带跳跃的正倒向随机微分方程的渐近展开

此外，在e上有| |^Θt，x，| | pKp[t，t]≤ CpE|ξ（Xt，x，T）|p+ZTt|f（s，Xt，x，s，0，0，0）|dsP通过引理A.3和ξ（x）和f（·，x，0，0，0）的多项式增长假设，我们得到了期望的结果。为了减轻符号的重量，我们使用以下符号来表示集合参数：Θt，x，r：=Xt，x，r，Yt，x，r，Zt，x，r，ZRρ（z）ψt，x，r（z）ν（dz）^Θt，x，r：=Yt，x，r，Zt，x，r，ZRρ（z）ψt，x，r（z）ν（dz）.我们也使用Θ:= (十、YZu） ,，^Θ：=(YZu） 对于它们的高阶导数也是如此。备注3.1。让我们谈谈假设3.1和3的实际含义。2，因为一些读者可能会发现平滑度假设过于严格。在附录C中，我们证明了FBSDE的一个光滑逼近定理，只要满足标准Lipschitz条件，该定理就证明了假设3.1和3.2。由于与BSDE相关的财务问题不可避免地是非线性的，我们不得不在投资组合层面上考虑。因此，ξ和f可能由复杂的分段线性函数给出，这些函数涉及大量非光滑点。我们可以做的第一步是通过引入molli fiers或projec Tingon切比雪夫多项式等平滑函数来近似这些函数。在行业中，这是很常见的，即使是线性产品，如数字期权，使三角洲对冲在实践中可行。由借款人产生的少量额外费用作为对冲成本向客户收取。Henry-Labord`ere（2012）[29]也将其用于CVA评估。3.2 BSD的表示定理我们根据德隆和伊姆凯勒（2010）[13]第3节和德隆（2013）[12]第2.6节（σ=1）中使用的约定定义了Malliavin导数Dt。

有关详细信息和其他应用，请参见Di Nunno等人（2009）[14]。根据他们的定义，如果随机变量H（·ωu）在经典的马利雅文微积分意义下对于Pu-a.e.ωu是可微分的∈ Ohmu，那么我们有关系dt，0H（ωW，ωu）=DtH（·ωu）（ωW），其中D·是关于维纳方向的Malliavin导数。对于z=0的定义Dt，zH，引入了增量商算子，它，zH（ωW，ωu）：=H（ωW，ωt，zu）- H（ωW，ωu）z其中ωt，zu变换族ωu=（（t，z），（t，z），·）∈ Ohm进入一个新的家族ωt，zu（（t，z），（t，z），（t，z），·）∈ Ohmu. 这是为一维泊松分布测量定义的。在多维情况下，它以明显的方式将zH扩展到k维向量。已知当EhRTRE | It，zH | zν（dz）dti=EhPki=1rtr | It，ziH | ziνi（dz）dti<∞, 一个有Dt，zH=It，zH。提议3.3。在假设3.1下，过程Xt，x，是可区分的。此外，我还感到满足（s，z）∈[0，T]×RkEhsupr∈[s，T]| Ds，zXt，x，r|pi<∞对于P≥ 2.证据。这是对[12]中定理4.1.2的修改，适用于我们的设置。Malliavin der ivative的存在源自Petrou（2008）[45]中的定理3。根据[45]，对于zi6=0，一个hads，ziXt，x，r=γi（s，Xt，x，s）-, zi，）zi+ZrsDs，zib（u，Xt，x，u，）du+ZrsDs，ziσ（u，Xt，x，u，）dWu+ZrsZEDs，ziγ（u，Xt，x，u）-, z、 eu（du，dz）（3.5）用于s≤ r和Ds，ziXt，x，r=0。这里，γide表示第i列向量和ds，zib（u，Xt，x，u，）：=zib（u，Xt，x，u+ziDs，ziXt，x，u，）-b（u，Xt，x，u，）类似地，对于术语（Ds，ziσ（u，Xt，x，u，），Ds，ziγ（u，Xt，x，u-, z、 )）。

