最佳交易策略——时间序列方法

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英文标题：
《Optimal trading strategies - a time series approach》
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作者：
Peter A. Bebbington and Reimer Kuehn
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  Motivated by recent advances in the spectral theory of auto-covariance matrices, we are led to revisit a reformulation of Markowitz\' mean-variance portfolio optimization approach in the time domain. In its simplest incarnation it applies to a single traded asset and allows to find an optimal trading strategy which - for a given return - is minimally exposed to market price fluctuations. The model is initially investigated for a range of synthetic price processes, taken to be either second order stationary, or to exhibit second order stationary increments. Attention is paid to consequences of estimating auto-covariance matrices from small finite samples, and auto-covariance matrix cleaning strategies to mitigate against these are investigated. Finally we apply our framework to real world data.
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中文摘要：
受自协方差矩阵谱理论最新进展的推动，我们重新讨论了Markowitz的均值-方差投资组合优化方法在时域的重新表述。在其最简单的体现中，它适用于单个交易资产，并允许找到最佳交易策略，对于给定的回报，该策略对市场价格波动的影响最小。该模型最初针对一系列综合价格过程进行研究，这些过程要么是二阶平稳的，要么表现为二阶平稳增量。注意从有限小样本估计自协方差矩阵的后果，并研究了自协方差矩阵的清洗策略，以减轻这些后果。最后，我们将我们的框架应用于真实世界的数据。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> Optimal_trading_strategies_-_a_time_series_approach.pdf (216.78 KB)

2022-5-9 05:49:52 上传

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关键词：交易策略 时间序列 Optimization Consequences Quantitative

最佳交易策略——时间序列法彼得·a·贝宾顿++英国伦敦大学学院物理与天文学系，伦敦高尔街，伦敦WC1E 6BT，以及伦敦大学学院金融计算与分析博士培训中心，马莱特广场，伦敦WC1E 7JG，英国雷默K¨uhn**伦敦国王学院数学系，斯特拉德，英国伦敦WC2R 2LS（日期：2016年3月28日）摘要受自协方差矩阵谱理论最新进展的推动，我们重新讨论了马科维茨均值-方差投资组合优化方法在时域的重新表述。在其最简单的体现中，它适用于单个交易资产，并允许找到最佳交易策略，对于给定的回报，该策略对市场价格波动的影响最小。模型el最初针对一系列综合价格过程进行研究，这些过程要么是二阶平稳的，要么表现为二阶平稳增量。注意从小样本中估计自协方差矩阵的后果，并研究了减轻这些后果的自协方差矩阵清理策略。最后，我们将我们的框架应用于真实世界的数据。I.简介当寻求资本配置的最佳策略时，可以采用动态规划方法，需要求解汉密尔顿-雅可比-贝尔曼方程[1-8]来确定此类策略。通常应用于单周期问题的替代方法是均值方差优化，它构成了马科维茨投资组合优化理论的基础[9]。这种方法在经济研究和工业实践中有着丰富的历史[10-14]。

其普及的主要原因之一显然是其概念的简单性，这有助于建立关于风险性质及其与投资回报关系的直觉。在过去的几十年里，许多物理学家对这个问题产生了兴趣[15–26]。这些研究中涉及的关键问题涉及采样噪声可能对大型投资组合中相关性或协方差的测量产生的影响，此类采样噪声将如何影响后续均值-方差投资组合优化问题的解决，以及减轻此类采样噪声不利影响的方法设计。其中大多数研究的核心是随机样本方差矩阵理论[27]。Marˇcenko和Pastur[28]在20世纪60年代开创了他们的频谱理论。事实上，人们观察到，与许多大型特征值不同，不同市场中资产收益的样本协方差矩阵频谱的大部分与Marˇcenko和Pastur预测的样本协方差矩阵的形式非常接近。i、 d.随机数据；参见例[15,16]。然后，市场数据和随机数据定义的零模型之间的这种比较可以用来设计理论指导的方法来区分市场数据中的信息和噪声，并由此设计方法来清理资产收益的协方差矩阵，以便在投资组合优化中使用，改善风险回报特征[15,17–26]。目前的研究是由以下事实触发的：样本自协方差矩阵的光谱理论——时域[28]的分析——最近变得可用[29]。

