带跳跃的正倒向随机微分方程的渐近展开

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英文标题：
《Asymptotic Expansion for Forward-Backward SDEs with Jumps》
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作者：
Masaaki Fujii and Akihiko Takahashi
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  This work provides a semi-analytic approximation method for decoupled forwardbackward SDEs (FBSDEs) with jumps. In particular, we construct an asymptotic expansion method for FBSDEs driven by the random Poisson measures with {\\sigma}-finite compensators as well as the standard Brownian motions around the small-variance limit of the forward SDE. We provide a semi-analytic solution technique as well as its error estimate for which we only need to solve essentially a system of linear ODEs. In the case of a finite jump measure with a bounded intensity, the method can also handle state-dependent and hence non-Poissonian jumps, which are quite relevant for many practical applications.
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中文摘要：
本文提出了一种带跳跃的解耦正反向随机微分方程（FBSDE）的半解析近似方法。特别地，我们构造了一个由{sigma}有限补偿器的随机泊松测度驱动的FBSDE的渐近展开方法，以及围绕正向SDE的小方差极限的标准布朗运动。我们提供了一种半解析解技术及其误差估计，我们只需要求解一个线性常微分方程组。在强度有界的有限跳跃测度的情况下，该方法还可以处理与状态相关的非泊松跳跃，这与许多实际应用非常相关。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Asymptotic_Expansion_for_Forward-Backward_SDEs_with_Jumps.pdf (433.64 KB)

2022-5-9 07:03:44 上传

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关键词：倒向随机微分方程 随机微分方程 微分方程 随机微分 Quantitative

向前向后跳跃的渐近展开*Fujii Masaaki+&Akihiko Takahashi本版本：2018年9月7日摘要本工作为带跳跃的解耦正向反向SDE（FBSDE）提供了一种半解析近似方法。特别是，我们构造了一种由随机泊松测度和σ-单位补偿器驱动的FBSDE的渐近展开方法，以及前向SDE小方差极限周围的标准布朗运动。我们提供了一种半解析的求解方法及其误差估计，对于这种方法，我们只需要求解线性常微分方程组。对于强度有界的有限跳跃测度，该方法还可以处理与状态无关的非泊松跳跃，这与许多实际应用非常相关。关键词：BSDE、跳跃、随机测量、渐近扩展、L’evy过程1简介自从Bimit（1973）[5]和Pardoux&Peng（1990）[42]提出后，后向随机微分方程（BSDE）因其与非线性偏微分方程的深刻联系吸引了许多数学家。对于感兴趣的读者来说，现在已经有了El Karoui&Mazliak（编辑）（1997）[17]、Ma&Yong（2000）[38]和Pardoux&Rascanu（2014）[44]等优秀的观点。BSDE在金融和运营问题上也有广泛的应用；El Karoui等人（1997）[18]、Lim（2004）[36]、Jeanblanc&Hamad\'ene（2007）[28]、Cvitani\'c&Zhang（2013）[11]、Touzi（2013）[54]和Cr\'epey、Bielecki&Brigo（2014）[8]仅举几例。

至于带跳跃的BSD，请参见Barles、Buckdahn&Pardoux（1997）[2]、Royer（2006）[49]、Crepey&Matoussi（2008）[9]、Morlais（2010）[41]、Delong（2013）[12]和Quenez&Sulem（2013）[48]。上一次金融危机以及随之而来的一系列新法规，使得涉及BSDE的各种问题，如XVAs、风险度量、非流动性市场中的最优执行以及高效数值计算方案的开发成为金融行业的中心问题。尽管许多研究人员已经提出并研究了反向蒙特卡罗模拟方案，如Bouchard&Touzi（2004）[7]，Zhang（2004）[55]，Gobet et al.（2004）[27]an d Bender&Denk（2007）[3]等，用于连续的模拟*即将出版的《随机学》。本研究中表达的所有内容仅为作者的内容，不代表任何机构的任何观点或意见。作者对使用本研究中的任何内容造成的任何损失和/或损害不承担任何责任。+东京大学经济研究生院定量金融课程东京大学经济研究生院定量金融课程。BSDEs和Bouchard&Elie（2008）[6]对于带跳跃的BS DEs，由于其计算负担，它尚未成为从业者的标准工具。特别是，我们只能使用泊松过程而不是现有文献中的随机测度来找到简单的一维例子。例如，见Elie（2006）[16]和Lejayet。al.（2014）[34]。另见[8]和Cr\'epey&Song（2015）[10]中关于现有计算方案中应用于实际问题的讨论。此外，在某些应用中，如均值-方差套期保值和多重相依违约，一个BSDE的解出现在另一个BSDE的驱动中。