由于xb，xσ，xγ/η（3.5）通过引理A.3得到唯一解。此外，应用Burkholder-Davis-Gundy（BDG）、Gronwall不等式和引理A.1，我们得到了| | Ds，ziXt，x，| | p[s，T]≤ 内容提供商γi（s，0，zi，）zip+E | | Xt，x，| | pT.因此，通过假设3.1（iii），我们得到了期望的结果。维纳方向（z=0）的参数类似。下一个定理是对[12]中定理3.5.1和[25]中定理C.1的改编。为了简单起见，我们增加了表示初始数据的上标（t，x，）。定理3.1。在假设3.1和3.2下，（a）存在属于Kp的唯一解（Ys，0，Zs，0，ψs，0）P≥ 2到BSD，0u=Ds，0ξ（XT）+ZTufs，0（r）dr-ZTuZs，0rdWr-ZTuZEψs，0r（z）eu（dr，dz）式中，0ξ（XT）：=xξ（XT）Ds，0XTfs，0（r）：=xf（r，Θr）Ds，0Xr+yf（r，Θr）Ys，0r+zf（r，Θr）Zs，0r+uf（r，Θr）ZRρ（z）ψs，0r（z）ν（dz）。（b） 对于zi6=0，存在一个属于Kp的唯一解（Ys，zi，Zs，zi，ψs，zi）P≥ 2到BSD，ziu=Ds，ziξ（XT）+ZTufs，zi（r）dr-ZTuZs，zirdWr-ZTuZEψs，zir（z）eu（dz，dr）式中，ziξ（XT）：=ξ（XT+ziDs，ziXT）- ξ（XT）zifs，zi（r）：=hfr、 Xr+ziDs，ziXr，Yr+ziDs，ziYr，Zr+ziDs，ziZr，Zrρ（e）ψr（e）+ziDs，ziψr（e）]ν（de）- Fr、 Xr，Yr，Zr，Zrρ（e）ψr（e）ν（de）i/ZI每1个≤ 我≤ k、 （c）美国≤ T，set（Ys，zu，Zs，zu，ψs，zu）=0表示z∈ Rk（即，包括lu ding W iener方向Z=0）。然后，（Y，Z，ψ）是Malliavin可微的，（Ys，Z，Zs，Z，ψs，Z）是（Ds，zY，Ds，zZ，Ds，Zψ）的一个版本。（d） 用BSDE（3.2）的解设置一个确定性函数u（t，x，）：=Yt，x，t。如果u在t中是连续的，并且对于x是一次性连续可微的，那么zt，x，s=徐（s，Xt，x，s）-, ）σ（s，Xt，x，s）-, ) (3.6)ψt，x，s（z）i1≤我≤k=Us、 Xt，x，s-+ γi（s，Xt，x，s）-, 子，），- u（s，Xt，x，s）-, )1.≤我≤k（3.7）代表t≤ s≤ T和z=（zi）1≤我≤K∈ Rk。证据

（a） （b）可以用引理b.2，导数的有界性和Θt，x，∈ Sp×kPad和Ds，zX∈ SpforP≥ 2.（c）可以被证明为[12]中定理3.5.1的一个简单模型，它是El Karoui等人（1997）[18]中的命题5.3对跳跃情况的扩展。对于ω相关驱动（假设[12]中的（vii）和（viii））所写的条件，可以用我们的假设f代替，它是关于（y，z，u）的Lipschitz，在x中有多项式增长。注意，我们已经知道Xt，x，，Ds，zXt，x，∈ 服务提供商P≥ 2.参见[25]中定理6.1的证明中使用的关于马尔可夫设置的参数。（d） 根据[12]的定理4.1.4，4渐近展开式在渐近展开式中，我们想得到FBSDEs（3.1）和d（3.2）的解（Xt，x，，Yt，x，，Zt，x，）在=0附近的泰勒展开式。众所周知，这对于正向过程Xt，x，是可能的。我们需要证明经典分量的存在性n^Θt，x，for every0≤ N≤ 然后以适当的范数获得其估计值。因为它们对应于经典导数n^Θt，x，包含比例为qji=1的术语ki^Θt，x，在其驱动程序中pji=1ki=n时(基什特，x，基什特，kiψt，x，）ji=1关于范数Hp×HpνP≥ 2不足以保证相关BSDE的适当性。接下来，我们将通过展示来解决这个问题(基什特，x，基什特，kiψt，x，）实际上属于Sp×SpP≥ 2而不是Hp×HpνP≥ 2.这是通过递归地应用表示定理和关于x的解的多项式增长性质来实现的。为了在定理3.1（d）中使用这一结果，我们必须从研究BSDE（3.2）的经典导数开始，特别是BSDE 4.1的x.4.1经典导数。

