金融价格的二次霍克斯过程

正如我们在下面看到的，这种简化的设置仍然捕捉到了价格波动的主要现象，尤其是时间反转不对称和厚尾，即使是短期内核。2.3数学框架让我们从指定方程式（2）中对象的数学定义开始：尽管Zumbach在每日时间尺度上描述了这种影响，但我们将在这里研究日间时间尺度（Pt）t∈Ris是随机强度（λt）t的纯跳跃过程∈R、 在（R，B（R））上具有普通法p的不可预测的i.i.d.ξ。我们假设rrξp（dξ）=0和rrξp（dξ）=ψ<+∞, i、 e.跳跃居中且具有有限的变化Ft=σ（Ps，s≤ t） 是P.的自然过滤m（dt，dξ）是与P相关的准时泊松测度，因此对于所有t∈ 兰达∈ B（R），林→0hEm（[t，t+h[，A）英尺= λtp（A）。二次核K:R+×R+→ 假设R满足o对称性：s、 t≥ 0，K（t，s）=K（s，t），o正性：F∈ L（R+），R+∞R+∞K（t，s）f（t）f（s）dt ds≥ 0，o非爆炸性：R+∞|K（t，t）| dt<+∞.K定义积分算子TK:L（R+）→ L（R+）映射f∈ L（R+）至TKf:t 7→R+∞K（t，s）f（s）ds。如果K是连续的，这个算子就是Hilbert-Schmidt，因此是紧的，一个算子有K（t，t）≥ 0代表所有t≥ 0（见[11]）。我们定义了KTr（K）=Z的轨迹+∞t（t）t<+∞.杠杆内核L:R+→ R被假定为一个可测函数。与QARCHmodels（见[14]）类似，它应该以某种方式由K控制，以确保强度λt的正性（见上文脚注1）。由于在续集中发现杠杆内核在经验上可以忽略不计，我们将这个积极条件留给未来的研究。2.4时间平稳的必要条件在线性Hawkes过程的情况下，已经证明，只要核的范数kφk<1，就可以获得平稳性。

直观地说，这意味着每个事件触发的子事件平均不到一个，因此每个祖先生成的集群最终会消失。如果违反该条件，祖先产生有限数量事件的概率为非零，这只能在kφk=1和λ的情况下导致平稳过程∞= 0在[10]中进行了研究，另见[20]。由于二次反馈，QHawkes过程不能解释为一个简单的分支过程，这使得事情变得有些棘手。本节的目标是确定（一阶）时间平稳性的必要条件。我们定义了与（Pt）具有相同跳跃时间的跳跃过程（Nt），其中Nτ=(Pτ）/ψ（=1 i ff）Pτ=±ψ），并将方程（2）改写为λt=λ∞+ Lt+Ht+2Mt（5）和符号Lt=ψRt-∞L（t）- u） dPu（杠杆）Ht=Rt-∞K（t）- u、 t- u） dNu（霍克斯/对角线）Mt=ψRt-∞Θt，udPu（斜对角），其中Θt，u=Ru--∞K（t）-u、 t- r） 朝鲜（Fu）u≤t-适用于t固定。因为P是鞅，所以E[Mt]=0，E[Lt]=0。因此，E[λt]=λ∞+ψEZRZt-∞K（t）- s、 t- s） ξm（ds，dξ）= λ∞+ EZt-∞K（t）- s、 t- s） λsds通过定义准时泊松测度m（ds，dξ）。我们得到[λt]=λ∞+Zt-∞K（t）- s、 t- s） E[λs]ds。过程（λt）t的一个必要条件∈Rto处于平稳状态是指其期望值λ≡ E[λt]是常数、正和有限的。这将产生λ=λ∞+ λTr（K），因此如果λ∞> 0,λ =λ∞1.- Tr（K）。这导致了必要的平稳性条件λ∞> 0和Tr（K）<1（6）或λ∞= 0和Tr（K）=1。（7） 在ZHawkes过程的特殊情况下，内生性比由以下公式给出：Tr（K）=| |φ| |+|K||≡ nH+nZ，其中nH是标准的“霍克斯标准”，而nZ≡ ||k | |是“尊巴赫规范”。当然，有限平均强度λ的存在对于过程达到稳态是必要的。

