半静态完整性和知情投资者的稳健定价

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英文标题：
《Semi-static completeness and robust pricing by informed investors》
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作者：
Beatrice Acciaio, Martin Larsson
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We consider a continuous-time financial market that consists of securities available for dynamic trading, and securities only available for static trading. We work in a robust framework where a set of non-dominated models is given. The concept of semi-static completeness is introduced: it corresponds to having exact replication by means of semi-static strategies. We show that semi-static completeness is equivalent to an extremality property, and give a characterization of the induced filtration structure. Furthermore, we consider investors with additional information and, for specific types of extra information, we characterize the models that are semi-statically complete for the informed investors. Finally, we provide some examples where robust pricing for informed and uninformed agents can be done over semi-statically complete models.
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中文摘要：
我们考虑一个连续时间金融市场，它由可用于动态交易的证券和仅可用于静态交易的证券组成。我们在一个健壮的框架中工作，其中给出了一组非支配模型。引入了半静态完备性的概念：它对应于通过半静态策略进行精确复制。我们证明了半静态完备性等价于一个极值性质，并给出了诱导过滤结构的一个特征。此外，我们考虑具有额外信息的投资者，对于特定类型的额外信息，我们描述了对知情投资者半静态完整的模型。最后，我们提供了一些例子，可以在半静态完整模型上对知情和不知情的代理进行稳健定价。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Semi-static_completeness_and_robust_pricing_by_informed_investors.pdf (578.7 KB)

2022-5-9 06:39:52 上传

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关键词：投资者 完整性 Mathematical Applications Differential

知情投资者的半静态定价*B.Acciaio+M.Larsson2018年9月21日摘要我们考虑一个连续时间金融市场，该市场由可用于动态交易的证券和仅用于静态交易的证券组成。我们在Arobast框架下工作，其中给出了一组非支配模型。引入了半静态完备性的概念：它对应于通过半静态策略进行精确复制。我们证明了半静态完备性等价于非极端性，并给出了诱导过滤结构的一个特征。此外，我们考虑具有额外信息的投资者，对于特定类型的额外信息，我们描述了对知情投资者而言半静态完全的模型。最后，我们提供了一些例子，可以在半静态完整模型上对知情和未知情的代理进行鲁棒定价。关键词：半静态完备性；稳健的融资；极值点；过滤放大；知情定价。MSC2010学科分类：91G10，60G44。1简介我们考虑的是一个连续时间金融市场，有两种交易工具：可以随时间动态交易的证券，以及可以在时间零点进行交易，然后持有至到期的证券。在此背景下，我们研究了连续性声明的可复制性。本文的核心概念是半静态完备性，它指的是通过在两组可用证券中交易，完美复制任何或有权益的可能性。在数学金融中，具有半静态交易机会的市场通常被认为是稳健的无模型范式。

根据这一范式，与其致力于一个特定的模型（概率度量），不如考虑整个班级*我们要感谢Monique Jeanblanc提供的有用意见和讨论。我们还感谢联合编辑和两位匿名推荐人的宝贵意见。+伦敦经济与政治学院，统计系，10 Houghton St，WC2A 2ELONDON，英国。电子邮件：b。acciaio@lse.ac.uk——苏黎世ETH，数学系，瑞士苏黎世CH-8092，R–amistrasse 101。电子邮件：马丁。larsson@math.ethz.chof概率测度绝对连续性意义上的非支配模型。目标是通过对被认为合理的模型进行最坏情况分析来解释模型的不确定性。大量且不断增长的文献围绕以下非正式问题展开：在合适的框架内，建立公式的双重性∈MEQ[Φ]=inf十、∈ R：Φ可以通过从初始资本x开始的半静态交易进行超级复制, （1.1）其中M表示一组适当的鞅测度，Φ表示或有权益。关键的特点是超级复制需要M-准周期。继霍布森[Hobson[Hob98]的论文发表之后，这个问题已经被许多作者解决了；有关调查，请参见[Hob11]和[Tou14]。特别是，（1.1）已在各种环境中得到证明；参见离散时间中的[BHLP13、ABPS13、Nut14、BN15、BZ14、FH14]，以及[GHLT14、DS14a、DS14b、BCH14、BBKN15、BNT15、HO15、GTT15、BCH+15]不连续时间等。这与半静态完整性有什么关系？首先，在某些情况下，setM是凸紧的；有关示例，请参见第6节。因此，通常可以将（1.1）的左侧简化为M的极值点上的最大化问题。

