金融价格的二次霍克斯过程

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英文标题：
《Quadratic Hawkes processes for financial prices》
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作者：
Pierre Blanc, Jonathan Donier, Jean-Philippe Bouchaud
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We introduce and establish the main properties of QHawkes (\"Quadratic\" Hawkes) models. QHawkes models generalize the Hawkes price models introduced in E. Bacry et al. (2014), by allowing all feedback effects in the jump intensity that are linear and quadratic in past returns. A non-parametric fit on NYSE stock data shows that the off-diagonal component of the quadratic kernel indeed has a structure that standard Hawkes models fail to reproduce. Our model exhibits two main properties, that we believe are crucial in the modelling and the understanding of the volatility process: first, the model is time-reversal asymmetric, similar to financial markets whose time evolution has a preferred direction. Second, it generates a multiplicative, fat-tailed volatility process, that we characterize in detail in the case of exponentially decaying kernels, and which is linked to Pearson diffusions in the continuous limit. Several other interesting properties of QHawkes processes are discussed, in particular the fact that they can generate long memory without necessarily be at the critical point. Finally, we provide numerical simulations of our calibrated QHawkes model, which is indeed seen to reproduce, with only a small amount of quadratic non-linearity, the correct magnitude of fat-tails and time reversal asymmetry seen in empirical time series.
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中文摘要：
我们介绍并建立了QHawkes（“二次”Hawkes）模型的主要性质。QHawkes模型概括了E.Bacry等人（2014）中引入的Hawkes价格模型，允许跳跃强度中的所有反馈效应在过去的收益中是线性和二次的。对纽约证券交易所股票数据的非参数拟合表明，二次核的非对角分量确实具有标准霍克斯模型无法再现的结构。我们的模型展示了两个主要特性，我们认为这对建模和理解波动过程至关重要：第一，该模型是时间反转不对称的，类似于时间演化具有偏好方向的金融市场。第二，它产生了一个乘法的厚尾波动过程，我们在指数衰减的情况下详细描述了这个过程，它与连续极限下的皮尔逊扩散有关。本文还讨论了QHawkes过程的其他一些有趣的性质，特别是它们可以产生长内存，而不必处于临界点。最后，我们提供了我们校准的QHawkes模型的数值模拟，该模型确实可以重现，只有少量的二次非线性，在经验时间序列中可以看到正确的厚尾大小和时间反转不对称性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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PDF下载：
--> Quadratic_Hawkes_processes_for_financial_prices.pdf (645.62 KB)

2022-5-9 05:45:51 上传

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关键词：Quantitative Exponential agent-based Time Series interesting

金融价格的二次Hawkes过程斯皮尔·布兰科，乔纳森·多尼尔，让-菲利普·布乔德2015年9月28日摘要我们介绍并建立了QHawkes（“二次”Hawkes）模型的主要性质。QHawkes模型概括了E.Bacry等人（2014）中引入的Hawkes价格模型，允许跳跃强度中的所有反馈效应在收益中是线性和二次的。纽约证券交易所股票数据的非参数检验表明，二次核的反对角分量确实具有标准霍克斯模型无法重现的结构。我们的模型展示了两个主要特性，我们认为这对建模和理解波动过程至关重要：首先，该模型是时间反转不对称的，类似于金融市场，其时间演化具有偏好方向。第二，它产生了一个乘法、厚尾波动过程，我们在指数衰减的情况下详细描述了这一过程，它与连续极限下的皮尔逊差异有关。本文还讨论了QHawkes过程的其他一些有趣的性质，特别是它们可以产生长记忆，而不必处于临界点。最后，我们对经过校准的QHawkes模型进行了数值模拟，该模型在经验时间序列中仅表现出少量的二次非线性、正确的厚尾和时间反转不对称性。1简介：fBMs、GARCHs和Hawkest寻找金融市场的“完美”统计模型仍在进行中。