然而，强度的高阶矩的存在需要K（t，s）上的强条件，类似于[14]中研究的QARCH情况。特别是，K的对角部分的衰减必须足够快，以确保过程存在两点和三点相关性（见下文）。2.5 QHawkes模型中的自相关结构这类模型研究输入核与生成过程的自相关函数之间的关系非常有用。事实上，由于后者可以直接在数据上观察到，因此可以通过反转这种关系来获得底层内核。对于线性Hawkes过程，可以找到一个维纳-霍普夫方程，该方程将两点相关函数与一维核联系起来[2]。在我们的例子中，还需要考虑三点相关函数，这将导致一组紧密的关系。2.6精确的方程组我们采用无杠杆的模型，L≡ 0.等式（5）变为（见上述符号）：λt=λ∞+ Ht+2Mt。我们定义了τ6=0和τ>0，τ>0，τ6=τ，相关函数c（τ）≡ EDNTDNT-τdt- λ=EλtdNt-τdt- λ、 D（τ，τ）≡ψEDNTDPT-dptτ-τdt=ψEλtdPt-τdtdPt-τdt. （8） 然后C在零处连续扩展，如[22]所示。让我们注意到，通过构造，C是偶数，D是对称的。在自相关函数（C，D）和核K（cf。

附录A中的推导：C（τ）=κλK（τ，τ）+Z∞duk（u，u）C（τ+u）+2Z∞+杜兹∞u+drk（τ+u，τ+r）D（u，r），（9）D（τ，τ）=2K（τ，τ）[C（τ- τ） +λ]+Zτ（τ）-τ） +duk（τ）- u、 τ- u） D（u）- τ+τ，u）+2Z+∞(τ-τ） +duk（τ，τ+u）D（τ- τ, τ- τ+u），（10）在线性霍克斯过程的情况下，该条件也足以在Tr（K）<1的情况下获得平稳性（而Tr（K）=1的情况更微妙，见[10]）。其中，κ=ψRRξp（dξ）是价格跳跃的第四个时刻（对于恒定价格跳跃，κ=1）。由于C（τ）和D（τ，τ）在数据上是可直接测量的，因此原则上可以通过反演上述方程来推断核函数（s，t）。2.6.1渐近行为鉴于上述方程（9）和（10）通常难以求解，人们可以研究τ的关节尾行为→ ∞ 当核函数和自相关函数都有幂律衰减时。让我们假设：K（τ，τ）~τ→∞cτ-1.-（对角线， > 0）K（τv，τv）~τ→∞~K（v，v）τ-2δ（o off-对角线，δ>1/2）C（τ）~τ→∞cτ-β（2点AC）D（τ，τ）~τ→∞cτ-β（三点AC，对角线）D（τv，τv）~τ→∞~D（v，v）τ-2ρ（3点AC，o off-对角线）（11），其中c，c，care常数和K（v，v），~D（v，v）是（v，v）的有界函数。约束 > 0源于| |φ| |必须是有限的，而δ>1/2则确保了二阶和三阶矩也是有限的。为了简单起见，我们将进一步假设： < 1，这是实践中有趣的情况，并且K（τ，τ）的渐近行为~ τ-1.-仅限于对角线|τ周围的狭窄通道-τ|  τ、 τ，超过该值，o-对角幂律将接管。然后，指数β和ρ可以与δ和 通过将这些AnsatZ插入Eq。（9） （10）并仔细匹配渐近行为。我们可以找到自协方差结构的几个可能阶段：1。

在非临界情况下，我们发现：δ>（3+)/4.=> β = 1 + ; β= 1 + ; ρ = δ, (12)(2 + )/3 < δ < (3 + )/4.=> β = 4δ - 2.β= 1 + ; ρ = δ, (13)2 < δ < (2 + )/3.=> β = 4δ - 2.β= 3δ - 1.ρ=δ，（14）这三个阶段的解释很简单。在第一阶段（12），自相关函数的尾部直接来自K的对角线部分的尾部：直接效应然后主导二次反馈效应。然而，在最后两个阶段（13），（14），一个更复杂的现象开始发挥作用，因为对角线效应影响反馈，以至于它们产生的相关性比内核本身的对角线部分衰减慢。在这些阶段，有可能β<1（对应于一个长的记忆过程）提供<δ<。这一结果很重要，因为它意味着QHawkes进程不必是关键的（即Tr（K）=1）来生成长内存，这与标准的线性Hawkes进程[10,32,20,21]不同。在临界情况下，Tr（K）→ 1, λ∞→ 0时，情况更微妙，如在标准霍克斯凯斯中，β和 完全改变，条件0< < 1/2必须保持，流程才能存在[10]。在目前的情况下，类似的机制运行并导致：δ>3/4=> β = 1 - 2.; β= 1 - ; ρ = δ, (15)2/3 < δ < 3/4 => β = 4δ - 2. - 2.β= 1 - ; ρ = δ. (16)(1 + )/2 < δ < 2/3 => β = 4δ - 2. - 2.β= 3δ -  - 1.ρ = δ. （17） 提供0< < 1/2和δ>（1+)/2.否则，关键流程不存在或不重要。所以在这个临界情况下，这个过程总是长记忆的（即β<1），或者不再存在，就像线性霍克斯过程一样。3日内QHawkes模型3。1 QHawkes作为Qarches的一个限制在本节中，我们研究了（2）给出的QHawkes模型与Sentana在[33]中引入的离散Qarche模型之间的联系，并在[14]中进行了深入探讨。

