状态约束期望效用的正则性性质

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英文标题：
《Regularity properties in a state-constrained expected utility
  maximization problem》
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作者：
Mourad Lazgham
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We consider a stochastic optimal control problem in a market model with temporary and permanent price impact, which is related to an expected utility maximization problem under finite fuel constraint. We establish the initial condition fulfilled by the corresponding value function and show its first regularity property. Moreover, we can prove the existence and uniqueness of optimal strategies under rather mild model assumptions. On the one hand, this result is of independent interest. On the other hand, it will then allow us to derive further regularity properties of the corresponding value function, in particular its continuity and partial differentiability. As a consequence of the continuity of the value function, we will prove the dynamic programming principle without appealing to the classical measurable selection arguments.
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中文摘要：
我们考虑了一个具有暂时和永久价格影响的市场模型中的随机最优控制问题，该问题与有限燃料约束下的期望效用最大化问题有关。我们建立了相应的值函数满足的初始条件，并证明了它的第一个正则性。此外，我们可以在相当温和的模型假设下证明最优策略的存在性和唯一性。一方面，这个结果具有独立的意义。另一方面，它将允许我们进一步推导相应值函数的正则性性质，尤其是其连续性和部分可微性。由于值函数的连续性，我们将证明动态规划原理，而不诉诸经典的可测选择参数。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Regularity_properties_in_a_state-constrained_expected_utility_maximization_problem.pdf (367.76 KB)

2022-5-9 06:59:06 上传

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关键词：期望效用 正则性 Mathematical maximization Quantitative

状态约束期望效用最大化问题的正则性性质德国曼海姆大学数学系Mourad Lazgham摘要。我们考虑了一个具有暂时和永久价格影响的市场模型中的随机最优控制问题，该问题与有限燃料约束下的预期效用最大化问题有关。我们建立了由相应的值函数填充的初始条件，并展示了它的第一个正则性。此外，我们可以在相当温和的模型假设下证明最优策略的存在性和唯一性。一方面，这个结果具有独立的意义。另一方面，它将允许我们进一步推导相应值函数的正则性性质，尤其是其连续性和部分可微性。由于值函数的连续性，我们将证明动态规划原理，而不诉诸经典的可测选择参数。1.导言本文的目的是研究源于经典投资组合流动问题的最优控制问题，其效用函数比指数函数更一般。我们特别关注的是具有绝对风险规避有界Arrow-Pratt系数的效用函数。我们证明了相应的最优策略的存在性和唯一性，在这种一般情况下，它是不确定的。这个结果有助于我们导出关联值函数的正则性。Bertsimas和Lo（1998）首次提出了将预期成本降至最低的动态执行策略。然而，举例来说，2008年的Soci’et’e G’en’e一般交易损失表明，我们必须在执行成本中增加交易时产生的波动风险。

该扩展和相应的均值-方差最大化问题是在离散时间框架内由Inlamgren和Chriss（2 001）研究的，其中执行成本被认为是线性的，并被分为一个节拍和一个永久性的价格影响部分。然而，正如Inlamgren（2003）所说，线性执行成本在实践中似乎不是一个现实的假设，考虑非线性临时影响函数可能是合理的。与暂时性影响相反，为了避免准灾难性机会，永久性影响必须是线性的，如Uberman和Sta nz l（2004）所示。均值-方差方法也可以被视为具有恒定绝对风险厌恶的投资者的预期效用最大化问题，Chied等人（2010）在s部分中解决了这一问题，其中证明了最优交易策略的存在性和唯一性，而且是确定性的。后者可以通过求解非线性哈密顿方程来计算。此外，相应的值函数是具有奇异初始条件的非线性退化Hamilton-Jacobi-Bellman方程的唯一经典解。在本文中，我们通过考虑介于两个指数效用函数（也称为CARA效用函数）之间的效用函数来推广这个框架。该案例已经在一维框架内进行了有限时间的研究，具有线性临时影响，无漂移；参见Schied和Sch¨oneborn（2009），关键词和短语。

期望效用最大化问题，价值函数，价格影响，最优策略，动态规划原理，贝尔曼原理。作者通过Grant SCHI 500/3-1感谢德意志联邦储备银行（Deutsche Forschungsgeminschaft）的支持。以及Sch¨oneborn（2008），其中最优交易策略被描述为一个经典的完全非线性抛物方程的唯一有界解。证明了最优清算策略是马尔可夫的，并给出了反馈形式。此外，当且仅当效用函数是指数函数时，最优策略是确定的。上述结果的推导是因为，当考虑到有限的时间范围时，（转换后的）最优策略解决了一个经典的抛物型偏微分方程，因为时间参数没有出现在方程中。在本文中，我们将讨论在有限时间范围内推导最优清算策略的问题。在这里，我们面临的困难是，通常使用的测量技术的变化，包括Dol’es-Dade指数，只是走出了窗口。由于这一失败，我们必须进行不同的思考，并将我们的考虑扩展到不再是经典的解决方案。我们的第一个主要结果涉及最优策略的存在性和唯一性。这个结果的pro主要是一个分析结果，只需要效用函数的Arrow-Pratt风险规避系数的有界性。