在假设3.1和3.2下，^Θt，x，在x中是典型的可区分的，它由x^Θt，x，被定义为BSDE的唯一解决方案，具有正式的差异：xYt，x，s=xξ（Xt，x，T）xXt，x，T+ZTsΘf（r，Θt，x，r）xΘt，x，rdr-中兴通讯xZt，x，rdWr-中兴通讯xψt，x，r（z）eu（dr，dz）（4.1）和x^Θt，x，∈ Kp[t，t]令人满意||x^Θt，x，|Kp[t，t]≤ Cp（1+| x | q）用于P≥ 2.证据。引理B.2可以很容易地证明它的存在性和唯一性。请注意，th eBSDE（4.1）与有界Lipschitz常数和满意度呈线性关系||x^Θt，x，| pKp[t，t]≤ CpEh|xξ（Xt，x，T）|p|xXt，x，T|p+ZTt|xf（r，Θt，x，r）||xXt，x，r |博士圆周率≤ Cp||xXt，x，| pS2p[t，t]nE|xξ（Xt，x，T）|2p1/2+EZTt|xf（r，Xt，x，r，0）|dr2p1/2+| |^Θt，x，| | pK2p[t，t]o≤ Cp（1+| x | pq）用于P≥ 2.通过对[39]中定理3.1的简单修改，我们还可以证明：→0||h^Θt，x，- x，t，其中^Θt，x，：=^Θt，x+h，-^Θt，x，h，h 6=0（每个方向）。这与经典的差异一致。推论4.1。在假设3.1和3.2下，存在xu（t，x，），它在（t，x）中是连续的，在（t，x）中至多有一个均匀的多项式增长∈ [0，T]×[0，1]。此外，Zt，x，和rrρ（z）ψt，x，（z）ν（dz）属于Sp[t，t]P≥ 2.证据。请注意徐（t，x，）=xYt，x，并且存在一些常数C>0，这样|徐（t，x，）|≤ ||x^Θt，x，|Kp[t，t]≤ C（1+| x | q）每x∈ RDT中的一致性∈ [0，T]引理4.1。连续性（t，x，）in（t，x）中的xu（t，x，）可以用[39]相同的方式表示，使用Xt，x，in（t，x）的连续性，这可以在引理A.3中看到。然后，根据（3.6）、（3.7）中给出的表示和上述结果，一个是| Zt，x，s |+ZEρ（z）ψt，x，s（z）ν（dz）≤ C（1+|Xt，x，s）-|q+1）给出了期望的结果^Θt，x，∈ Sp[t，t]3.任何p≥ 2.提案4.1。

在假设3.1和3.2下，c经典导数nx^Θt，x，每0存在一次≤ N≤ 奈维思nx^Θt，x，∈ Kp[t，t]P≥ 由以下BSDE的解给出：nxYt，x，s=ξn+ztsnn，r+Θf（r，Θt，x，r）nxΘt，x，rodr-中兴通讯nxZt，x，rdWr-中兴通讯nxψt，x，r（z）eu（dr，dz）（4.2），其中ξn:=n！nXk=1Xβ+··+βk=n，βi≥1k！kxξ（Xt，x，T）kYj=1βj！βjxXt，x，T，Hn，r:=n！nXk=2Xβ+··+βk=n，βi≥1kXix=0k-ixXiy=0k-九-iyXiz=0ixx艾伊惯性矩K-九-艾伊-izuf（r，Θt，x，r）ix！哎呀！伊兹！（k）- 九- 艾伊- 伊兹）！×ixYjx=1βjx！βjxxXt，x，rix+iyYjy=ix+1βjy！βjyxYt，x，rix+iy+izYjz=ix+iy+1βjz！βjzxZt，x，r×kYju=ix+iy+iz+1βju！ZRρ（z）βjuxψt，x，r（z）ν（dz）。此外，f或每0≤ N≤ nmax+1，nx^Θt，x，∈ Sp[t，t]3.P≥ 2.证据。我们可以用命题3.2、引理4.1和推论4.1中使用的参数递归证明。我们已经知道^Θt，x，∈ Sp[t，t]3和x^Θt，x，∈ Kp[t，t]对于任何p≥ 2.英国科学院x^Θt，x，具有有界Lipschitz常数和H2，ris，在(x^Θt，x，r）。根据ξ（x），f（·，x，0）至多有一个多项式增长x和th(mxXt，x，）0≤M≤奈，^Θt，x，∈ Sp[t，t]P≥ 2，可以证明唯一解的存在性x^Θt，x，∈ Kp[t，t]P≥ 引理B.2。此外，我们可以在引理4.1中证明||x^Θt，x，| Kp[t，t]在x上最多有多项式增长。根据[39]中定理3.1的参数，我们可以看到这与引理4.1意义上的经典微分一致。这反过来又表明了它的存在徐（t，x，）=xYt，x，还有一个事实xu（t，x，）在x上最多有一个多项式增长。这意味着，连同假设3.1和表示定理（3.6）（3.7），xZt，x，和rrρ（z）xψt，x，（z）ν（dz）在Sp[t，t]P≥ 2.