在这种情况下，推导第一个BSDE的解析近似值似乎是在合理的计算时间内获得数值结果的唯一可能性。作为解决这些问题的一种可能方法，目前的工作为带跳跃的BSDE提供了一种简单的半解析近似方法，用标准蒙特卡罗方法评估这种方法尤其困难且耗时。我们发展了一种解耦合的前向-后向随机微分方程（FBSDE）的渐近展开方法，它除了标准布朗运动外，还具有Lipschitz驱动和泊松随机测度。我们提出了一个关于forwardSDE的小方差极限的表达式。它从求解对应于BSDE的非线性ODE开始，其中每个正向分量都被确定性平均过程所取代。每一个高阶近似都会产生一个线性FBSDE，它可以通过线性常微分方程组半解析地求解。更准确地说，包含鞅分量的BSDE的近似解由前向过程随机流中的多项式显式给出，其系数可由线性O-DE计算。为了证明近似方法及其误差估计的正确性，我们使用Kruse&Popier（2015）[33]的结果来证明先验估计和带跳BSDE的唯一Lp解的存在性，Delong&Imkeller（2010）[13]和Delong[12]的结果来证明基于Malliavin导数的表示定理，以及Pardoux&Peng（1992）[43]和Ma&Zhang（2002）[39]关于控制BSDE的鞅被积函数的上范数的思想。对于具有有界强度的有限跳跃测量，该方法也可以应用于具有状态依赖性的系统，因此也可以应用于与任何实际应用非常相关的非泊松跳跃。

当forwardSDE属于（时间非齐次）指数L’evy类型时，可获得高达任意高阶项的近似的闭合形式表达式。目前的工作还证明了Fujii（2015）[20]提出的多项式展开法适用于某类模型，该方法提供了两个有趣的数值例子。本文的组织结构如下：第2节给出了一些预备知识，第3节给出了感兴趣的FBSDE的建立和基于Malliavin竞争的表示定理，第4节给出了渐近展开及其误差估计，最后第5节给出了该方案的具体实现。附录A和B总结了相关的先验估计，附录C提供了FBSDE的平滑近似理论，该理论对正文中使用的假设进行了调整。备注1.1。对于远期SDE，围绕小方差极限的渐近展开方法已应用于各种金融问题。不变性的数值例子表明，前几个扩张项足以实现期权定价的精确近似，其典型波动率从10%到[10]，作者成功地将[22,23]中提出的渐近展开法应用于120个基础名称的附带债务，以评估信用/融资估值调整。具体例子见Mania&Tevzadze（2003）[40]，Pham（2010）[46]和Fujii（2015）[21]。20%，最长期限为几年。有关详细信息和全面的文献列表，请参见高桥（2015）[50]版本。备注1.2。目前的工作可以通过两种方式扩展。

首先，基于Fujii&Takahashi（2017）[25]的结果，对于具有二次指数增长驱动和有界终端条件的BSDE，类似的渐近展开可能是正确的。这将通过用H-BMO系数代替当地Lipschitz BSDE的估计值来实现。也可以开发类似于Fujii（2014）[19]和Takahashi&Yamada（2015）[52]中的子步进方案，该方案可以处理更高的波动性和更长的到期日。参见Fujii&Takahashi（2016）[24]在二次增长驱动的扩散设置中的初步尝试。2初步研究2。1一般设置t>0是一个宽泛的时间范围。空间(OhmW、 FW，PW）是具有维纳测度的l维布朗运动的常用正则空间。(Ohmu，Fu，Pu）表示正则空间的乘积Ohmu:= Ohmu×···×Ohmku，Fu：=Fu×·Fku和Pu×·Pku，带有一些整数k≥ 1，在每个uiis上，使用补偿器νi（dz）dt进行泊松测量。这里，νi（dz）是R:=R\\{0}满足rr|z|νi（dz）<∞.在本文中，我们研究了过滤概率空间(Ohm, F、 F，P），空间在哪里(Ohm, F、 P）是正则空间的乘积(OhmW×Ohmμ，FW×Fu，PW×Pu），并且过滤F:=（Ft）t∈[0，T]是P的标准过滤，并且满足通常条件。在这种结构中，（W，u，··，uk）是独立的，并且众所周知，可预测的表示属性是成立的。我们使用向量表示法u（ω，dt，dz）：=（u（ω，dt，dz），···，uk（ω，dt，dzk））。补偿泊松测度由eu表示：=u- ν. 我们代表了Ohm ×[0，T]由P.2.2注释让Cp表示一个通用常数，它可能会根据P，T和Lipschitz常数以及相关函数的边界逐行变化。

