最佳交易策略——时间序列方法

具有平稳增量的综合价格过程上一小节中使用的价格过程的平稳性作为假设显然是不现实的，如果本次调查中讨论的方法要在实践中有用，显然需要超越这一点。然而，一旦离开平稳性领域，就需要在不同的层面上建立某种结构，以便在一定的时间范围内估算自协方差函数和相应的自协方差矩阵。我们在这里所依赖的结构是基于这样的假设，即价格过程的（波动）可以被描述为具有固定增量。如果我们认为这里所考虑的过程实际上是对数价格过程，那么它们增量的平稳性假设实际上是数学金融学中的一个重要假设。在下文中，我们假设（对数）价格过程X=（Xt）超出其固定增量，即thatXt=Xt-1+Yt（18），其中Yt=hYti+δYt=ut- ut-1+δYt，平均通量δYt为零。根据这些约定，我们可以写出给定实现的策略π=（πt）的返回x asRT（π）=TXt=1πt（x- xt）=TXt=1πth（u）- ut）-tXτ=1δyτi.（19）预期收益由r.h.s的第一个贡献给出，而方差为Var[RT（π）]=tX，t′=1πtπt′htXτ=1t′Xτ′=1hδyτyτ′ii。（20） 这是与（9）相同的结构，自协方差矩阵∑≡ 非平稳价格过程的∑X=（∑Xt，t′）表示为价格增长过程的自协方差矩阵∑Y=（∑Yt，t′）∑Xt，t′=tXτ=1t′Xτ′=1hδYτYτ′i=tXτ=1t′Xτ′=1∑Yτ，τ′。

（21）过程的自共价矩阵和增量的相应过程之间的这种关系可以用矩阵形式紧凑地表示为∑X=P∑YP′，（22）其中P是一个下三角常数矩阵，P=1 0 0 . . . 01 1 0 . . . 01 1 1 . . . 0...............1 1 1 . . . 1.. （23）然后，策略优化的均值-方差方法会产生形式为（10）的最优交易策略，价格过程的自协方差矩阵∑=∑xo表示为公式（22）中固定增量过程的自协方差矩阵∑yo，将价格增量视为白噪声过程δYt~ N（0，σ），我们有∑Yt，t′=σδt，t′so∑-1=σ-2（P′）-1，其中（P′）-1被发现为三叉神经形式（P′）-1=2.-1 0 0 . . . 0-1 2 -1 0 . . . 00-1 2 -1.0...............0 0 . . . -1 2 -10 0 . . . -1 1（24）在这种情况下，全局最优策略y（11）就是π*GO=（1,0,0，…0）\'，（25），也就是说，它意味着在初始时间步采取单一的多头仓位。如果我们假设公式（13）的AR（1）过程，用于价格增量的函数，即δYt=aδYt-1+p1- A.ξt，（26）则为∑y，由式（15）给出；事实证明∑-1=（P∑YP′）-1也可以用封闭形式计算，给出∑-1=1 - A.C-Aa 0·········0-A2B-Aa 0。。。A.-A2B-Aa 0。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。0 a-A2B-Aa。。。0 a-自动控制-A0··········0A-A 1.其中我们使用缩写A=1+A、B=1+aA和C=1+A。在这种情况下，全局最优策略（11）的形式为π*GO=（1+a，-a、 0，0）′，（27）即。

它包括在第一时间步采取单一多头仓位，如果a>0，则在第二时间步部分由空头仓位设置，而如果连续的价格增量是反相关的（a<0），则随后是进一步的多头仓位。请注意，白噪声增量的解决方案正确地恢复为a→ AR（1）结果的0-极限。同样，对预期收益有约束的解可以以封闭形式给出；与平稳价格过程的描述过程类似，它们是通过在（10）中插入（16）得到的，拉格朗日参数是通过求解一对线性约束方程得到的。在这里，我们将展示更多关于收益率漂移的具体假设和预测。我们将报告我们的分析结果和数值结果，这些数值结果将估计自协方差矩阵上的有限样本波动产生的采样误差纳入考虑范围。抽样噪音的影响——对可用的合成价格过程有分析结果——可以估计抽样噪音对最佳策略和风险回报率的影响。在实践中，潜在价格过程的分析结构是未知的，自协方差矩阵s必须基于有限样本进行估计，即最优策略的设计必须基于样本自协方差矩阵∑。对于固定价格过程，可以通过∑t，t′=M来确定∑元素- 1MXu=1δxt+μδxt′+u。