因此，我们得到x^Θt，x，∈ Sp[t，t]3.P≥ 2.以同样的方式，如果我们假设ix^Θt，x，我≤N∈ Sp[t，t]3那n+1x^Θt，x，∈Kp[t，t]表示 P≥ 2当Kp范数在x上最多为一个多项式增长时，可以证明唯一解的存在性n+2x^Θt，x，∈ Kp[t，t]的范数在mosta多项式上通过引理B.2增长。然后，它从代表理论中暗示n+1x^Θt，x，∈ Sp[t，t]3.P≥ 2.通过重复这些过程，一个人可以得到想要的结果。4.2渐近展开我们现在要证明n^Θt，x，∈ Sp[t，t]3.P≥ 每0取2≤ N≤ nmax+1。虽然该策略与上一节类似，但我们实际上必须研究mxn^Θt，x，因为a影响u（s，Xt，x，s-, ）不仅通过它的明确解释，而且通过Xt，x，间接。引理4.2。在假设3.1和3.2下，^Θt，x，在中是典型的可出租的，它由^Θt，x，被定义为BSD E的唯一解决方案，具有正式的差异：Yt，x，s=xξ（Xt，x，T）Xt，x，T+ZTsΘf（r，Θt，x，r）Θt，x，rdr-中兴通讯Zt，x，rdWr-中兴通讯ψt，x，reu（dr，dz）。有一个^Θt，x，∈ Kp[t，t]令人满意||t，x，Kp[t，t]≤ Cp（1+| x | q）对于任何P≥ 2.证据。证明可以类似于L emma 4.1中的证明。我们现在得到以下结果。提议4.2。在假设3.1和3.2下，c经典导数n^Θt，x，每0存在一次≤ N≤ 奈维思n^Θt，x，∈ Kp[t，t]P≥ 2和由以下BSDE的唯一解决方案给出：nYt，x，s=eξn+ZTsneHn，r+Θf（r，Θt，x，r）nt，x，rodr-中兴通讯nZt，x，rdWr-中兴通讯nψt，x，reu（dr，dz）。这里，eξnandeHn，由ξnand Hn，rin命题4.1的表达式给出，带有βjΘx替换为βjΘ。此外，f或每0≤ N≤ nmax+1，n^Θt，x，∈ Sp[t，t]3.P≥ 2.证据。我们从引理4.2的结果开始u（t，x，）在x中有最多的多项式增长。

利用这个事实Θt，x，∈ Sp[t，t]×Kp[t，t]和xΘt，x，∈Sp[t，t]4.可以证明十、^Θt，x，存在和满足十、^Θt，x，∈ Kp[t，t]表示P≥ 2.4引理。相应的定范数在x上最多有多项式增长，因此十、u（t，x，）。这意味着，连同表述（3.6）和（3.7）一起^Θt，x，∈ Sp[t，t]用于P≥ 2.如命题4.1所示，我们可以递归地证明经典导数nx^Θt，x，存在并属于Kp[t，t]P≥ 每0取2≤ N≤ 而且它属于Sp[t，t]3.P≥ 每0取2≤ N≤ nmax+1通过诱导。然后，由Lemm a B.2编写，它是向前查看的nx^Θt，x，存在并属于Kp[t，t]P≥ 2比0≤ N≤ 奈。根据表示定理，它意味着nx^Θt，x，实际上属于∈ Sp[t，t]P≥2比0≤ N≤ nmax+1。通过重复同样的过程，我们可以证明，对于每一个≤ n、 m≤ nmax+1，nxm^Θt，x，存在并属于Sp[t，t]3.P≥ 2.从而证明了命题的正确性。我们已经证明了Θt，x，是关于（x，）的nae时间经典可微的，尤其是对于n≤ nmax+1，nΘt，x，∈ Sp[t，t]4.P≥ 2.让我们来定义∈ [t，t]和0≤ N≤ nMaxhatΘ[n]s:=n！nt，x，s=0.利用可微性和泰勒公式，我们可以对任何1≤ N≤ nmaxΘt，x，s=Θ[0]s+NXn=1nΘ[n]s+n+1N！Z（1）- u） NN+1αΘt，x，αsα=udu。（4.3）我们将在后面看到，每个Θ[m]，m∈ {1，2，·，nmax}可以通过求解线性常微分方程组来计算。尽管Θ[0]要求作为例外解非线性常微分方程，但在假设3.1和3.2下，有界解的存在是有保证的。下一个定理是本文的主要结果，它给出了Θt，x，由Θ[m]，m的级数逼近的误差估计∈ {0,1，··，nmax}。定理4.1。

