状态约束期望效用的正则性性质

将Jensen不等式应用于凹效用函数u，我们得到URξT≤ UR+EZTb·Xξtdt-ZTf(-ξt）dt.我们现在要展示（2.13）lim supT↓0EZTb·Xξtdt-ZTf(-ξt）dt≤ 为此，我们使用分部积分公式来推断ztb·Xξtdt=ZTtb·ξtdt。因此，我们有ZTb·Xξtdt-ZTf(-ξt）dt= EZTtb·ξt- f(-ξt）dt≤ZTf*(-bt）dt，其中f*指定凸函数f的芬切尔-勒让德变换。注意f*是一个单位凸函数，由于对f的假设（见Rockafellar（1997）中的定理12.2），尤其是连续的，因此ZTF*(-bt）dt-→T↓00，这证明了（2.13）。最后，利用u的连续性和不减损性，我们得到了Limt→0V（T，0，R）≤ lim infT→0supξ∈˙X（T，0）uR+EZTb·Xξtdt-ZTf(-ξt）dt≤ u（R）。2.3. 最优策略的存在性和唯一性。本文旨在研究最大化问题SUPξ的最优策略的存在性和唯一性∈˙X（T，X）E[u（RξT）]，其中u是严格凹的，增加且满足（2.7）。数量RξT表示在时间间隔[0，T]内与清算策略ξ相关的收入。下一个定理确定了本节的主要结果。定理2.4。Let（T，X，R）∈ ]0, ∞[×Rd×R，则存在唯一的最优策略ξ*∈˙X（T，X）对于最大化问题（2.8），满足（2.14）V（T，X，R）=supξ∈˙X（T，X）E[u（RξT）]=EhuRξ*Ti、 证明的主要思想是证明一系列策略（ξn），使得相应的期望值从下向上收敛，即URξnTsupξ∈˙X（T，X）EURξT,位于˙X（T，X）的弱序列紧子集中，因为函数满足它们的内在性质（2.7）。然后我们可以选择一个弱收敛于策略ξ的子序列*.

最优策略的唯一性来自映射ξ7的严格凹性-→ E[u（RξT）]。备注2.5。注意，由于不等式（2.10），我们可以假设上述序列验证（2.15）Ehexp(-ARξnT）i≤ 1+1/A- V（T，X，R），表示所有n∈ N、 式中，Vdenotes表示下列CARA值函数：V（T，X，R）=supξ∈˙X（T，X）E- 经验- ARξT.我们将把证据分成几个步骤。首先，我们将证明˙X（T，X）的某些子集的弱紧性。让我们先回顾一下基本的功能分析结果。第一个是凸闭集的经典刻划（参见F¨ollmer and Schied（2011），定理a.60）。定理2.6。假设E是局部凸空间，C是E的凸子集，则C是弱环的当且仅当C相对于E的原拓扑是闭的。推论2.7。让我们来看一看→] - ∞; ∞] 对于E的原拓扑，E是下半连续凸函数。那么对于弱拓扑σ（E′，E），E′是下半连续的，其中E′表示E的对偶空间。特别是，如果（xn）弱收敛于x，那么（2.16）ν（x）≤ lim infа（xn）。证据例如，见Brezis（2011）。推论2.8。设（S，S，u）为可测空间，F:Rd→ R是一个凸函数，从下面有界，和（xn） L（（S，S，u）；Rd）。假设（xn）弱收敛于x。然后zf（x）du≤ lim infZF（xn）du。进一步，如果我们假设F:Rd→ R是凹的，从上面有界，我们有一个类似的结论，即ZF（x）du≥ lim-supZF（xn）du。证据我们只展示了First断言。利用前面的推论，可以充分证明凸形APL（（S，S，u）；（右）-→ [0, ∞]α 7-→ZF（α）du相对于L（（S，S，u）的强拓扑是下半连续的；Rd）。