作为该定理的直接推论，我们可以证明相关的价值函数在其收益参数中是连续可微的（如果效用函数假定具有凸导数和递减导数，则甚至可以连续可微两次；如果效用函数是指数效用函数的凸组合，则该条件是完全满足的）。在第2.1节中建立了我们的框架，明确了我们对指数增长效用函数的定义之后，我们证明了价值函数的凹性和初始条件（第2.2节）。定理m2给出了我们关于最优策略存在唯一性的主要结果。4.两个结果的推导分为几个技术步骤（分别见第2.3节和第2.4节）。有了这个，我们可以推导收入参数中价值函数的可微性（定理3.4）。关于连续性性质的相对复杂的证明（如定理3.12所述）将遵循定理2.4。利用值函数的连续性，我们通过建立基本的贝尔曼原理（定理3.13）得出结论。在它的证明中，我们面临着可测量性问题，我们必须严格考虑维纳空间，以使问题更清楚。这将在不参考可测量的选择参数的情况下进行验证，通常用于证明动态规划原理，其中已知值函数的先验规律性不成立；例如，参见Meyer（1966）或Wagner（1980），Rieder（1978）。请注意，在大多数文献中，贝尔曼原理与随机控制问题有关，其（严格的）证明仅限于此，或读者参考上述文献。

当值函数被提升为连续函数时，可以在inKrylov（20 09）或Bertsekas和Shreve（1978）中找到一个更简单的证明版本：然而，这并不直接适用于我们的环境，因为我们必须处理有限的燃料约束。2.主要结果2。1.建模框架。让(Ohm, F、 P）成为过滤（英尺）为0的亲子空间≤T≤t满足通常的条件。拿X∈ Rd，我们考虑一个随机过程Xt=（Xt，…，Xdt），从Xat timet=0开始，必须满足边界条件Xt=0。例如，我们可以想象投资者可以选择清算一个大的市场秩序的drisky资产的一篮子股票，我们通过描述他在时间t时持有的第i项资产的股份数量来描述。根据inSchied和Sch¨oneborn（2008）的符号，我们用（2.1）RXT=R+ZTX表示tσdBt+ZTb·Xtdt-ZTf（˙Xt）dt与过程X相关的时间间隔[0，T]内的收入。此处R∈ R、 B是标准的二维布朗运动，从0开始，漂移为B∈ Rd和波动率矩阵σ=（σij）∈ Rd×m和非负严格凸函数f具有超线性增长，满足两个条件slim | x|-→∞f（x）|x |=∞ f（0）=0。此外，我们假设漂移向量b与协方差矩阵的核∑=σ∑正交,这保证了交易不会影响资产价格的“小投资者”不会有套利机会。收益过程可以从经济角度进行解释：RCA可以被视为投资组合的面值（可以包括永久性的价格影响成分），随机积分模型是累积波动风险，其中第二个积分代表应用于我们状态过程的线性漂移。最后一个术语代表临时影响的累积成本。

此外，byXdet（T，X）=X:[0，T]→ 绝对连续，X∈ rdxt=0我们表示速度清算过程˙x定义为λ-a.e.的决策过程集，其中λ是[0，T]上的勒贝格测度。类似地，byX（T，X）：=（Xt）t∈[0，T]适应，T→ Xt∈ Xdet（T，X）、a.s.和sup0≤T≤T|Xt|∈ L∞（P）我们表示P的集合 λ-a.e.有界随机过程，其速度清算过程˙xtp λ-a.e.，由于绝对连续性。备注2.1。从套期保值的角度来看，X的绝对连续性似乎是非常有限的，因为这不适用于布莱克-斯科尔斯三角洲套期保值。然而，从数学角度来看，这是发展有界变差函数最优控制问题理论的合理起点。如inSchied和Sch¨oneborn（2008）所述，将X（T，X）中的元素参数化将很方便。为此，对于ξ，可逐渐测量，对于ξ，Rd中的值为≤ T，让我们用˙X（T，X）=nξ| Xt=X来表示-Ztξsds a.s.适用于X∈ X（T，X）其他一组控制过程或一个给定过程的速度过程。从现在起，我们将为与给定ξ相关的这个过程写Rξ∈˙X（T，X），坚持对ξ的依赖。

