半静态完整性和知情投资者的稳健定价

知情代理人面对半静态完全市场的唯一方式是，未知情代理人的半静态完全性已经成立。因此，虽然在一个不完整的市场中，额外的信息可能会降低超级复制的成本，但它通常不足以保证精确复制。定理5.1的证明。唯一需要证明的是“”. 事实上，我们将用归纳法证明p上的语句ext M（G） {Q:Fand G在任意右连续基函数F的Q}保持下重合，其中G是fw与p的推进放大≥ 1单跳过程。（5.3）假设基本情况p=1已被证明。让p≥ 假设（5.3）适用于p- 1.设Hbe为Xp[[τp，T]]生成的过滤，设Hbe为Xi[[τi，T]]生成的过滤，i=1，P- 1.然后，用明显的符号，我们有=F∨ H∨ H.采用基础过滤F=F的归纳假设∨ 他希望F∨ 手G在任意Q下重合∈ 分机M（G）。因此M（G）=M（F∨ H） 。因此，应用F=F的基本情况，我们发现F和F∨ H、 因此F和G在anyQ下重合∈ 分机M（G）。这就完成了导入步骤。对于H由一个单跳过程X1[[τ，T[]生成的基本情况，只需证明（5.3）。我们写F=F。修正一个度量Q∈ 分机M（G）。通过mt=X1{τ定义一个过程≤t}-Zt∧τZs-dAs，（5.4），其中Z是与τ相关的Az’ema超马氏体（C.3），A是过程X1[[τ]的双重可预测投影，∞[[.根据引理C.1，M是一个G-鞅。对于一些S-可积过程H和一些带有VT的G-鞅V，结合半静态完备性的局部化参数，来自定理4.6，yieldsM=M+V+H·S（5.5）∈ L（σ（T）），其中是对应的完整原子树。

要了解这一点，首先要注意M是局部有界的。实际上，X是有界的，（5.4）中的积分定义了一个c`adl`ag可预测过程，该过程自动局部有界；见第七章。32英寸[DM80]。设（ρk）为局部序列。半静态完备性与定理4.6关于某些Hk的yieldMρkT=M+VkT+（Hk·S）t∈ L（S，G）和VkT∈ L（Gζ（T））。自ρk→ ∞ 和ζ（T）≤ T取很多值，对于所有足够大的k，比如k，我们有ρk>ζ（T）≥ k、 因此，取gζ（T）-条件期望，并利用S在[0，ζ（T）]上是常数，我们得到vkT=Mζ（T）∧ρk- M=Mζ（T）- Mfor all k≥ k、 右侧不依赖于k；用VT表示它。然后（5.5）用H=Hk[[0，ρk]]+Xk>kHk]]ρk表示H-1，ρk]]，如权利要求所述。考虑到（5.4）、（5.5）和S的连续性，考虑MyieldsX1[[τ]]的跳跃过程=阿兹-[[0,τ ]]+ 五=阿兹-+ 五、[0，τ]]，（5.6），其中[[τ]]表示τ的图形，我们使用约定Y0-= 0表示任何进程。注意[[τ]] [[0]] ∪ ]]σ、 T]]由于假设{0<τ<∞}.还有，σ≥ ζ（T），因为S在[0，ζ（T）]上是常数。因此，将（5.6）的两边乘以[[0]]∪ ]]σ,∞[b]然后使用它V=0外]]0，ζ（T）]]通过推论4.8，我们得到x1[[τ]]=阿兹-[[0]] ∪ ]]σ,τ ]]. （5.7）由于{τ<∞} 根据假设，这会产生τ=infT∈ [0，T]：阿兹-[[0]] ∪ ]]σ、 T]]6=0,这是一个F-stop时间。因此，（5.7）的右侧和左侧是F自适应的。因此，我们放大F的过程X1[[τ，T]]已经是F自适应的，其中F和G在Q和Q下重合∈ 分机M（F）。对定理5.1的证明稍加修改即可表明，在没有静态交易证券的情况下，既不需要S的连续性假设，也不需要τi的条件。推论5.5。假设ψ=. 设G由（5.1）给出，H由多个独立的有界单跳过程Xi[[τi，T]]生成，i=1。