这让我们重新审视了时间域中的Markowitz均值-方差优化的类比[30]，它最简单的体现是允许在有限（离散）时间范围内为单个交易资产找到最佳交易策略。我们研究了一系列合成过程的这种设置，这些合成过程要么是二阶平稳的，要么表现出二阶平稳增量，我们系统地研究了采样噪声对最优策略和风险回报特性的影响。最后，我们将我们的框架应用于标准普尔500指数的每日收益率，并探索如何将[29]中获得的样本自协方差矩阵的特定结果作为指南，以类似于投资组合优化中用于样本协方差矩阵的精神，清理样本自协方差矩阵。我们一开始就注意到，我们认为这是一项探索性研究，在本文中，我们忽略了贴现和代理人对损益的不对称估计等经济因素。我们预计，我们技术的主要应用领域将是高频y域，因为在短时间内，返回自相关将是最有用的。然而，我们注意到，我们的大部分分析是关于抽样对最优交易策略的影响，这在所有时间尺度上都是相关的，因此也适用于弱相关数据。本文的其余部分组织如下。在门派里。我们简要介绍了马科维茨的拓扑优化方法及其在时域中的转换。在门派里。我们提供了合成过程的结果，并从数值上研究了采样噪声对最优策略和风险回报率的影响。在门派里。

IV我们以标准普尔500指数为例，研究了经验数据的最佳交易策略，并在比较标准普尔500指数的自协方差谱和不相关过程的预期谱的基础上，研究了自协方差矩阵清洗对风险收益率的影响。门派第五章对未来的研究方向进行了概述和展望。二、投资组合优化A。在均值-方差投资组合优化的最简单版本中，Markowitz集合考虑了一组N个可交易资产i=1，N通常假设这些不包括复杂的金融工具，如衍生品、期权和期货。投资者可以购买这些资产。我们将使用πi表示资产i上的头寸，使用πi>0表示多头头寸（买入资产），而πi<0表示空头头寸（卖出资产）。通过对第i项资产的（随机）回报进行ridenoting，位置为π=（π，π，…，πN）′的整个报告组合的回报由（π）=NXi=1πiri=π′r给出，（1）其中r=（r，r，…，rN）′用于表示随机回报向量，素数表示转置。根据马科维茨的理论，最优投资组合是使投资组合收益的方差最小化的投资组合，Var[R（π）]=NXi，j=1πiπjh（ri- ui）（rj- uj）i=NXi，j=1πiπj∑ij，（2）受给定预期投资组合收益uPuP的约束≡ πi=1的∑是。为了衡量这个问题，人们通常会施加规范化约束π′1≡NXi=1πi=1。（4） 这里1=（1，1，…，1）′表示所有成分都等于1的N维向量。利用拉格朗日乘子法求解最小化问题，考虑了期望收益和归一化的约束，即。

看一看Lagr Angian=π′∑π的平稳y点- λ(π′1 - 1) - λ(π′u - uP）（5）πi、λ和λ的w.r.t变化。初等线性代数则要求最优投资组合π*取π的形式*= λΣ-11 + λΣ-1u，（6）由约束确定的拉格朗日参数λ和λ的实际值。B.转换到时间域马科维茨投资组合优化问题允许相当直接地转换到时间域。为了表述它，假设X=（Xt）t∈Zi是单个交易资产的价格过程。让πt表示投资者在时间t对该资产的交易头寸。如上所述，我们将使用πt>0表示多头头寸（购买资产），而πt<0表示空头头寸（出售资产）。交易策略的回报率π=（π，π，…，πT）’在价格过程的实现x=（x，x，…，xT）’的有限时间范围内，可以写成rt（π| x）=TXt=1πT（x）- xt）。（7） 根据这些约定，交易策略（以初始价格x为条件）的预期收益uS=hR（π| x）i=TXt=1πt（x- ut）=x- π′u，（8）在第二步中，我们将自己限制在满足π1=1′的标准化交易策略上，其中ut=hxti表示时间t的预期价格。值得一提的是，在一开始，X也可以被视为对数价格过程（在当前的上下文中可能更合适），在这种情况下，RT（π| x）将是策略π的对数返回。

为了简单和明确起见，我们将坚持价格过程的语言，并在以下内容中进行转换。那么，符合马科维茨精神的最佳交易策略就是最小化（条件）方差Var[RT（π| x）]=TXt，t′=1πtπt′h（xt）的策略- ut（xt′）- ut′）i=TXt，t′=1πtπt′∑tt′，（9）受规范化π′1=1和给定平均收益π′u=x的约束- uS。在（9）中，矩阵∑=（∑tt′）现在表示价格过程的自协方差矩阵。找到最优交易策略问题的代数方面现在正式完全等同于找到最优投资组合的代数方面，而最优策略π*取π的形式*= λΣ-11 + λΣ-1u，（10）∑现在是价格过程的自协方差矩阵，而不是portfolioreturns的协方差矩阵。拉格朗日参数λ和λ的实际值由之前的约束确定。众所周知，而且确实很容易验证的是，不受平均收益限制的全局最优解紧受π的约束*GO=∑-1′Σ-1.（11）投资组合优化和均值-方差法寻找最佳交易策略的主要问题是，投资组合收益的协方差矩阵或交易资产价格过程的自协方差矩阵未知，但需要根据经验市场数据进行估计。在投资组合优化的情况下，这类估计过程中采样噪声的影响得到了很好的研究。

