半静态完整性和知情投资者的稳健定价

对于任意X=a+aψ+···+anψn+（H·S）T∈ Wwe然后haveEQ[（Z- 1） X]=EQ[X]- 等式[X]=a- a=0。因为W是L（FT，Q）的全部，所以Z=1，因此Q=Q=Q。因此Q是一个极值点。备注3.3。定理3.1也可以在Lsetting中陈述和证明，其中ψi仅假设可积，半静态完备性是使用integrandsH定义的，因此H·S是鞅。通过观察引理3.2中相应修改的集合W在L中是闭合的（其顶基本相同），可以很容易地证明定理3.1的这种说法。由于后续的发展很大程度上依赖于L的希尔伯特空间结构，为了保持一致性，我们选择在整篇论文中进行L设置。在没有静态成分的动态套期保值的经典设置中，存在广泛的完整模型。例如，当价格过程是一个可能依赖路径的随机微分方程的强解时，动态完备性就成立，形式为dSt=σ（t，Su:u）≤ t） dWt，其中W是布朗运动和σ-nevervanishes。因此，人们可能想知道，在半静态环境中，是否有任何理由期望完整的模型表现出进一步的结构特性。现在，我们来说明为什么人们可能会认为会出现这种情况。为此，考虑一下someQ∈ M（F）下半静态完备性成立，暂时假设ψ={ψ}包含一个元素。考虑不可对冲部分ψ- ψ的π（ψ），其中π表示闭子空间{XT:X上的正交投影∈ S（S）}L（英尺）。设M是由这个不可对冲部分生成的平方可积鞅，Mt=EQ[ψ]- π（ψ）|Ft]。那么M是弱的，因此是强的，与S（S）正交。因此，对于任何H，H·M与S（S）是（弱的和强的）正交的∈ L（M），因此，通过半静态完备性，H·M位于span{M}，M的线性跨度。

此外，结论是span{M} S（M）之所以成立，是因为我们对随机积分时间零值的约定。因此，S（M）=span{M}。因此，关于M的随机积分集是一维的，这显然对M的行为施加了严格的限制；关于多维环境中的精确陈述，请参见命题B.1。进一步发展这些观察结果，我们可以用动态完全模型来描述半静态完全模型的行为。这是下一节的主题。4连续价格过程的半静态完整性本节的目标是描述具有连续价格过程的半静态完整模型的行为。我们考虑一个概率测度Q∈ M（F）在本节中保持不变。随机量之间的关系在Q-几乎确定的意义下是可以理解的，为了简化符号，我们去掉了下标Q和writeE[·]=EQ[·]。表征定理中需要的一个关键概念是原子树。A组∈ FTwe表示A第一次可测量的时间t（A）=inf{t∈ [0，T]：A∈ 英尺。请注意∈ F（A）的右连续性，而A/∈ Ft（A）-如果t（A）>0。回想一下A是Ftif A的一个原子∈ F和Q（B）等于零或Q（A）只要B∈ 英尺，B A.定义4.1。原子树是满足以下属性的事件的有限集合：（i）每个∈ T是Ft（a）的非零原子；（ii）对于每个A∈ 使T（A）<T（A），或 A区∩ A=;（iii）对于每个A∈ T使得A）A，Q（A\\A）>0。为了讨论原子树，有以下术语是有用的：元素A∈ T被称为另一个元素a的子元素∈ T如果A（A）存在noA∈ T.使，使，使，使，使，使，使。

此外∈ 如果它没有孩子，就称它为叶子；如果没有孩子，就称它为叶子∈ 不是这样的（A.很明显，T承认通过将每个元素A连接到其子元素A而获得的自然树结构。尤其是，叶的上述概念与通常的图论概念相吻合。图1为说明。原子树T大小的自然度量是通过树的路径数，或相当于叶的数量。我们将该数量称为时间ion of T，dim T=T中的叶子数。这个术语的动机是，在通过树的路径集上定义的函数空间具有维数dim T；另见下文备注4.3（iii）。现在我们在原子树上引入一个自然的非简并条件。定义4.2。如果一棵原子树的叶子构成了一个原子的分区，它就被称为满树Ohm （向上）如果A是Ft（A）的原子-当我是一个孩子的时候。Ohmaaaaaaaattt图1：包含完整原子树T的过滤F的示意图。每个圆圈表示一个事件a∈ 特别是，T的叶子是{A，A，A，A，A}。这些线表示T元素之间的关系；例如，a和a是a的孩子，而a又是a的孩子Ohm. 此外，我们有t=t（A），t=t（A）=t（A），t=t（A）=t（A），因此ζ（t）=tA+tA+tA。下面的评论收集了有关完整原子树的一些基本特性和观察结果，这些特性和观察结果是上述定义的直接结果。备注4.3。让T成为一棵完整的原子树。（i） 每个A∈ 这不是一片叶子，而是它的子代到零集的结合。此外，如果A和A是A的孩子，那么t（A）=t（A）。（ii）因为T是F元素的集合，所以西格玛代数σ（T） F的定义很明确。此外，对于零集，σ（T）=σ（A∈ T:A是一片叶子）。