在假设3.1和3.2下，前向-后向SDE（3.1）和（3.2）的渐近展开式由（4.3）给出≤ N≤ Nmax和Saties，通过一些正常数CpΘt，x，-Θ[0]+NXn=1nΘ[n]Sp[t，t]≤ N+1Cp。（4.4）证据。这直接源于以下事实：N+1Θt，x，在Sp[t，t]P≥ 2.与命题3.1和命题4.2.4.3中的相关的连续跳跃强度，当ν是一个有限测度时∞, 对于η，ρ稍弱的假设，所有先前的结果都成立≡ 1在假设3.1和3.2中。然而，在实际应用中，有许多情况下我们想要使跳跃强度状态依赖。在本节中，我们将在强度有界时解决这个问题。特别是，我们考虑了向前向后的SDE（3.1）和（3.2），但带有补偿随机测度eu（dr，dz），由1给出≤ 我≤ k、 eui（dr，dz）=ui（dr，dz）-λi（r，Xt，x，r）νi（dz）dr，其中νiis归一化为νi（r）=1和λi:[0，T]×Rd→ R.我们可以看到，随机测度不再是泊松的，它通过强度隐式地依赖于。假设4.1。每1≤ 我≤ k、 νi（R）=1，并且存在一些正常数k，c，c，例如（i）λi（t，x）在（t，x）中是连续的，并且在x中是可微分的，具有连续的导数消息化|nxλi（t，x）|≤ K代表eve ry 1≤ N≤ naein（t，x）∈ [0，T]×Rd，（ii）0<c≤ λi（t，x）≤ 楔形in（t，x）∈ [0，T]×路（三）|mγ·，i（t，x，z，）|≤ K代表每1≤ M≤ 奈因（t，x，z，）∈ [0，T]×Rd×R×[0，1]。引理4.3。

根据假设4.1，我们可以定义一个等效的概率度量Qby，用于∈ [t，t]，dQdPFs=Ms，其中M是严格正的P-鞅g，由Ms=1+kXi=1ZstMr驱动-cλi（r，Xt，x，r）-)- 1.eui（dr，R）。在新的测度Q下，补偿的随机测度变成uQ（dr，dz）=u（dr，dz）-cν（dz）dt，因此u是泊松的。此外s∈ [t，t]，Ms≥ 经验-（c）- c） k（T）- （t）.证据Kazamaki（1979）[32]指出，如果X是BMO鞅Xt≥ -1+Δa.s.适用于所有t∈ [0，T]当某些严格正常数δ>0时，thenDol\'eans-Dade指数E（X）是一致可积的。我们可以很容易地证明这个条件对于鞅是满足的·c/λ（s，Xt，x，s）- 1.eu（ds，R）。因此，给定的度量值变化得到了很好的定义，第一个主张源自[47]第3章中的定理41。第二个声明直接来自显式表达式ms=kYi=1Y0<r≤scλi（r，Xt，x，r）-)ui（r，r）exp-Zst（c）- λi（r，Xt，x，r）-))博士≥ 经验-Zstk（c）- c） 博士.在测度Q下，我们有Xt，x，s=x+Zsteb（r，Xt，x，r，）dr+Zstσ（r，Xt，x，r，）dWr+ZstZEγ（r，Xt，x，r）-, z、 euQ（dr，dz）（4.5）Yt，x，s=ξ（Xt，x，T）+ZTsefr、 Xt，x，r，Yt，x，r，Zt，x，r，ZRψt，x，r（z）ν（dz）博士-ZTsZt，x，rdWr-ZTsZEψt，x，r（z）euQ（dr，dz）（4.6），其中eb（s，x，）=b（s，x，）+kXi=1（c）- λi（s，x））ZRγi（s，x，zi，）ν（dzi）ef（s，x，y，z，u）=f（s，x，y，z，u）-kXi=1（c）- λi（s，x））ui。定理4.2。在假设3.1、3.2下，ρ和η替换为1，以及假设4。1，前向-后向SDE（3.1）和（3.2）的解Θt，x，允许关于的渐近展开，并满足原始测量P证明中相同的误差估计（4.4）。假设4.1使（eb，ef）再次满足假设3.1和3.2，ρ，η替换为1。因此，前几节中的所有结果在等效FBSDE（4.5）和（4.6）的测量Q下均成立。