下一个M（G）={Q:F和G在Q下重合，Q∈ 分机M（F）}。证据同样，唯一重要的包容是“”, 和之前一样，它需要考虑一个单跳过程X1[[τ，T[[]。使用该（动态）完备性在anyQ下成立∈ ext M（G），与导致（5.6）yieldsX1[[τ]的论点类似=阿兹-+ Hs[0，τ]]对于一些H∈ L（S，G）。设J为F-可预测过程，J1[[0，τ]]=H1[[0，τ]]；见（C.2）。用J代替H，我们可以像以前一样看到τ几乎肯定等于anF停止时间，然后X1[[τ]]已经是F自适应的。备注5.6。例如，定理5.1可以推广到具有可数个单跳过程的渐进放大，这样，对于每一个ω，在T之前只能发生无数跳。然而，要使定理的结论成立，还需要一些关于扩大的假设。事实上，假设W是Q下的标准布朗运动，生成过滤G，通过St=Rtsgn（Ws）dWs定义S，并假设F是S生成的过滤。那么S再次是布朗运动，并且（动态）完整性与这两种过滤有关。因此Q | FT∈ 分机M（F）和Q∈ ext M（G），其中取ψ= P（G）是GT上所有概率测度的集合。尽管如此，众所周知，F与| W |产生的过滤一致，并且严格小于G；参见[RY99]中的推论VI.2.2。我们感谢Monique Jeanblanc向我们指出这一点。6示例在本节中，我们提供了离散时间和连续时间的示例，其中校准鞅测度的集合M（F）和M（G）都是紧的（示例6.2和6.5）。在这些情况下，可以通过极端措施进行稳健定价，如（2.1）所示，第5节的结果可用于比较具有不同信息集的代理的定价。

我们也给出了例子，其中M（F）是紧的，M（G）是空的，其中M（F）是紧的，但M（G）不是（例6.6）。例6.1（离散时间）。假设T∈ 让我们Ohm = [s，s]t对于一些常数s<0<s。设s为坐标过程的分段常数插值，St（ω）=ω（btc），其中btc表示t的整数部分，我们按照约定设置ω（0）=0。设F为S生成的过滤，P为ft上所有概率测度的集合。此外，假设静态交易证券的收益在ω中是连续的。在这种情况下，普罗霍罗夫定理暗示P是弱紧的。此外，校准和鞅限制变成EQ[ψ]=0和EQ[f（S，…，Ss）（St）- Ss）]=0，对于所有整数0≤ s<t≤ T和所有连续函数f:Rs→ R.由于Ohm, 这些约束是弱闭合的。因此M（F） P是软弱的。例6.2（离散时间内的过滤放大）。我们继续设置示例6.1。设G为F的初始放大系数，随机变量L=L（S）连续依赖于S，即Gt=\\u>tFu∨ σ（L），t∈ [0，T]。这种随机变量的一个例子是L（S）=TPTt=1 | St |。满足所有测度的条件集- Ss）]=0，对于所有整数0≤ s<t≤ T和所有有界连续函数f:Rs+1→ R.系统的有界性Ohm L的连续性，这个约束是弱闭的，因为M（F）是弱紧的，那么M（G）也是弱紧的。现在，根据Krein-Milman定理，M（F）和M（G）都可以通过它们的极限测度来恢复，并且可以通过这些测度进行稳健定价，参见（2.1）。