因为叶子也构成了Ohm,E[X |σ（T）]=XAE[X1A]Q（A）A（4.1）适用于任何X∈ L（FT），其中总和延伸至所有叶A∈ T.此外，σ（T）也可以用σ（T）=Fζ（T）和ζ（T）=XAt（A）1A（4.2）来描述为零集，其中总和再次延伸到T的叶子上。注意，ζ（T）是一个以T为界的停止时间，可以认为是“树的终点”。（iii）鉴于（4.1），L的维数（σ（T））等于T中的叶片数。这促使了对dim T的定义。最后，需要以下（动态）完整性的有限概念。定义4.4。给定t∈ [0，T]和A∈ Ft，我们说S在×[t，t]ifany X上是完全的∈ L（FT）可以通过[t，t]上的动态交易在A上复制；也就是说，对于某些x，几乎可以肯定ifX=x+（H·S）t Aholds∈ R和一些H∈ [0，t]]上H=0的L（S）。备注4.5。如果S在A×[t，t]上是完整的，那么A必然是一个Ft原子。事实上，如果定义4.4中任意选择的随机变量X是Ft可测量的，那么它几乎肯定是A上的常数，因为X1A=E[X+（H·X）t | Ft]1A=X1A。现在我们可以陈述我们的主要特征定理。证据在附录B中给出。回想一下，我们在任意固定测度Q下工作∈ M（F）。我们让ζ（T）表示（4.2）中与原子树T相关的停止时间。定理4.6。假设S是连续的。然后，半静态完备性成立，当且仅当存在一个完整的原子树T，使得（i）S在a×[T（a），T]上对于每个叶a是完整的∈ T、 （ii）集合{E[ψi |σ（T）]：i=1。

，n}包含dim T-1线性独立元件。在这种情况下，L（FT）=L（σ（T））⊕ S（S），S在[0，ζ（T）]上是常数。因此，半静态完整性完全取决于过滤结构。更准确地说，一个模型是半静态完整的，当且仅当在该模型下，过滤具有图2所示的形状：存在一个原子成分，由静态交易证券中不可通过S交易复制的部分生成（另见引理B.7），以及由S生成的更丰富的成分。因此，半静态完整模型是通过原子树将动态完整模型“粘合”在一起的组合。显然，这些模型是“非实物”的，因为它们不能给出真实资产价格的真实描述。尽管如此，它们确实刻画了校准鞅测度集的极值点（见定理3.1）。因此，可以将定理4.6视为根据动态完整模型和原子树对这组极值点进行参数化。让我们简要地提到原子树T是如何在定理4.6的证明中出现的。关键思想是考虑不可边缘部分Vit=E[ψi | Ft]- （Hi·S）tofψi，其中Hi·S是E[ψi | Ft]到S（S）的正交投影。半静态完备性则意味着，根据第3节末尾所述的论点，即（V，…，Vn）=span{V，…，Vn}。这通过命题B.1产生了一组原子，用于构造一个原子树，使得ψi=E[ψi |σ（T）]+（Hi·S）T；见引理B.7。由此，我们可以以一种相对简单的方式推断（i）和（ii）。Ohmaaaaaaaattt图2：半静态完整性保持时过滤的示意图。从叶子（A除外）发出的摆动曲线表明，在ζ（T）之后，过滤可能很快变得丰富。