正如导言中提到的，过去已经研究过各种缓解此类影响的策略——通常由随机矩阵理论指导。相比之下，可用于最优交易策略均值方差公式问题的样本自相关随机矩阵理论最近才变得可用[29]。我们将讨论经验数据中采样噪声的问题，以及频谱理论的使用，以指导“清理”的选择——市场数据自协方差矩阵的策略，见下文第节。四、 在此之前，我们研究了采样噪声对一些合成过程的影响，在这些合成过程中，可以与已知的真自协方差矩阵进行比较。三、 合成价格过程的结果在本节中，我们评估了前一节中针对合成价格过程开发的理论。我们首先将这些过程视为白噪声过程或阶数为1的自回归过程，然后继续研究价格增量分别被建模为白噪声和自回归过程的情况。对于白色无ise和自回归价格过程，已知真实的自协方差矩阵，并给出最优交易策略的解析表达式。然后，我们使用自协方差矩阵的估计值来研究采样噪声的影响，估计值包括风险范围长度T的α=T/M的比值（以及由此产生的矩阵维数），以及用于确定这些估计值的样本大小M。真自协方差矩阵的解析表达式对应于α→ 结果为0-limit。A.综合平稳价格过程我们首先考虑一个价格过程，其波动趋势δxt=xt- ut可能是高斯白噪声过程，即。

δXt~ N（0，σ）。这种情况下的真自协方差矩阵与单位矩阵成正比，即∑t，t′=σδt，t′。在这种情况下，长度为T的时间范围内的全局最优策略y（11）很容易被发现是π*t、 GO=σ-2PTt=1σ-2=T.（12）因此，对于方差为σ的白噪声过程，最优策略为π*GO=（1/T，1/T，…，1/T）′在时间范围T内是一致的，并且与价格过程的方差无关。当然，不相关资产的马科维茨投资组合的类似结果是众所周知的。接下来，我们假设趋势周围的价格波动由AR（1）过程描述，即δXt=aδXt形式的1阶自回归过程-1+p1- A.ξt，（13）其中ξt~ N（0,1）；为简单起见，我们将过程标准化，以显示方差1的变化。（13）中的参数a需要满足| a |<1才能使流体保持静止。已知该过程的自协方差e函数由γ（i）=cov[δXtδXt]给出-i] =a | i |。（14） 因此，在长度为T的有限时间范围内计算的自协方差矩阵是m∑的Toeplitz矩阵=1 a·a·aT-a 1 a。。。aa 1 a。。。aa 1。。。A.aaT-1··aa 1. （15） 其逆矩阵是由∑给出的三对角矩阵-1=1 - A.1.-a 0······0-a 1+a-A.-a 1+a-a0·····0-a 1. （16） 在这种情况下，长度为T的时间范围内的全局最优策略y（11）由π给出*GO=λ（1，1）- A.1.- a、 1）\'（17）与λ=[2+（T- 2)(1 -a） ]-1由归一化约束π′1=1固定。在这种情况下，除了两个边界条件外，全球最优交易策略是一致的。

白噪声结果清楚地被视为a→ 0——AR（1）过程当前结果的极限。对预期收益有约束的解可以用封闭形式a s井给出；它们可以简单地通过在（10）中插入（16）得到，拉格朗日参数是通过求解一对线性约束方程得到的；当然，细节将取决于关于漂移的推测，我们不会明确地写下来。图1显示了参数a=0.8的AR（1）价格过程的最优策略，这两种情况都适用于全局最优和非零平均回报。从图中可以看出，将预期策略回报从uS=4.0×10提高-4至uS=1.0×10-3将最优策略（10）从一个在风险水平上呈单调递减的策略更改为一个单调递增的策略，实际上从初始时间步t=1.0 2 4 6 8 100.050.10.150.20.250.3uGO=5.0e-040 2 4 6 10-0.2-0.10.20.30.50.60.70.8us=4.0e-05us=1.0e-03FIG.开始。1：左面板：风险范围内a=0.8且ofT=10个时间步的AR（1）价格过程的全局最优交易策略。右面板：具有相同参数a和形式ut=10的线性漂移的过程的最佳策略-4t，施加uS=4×10的预期策略回报-5（蓝色实线）和uS=1×10-3（固体橙线）。B