我们的第一个主要结果将经典的Jacod-Yor极值点定理和鞅表示推广到了半静态交易和非支配模型。我们证明了半静态完备性等价于所考虑模型的极值性质；见定理3.1。这一结果与Campi和Martini[CM16]的工作有关，他们研究了具有可数状态空间的两周期模型中的极值。第二，很明显，（1.1）的双方都依赖于基础过滤，它对市场上投资者可用的信息集进行建模。事实上，随着过滤变得更大，鞅性质变得更具限制性。这将减小setM，并减小（1.1）的左侧。同样，更大的信息集会增加可用交易策略的数量，从而减少（1.1）的右侧。在有关过滤的结构假设下，我们描述了那些对于有权获得更大过滤的知情代理来说是半静态完整的模型；见定理5.1。在半静态完全模型下，知情代理会发现较大的过滤与原始过滤一致，直至零集。由此产生的信息是，对于知情代理而言，唯一相关的定价措施是无法区分这两种过滤的定价措施。第三，为了利用这些观察结果，需要澄清半静态完整模型的概率结构。事实上，鉴于数学金融中完整性概念的悠久历史，在半静态交易的背景下研究这一概念似乎很自然。假设动态交易证券具有连续的价格路径，我们从动态完备性的角度给出了半静态完备性的完整刻画；见定理4.6。

动态完整模型在数学金融领域得到了广泛的研究，其结构也得到了很好的理解。因此，我们的特征化定理可以被看作是一个可以构造半静态完全模型的方法。让我们提到，该定理在很大程度上依赖于一种结构，我们称之为原子树，它与基础过滤有关；参见第4.1节。论文的其余部分组织如下。第2节给出了数学设置，特别是半静态完备性的定义。第3节将Jacod-Yor定理推广到半静态环境。第4节致力于半静态完整模型的特征描述。第5节研究了与过滤变化相关的半静态完整性。在第6节中，我们提供了一些例子，其中鞅测度集是紧的，因此第5节的结果可用于比较具有不同信息集的代理的稳健定价。最后，附录包含第4节中主要结果的证明，以及第5.2节“设置和注释”T中所需的Jeulin-Yor定理的扩展∈ (0, ∞) 是一个有限的时间范围，是一个经过过滤的可测量空间(Ohm, F、 F）其过滤系数F=（英尺）0≤T≤这是正确的。没有先验的概率度量。考虑一个由两种证券组成的金融市场：一个风险费用储蓄账户和m个可用于动态交易的风险资产，以及n个可用于静态交易的证券，这意味着它们只能在时间零点买入或卖出，并且必须在时间T之前持有。通过储蓄账户贴现的动态交易风险资产的价格由c`adl`ag F适应过程S=（St）0建模≤T≤T、 St=（St，…，Smt）。我们在不丧失一般性的情况下设置S=0。

静态分级证券的贴现时间T payoff由一组可测量的随机变量ψ={ψ，…，ψn}表示。在不丧失普遍性的情况下，我们将每个静态交易安全性在时间零点的价格固定为零。请注意，离散时间模型包含在该框架中；参见示例6.1。校准鞅测度。设P=P（F）为FT（先验）上的一组固定概率测度。集合P的作用是识别哪些事件被视为相关，哪些不相关。采用[BN15]中的符号，我们写Q<< P当Q是FTsuch上的一个概率测度时 P换一些P∈ P.我们考虑以下一组经过校准的鞅测度，在这些鞅测度下，价格过程S是鞅，静态交易证券的定价是正确的：M（F）=（Q）<< P:S是Q，EQ[ψi]=0，EQ[ψi]<∞ 就我所知）。因此，M（F）是在鲁棒框架中出现的鞅测度集，对应于先验集合P；参见例如[GHLT14]和[BN15]。鞅和校准条件在稳健（非支配）环境中是标准的。此外，我们还需要静态交易证券的平方可积性。文献中通常会对资产的终端分布施加一些可积条件；例如，[ABPS13]要求存在一些超线性矩，[DS14a，DS14b]和[HO15]假设某些p>1的Lp可积性。在这里，我们只要求S是鞅，但会对交易策略施加过分可积性。这将允许我们使用特定于结构的工具，例如正交投影。注意，如果选择P作为FT上的所有概率测度集，那么，模可积条件M（F）是模型独立框架中考虑的通常鞅测度集；见例句。