这将使我们能够在离散采样的价格时间序列上校准QHawkes。对于固定的时间步长 > 0，我们为所有t∈ R:o时间t和时间t+之间的价格（或原价）增量: Rt=Pt+- Pt，ot时的波动率：σt=rEhrTFti。当 → QARCH模型σ的0+t=σ∞+Xτ≥1L（τ） rT-τ+Xτ，τ≥1K（τ，τ）rT-τRT-τ, （18） σ在哪里∞= ψλ∞, L（τ） =L（τ）)  和K（τ，τ）=K（τ）, τ) . 的确，对于t∈ R、 EhrTFti=ψPPt+- Pt6=0英尺+ o()= ψλt + o(),这意味着缩放：σT-→→0+ψλt。由于这两个模型之间的这种联系，有可能根据[8,14]中的当日5分钟仓位收益率校准QARCH模型，并获得有关基础QHawkes模型结构的一些定性和定量见解。当然，更直接、更困难的是，论文的校准范围会更大。3.2 QARCH模型的日内校准迄今为止，QARCH模型主要根据每日数据进行校准（[33]，[14]）。为了为我们研究高频波动的二次效应提供一个起点，我们校准了一个离散的QARCHon日内五分钟收益率。3.2.1数据集和符号我们考虑与[1]中相同的数据集，由当天五分钟内的股价组成。它包括纽约证券交易所的133只股票，这些股票在2000年1月1日至2009年12月31日期间没有中断交易。这将产生2499个交易日，每天78个5分钟的仓位。对于每个仓位，可提供开盘价、收盘价、高价和低价（O、C、H、L>0）。

我们考虑原木价格过程，并在每个箱子上定义：o返回r=ln（C/O）。oRogers Satchell波动率σRS=pln（H/O）×ln（H/C）+ln（L/O）×ln（L/C）。3.2标准化程序为了能够考虑日内价格是（近似）平稳随机过程的独立实现，我们需要仔细地标准化数据。事实上，强烈的日内季节性可能会破坏校准结果。这可以通过横向和历史的正常化在一定程度上避免。我们利用我们的大型数据集计算每个交易日的横截面日内波动模式，并通过这种模式将回报正常化，从而抑制给定日期集体冲击的影响。另一方面，我们使用[9]的日内/隔夜模型波动率模型来考虑每日反馈效应，并关注纯粹的日内动态。为了充分解释我们的标准化协议，我们引入了以下符号：o5分钟bin索引1≤ B≤ 78日指数1≤ T≤ 2499和股票指数1≤ U≤ 133.o经验平均值：hxu，t，。我指的是x在仓位上的条件平均值，对于库存u和固定日；hxu，。，bi和hx。，t、 bi的定义与天数/存量的条件平均值类似；hxi=hx。，。，。我指的是x在库存、天数和垃圾箱上的平均值。我们计算t日的横截面波动率模式，我们用它来标准化u股的数据，如：b∈ {1, ··· , 78} 7→ vu，t（b）≡qhru6=u，t，bi。对于u股，ru、t、bis的值被排除在平均值之外，因此标准化协议不会对u股的大额回报率设置上限。我们还考虑了股票u从开盘到收盘的波动率σDu，tof day t，由[9]的日内/隔夜模型计算，数据为股票u在{1，··，t天内的数据- 1}.