（28）本程序引入采样噪声；估计的自协方差矩阵元素∑t，t′将显示o（M-1/2）关于其对应的真实对应物∑t，t′的变化。当通过对光谱的影响来评估采样噪声的影响时，人们期望相关参数为纵横比α=T/M，即所考虑的时间延迟数与用于估计矩阵元素的样本量之比。我们将在以下内容中使用该参数来参数化采样噪声的影响，使用α→ 0-极限对应于无采样噪声的情况，即已知真实渐近自协方差。如果价格过程不是平稳的，而是具有平稳的增量，可以使用等式。（21）和（22）用0.2 0.4 0.6 0.8 1σs过程的自协方差矩阵∑yo表示价格过程的自协方差矩阵∑xo，风险0。20.40.60.8×10-3α=0.5α=0.2α=0.1α=0.01α=0.001α=0.0001α=0图。2：AR（1）价格过程的风险收益率文件，其参数与图4中的参数相同，用于α参数化的不同级别的采样噪声。如图3所示，通过对10多个样本进行平均得到结果。请特别注意，采样噪声会导致对风险的低估。两条水平虚线表示目标回报率的两个值，最优交易策略如下图4所示。价格上涨。对于后一种情况，可以通过沿着一条曲线进行抽样来使用估计器，因此一个c和一个c∑Xvia∑Yt，t′=M- 1MXu=1δyt+δyt′+u（29）和∑X=P∑YP′。（30）在图2中，我们展示了不同长宽比α（从α=0.5到α=10）的n AR-1价格过程的风险回报率-4，无噪声情况下α=0也包括在内。

注意，采样噪声会导致系统性低估风险，尽管随着α变小，结果很快接近无噪声限值。图3显示了该过程的全局最优（最小风险）交易策略的权重，而。4给出了目标回报率两个不同值的最佳交易策略权重（由图2中的两条水平虚线表示）。在这种情况下，我们将其归结为一个小偏差ut=10-4t的基础价格过程。值得注意的是，所需目标回报率的增加会导致最优策略发生质的变化，更大的目标回报率需要在交易期开始时采取初始空头头寸。关于使用自回归过程来描述价格增量统计数据的情况，我们从图的比较中得出。5和2，与相同的基础过程描述价格过程本身的影响的情况相比，风险水平要大得多。这就结束了我们对合成价格过程的结果收集，其中基本的真实自协方差是已知的。我们现在转向将该框架应用于实证数据，但事实并非如此。四、 经验数据在下文中，我们使用标准普尔500指数的每日调整收盘数据，将我们的框架应用于经验数据，时间跨度为1950年1月3日至2015年4月20日。0 2 4 6 8 10t0。050.10.150.20.250.30.35πtα=0.5α=0.2α=0.1α=0.01α=0.001α=0.0001α=0图。3：使用估计的自协方差矩阵，在T=10个时间步的风险范围内，a=0.8的AR（1）价格过程的全局最优交易策略。数据显示了风险水平的比率α=T/M和样本量M的各种值，用于根据等式估计自协方差。

（28）：通过对10多个样本进行平均，获得最佳策略（以实线作为眼睛的导向）。还显示了标准偏差；它们随着α迅速减少。真自协方差函数（α→ 0-limit）进行比较。注意，有限样本的平均策略与α=0的结果非常接近。02468810T-0.20.20.40.60.8πtα=0.5α=0.2α=0.1α=0.01α=0.001α=0.0001α=0024610T-0.20.40.60.8πtα=0.5α=0.2α=0.1α=0.001α=0.0001α=0图。4：左面板：a=0.8且线性漂移形式为ut=10的AR（1）工艺的最佳策略-4t作为inFig。1，施加的预期策略回报为uS=4×10-5.所示为通过对10多个样本进行平均得到的非零α参数化的不同采样噪声水平的平均交易策略。平均结果与用tα中的真渐近自协方差矩阵得到的结果接近→ 0-限值，用于比较。右面板：AR（1）流程的最佳交易策略，参数与左面板相同，但现在uS=1×10-3.这可能是我们需要注意的一点，我们并不主张使用交易策略回报的变异性构成在真实市场数据中捕捉风险的最佳方式。事实上，考虑到已知市场回报具有厚尾分布，方差最多可以被视为风险的代理。然而，我们的首要目标不是探索更广泛的可能风险度量，而是在时域中重新定义总体均值变量优化策略，并开始调查其性质。0246810T-3-2-1πtα=0.5α=0.2α=0.1α=0.01α=0.001α=0.0001α=0010200405060σs，风险0。20.40.60.8×10-3α=0.5α=0.2α=0.1α=0.01α=0.001α=0.0001α=0图。

5：左：设置的最佳策略，其中价格增量的变化由AR（1）过程描述，a=0.8；形式为ut=10的线性漂移-价格过程假设为4t，预期策略回报为uS=1×10-这是强加的。图中所示为平均交易策略（实线），该策略通过对100多个样本进行平均，得到不同级别的采样噪声，这些噪声由非零α参数化。平均结果接近于在α中用真渐近自协方差矩阵得到的结果→ 0-限值，用于比较。右：此设置的风险回报文件，水平虚线表示左面板数据中施加的预期策略回报。右面板应与图2进行比较，图2显示了AR-1定价过程的风险回报率。A.S&P500自相关矩阵的频谱在开始评估最佳交易策略和风险收益率之前，我们将查看数据的自协方差矩阵频谱，时间窗口为T=50，样本大小为M=100，因此α=0.5。价格过程的自协方差矩阵如第节所述。III C，首先评估回归过程的自协方差，假设各个样本窗口的平稳性。为了在整个数据集中获得有意义的统计数据，我们在每个时间窗口转换收益序列，以显示单位方差增量，然后使用转换公式（30）获得标准化价格过程的自协方差。0.050.10.150.20.250.30.35-6-4-2 0 2 4 6 8 10ln（λ）图6:S&P500样本自协方差矩阵的频谱，按照正文中的描述进行标准化，使用t=50个时间滞后和高宽比α=0.5，即。