自Bachelier首次提出原始布朗运动模型以来，人们设计了大量越来越复杂的数学框架来描述金融时间序列的显著风格化事实，即：收益分布的胖（幂律）尾、相关性缓慢衰减的波动性（或交易活动）集群，负回报波动相关性（所谓杠杆效应），迄今为止最成功的两类模型是：a）具有低衰减记忆核的类GARCH模型（如FIGARCH模型）和b）随机波动率模型，其中对数波动率遵循具有小赫斯特指数的分数布朗运动（如多重分形随机游走[4]，或最近Gathereal的“粗糙波动率”模型，Jaisson-andRosenbaum[19]）。尽管这些模型非常简洁，令人信服地捕捉到了金融时间序列的许多特征，但它们在几个方面仍然不令人满意。首先，这些模型中的收益率是条件高斯分布的，因此永远不会“足够胖”，即使波动率是可变的。非高斯残差（或跳跃）必须手动引入，以匹配经验概率分布。第二，这些模型并非源自对导致厚尾和波动性聚集的潜在机制的更深入假设。理论家的梦想是从具有简单交易规则或行为偏差的代理人开始，并发现在聚合后，他们的集体行为会导致某一类随机模型。这方面的许多尝试都已被记录在案，尤其是基于代理的市场模型、程式化的人口动力学模型或“少数群体游戏”——有关评论，请参见。

[12, 16].不过，可以公平地说，这些提议中没有一个被广泛接受为对上述程式化事实的令人信服的“微观”解释。一个更进一步、讨论较少但在我们看来高度相关的程式化事实与金融时间序列的时间反转（A）对称性（TRS/TRA）有关。正如祖姆巴赫[37]最初强调的那样（遵循之前的观点[29,30,31]），当过去和未来互换时，金融时间序列在统计上并不对称；见[36]。有（至少）两种不同的影响打破了这种对称性：一种是上文提到的杠杆效应：过去的回报率对未来的波动率σ产生（负面）影响，但不是反过来。这是一种破坏TRS和上下对称性r的效应→ -r、 然而，还有另一个影响，在r下是不变的→ -r、 也就是说：过去的大规模已实现波动率与未来的小规模已实现波动率之间的相关性大于反之[37]。解释这一相当抽象的概念的一种更为透明的方法是：假设r是每日收益率，σ是基于五分钟收益率的波动性估计值。然后，考虑[14]中的平均hrtσt+τit，τ>0，它测量过去的每日波动率与未来五分钟波动率之间的相关性。[14]中重新表述并经经验证实的祖姆巴切效应是hrtσt+τit>hrt+τσtit。很明显，这个准则在r下是不变的→ -r、 因此与杠杆效应无关。不对称性从何而来？与TRA一致的模型是什么？有趣的是，从著名的CIR Hestonl模型[15,23]到上文提到的多重分形随机游走模型，所有连续时间随机波动率模型都通过构造遵循TRS，因此无法解释金融时间序列的经验变化。

另一方面，GARCH-likemodels确实导致了强TRA[37]，事实上比数据[14]中看到的更强。这是预料之中的；GARCH模型确实对从过去到未来的反馈进行了编码：大量过去实现的回报会导致大量未来波动。这种自激机制实际上非常类似于一个潜在的“霍克斯过程”（在地震统计背景下发明），最近引起了相当大的兴趣（最近的评论见[5,28]）。在金融领域，霍克斯过程可以被视为纯粹随机模型和基于代理的模型之间的中间环节。我们假设时间t的活动率λt取决于点过程本身的历史，通过自回归关系λt=λ∞+Zt-∞φ（t）- s） dNs，（1）其中λ∞是一个基线强度，φ是一个非负的，可测量的函数，使得| |φ| |=R∞dsφ（s）≤ 1.霍克斯过程被称为“自激”，因为每次跳跃dNs6=0都会通过核φ增加t>s未来事件的概率；这反过来会导致活动聚集，并产生一种诱人的因果解释：每一个事件都是市场其他部分的新信号，引发更多活动。在对金融数据进行校准时，发现了霍克斯过程的两个显著特征[10,20,21,5]：其内核φ（s）显示出长程（幂律）衰减-1.-, 它的L1范数| |φ| |非常接近统一，这意味着这个过程即将变得稳定（见[17]）。这很有趣，因为这正是对应的平方波动率的连续时间限制（此处与活动一致）是分数CIR Heston过程[26]，局部Hurst指数H= - 1/2.