对于任意整数r≥ 1，让我们为Rr值函数x[0，T]引入一个sup范数→ Rras | | x | |[a，b]：=sup{xt |，t∈ [a，b]}并写出| | x | | t:=| | x | |[0，t]。让我们介绍一下p的随机过程的下列空间≥ 2.oSpr[s，t]是一组Rr值的ad ap c`adl`ag过程X，使得| | X | | Spr[s，t]：=Eh | | X（ω）| p[s，t]i1/p<∞ .o Hpr[s，t]是一组渐进可测的Rr值过程，其| | Z | | Hpr[s，t]：=EZts|Zu|dup/21/p<∞.例如，参见[30]中的第十三章。如果一个人假设了可预测的表征属性，那么这个结构就无关紧要了Hpr，ν[s，t]是函数ψ={（ψ）i，j，1的集合≤ 我≤ r、 一,≤ J≤ k} ，（ψ）i，j：Ohm×[0，T]×R→R是P×B（R）-可测且满足| |ψ| | Hpr，ν[s，t]：=E“kXi=1ZtsZR |ψ·，iu（z）|νi（dz）dup/2#1/p<∞.为了简单起见，我们使用旋转（E，E）：=（Rk，B（R）k）并表示上述映射{（ψ）i，j，1≤ 我≤ r、 一,≤ J≤ k} 通过ψ：Ohm ×[0，T]×E→ Rr×kand-sayψ是P×E-可测的，不涉及每个分量。为了简单起见，我们还使用了ztszeψu（z）eu（du，dz）：=kXi=1ZtsZRψiu（z）eui（du，dz）的表示法。对于带u和ν的积分也使用类似的简化。当我们使用E和E时，人们应该总是用这种方式来解释它，这样带K维泊松测度的积分才有意义。

另一方面，当我们使用范围rw和积分器（eu，u，ν）时，例如，ZRψu（z）ν（dz）：=ZRψiu（z）νi（dz）1.≤我≤kwe将其视为k维向量Kp[s，t]是空间Sp[s，t]×Hp[s，t]×Hpν[s，t]中函数（Y，Z，ψ）的集合，其形式由| |（Y，Z，ψ）| Kp[s，t]定义：=||Y | | pSp[s，t]+| | Z | | pHp[s，t]+| |ψ| | pHpν[s，t]1/p.oL（E，E，ν：Rr）是满足| | U | | L（E）的Rr×k值E-可测函数U的集合：=ZE | U（z）|ν（dz）1/2:=kXi=1ZR | U·，i（z）|νi（dz）1/2< ∞ .当它们在上下文中很明显时，我们经常忽略其维度r和时间间隔[s，t]的下标。我们使用偏导数的表示法:=, x:=(x、 ·····························，xd）：=x、 ·····························，除息的x:=x、 x:=xixji、 j={1，·，d}，对于没有详细索引的每一个更高阶的主动式，也是如此。为了符号的简单性，我们通过本文抑制了指数的显著求和。3向前和向后SDEs3。1设置和一些标准结果我们在过滤概率空间中工作(Ohm, F、 F，P）在最后一节中定义。让我们引入（Xt，x，s，s）的d维正向SDE∈ [t，t]），初始数据（t，x）∈ [0，T]×Rd和一个小扰动参数∈ [0,1]，以及由Xt，x，驱动的m维马尔可夫BSDE:Xt，x，s=x+Zstb（r，Xt，x，r，）dr+Zstσ（r，Xt，x，r，）dWr+ZstZEγ（r，Xt，x，r）驱动的m维马尔可夫BSDE-, z、 eu（dr，dz）（3.1）Yt，x，s=ξ（Xt，x，T）+ZTsfr、 Xt，x，r，Yt，x，r，Zt，x，r，ZRρ（z）ψt，x，r（z）ν（dz）博士-ZTsZt，x，rdWr-ZTsZEψt，x，r（z）eu（dr，dz），（3.2）表示s∈ [t，t]。这里，b:[0，T]×Rd×R→ Rd，σ：[0，T]×Rd×R→ Rd×landγ：[0，T]×Rd×E×R→ 远期SDE的Rd×k和ξ：Rd→ Rm，f:[0，T]×Rd×Rm×Rm×l×Rm×k→ Rmandρ：E→ BSDE的RK是可测量的函数。我们将在第5.1节中更明确地规定（b，σ，γ）在中的依赖关系，其中我们将对其进行调整，使Xt，x，在的极限内成为确定性过程→ 0