大小为M=100的样本用于定义自协方差（红色实线）。还显示了与具有独立单位方差增量的价格过程的自协方差矩阵谱的比较（绿色虚线）。这两者非常接近。如图6所示，我们在图6中绘制了特征值对数的密度，其范围非常广泛，跨越了几个数量级。为了进行比较，我们使用相同的T和M值，将单位方差增量独立的过程的谱包括在内，我们注意到这两个值非常接近。这并非完全出乎意料，因为这是该领域广泛报道的“程式化事实”之一，即r e序列的相关时间非常短。我们将在下面使用这种类型的光谱比较来确定我们将用于降噪目的的自动冠状病毒nc e基质清洁策略。B.最优交易策略和自协方差矩阵清理在图7中，我们报告了S&P500上最优交易策略的风险收益特征，使用T=50时间滞后的样本Auto-covaria nc e矩阵，样本大小M=100，如图6所示。我们报告了通过等式测量的自协方差矩阵的结果。（29）和（30），并将其与应用清洁策略获得的结果进行比较，我们将在下文中描述。我们在每个数据窗口中使用线性趋势定义的已实现收益来计算风险收益率，并使用样本内风险、真实风险和样本外风险的约定，如[31]所示，将整个时间序列的平均自相关矩阵作为真实自相关的代理。

没有证据表明通过清洁可以降低风险。02468σs，风险0。020.040.060.080.1σincleanedσoutUncleanedσtrueUncleaned0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03σs，风险0。020.040.060.080.1σ包括σ外清洁σ真清洁图。7：标准普尔500指数数据上最佳交易策略的风险回报报告。左：从测量的自协方差矩阵中获得的风险回报率。右图：使用自协方差矩阵的清洁版本获得的风险回报率文件。水平虚线表示目标策略返回uSFO，图8中报告了哪些最佳策略。0 10 20 30 40 50t-1.5-1-0.50.51.5πtGO策略未清洁GO策略已清洁0 10 20 30 40 50t-30-20-10πTun清洁策略us=0.01未清洁策略us=0.06清洁策略us=0.01清洁策略us=0.06图。8：左：标准普尔500指数的全球最优策略，显示了清洗前后的结果。右图：图7所示的两个目标收益率uS=0.01和0.06的最佳策略。图8展示了标准普尔500指数的最佳交易策略，显示了两种不同的非零目标策略的最小风险解决方案和风险最优解决方案。除了降低风险的效果外，我们发现清洁的效果还在于创造比不清洁时更“流畅”的策略。最后，让我们看看用于获取上述数据的清洁策略。在金融数据协方差矩阵的背景下，观察到经验相关矩阵谱与高维不相关数据预期的马尔岑科-帕斯图尔定律之间存在很强的相似性。由于这些相似性而提出的清洁策略之一被称为“剪裁”[15,31]。

它通过执行谱分解来分析关系矩阵，并将样本相关矩阵谱的大部分视为噪声，这类似于马尔岑科-帕斯图尔定律。然后，它通过将大的特征值保留在块体之外，并用它们的平均值替换块体中的特征值来变换相关矩阵，从而避免变换矩阵中的小特征值。在目前的情况下，现象学是不同的；不存在（标准化）样本自动covaria nc e矩阵的eig e值，该值可被视为显著位于不相关增量预测的大部分光谱之外。因此，随机矩阵理论不会提供明确的指导，而这些指导可能会构成裁剪类型程序的基础。因此，我们决定对数据应用“收缩”程序。据我们所知，这一程序最初是由Stein[3 2]提出的，最近又重新引起了数理统计[18,24]和经济物理学[33]界的兴趣。基于图6中报告的观察结果，即S&P500和具有独立增量的合成过程的（归一化）自协方差谱确实非常相似，我们将收缩过程应用于S&P500增量∑Y的样本自协方差矩阵，使用替换规则∑Y，将它们收缩到增量方差的对角矩阵（这确实描述了一个独立增量的过程）给出的tar get matrixD，即朝着D=diag（{710∑t，t}）的方向← δD+（1）- δ） ^∑Y，（31）并转换缩小的∑Ythus，从而使用转换公式确定∑x的清洁估计值。(22). 本程序中参数δ的正确值由[18,24]中所述的数据确定。五、