这似乎失去了循环：因为 根据经验发现接近1/2[20]，我们手头有一个“微观模型”（霍克斯过程），它在粗粒度尺度上生成一个粗波动过程，它推广了CIR-Heston模型，以解释波动性的缓慢、多时间尺度衰减。不幸的是，情况还没有那么乐观：首先，分数CIR-Heston过程的尾部太薄（指数衰减），无法解释波动率的经验分布。因此，Jaisson和Rosenbaum[26]建议将霍克斯过程解释为对数波动率的模型，但这不是自然现象。其次，在我们对上述TRS的讨论之后，分馏-赫斯顿过程（实际上是正常的CIR-赫斯顿过程）严格来说是TRS，因此无法捕捉观察到的金融交易时间序列！上面的长话短说为我们的贡献奠定了基础，这是为了解决霍克斯形式主义的上述缺陷——当应用于金融时间序列时——并让astep更接近我们在开场白中提到的“完美”模型。我们提出了霍克斯过程的广义版本（以下称为QHawkes），其中包括Sentana[33]引入的QARCHmodel的特征，并在[14]中进行了深入探讨。其思想是，自我激励机制不仅是从市场活动到市场活动，而且是从实际价格变化到市场活动。为了明确我们的动机，考虑一系列价格变动，所有这些变动都具有相同的振幅|r |：：=ψ。人们预计，当地的趋势，即。

虽然连续的价格波动比连续的价格波动更频繁，但连续的价格波动比连续的价格波动更频繁。我们需要在广义霍克斯过程中包含的额外术语，除了由经验数据驱动之外，还将从数学上编码这种影响。我们将看到，这种修改不仅在收益分布中产生了所需的厚尾（来自对数活动确实将作为一个自然变量出现的事实），而且还定量地解释了回报率，至少在我们校准模型的日内时间尺度上是如此。我们将看到，在特定情况下，我们模型的连续时间限制归结为一个简单、易于处理的二维皮尔逊扩散，然后可以将其用作波动过程的低频代理。本文概述如下：我们首先在第2节介绍我们的通用模型，并强调其一些核心特性。第2.2节介绍了factorzedqhawkes过程的一个特殊子族，我们在Zumbach之后称之为ZHawkes，因为它捕获了上面讨论的生成TRA的Zumbach机制。第3节与QARCH模型进行了比较，我们使用类似于[14]的方法对美国股票数据进行了日内校准，显示了一种非零效应对角线结构。在第4节中，我们证明了在指数核的情况下，过程是马尔可夫的，并且我们写出了相应的随机微分方程及其连续对应的方程。最后，我们在第5节中通过数值模拟表明，我们的ZHawkes过程生成的TRA的数量级与数据非常匹配，并且产生了具有适当数量厚尾的波动过程。