本文的主要目的是获得解（Xt，x，，Yt，x，，Zt，x，，ψt，x，）在=0附近的泰勒展开式以及相关的误差估计。让我们用nmax来确定最高扩展的顺序(∈ N） 在报纸的提醒下。为了简单起见，让我们定义一下：=nmax+2。我们也来介绍函数η：R→ R乘以η（z）：=1∧ |z |。现在，我们做以下假设。假设3.1。函数b（t，x，）、σ（t，x，）和γ（t，x，z，）在其所有参数中都是连续的，并且在（x，）中可以用连续导数进行时间微分。此外，存在一些正常数K，使得（i）对于每0≤ M≤ 奈|mb（t，0，）|+|mσ（t，0，）|≤ K在（t，）中均匀分布∈[0，T]×[0，1]，（ii）每1≤ N≤ 奈，0≤ M≤ 奈|nxmb（t，x，）|+|nxmσ（t，x，）|≤ K uniformlyin（t，x，）∈ [0，T]×Rd×[0，1]，（iii）每0≤ M≤ 第1栏≤ 我≤ k|mγ·，i（t，0，z，z）|/η（z）≤ K uniformlyin（t，z，）∈ [0，T]×R×[0，1]，（iv）每1≤ N≤ 奈，0≤ M≤ 第1栏≤ 我≤ k|nxmγ·，i（t，x，z，）|/η（z）≤K在（t，x，z，）中均匀分布∈ [0，T]×Rd×R×[0，1]。假设3.2。存在一些正常数K，q，使得（i）ξ（x）在具有连续导数的x中是时间可微的。此外，它还具有atmost多项式增长|nxξ（x）|≤ K（1+| x | q）x∈ 每0≤ N≤ nae，（ii）|ρi（z）|≤ Kη（z）每1≤ 我≤ k和z∈ R、 （iii）f（t，x，y，z，u）在所有参数中都是连续的，并且在（x，y，z，u）中时间可微。附加因子+2（而不是+1）基本上是因为需要限制控制变量（z，ψ）的近似误差。连续导数。

此外，仅在x上的每一个偏导数最多有多项式增长|nxf（t，x，y，z，u）|≤ K（1+| x | q），1≤ N≤ Nae和所有其他偏导数都以K为界，一致地在（t，x，y，z，u）中∈ [0，T]×Rd×Rm×Rm×l×Rm，（iv）| f（T，x，0，0，0）|≤ K（1+| x | q）每x∈ RDT中的一致性∈ [0，T]。我们定义(xXt，x，s，s∈ [t，t]）作为SDE（如果存在）的解决方案，通过形式推导得出：xXt，x，s=Zstxb（r，Xt，x，r，）xXt，x，rdr+Zstxσ（r，Xt，x，r，）xXt，x，rdWr+ZstZExγ（r，Xt，x，r，z，）xXt，x，reu（dr，dz），（3.3）同样适用于(Xt，x，s，s∈ [t，t]）和每一个高阶流(nxmXt，x，s，s∈ [t，t]）m，n≥0.提案3.1。在假设3.1下，SDE（3.1）有一个唯一的解Xt，x，∈Spd[t，t]P≥ 2.此外，对于0≤ n、 m≤ nae，eve-ry（n，m）-Xt，x，in（x，）的时间经典差异定义如下：nxmXt，x，∈ Spdn+1[t，t]P≥ 2，这是对应SDE的唯一解决方案，通过对系数的正式区分定义为（3.3）。证据唯一解Xt，x，的存在性∈ Spd[t，t]P≥ 2是标准的，可以用引理A.3证明。由于每个SDE都是线性的，所以递归地证明相同的结论适用于每个SDE并不困难nxmXt，x，。根据马和张（2002）[39]定理3.1中的论点，可以证明与经典微分的一致性。尤其是林肯→0E||Xh- xXt，x，|[t，t]=0其中Xhs:=Xt，x+h，s- Xt，x，sh（s im-plicity的d=1）和（x，）中每个高阶导数的相似关系。提议3.2。在假设3.1和3.2下，BSD E（3.2）有一个唯一解（Yt，x，，Zt，x，，ψt，x，），它属于Spm[t，t]×Hpm×l[t，t]×Hpm，ν[t，t]P≥ 2.此外，它还满足| |^Θt，x，| | Kp[t，t]≤ 每p的Cp（1+| x | q）（3.4）≥ 2.证据。引理B.2给出了唯一解的存在性。