为此，让c∈ R和（xn） L（（S，S，u）；Rd）是一个强收敛于某个x的序列∈ L（（S，S，u）；Rd）并满足条件Rf（xn）du≤ c、 我们必须证明zf（x）du≤ c、 取一个子序列，如果必要，我们可以假设（xn）收敛到xu-a.e.然后应用Fatou\'sLemma，我们推断zf（x）du=Zlim inf（xn）du≤ lim-infZF（xn）du≤ c、 这就是证据。有了这个，我们可以展示下面的引理，这将有助于我们证明值函数的连续性。引理2.9。Let（Xn，Tn） Rd×R是一个收敛于（X，T）且集T:=supnTn的序列。此外，考虑˙X（Tn，Xn）中的一个序列（ζn），并取一个常数c>0，使得（2.17）EZTf(-ζnt）dt≤ c、 假设（ζn）关于弱拓扑inL:=L收敛到ζOhm ×[0，T]，F B（[0，T]），（P λ).然后ζ∈˙X（T，X）和（2.18）EZTf(-ζt）dt≤ c、 证据。首先要注意的是，我们有标准包含˙X（Tn，Xn）˙X（T，Xn），通过在[Tn，T]上设置ζn=0。现在，我们想证明rtζdt=X。通过矛盾的方式假设rtζdt 6=X。然后，存在一个分量ζisuch that rtζitdt 6=Xi。因此，我们可以假设d=1，并朝着一个矛盾的方向努力，而不会失去普遍性。在这个假设下，存在一个P（a）>0的可测集a，例如rtζtdt>Xon a，或rtζtdt<Xon a。在不丧失一般性的情况下，我们可以假设（2.19）ZTζtdt>Xon a。因为ζn∈˙X（Tn，Xn）收敛到ζ，在L中弱，我们有0=E“Xn-ZTnζntdtA#=E“Xn-ZTζntdtA#-→ E“十、-ZTζtdtA#=0。如果T=T，则结果得到证明，因为假设（2.19），右侧的期望值必须为负值；这是一个矛盾。假设现在是这样。充分证明[T，T]上ζ=0。

为此，设置ηt（ω）：={ζt（ω）>0}[t，t]（t）。类似地，我们得到0=E“ZTTnζntηtdt#-→ E“ZTTζtηtdt#=0，由于ζntoζ的弱收敛性，η∈ L∞Ohm ×[0，T]，F B（[0，T]），（P λ); 研发部, [Tn，T]上的a和ζn=0。因此，{ζt（ω）>0；t∈ [T，T]}是一个空集。取ηT（ω）：={ζT（ω）>0}[T，T]（T），我们可以用同样的方式证明{ζT（ω）<0 on[T，T]}是一个空集。因此，[T，T]上的ζ=0，并且之前的ζdt=X。使用推论2.8我们推断ZTf(-ζt）dt≤ 林恩芬-→∞EZTf(-ζnt）dt≤ c、 这就是证据。我们现在可以证明˙X（T，X）的子集的一个弱紧性质。提议2.10。对于c>0，letKc:=nξ∈˙X（T，X）EZTf(-ξt）dt≤ =co.Ofla弱紧子集Ohm ×[0，T]，F B（[0，T]），（P λ); 研发部.证据我们首先证明了关于L的强拓扑，KC是一个闭凸集。KC的凸性是映射ξ7的凸性的结果-→ EZTf(-ξt）dt.为了证明kc是闭合的，让ξnbe成为kc中一个强收敛于ξ的序列。然后，特别地，ξ弱收敛到ξ，我们在引理2.9的设置中，这证明了ξ∈ Kc。因此，KC是凸的，在L中是闭合的。因此，它对于弱拓扑也是闭合的，如定理2.6所述。为了证明KC是弱序列可积的，仍然需要通过Dunford-Pettis定理证明KC是一致可积的（Dunford and Schwartz（1988），推论IV.8.11）。为此，取ε>0和ξ∈Kc。存在一个常数α>0，使得|ξt | f(-ξt）≤εcforξt> α、 由于f的超线性增长性质，当且仅当x=0时，因为f（x）=0，所以数量为1/f(-ξt）在{|ξt |>α}上有很好的定义，我们得到ZT{|ξt |>α}ξtdt≤ EZT{|ξt |>α}f(-ξt）dtεc≤ ε、 证明了kc的一致可积性。