第6节结束。2.QHawkes模型2。1与霍克斯过程（1）类似的一般模型，QHawkes（二次霍克斯）过程（Pt）t≥0是一个自激励点过程，其强度λt取决于过程本身的过去实现。顾名思义，我们将价格变化的强度建模为最普遍的自激励点过程，该过程在dPs中是二次的<t:λt=λ∞+ψZt-∞L（t）- s） dPs+ψZt-∞Zt-∞K（t）- s、 t-u） dPsdPu，（2）其中P是高频价格，这是一个带符号增量的纯跳跃过程。更准确地说，每当一个事件发生在t和t+dt之间，概率为λtdt时，价格就会跳动量ξ，其中ξ是零均值和方差ψ的随机变量。我们将在下面考虑的一个简单情况是ξ=±ψ，其中ψ可以被视为刻度大小。在上面的方程式中，L:R+→ R是一个“杠杆”内核，将价格变化与市场活动和K:R+×R线性耦合+→ R是一个二次反馈核。λ∞也是流程的基线强度（在没有任何反馈的情况下）。请注意，上述方程可以被视为过去价格变动的幂次价格变动强度的非系统扩展，被截断为二阶。当然，我们可以通过添加三阶项asRt来进一步推广该模型-∞Rt-∞Rt-∞K（t）- s、 t- u、 t- v） dPsdPudPv等，但我们不会在下文中进一步考虑此路径。虽然有必要考虑每日时间尺度上的杠杆效应，但我们稍后会发现，在日内尺度上，核L并不重要，因此对于许多应用，人们可以只关注二次核，并写入λt=λ∞+ψZt-∞Zt-∞K（t）- s、 t-u） dPsdPu。

（3） 很容易看出，模型（3）是[3]中介绍的价格的简单霍克斯过程的推广：当选择单价跳跃时，dPt=±ψdnt，其中ψ可以被视为勾号，并丢弃任何效应——对角二次效应（因此K（t，s）=φ（t）δt）-s） 我们恢复了核φ（s）=K（s，s）的Hawkes过程。众所周知，线性霍克斯过程（1）可以看作是一个分支过程，其中每个“移民”事件都来自外生强度λ∞产生了许多“子”事件，它们以参数nH=| |φ| | |的泊松定律分布，其中| |φ| |是核φ的形式。这些子代中的每一个又在事实上产生了第二代子代，如果任意顺序的核K、K等都是对角的，则该模型归结为一个具有杠杆作用的霍克斯过程，即λt=λ∞+Rt-∞φ（t）- s） dNs+ψ-1Rt-∞L（t）- s） dPs，具有充分重新定义的内核φ和L，使得φ（s）- |L（s）|+λ∞≥ 0以确保强度的积极性。同样的概率定律等等。当nH<1时，每个移民平均生育tonH/（1）- nH）<∞ 后代。因此，NH可以被视为过程内生性的度量，因为它对应于内部触发的事件的分数，在简单泊松过程中达到零，在没有祖先的霍克斯过程的特殊情况下达到一[10]。QHawkes关于分支过程的直觉非常相似，只是现在事件的速率也取决于事件对之间的相互作用。我们将考虑正面反馈K（s，t）≥ 0，使得具有相同符号的两个母事件（即两个价格朝同一方向移动）增加了未来触发新事件的概率（即。

增加未来的波动性），而补偿事件具有抑制作用，与[14]的经验观察结果一致（并直接受到其推动），如引言中所强调的。2.2一个特例：ZHawkes模型受引言中的讨论和下面给出的实证（日内）结果的推动，我们将把QHawkes模型专门用于没有杠杆的情况（L≡ 二次反馈核K的形式为K（t，s）=φ（t）δt-s+k（t）k（s），即对角Hawkes分量和可分解的秩一核的和。我们假设φ，k:R+→ R+是满足| |φ的两个正的可测函数||≡Z+∞φ（u）du<+∞ , ||k||≡Z+∞k（u）du<+∞.在这种情况下，方程（2）变为λt=λ∞+ Ht+Zt，（4）其中o霍克斯术语由Ht给出：=Zt-∞φ（t）- s） 域名系统；新界- 新界-:=ψ（Pt）- Pt-)o Zt给出的“Zumbach项”，其中Zt=ψZt-∞k（t）- s） dPs。我们称之为Ztmbach术语，因为它直接受到G.Zumbach对波动过程的一系列经验观察的启发（[37]，[36]）。实际上，Zt只是过去收益的移动平均值（具有正的非标准化权重k（τ））。因此，根据经验观察，这一术语的定义是，同一方向的收益序列触发的未来波动性大于补偿收益[36]。除了其经验动机外，ZHawkes核的因式分解特性还显著降低了过度拟合的风险，因为我们将得到两个一维核，而不是等式2中的二维核。