然而，也有可能在到达一片叶子时不会发生进一步的事件；这一点可以通过A的流线来说明。通过半静态完整性，从叶子开始的每个模型都是动态完整的。备注4.7。定理4.6中的树T是非空的，因为它是满的。因此，它至少有一片叶子，是从那里来的≥ 1.在退化情况下，T={Ohm}, （i） 说这已经完成了Ohm ×[0，T]，这只是动态完整性的常见概念。此外，对于空集，T是唯一的。事实上，如果这是另一棵可能的树，则该理论表明L（σ（T））=L（σ（T））。推论4.8。假设S是连续的，让Q∈ ext M（F），让T表示相关的完整原子树。那么任意鞅M的跳跃都在T上得到了支持，在这个意义上{m6=0} {A×{t（A）}:A∈ T} 。证据根据定理4.6，对于某些x，M=x+V+H·S∈ R、 一些鞅V，例如vt是Fζ（T）-可测的，一些H∈ L（S）。特别是，]]ζ（T），T]] {M=0}。接下来，让我们看一看∈ Don’不要做一个孩子∈ 因为T是满的，所以A是Ft（A）的原子-. 很明显，A×（t（A），t（A）） {M=0}。设D表示该形式的所有集合的并集，]]ζ（T），T]]。然后{m6=0} Dc={A×{t（A）}:A∈ T} ，从而生成评估。我们用两个例子来结束本节。第一个示例说明了如何使用定理4.6在连续路径设置中建立半静态完整模型。第二个例子表明，如果S跳跃，定理4.6的陈述不一定有效。例4.9。在这里，我们使用定理4.6建立一个半静态完整模型，通过二维原子树将两个（动态）完整模型放在一起。允许Ohm = C（[0，T]，R）表示[0，T]上的实值连续函数集在零处消失。设S为坐标过程，St（ω）=ω（t），F为S生成的正确连续过滤。

设P是FT上所有概率测度的集合。假设存在一个静态交易证券ψ=[S，S]T- K、 对于某些固定的K>0。修正t*∈ （0，T）和常数σ，σ使得σ>pK/（T）- T*) > σ> 0. 我们考虑了两种概率测度Q，Qon-FTsuch thatSt=σiWt-T*{t≥T*}在Qi下，其中W是在Qi下的标准布朗运动。现在我们设置Q=λQ+（1）- λ） Q，其中λ∈ （0，1）由校准条件EQ[ψ]=0:0=EQ[ψ]=λσ（T）确定- T*) + (1 - λ） σ（T）- T*) - K、 这意味着Q∈ M（F）。我们让Ai={+[S，S]t*= σi}，在哪里+表示右导数，注意T={Ohm, A、 A}是Q下的原子树，其dim T=2，且eq[ψ|σ（T）]=σ（T- T*)1A+σ（T）- T*)1A- k6≡ 因此，根据定理4.6，Q是一个半静态完全模型。图3给出了相应过滤的表示。例4.10。在这里，我们提供了一个半静态完整模型，定理4.6中给出的过滤结构不适用于该模型。我们让Ohm = C（[0，T]，R）×R+×{0，1}，并为坐标元素写入（W，θ，ξ）。修正t*∈ （0，T）和σ，σ>0，σ6=σ。定价过程由T定义=-t、 t<θ∧ T*1.- θ、 t≥ θ、 θ<t*-T*+ (ξσ+ (1 - ξ） σ）Wt-T*, T≥ T*, T*≤ θ、 F是它产生的正确的连续过滤。设P是FT上所有概率测度的集合。设Q是FT上的概率测度，其中W，θ和ξ相互独立，W是标准布朗运动，θ是标准指数，和OhmAAt*图3：叶片A，A对应于两个波动率σ>σ的Bachelier模型。因此，方差交换ψ=[S，S]T- K在两种模型下的定价不同，可用于对冲参数为1/2的Aor A.ξA Bernoulli。然后在Q下，S的行为就像一个补偿的泊松过程，严格地在t之前*. 如果S跳跃，那么它在T之前保持不变。