这对（Xξ，Rξ）是下列受控随机微分方程的解：（2.2）dRξt=XtσdBt+b·Xtdt- f(-ξt）dt，dXt=-ξtdt，Rξ| t=0=Rand X | t=0=X。我们用˙X（t，X）表示所有控制过程的子集ξ∈˙X（T，X）满足额外要求（2.3）eZTXξt∑Xξt+|b·Xξt- f（ξt）|+|ξt|dt< ∞.为了方便起见，我们通过为满足（2.3）但不一定一致有界的清算策略集引入符号˙X（T，X）来扩大前面的集合˙X（T，X）：=nξXξt:=X-ZtξsdsT∈[0，T]适应，T→ Xξt（ω）∈ Xdet（T，X）P-a.s.oTnξEZTXξtσXξt+|b·Xξt- f（ξt）|+|ξt|dt< ∞o、 这显然是˙X（T，X）的一个子集。因此，最大化问题可以用（2.4）supξ的形式表示∈˙X（T，X）EhuRξTi、 在本文中，我们将考虑一类特殊的效用函数。这些函数将具有绝对风险规避的有界Rorrow-Pratt系数，也就是说，我们将假设存在两个正常数，i=1，2，比如t（2.5）0<a≤ -u′（x）u′（x）≤ A.十、∈ R.这个不等式意味着我们可以假设w.l.o.g.为0<A<1<A，这给了我们以下估计（2.6）exp(-（斧头）≤ u′（x）≤ 经验(-Ax）+1代表x∈ R.和（2.7）u（x）：=A- 经验(-（斧头）≥ u（x）≥ - 经验(-Ax）=:u（x）。FromSchied et al.（2010）我们知道，对于指数效用函数（即形式的效用函数）- b经验(-cx），其中∈ R和b，c>0）最大化问题（2.4）存在唯一的确定性和连续性策略。此外，相应的价值函数，即预期效用最大化问题产生的价值函数，是Hamilton-Jacobi-Bellman方程的唯一连续可微解。我们将利用这个强大的结果，在条件（2.7）下，建立一个最优控制的存在性。

这里，我们将研究下列值函数的正则性：（2.8）V（T，X，R）=supξ∈˙X（T，X）EhuRξTi、 效用函数满足（2.7）。请注意，相应的估计得出了价值函数（2.9）supξ的以下边界∈˙X（T，X）EhuRξT我≥ supξ∈˙X（T，X）EhuRξT我≥ supξ∈˙X（T，X）EhuRξTi、 （2.10）V（T，X，R）=EhuRξ*T我≥ V（T，X，R）≥ 埃胡Rξ*Ti=V（T，X，R），其中Vi，i=1，2表示相应的指数函数和ξ*i、 i=1，2是相应的最佳策略。2.2. 凹度特性和值函数满足的初始条件。本小节的目的是证明映射（X，R）7-→ V（T，X，R）是凹形的，表示固定的T∈ [0, ∞[，并得出V满足的初始条件，其中V是（2.8）中定义的优化问题的值函数这些是所考虑的最大化问题的值函数的基本性质。我们首先证明以下命题，该命题确立了价值函数的第一个正则性：收益参数中价值函数的凹性，T，X∈ ]0, ∞[×r固定。这将使我们以后能够证明收入参数中的价值函数的可微性，以及在存在最优策略的情况下，其他参数是固定的。命题2.2∈ ]0, ∞[，（X，R）7-→ V（T，X，R）是凹函数。证据为此，让X，X∈ R，R，R∈ λ和R∈ ]0,1[.进一步考虑策略ξ∈˙X（T，X）和ξ∈˙X（T，X）。注：tλξ+（1- λ)ξ ∈˙X（T，λX+（1- λ） X）。

让我们表示λξ+（1）-λ） ξT:=ZT（Xλξ+（1）-λ） ξt）σdBt+ZTb·Xλξ+（1）-λ） ξtdt-ZTf(-λξ + (1 - λ） ξt）dt。然后我们有固定的ξ，ξ：V（T，λX+（1- λ） X，λR+（1）- λ） （R））≥ EUλR+（1）- λ） R+Rλξ+（1）-λ） ξT≥ EUλR+（1）- λ） R）+λRξT+（1）- λ） RξT≥ λEUR+RξT+ (1 - λ） EUR+RξT,其中，第一个不等式是由（λX+（1）处的值函数V的定义引起的- λ） X，λR+（1）- λ） R），第二个是由ξ7得出的→ Rξ是凹的，u是增加的。最后，第三个是由于u的凹性。现在取ξ上的上确界（ξ是固定的），我们得到v（T，λX+（1）- λ） X，λR+（1）- λ） （R））≥ λV（T，X，R）+（1）- λ） EUR+RξT.取上式中ξ的上确界，我们得到v（T，λX+（1- λ） X，λR+（1）- λ） （R））≥ λV（T，X，R）+（1）- λ） V（T，X，R），它产生了一个序列。此外，我们还建立了由值函数填充的初始条件。提议2.3。设V为最大化问题（2.8）的值函数。然后V ful填充以下初始条件V（0，X，R）=limT↓0V（T，X，R）=（u（R），如果X=0，-∞, 否则（2.11）证据。我们首先注意到，如果X 6=0，则限制→0V（T，X，R）=-∞,因为V应该位于两个CARA值函数之间-∞ 当T变为零时，如果X 6=0（参见Schied等人（2010））。假设X=0。我们想知道这是怎么回事→0V（T，0，R）=u（R）。首先观察v（T，0，R）≥ 埃胡RξTi=u（R），为所有t选择策略ξt=0∈ [0，T]，T>0。由于V在T中增加，对于固定的X，R，极限→存在0V（T，X，R），这意味着极限→0V（T，0，R）≥ u（R）。现在我们证明了逆不等式（2.12）limT→0V（T，0，R）≤ u（R）。设ξ为从0开始的往返行程（即：ξ∈˙X（T，0））。