M（F）和M（G）的极值点在推论5.5中是相关的，这使我们能够评估投资者在有或没有额外信息的情况下对衍生品的稳健定价的差异。例6.3（连续时间）。修正T>0，然后让Ohm 是[0，T]上实值连续函数在零处消失的空间C（[0，T]，R），具有一致收敛的拓扑。价格过程S被视为Ohm,以及它产生的正确的持续过滤。我们假设静态交易证券的支付函数是ω的连续函数，满足|ψi（ω）|≤ C1+支持≤T |ω（T）|κ（6.1）对于某些常数C和κ。固定σ>0，让P表示FTsuch上的概率测度集，即S是一个二次变化的半鞅，由[S，S]t=Ztσsds和σt给出≤ σ为所有t≤ T（6.2）也就是说，S具有绝对连续的二次变化，且波动率由σ限定。例如[STZ11]中讨论了这种情况。引理6.4。M（F）是弱紧的。证据我们首先证明M（F）是弱闭的，所以让Qk∈ M（F）弱收敛于某个概率测度Q。BDG不等式和（6.2）产生式[supt]≤T | St | p]≤CpσpTp/2适用于任何p≥ 1，其中Cpi是一个仅依赖于p的常数。由于右手边在k中是一致的，[Bil13]中的定理3.5断言EQk[X]→ 等式[X]适用于任何连续随机变量X，该变量在supt中最多以多项式形式增长≤|T（124t）。这会立即产生EQ[|St |]<∞ 对于所有的t，并且考虑到（6.1）也等式[ψi]<∞ andEQ[ψi]=0。此外，还可以得到EQ[（St- 对于任何σ（Su:u），Ss）X]=0≤ s） -可测有界连续随机变量X。单调类参数使我们放弃了X的连续性，表明s是过滤（σ（Su:u））的Q-鞅≤ t） ）t∈[0，T]。这被扩展到右连续修正F，由支配收敛；我们忽略了细节。

因此，S是过滤F的一个Q-鞅。只剩下检查Q了<< P.自Qk以来<< P和Qk∈ P、 引理A.1 yieldsEQkhmXi=1（Sti）- 性病-1)圆周率≤ σ2p（t）- s） p1+pp！M对于任何等距网格0≤ s=t<···<tm=t≤ T和p≥ 1当p<m时，通过与上述相同的弱收敛参数，该界将延续到Q。考虑网格点tmi=s+i（t- s） 利用Fatou引理，我们得到[S，S]t- [S，S]S圆周率≤ 林姆→∞EQhmXi=1（Stmi- Stmi-1)圆周率≤ σ2p（t）- s） p每p≥ 1.从左侧和右侧取pth根，并将p发送到最终生成[S，S]t- [S，S]S≤ σ（t）- s） 。这表明Q∈ P、 完成了M（F）闭的证明。还有待证明M（F）是紧的。为此，让p>2，并乘以任何ε>0。然后，马尔可夫不等式和BDG不等式以及（6.2）产生δQ监督≤s≤t+δ| Ss- 圣|≥ ε≤εpEQhsupt≤s≤t+δ| Ss- 圣|皮≤Cpσpεpδp/2-1对于任何δ>0和任何t∈ [0，T]（我们为s>T设置Ss=sts）。通过收缩δ，可以使右侧任意变小。紧度现在来自定理7.3和[Bil13]中的后续推论。例6.5（连续时间内的过滤放大）。我们继续例子6.3的设置。将过滤G视为fw的渐进放大，随机时间τ连续依赖于ω∈ C（[0，T]，R）。然后是元素Q∈ M（F）在M（G）中当且仅当鞅条件[F（St，…，Stk，τ]∧ s） （圣- Ss）]=0对所有0都适用≤ t<··<tk≤ s≤ T≤ T与所有有界连续函数sf:Rk×[0，T]→ R.通过τ的连续性，这是一个闭合条件。因此，M（G）是M（F）的一个极闭子集，因此由于引理6.4，它是弱紧的。

