，它确实保持在实验范围内，参数根据日内数据进行校准，如下一节中的数值模拟所示。我们发现这一现象非常显著：虽然霍克斯反馈本身无法解释厚尾，但只有相对少量的二次（Zumbach）反馈在正确的范围内产生幂律尾（记住，nZ=0.06） nH）。然而，请注意，thisZHawkes系列模型的指数是连续变化的（作为参数的函数），而不是像在许多物理情况下那样的固定、通用指数。这就引出了一个问题：是否有任何机制可以解释为什么反馈参数nZ、nH、χ位于一个较大的限制区间内，比如解释（成熟）金融市场尾部指数的明显普遍性？5数值模拟结果5。1波动过程的经验尾部在本节中，我们将ZHawkes模型产生的波动过程与基于标准Hawkes的价格模型以及第3.2.1节研究的财务数据进行数值比较。我们模拟了具有指数Zumbach部分和幂律Hawkes部分的ZHawkes模型，其参数受第3.2节QARCH校准的启发：对于以分钟表示的t，φ（t）=0.0016×（1+0.01×t）-1.2，k（t）=0.003×exp(-因此nH=0.8，nZ=0.1，Tr（K）=0.9。请注意，为了模拟平稳的ZHawkes模型，我们选择φ的衰减指数大于1，尽管QARCH校准表明对应于日内时间尺度的t衰减较慢。

虽然不完全令人满意，但这是实现平稳性的最简单方法，无需引入更复杂的φ（t）函数形式，以模拟隔夜效应和每日时间尺度。作为基准，我们还模拟了标准的霍克斯价格过程（新西兰）≡ 0）φ=（1+0.01×t）-1.3，nH=0.99，与[20]的校准结果一致。值得注意的是，为了模拟ZHawkes和Hawkes模型，我们选择了constantprice跳跃Pτ=±ψ。因此，我们对波动率分布的数值结果决不能归因于个别价格跳跃的峰度。对于模拟和真实数据，我们考虑了五分钟垃圾箱的罗杰斯背包波动时间序列。我们使用Hill指数[24]作为波动率的经验尾部指数的估计器νHill=1+nPni=1log（σi/σmin），其中σ减小了一些截面积和σi≥ σmina是分布的远尾区域的挥发性。对于美国股票的（标准化）五分钟收益率（与之前对该指数的许多测定一致），我们得到了νhill=4.50，对于ZHawkes模型，得到了νhill=5.07，对于没有ZHawkes反馈的基于Hawkes的标准模型，得到了νhill=12.4。即使范数接近1且内核缓慢衰减，标准的霍克斯模型也无法重现观测到的onUS股票数据。取而代之的是，ZHawkes模型，其标准严格低于统一性，并且具有短暂的livedZumbach效应，自然会产生与经验观察非常相似的厚尾，即使是一个相当小的nZ。这些观察结果如图5和图6.1e-071e-061e-050.00010.0010.010.110.01 0.1 1 10 100P[σ>x]XZhawkeshowkes数据所示~ 十、-3.~ 十、-4图5：美国股票数据（明线）、模拟霍克斯数据（红色虚线）和模拟扎克斯数据（蓝色圆点虚线）的罗杰斯-萨切尔波动率的累积密度函数。