对于t=1，我们定义σDu，1=1。规范化协议如下：u、 t，b，oru，t，b← ru，t，b/σDu，t，σRSu，t，b← σRSu，t，b/σDu，t（通过开盘至收盘波动率进行归一化）oru，t，b← ru，t，b/vu，t（b），σRSu，t，b← σRSu，t，b/vu，t（b）。（横截面日内正常化）我们进一步排除了涉及至少一个bin的交易日，其中绝对收益大于平均值加上六个标准差。这大约占交易日的7%，即每三周一天。结合横截面模式规范化，这种数据处理强烈抑制了异常新闻事件的影响，这需要特殊处理，我们不打算在这里建模。最后，我们将平方的平均值设为1，并将平均回报率设为0，以使股票宇宙更加均匀：u、 t，b，oru，t，b← ru，t，b/qhru，。，。i、 所以hri=1，oσRSu，t，b← σRSu，t，b/qhσRSu，。，。i、 所以hσRSi=1，oru，t，b← ru，t，b- hru，。，。i使hri=0.3.2.3校准结果校准过程类似于[14]和[9]。核的第一次估计是通过广义矩法获得的，该方法使用了一组经验可观测的相关函数。然后，使用这个估计作为起点，我们使用最大似然估计，假设残差是t分布的（这解释了残留在残差中的肥尾）。与单独的GMM估计相比，第二步显著提高了校准结果的精度。我们发现值得注意的是，与[14]的每日校准结果相反，在日内情况下，反馈矩阵中出现了清晰的对角线结构（见图1）。此外，Intra day杠杆内核被发现接近于零，这证明了我们主要考虑≡ 整篇论文都是0。

二次核的谱分解（见图2）表明K是正秩一矩阵和对角矩阵的叠加。实际上，我们得到了一个很好的近似值（见图3）K（τ，τ）≈ φ(τ )δτ-τ+k（τ）k（τ），其中φ（τ）=gτ-α、 k（τ）=kexp(-ωτ），其中g=0.09，α=0.60，k=0.14，ω=0.15。注意，ω=0.15对应于大约30分钟的特征时间（料仓尺寸×ω-1） 对于反对角线分量的衰减。We-0.015-0.01-0.00500.0050.010.01510 20 30 40 50 60 70 80 90LeverageLagτ（min）L（τ）图1：美国股票五分钟日内收益率校准的QARCH内核。最大延迟为18箱，即交易时间的一个半小时。左：二次核的热图。白色系数接近于零，蓝色系数为负，黄色/橙色/红色系数为正，随着绝对值的增加，颜色会变深。我们发现，所有重要的系数都是正的，有一个不可忽略的对角线分量。右图：利用内核。它与零完全不同，可以被视为纯噪声（与它明显为负的日常模型相反）。00.020.040.060.080.10.120.142 4 6 8 10 12 16 18本征熔渣τ（5分钟b ins）本征对角系数-1-0.500.512 4 6 8 10 12 14 16本征向量熔渣τ（5分钟b ins）图2：二次QARCH核的谱分解。左：排序特征值（普通暗线）和对角线系数（虚线）。可以看出，对角线系数与特征值非常接近，但第一个特征值明显大于对角线的最大值。右：对应于五个最大特征值的特征向量。

第一个特征向量（普通暗线）是一个正衰减核，其他特征向量接近正则向量ei（τ）=δi-τ.然后将核K的反对角线部分乘以其设定值K（τ）K（τ）=kexp(-ω（τ+τ）），我们重新校准了K的对角线，最大滞后时间更长，为60箱（交易五小时）。我们得到φlr（τ）=gτ-α的新系数g=0.09，α=0.76，与上述在较短时间跨度内获得的系数相差不远。QARCH模型的残差ξtof由t=σtξt定义，其中Rti是五分钟收益率，σ是QARCH波动率，用Student的st分布建模。K（τ，τ）=φ（τ）Δτ模型的标定-τ+k（τ）k（τ）产生ν≈ 7.9残差的自由度，给出峰度κ≈ 4.5. 这必须与0进行比较。010.110 100核φ和kLagτ（min）φ（τ）k（τ）图3：通过幂律对角矩阵和指数秩1矩阵之和拟合核k。左图：填充矩阵和原始矩阵之间差异的热图。除左上角外，系数较小（白色或浅色）：原始矩阵具有更强的短期反馈。右：使矩阵距离p[k（τ，τ）最小化的核φ（τ）和k（τ）-φ(τ)δτ-τ-k（τ）k（τ）]。秩1的核k以红色绘制（对于小τ，它更大），对角线的核φ以蓝色绘制，两者都以对数比例绘制。灰线是指数α=0.6的φ（τ）的幂律fit，以及特征时间约为30分钟的k（τ）的指数fit。0.010.110 100核φ（长程）滞后τ（min）φ（τ）图4：长程核k。左：长程核的热图，其作用-对角线固定为其指数秩1 fit，对角线在无约束的情况下校准。右：霍克斯核φ（τ）=K（τ，τ）-k（τ）安装在60个料仓上。