因此，相关的问题是M（G）是否非空。为了给出一个简单的具体例子，假设某个连续函数f:R的τ（ω）=f（ω（T））→ [0，T]等于区间上的零[-a、 a]围绕原点。那么，对于任何模型Q∈ M（F）使| ST |≤ a几乎可以肯定，τ=0几乎可以肯定，因此F和G在Q下重合，因此Q∈ M（F）。因此，只要条件| ST |≤ a与校准条件EQ[ψi]=0一致，M（G）为非空。然而，它通常会显著小于M（F），这有利于知情代理计算稳健的超级对冲价格。同样，对于这两个代理，定价都可以在极端测度上进行，对于满足定理5.1的τ，通过（5.2）进行关联。例6.6（过滤放大和套利或紧凑性失效）。在自然放大的情况下，M（G）不能紧致。例如，假设G是F随着击中时间τ=sup{t的逐渐增大∈ [0，T]：示例5.2中的St=1}，如果该集合为空，则τ=0。如例5.2所述，为了使S成为G的鞅，我们必须几乎肯定S<1。然而，这不是一个封闭的条件。事实上，如果Qkis是[0，T]上的布朗运动定律第一次停止，它是1- K-然后qk弱地收敛于布朗运动定律，比如说，当它第一次达到1时停止。但是S<1在Q下失败，所以Q/∈ M（G）。此外，根据静态权利要求，M（G）= 可能发生。例如，考虑只有一个静态索赔ψ=（ST- 1)+-. 优先条件EQ[ψ]=0施加Q（ST>1）>0，因此在这种情况下M（G）=. 这种情况被解释为知情代理人存在套利行为。A技术问题A.1。固定σ>0，设M为连续鞅，M=0且[M，M]t-[M，M]s≤ σ（t）- s） 对于所有0≤ s≤ T≤ T

然后，对于任何等距网格0≤ s=t<···<tm=t≤ T和p<m的任何p>0，我们有mXi=1（Mti- Mti-1)圆周率≤ σ2p（t）- s） p1+pp！M.证据证明使用n定义的双阶乘n×（n）- 2） n奇数为··3×1，且(-1)!! = 1.我们声称E[M2kt]≤ （2k）- 1)!! σ2ktk，0≤ T≤ T、 （A.1）持有任何k≥ 我们在k上进行归纳。对于k=0，这个陈述显然是正确的。现在让我们来看看k≥ 假设（A.1）对k是真的- 1.它的引理yieldsM2kt=2kZtM2k-1sdMs+k（2k）- 1） ZtM2k-2sd[M，M]s.由于[M，M]上的界，局部鞅项是真鞅；我们这里省略了这个论点。取期望值，使用归纳假设以及[M，M]上的界，这个屈服值[M2kt]≤ σk（2k）- 1） 中兴[M2k]-2s]ds≤ σ2kk（2k）- 1） （2k）- 3)!!Ztsk-1ds=σ2ktk（2k- 1)!!按要求。因此（A.1）通过归纳法适用于所有k。接下来，为了便于记谱，请编写Mi=Mti- Mti-1和h=ti- 钛-1=（t- s） /m.A条件参数与（A.1）结合产生，对于任何非负整数k，公里，东[M2k··M2kmm]≤ （σh）k+··+kmmYi=1（2ki- 1)!!将其与多项式定理yieldsEh相结合mXi=1惯性矩pi=Xk+··+km=ppk··kmE[M2k····M2kmm]≤ σ2Ppxk+··+km=ppk··kmmYi=1（2ki- 1)!!= σ2hpmp+σ2hpxk+···+km=ppk··kmmYi=1（2ki- 1)!! - 1.≤ σ2ppmp+4pp！σ2ppmp-1，其中最后一行使用下面的组合不等式（A.2）。因为mh=t- s、 结果如下。还有待证明不等式xk+·km=ppk··kmmYi=1（2ki- 1)!! - 1.≤ 4便士！议员-1.（A.2）我们继续归纳，首先注意到（A.2）适用于p=1，因为在这种情况下，左侧为零。现在我们假设（A.2）对p成立，并证明它对p+1成立。因为任何求和到p+1的多指数（k，…，km）至少可以用一种方式表示为（l，…，lj）-1，lj+1，lj+1，对于一些j和一些多指标（l。