[BHLP13]和[DS14a]。半静态完备性和极值点。我们现在定义半静态完备性，这是本文的关键概念。对于概率测度Q∈ M（F），我们用H（F，Q）表示平方可积鞅集，对于鞅M=（M，…，Md），我们让L（M，F，Q）表示M-可积过程集，例如H·M∈ H（F，Q）。这里使用[JS03]或[SC02]中常见的向量随机积分。遵循[DM80]，我们使用约定M=Mand（H·M）=Pdi=1HiMi。由于S=0，这不影响关于价格过程S的积分，但当我们对其他鞅积分时，这将很重要。请注意，F并没有用Q-零集进行增广。如果过滤F和概率度量Q与上下文无关，我们通常会将它们从符号中删除。定义2.1。我们说半静态完备性在Q下成立∈ M（F）if anyX∈ L（FT，Q）可以表示为x=x+aψ+···+anψn+（H·S）TQ-a.S。对于某些x，a，一∈ R和H∈ L（S，F，Q）。因此，半静态完备性意味着任何平方可积支付都可以使用半静态策略进行复制。在没有静态交易证券的情况下，半静态完备性恰好对应于通常的可预测表示属性。第3节的主要结果将半静态完备性与测度的极值性联系起来。定义2.2。元素Q∈ 如果Q=λQ+（1），则称M（F）为极值点- λ） Q和Q，Q∈ M（F）和0<λ<1意味着Q=Q=Q。M（F）的所有极值点集由ext M（F）表示。如果M（F）是凸的，并且概率测度空间被赋予了一个拓扑，在该拓扑下M（F）是紧的，则Krein-Milman定理暗示M（F）是其极值点的闭凸壳。

对于任何支付Φ，Q 7→ EQ[Φ]是连续的，然后可以计算其在极端点集上的鲁棒超级套期保值价格：supQ∈M（F）EQ[Φ]=supQ∈外接M（F）等式[Φ]。（2.1）在第6节中，我们提供了两个例子，其中M（F）是紧的。然而，请注意，在我们随后的任何结果中，M（F）的紧性都不是假设的；以上这些评论只是研究其极端点的一个动机。备注2.3。半静态完备性是给定模型Q的一个性质∈ M（F）。人们还可以想出一个健壮的概念，在M（F）中的所有模型下，复制都是可能的。然而，根据定理3.1，这相当于M（F）是一个单体。除了经典情况P={P}之外，这种情况似乎太过严格，不太令人感兴趣。此外，定理3.1表明，我们的半静态完备性概念是刻画ext M（F）的正确概念，ext M（F）是一个稳健的目标，它不依赖于任何特定的参考度量选择。稳定子空间与正交性。对于固定概率测度Q∈ M（F）和一个可能的多维鞅M=（M，…，Md），我们用S（M）表示hgivenbys（M）={H·M:H的闭子空间∈ L（M，F，Q）}。如果M是平方可积的，那么S（M）是包含SM的最小闭子空间，Mdand在停止时是稳定的。这通常被视为S（M）的定义，但这对我们来说很不方便，因为特别是价格过程S不需要平方可积。在本文中，我们只需要S（M）在停止时在手桌中是闭合的。回想一下，平方可积鞅的正交性有两个概念：如果EQ[MTNT]=0，则M和N是弱正交的，也就是说，如果M和N与希尔伯特空间H上的内积正交。如果MN是鞅，则M和N是强正交的。