在下一个引理中，我们给出了收益过程中出现的非随机积分项的上下限。引理2.11。假设b6=0，让ξ∈˙X（T，X）和T，T∈ [0，T]。然后存在一个常数>0，取决于f，b和T，这样-Zttf(-ξt）dt- |b | CT/2- b·tXξt- tXξt≤Zttb·Xξt- f(-ξt）dt≤ -Zttf(-ξt）dt+| b | CT/2- b·tXξt- tXξt.证据设置γ：=4 | b | T。因为lim | x|-→∞|x | f（x）=0，存在常数Cγ=C>0，使得| y | f（y）≤ γ表示| y |>C。现在考虑设置为：={|ξt|≤ C} 。然后我们使用了部分集成：Ztt-b·Xξt+f(-ξt）dt≥ b·tXξt- tXξt-ztat | b·ξt | t dt+ztatf(-ξt）dt+ZttActf(-ξt）1+b·ξttf(-ξt）dt≥ b·tXξt- tXξt+ZttAtf(-ξt）dt+Zttf(-ξt）dt- |b | CT/2，使用上述估算。这证明了Lower不等式。为了证明上不等式，需要一步一步地遵循前面的论点，并给出相应项的上界，而不是下界。随后的引理表明，˙X（T，X）中的一系列策略，使得相应的扩展收敛到（2.14）中的上确界，可以通过一种方式来选择，即它属于某个Km，例如m largeenough。这对于证明最优策略的存在至关重要。在这里，我们将使用序列（ξn）满足的基本性质（2.15）。引理2.12。设（ξn）为一系列策略，使得（2.20）ξn∈˙X（T，X）和EhuRξnTisupξ∈˙X（T，X）EhuRξTi、 存在一个常数m>0，使得ξn∈Km=nξ∈˙X（T，X）EZTf(-ξt）dt≤ 莫，每n∈ N.证据。SetM:=M（T，X，R）=1+1/A- V（T，X，R）。我们首先注意到，由于（2.15），我们有E-A.R+RT（Xξnt）σdBt+RTb·Xξntdt-RTf(-ξnt）dt≤ 1/A- V（T，X，R）=M，我们想证明（2.21）ξn∈eKα：=ξ ∈˙X（T，X）EZT-b·Xξt+f(-ξt）dt≤ α,对于α≥M-1A+R。

为了证明（2.21），我们使用≥ 1+x，对于所有x∈ R、 以及YT的鞅性质：=RT（Xξnt）σdBt（由于（2.3）而满足），由此我们推断≥ E- A.R+ZTb·Xξntdt-ZTf(-ξnt）dt+ 1.ThenEZT-b·Xξnt+f(-ξnt）dt≤M- 1A+R，因此（2.21）是正确的。使用now引理2.11，我们得到（当设置N:=| b | CT时）：α≥M- 1A+R≥ EZT-b·Xξnt+f(-ξnt）dt≥EZTf(-ξnt）dt- 最后，对我来说≥（α+N）我们得到了ZTf(-ξnt）dt≤ m、 这表明ξn∈公里。备注2.13。由于前面的引理，我们可以假设（2.14）中的上确界可以是属于setKm的策略，对于合适的m，更精确地说，（2.14）变成（2.22）V（t，X，R）=supξ∈˙X（T，X）EhuRξTi=supξ∈克梅胡RξTi、 其中m的选择必须确保（2.23）m≥-V（T，X，R）A+R+N.下面，我们将证明映射ξ7的一个基本性质-→ 埃胡RξTi、 我们将用它来证明基本最大化问题的值函数的连续性。提议2.14。地图ξ7-→ 埃胡RξT关于L.证明中的弱拓扑，在˙X（T，X）上是上半连续的。自从地图ξ7-→ 埃胡RξT因此，由于推论2，可以充分证明前面的ma p对于L的强拓扑是上半连续的。7.为此，让（eξn）成为˙X（T，X）中收敛到ξ的序列∈˙X（T，X），在L中很强。由于我们处理的是度量空间，我们可以在ξ处使用上半连续性的以下特征：（2.24）lim supkEhuReξnkT我≤ 埃胡RξTi、 但我们也有ξ与ξ弱收敛的情况，因此我们可以直接应用推论2.8来获得（2.24）。现在我们准备好证明最优策略的存在性和唯一性。理论证明2。4.