，lm）求和，我们有xk+·km=p+1p+1k·kmmYi=1（2ki- 1)!! - 1.≤mXj=1Xl+··+lm=ppl·lmp+1lj+1（2lj+1）mYi=1（2li- 1)!! - 1.这个表达式等于mxj=1Xl+·lm=ppl·lmp+1lj+1（2lj+1）mYi=1（2li）- 1)!! - 1.+ 2lj！，因为（A.2）被假定为p的值，所以它的边界是2（p+1）4pp！mp+2（p+1）mXj=1ljXl+·M+lm=ppl·lm= 2（p+1）（4pp！+p）议员。右手边被4p+1（p+1）粗略地限定了！mp，表明（A.2）符合P+1的要求。B定理4.6的证明在证明定理4.6时，我们分别处理效率和必要性。效率是公平的，所以我们首先要解决这个问题。定理的最后两个陈述将在证明过程中遵循；关于L（FT）的直和分解，请参见下面的（B.1），关于S的恒常性，请参见推论B.6∈ M（F）是固定的。定理4.6的证明：效率。设T为满足（i）-（ii）的完整原子树。我们需要证明任何X∈ L（FT）允许半静态表示。首先，我们声称任何X∈ 对于某些H，L（FT）有一个表示X=E[X |σ（T）]+（H·S）T（B.1）∈ L（S）。为了证明这一点，让我们，注意T的叶子。由于T是满的，叶子形成了Ohm （最多一个空集）。再加上对于每个i，S在Ai×[t（Ai），t]上是完全的假设，这个产量sx=dXi=1X1Ai=dXi=1xi+（Hi·S）T爱一些xi∈ R和一些嗨∈ [0，t（Ai）]上Hi=0的L（S）。定义H=dXi=1HiAi，我们就有了H∈ [0，ζ（T）]上的L（S）和H=0。ThusX=dXi=1xiAi+（H·S）Tand，使用（4.2）和可选停止定理E[X |σ（T）]=E[X | Fζ（T）]=dxii=1xiAi。我们根据需要推导（B.1）。现在需要证明，任何σ（T）可测随机变量X（它是自动有界的，因此是平方可积的）都允许半静态表示。鉴于（B.1），我们可以找到Hi∈ L（S）使得ψi=E[ψi |σ（T）]+（Hi·S）T，i=1，N

（B.2）根据假设（ii）和备注4.3（iii），常数1连同随机变量E[ψi |σ（T）]跨度L（σ（T））。因此存在常数a，ansuch thatX=a+nXi=1aiE[ψi |σ（T）]。结合（B.2）这个yieldsa+nXi=1aiψi=a+nXi=1aiE[ψi |σ（T）]+nXi=1ai（Hi·S）T=X+（H·S）T，其中H=Pni=1ai在L（S）中。因此，根据需要，X允许半静态表示。这就完成了定理4.6中效率的证明。为了证明定理4.6的正向蕴涵（必然性），我们需要一些初步结果。这些结果，特别是命题B.1、引理B.4和B.5，以及下面的推论B.6，没有使用Q∈ M（F）。事实上，它们适用于任何过滤概率空间(Ohm, F、 F，Q）其过滤F是正确连续的。我们写F0-= Fby大会。B.1提案。设M=（M，…，Md）是E[M]=0的d维平方可积弱正则鞅；特别地，我们假设E[MiTMjT]=δij（Kronecker delta），对于i，j=1，d、 也假设s（M）=span{M，…，Md}。（B.3）则存在正交矩阵Q∈ O（d）和时间点0≤ t<··<tm≤ 使得鞅N=QM的形式为=N（1）。。。N（m）=N（1）T[[T，T]]。。。N（m）T[[tm，T]], （B.4）其中每个N（k）是一个dk维鞅，约为1≤ dk≤ d、 每个鞅（k）=（N（k），1，N（k），dk）满意度（N（k））=span{N（k），1，…，N（k），dk}。（B.5）此外，对于每个k，存在成对不相交的原子Bk，Ftk公司-使得{Q（N（k）T6=0 | Ftk-) > 0}=黑色∪ · · · ∪ Bkdk。（B.6）备注B.2。当然，d+···+dm=d。此外，请注意，一些AtomSkim可能是空集。证据我们首先证明了Q的存在性∈ O（d）和0≤ t<··<tm≤ T使得n=QM的形式为（B.4）。我们在d上进行归纳法。