否则，如果t之前没有跳转*, S继续作为布朗运动，其波动率为σ或σ，取决于伯努利变量ξ的结果。很明显，S是Q下的鞅。我们现在引入静态交换安全性ψ=[S，S]T- K=EQ[[S，S]T]。如下面引理4.11所示，这使得模型半静态完整。然而，过滤F不允许一个完整的原子树T，正如定理4.6在连续情况下所保证的那样。因此，定理的陈述不适用于S有跳跃的情况。引理4.11。示例4.10中定义的模型是半静态完整的。证据考虑任何X∈ L（FT）和writeX=十、- 等式[X |英尺*]+ 等式[X |英尺*-] +等式[X |英尺*] - 等式[X |英尺*-].使用泊松过程和布朗运动的鞅表示定理，可以很容易地证明，右边的前两项的形式为EQ[X]+（H·S）T。要处理第三项，请注意Ft*= 英尺*-∨ σ（A）可达零集，其中＝{θ≥ T*} ∩ {ξ=1}是Ft的一个原子*. 因此，等式[X | Ft*] - 等式[X |英尺*-] = 对于某些常数c和某些Ft，c1A+y*--可测量的随机变量Y，其表示形式为Y=Y+（J·S）T。因此，仍然需要证明1A可以半静态地复现。然后取上面的X=ψ。实际上，我们有ψ=σ（T- T*)1A+σ（T）- T*)1B+1C- K、 其中A如上所述，B={θ≥ T*} ∩ {ξ=0}，C=Ohm \\ （A）∪ B） 。自从∪ B∈ 英尺*-σ6=σ，我们得到a=（σ- σ） （T）- T*)ψ+yf对于某些Ft*--可测随机变量Y，如上所述，它允许S的一个表示形式。这就是半静态完备性的证明。5知情投资者的定价除了F，我们现在考虑的是正确的连续过滤G=（Gt）0≤T≤吨(Ohm, F） 与英国《金融时报》合作 GTT≤ T

虽然F应该被认为是一个典型的市场参与者可以获得的信息，但G包括只有一些投资者观察到的额外信息。请注意，M（F）是用ft上的概率测度族P=P（F）定义的，而M（G）是用GT上的概率测度族P（G）定义的。为了比较两组校准的鞅测度，我们总是假设p（F）={Q | FT:Q∈ P（G）}。对于任何过滤，H=（Ht）0≤T≤T、 F随H的逐渐增大是过滤G=（Gt）0≤T≤由GT定义的Tde=\\u>tFu∨ 胡。（5.1）因此，G是包含F和H的最小右连续过滤。我们的主要结果考虑了S是连续的，H由单跳过程的集合生成的情况。我们指的是形式为X1[[τ，T]]的过程，其中X是arandom变量，τ是随机时间，即a[0，T]∪ {∞}-有值随机变量。在不丧失普遍性的情况下，我们总是假设τ=∞ 在{X=0}上。为了说明这些结果，我们定义了以下F停止时间，这是第一次开始移动：σ=inf{t∈ [0，T]：St6=0}。此外，我们说F和G在Q下重合，如果Ftequals Gtup达到每个t的Q-零集∈ [0，T]。以下定理与知情和不知情投资者的半静态完备性有关。定理5.1。假设S是连续的。设G由（5.1）给出，H由无数非负有界单跳过程Xi[[τi，T]]，i=1，p、 假设{0<τi<∞} 对于所有的i，下一个M（G）={Q:F和G在Q下重合，Q∈ 分机M（F）}。（5.2）定理5.1可以解释如下：考虑一个知情的代理人，他通过最大化M（G）的极值点来计算超级套期保值价格，如（2.1）所示。该机构发现，相关模型Q实际上已经包含在F中的附加信息（当然，最多为空集）。

下面的示例5.2简单说明了这种限制如何导致M（G）显著小于M（F）。这些集合之间的差异导致知情代理和未知情代理计算的绝对超级对冲价格之间可能存在巨大差异。第6节给出了进一步的例子。例5.2。让我们在S=0时连续。假设H由单跳过程1[[τ，T]]生成，其中τ=sup{T∈ [0，T]：St=1}是S最后一次达到1级，如果从未发生过，我们将τ=0设置在这里。注意，τ满足OREM 5.1中的条件。那么，为了使S成为G的鞅，我们必须使S几乎肯定地小于1。要了解这一点，请注意，如果连续鞅在某一时刻达到某一水平（在本例中，Sτ=1），它将多次返回到该水平，除非这发生在时间T。因此，τ=T或S<1，因此τ=0。这意味着{ST=1}={τ=T}={τ=0}c∈ G.由于S=0，鞅性质几乎肯定地施加τ=0，从而迫使S<1。除了这个属性，任何Q∈ M（G）应正确定价静态交易证券。本例将在第6节中再次出现。备注5.3。请注意，定理5.1中考虑的过滤G是最小的右连续过滤，其中包含F，使得τi映射时间和Xi{τi<∞}变为Gτi-可测。具有随机时间的进行性增大和具有随机变量的初始增大都被列为特例；对于前者，简单地取X=1，对于后者，取τ=0。这些经典类型的过滤放大是文献中研究最多的，我们的分析在很大程度上借鉴了这一理论；参见例如[JY78]和[Jeu80]。备注5.4。由于定理3.1，定理5.1意味着在给定的模型下，这里考虑的形式的额外信息不能用于完成市场。