设（ξn）n∈使ξn∈˙X（T，X，R）和EhuRξnTisupξ∈˙X（T，X）EhuRξTi、 引理2.12意味着存在（ξn）的序列（ξnk）和一些ξ*∈˙X（T，X）使得ξnk-→ ξ*,在L中较弱。由于命题2.14，我们得到v（T，X，R）=lim supkEhuRξnkT我≤ 埃胡Rξ*Ti、 这证明了ξ*是最大化概率m（2.8）的最优策略。最优策略的唯一性是˙X（T，X）的凸性和ξ7的（严格）凹性的直接结果-→ E[u（RξT）]。Schied等人（2010）认为，CARA价值函数的最佳策略是，相应的收入具有有限的指数矩，即Ehexp- λRξ*,信息技术我∞, 对于所有λ>0，其中ξ*,I是具有各自CARA系数A和A的值函数的最优策略。这是因为最优策略是确定性的，并且henceRT（Xξ*,（它）σdBthave fite exp onentialmoments。然而，对于（2.14）中的最优策略，我们只有Ehexp- λRξ*T我∞ 如果λ≤ A.但除此之外（对于λ>A），不清楚模拟是否成立。因此，为了避免可集成性问题，我们必须做出以下假设。假设2.15。我们假设最优策略收益的矩母函数，用MRξ表示*T、 定义为2A，我们在其中设置ξ*T（A）：=E经验(-ARξ*T.因此，我们将把自己局限于以下策略集：（2.25）˙X2A（T，X）：=nξ∈˙X（T，X）E经验(-2ARξT≤ ξ先生*T（2A）+1o。提议2.16。集˙X2A（T，X）是关于L中的强拓扑的闭凸集（因此也是关于弱拓扑的闭凸集）。证据由于映射ξ7的凸性→ E[exp(-A（RξT）]，前一个集合是凸的。为了证明它在L中是闭合的，我们在˙X2A（T，X，R）中取一个序列（ζn），该序列收敛于L中的ζ。

由于ζ-nin在特定情况下弱收敛于ζ，我们可以使用推论2。8至奥巴丹经验(-2ARζT≤ lim inf E经验(-2ARζnT≤ ξ先生*T（2A）+1，这就完成了pro。备注2.17。如前所述，如果ξ先生*T（2A2）<∞, 然后我们还有ξ先生*T（A）<∞ 对于所有0<A<2A。注意，如果我们假设u是CARA效用函数的凸组合，那么MRξ*定义于[A，A]。然而，我们需要ξ先生*T（2A）需要很好地定义，因为我们必须应用Cauchy-Schwarzin等式来证明值函数的连续性。3.值函数的正则性和动态规划原理。1.值函数的部分可微性。在本节中，我们将确定valuefunction V与参数R是连续可微分的∈ R、 固定值（T，X）∈ ]0, ∞[×Rd.令人惊讶的是，我们只是用最优策略的存在性和唯一性来证明它。与值函数在其参数中的连续性相比，这一点本质上更容易，因为对于固定的t，X，值函数是凹的，如命题2.2所示。此外，我们需要证明以下结果。命题3.1.让ξ∈X2A（T，X）。然后，地图R7-→ EURξT+R在r上是两倍不同的，由E给出F和二阶导数u′RξT还有Eu′\'RξT, 分别地在证明之前，我们需要证明下面的引理。引理3.2。设g是[0]上的实值局部可积函数，∞[3.1）Zxg（t）dt≥ 0，表示所有x>0。然后lim supx→∞g（x）≥ 0.证明。假设存在ε>0，使得lim supx→∞g（x）<-2ε. 然后存在x>0这样的g（x）≤ -ε表示所有x≥ x、 我们从哪里得到zxg（t）dt≤Zxg（t）dt- ε（x）- x） 小于0表示x足够大，这与（3.1）相矛盾。命题3.1的证明。