为了简化表示法，我们通常用平方可积鞅的最终值来确定它们。特别是，我们将S（M）视为L（FT）的子空间。3半静态Jacod-Yor定理经典Jacod-Yor定理将过程X的可预测表示性质与X的鞅测度集的极值点联系起来；参见[JY77]。本节的主要结果是在半静态套期保值的背景下模拟Jacod-Yor定理。它表明，M（F）的极值点完全对应于这些半静态完全模型。定理3.1。让Q∈ M（F）。下列条件是等价的：（i）Q∈ 分机M（F）。（ii）半静态完备性在Q下成立。定理3.1的证明需要两个辅助结果。第一个结果表明，在L引理3.2中，作为L（FT）子集的半静态策略的结果集相对于收敛是闭合的。让Q∈ M（F）。半静态策略的结果集，W={a+aψ+···+anψn+（H·S）T:a，…，an∈ R和H∈ L（S）}，在以下意义下是闭合的：if（Xk） W satis fies Xk→ 对于某些X∈L（英尺），然后是X∈ W证据我们在n上进行归纳。假设n代替n，结果为真- 1，将Wbe定义为W，n替换为n- 1.让（Xk） 满足Xk的W-bea序列→ 对于某些X∈ L（英尺）。那么Xk=Xk+akψ∈ 旺达克∈ R.如果ψn在W的L-闭包中，则归纳假设产生ψn∈ W、 所以事实上（Xk） 魔杖∈ W 通过归纳假设的另一个应用。因此，我们可以假设ψndoes不在W的L-闭包中。然后根据哈恩-班纳赫定理，存在一个连续的线性泛函F onL（FT），它在满足F（ψn）=1的条件下消失。因此ak=F（Xk）→ F（X），whenceXk→ 十、- F（X）ψninl。

然后，归纳假设得到X- F（X）ψn∈ 旺克斯∈ W，根据需要。n=0的结果还有待证明。这紧随着[Yor78]的以下结果；参见[DS06]中的定理15.4.7，了解一个涵盖多维情况的公式：Let Hk，k≥ 1，是S-可积过程，使得Hk·S是每个n的鞅，并且假设（Hk·S）T→ 对于某个随机变量X，存在一个可积过程H，使得H·S是一个（H·S）T=xa.S的鞅，因为在我们的例子X中∈ L（FT），我们额外获得H∈ L（S）和X∈ W这就完成了证明。定理3.1的证明。（一）==> （ii）：通过引理3.2，可以证明S（S）和1的线性跨度，ψ，ψn，我们用W表示，在L（FT）中是稠密的。事实上，这已经被证明了。那么对于任何X∈ L（FT）我们可以找到一个序列（Xk） W带XK→ L中的X，从哪里来∈ 引理3.2。还有待证明W在L（FT）中是稠密的。这源于道格拉斯定理的应用；参见[Dou64]。为了完整性，我们提供了简短的论点。通过Hahn-Banach定理，可以证明任意随机变量Z=0∈ L∞（FT）使得所有Y的等式[Y Z]=0∈ W选择任何这样的Z。通过缩放，我们可以假设| Z |≤ 1/2. 定义概率度量Q+和Q-bydQ±=（1±Z）dQ。由于Radon-Nikodym导数位于[1/2,3/2]中，随机变量在Q下是平方可积的当且仅当它在Q±下是平方可积的。此外，对于所有i=1，…，我们有EQ±[ψi]=EQ[ψi]±EQ[Zψi]=0，n、 类似地，对于所有简单可预测有界被积函数H，EQ±[（H·S）T]=EQ[（H·S）T]=0 Q、 我们有Q“∈ M（F）。既然Q=Q++Q-Q是一个极值点，因此Q+=Q-= Q、 根据需要，Z=0。（二）==> （i） ：假设Q=λQ+（1）-λ） Qforsome Q，Q∈ M（F）和λ∈ (0, 1). 然后 Q、 所以我们可以定义Z=dQdQ。