如果必要的话，通过横向翻译，我们可以在不失去普遍性的情况下得出R=0。因此，我们必须证明映射R7→ EURξT+R在r=0时可微分，且可导u′RξT. 由于u是集中的、递增的，并且位于C（R）中，u′是递减的和正的，因此证明（3.2）E是有效的u′RξT- 1.< ∞.由于不等式（2.7），我们得到exp（Ax）+u(-x） =ZxAexp（Ax）- u′(-十）dx+u（0）-A.≥ 0，x≥ 因此，如果必要，通过垂直转换u，引理3.2的条件适用于g（x）=Aexp（Ax）-u′(-x） 在[0]上，∞[.因此，我们可以找到一个常数C>0，使得u′(-十）≤ C（exp（Ax）+1）表示所有x≥ 0.因此，Eu′RξT- 1.≤ C（E）经验- ARξT+ 1） +Eu′RξT- 1.{RξT-1.≥0}< ∞,由于u′在[0]上有界，∞[和E经验-ARξT< ∞, 由于ξ的假设。这显示了对第一个导数的断言。对于第二个方程，我们取0<η<1和r∈ ] - η、 η[.我们希望证明（3.3）supr∈ ]-η、 η[Eu′\'RξT+R< ∞.为此，我们使用不等式（2.5）来获得u′\'RξT+R≤ EAu\'RξT- 1.< ∞,这就完成了我的职业生涯。在我们的例子中，最优策略取决于参数R，而不需要先验地对这种依赖性进行任何已知的控制。由于值函数的凹性将是建立期望正则性的关键，我们现在考虑一类凹C-函数fα：R-→ R和definef（x）=supαfα（x）。请注意，上限不一定是凹的。然而，如果f在点t的邻域中是凹的，那么下面的假设给出了一个充分条件，在此条件下f在这一点是可微的。引理3.3。考虑一个族（fα）α∈Aof凹C（R）-从上面一致有界的函数。定义（x）=s upα∈Afα（x）。进一步假设存在t∈ R和η>0，使得f在[t]上是凹的- η、 t+η[和α*T∈ A使得f（t）=fα*t（t）。

那么，f在t处可微，导数f′（t）=f′α*t（t）。如果我们假设α*这是唯一确定的，那么f′在t证明处是连续的。如果必要的话，通过转换函数f，我们可以在不损失一般性的情况下假设t=0。因为f在t=0的邻域中是凹的，我们只需要证明f′+（0）≥ f′-(0). 为此，设ε>0和α*∈ A应为f（0）=fα*(0). 因为fα*为凹形且在0时可微分，对于每个ε>0，存在δ>0，因此对于所有0<h≤ δ、 我们有α*（h）- fα*（0）h≥fα*(-h）- fα*(0)-H- ε.因此我们得到f（h）- f（0）h≥fα*(-h）- fα*(0)-H- ε ≥f(-h）- f（0）-H- ε、 通过定义f，将h设为零，我们推断出f′+（0）≥ f′α*(0) ≥ f′-(0) - ε为每ε>0，因此f是可微的。现在假设α*这是唯一确定的，相反，假设f′在t上不是连续的，因为f在t上是凹的- η、 t+η[因此f′在]t上是非递增的- η、 t+η[，左右极限不存在，我们推断f′（t-) = f′α*T-（t）-) > f′（t+）=f′α*t+（t+），其中α*T-, α*t+∈ A.使用f′α的连续性*T-在t，一方面，我们必须有α*T-6= α*t+。然而，另一方面，我们必须同样有f（t）=fα*t（t）=f（t+）=fα*t+（t+）=fα*T-（t）-),作为α定义的直接结果*和f的连续性。因此，α的唯一性*timpliesα*t=α*T-= α*t+，这显然是一个矛盾。我们现在可以陈述并展示这个细分的主要结果。定理3.4。值函数在R中是连续部分可微的，我们有公式Vr（T，X，R）=Eu′Rξ*T,ξ在哪里*是与V（T，X，R）相关的最优策略。证据这个证明是引理3的直接结果。3，当应用于凹函数族（R7→ E[u（RξT+R）]ξ∈X2A（T，X）。事实上，这是一个凹C函数族（根据命题3.1）。