带跳跃的正倒向随机微分方程的渐近展开

特别是，这从引理4.3中暗示，对于某些正常数Cp，p（N+1）Cp≥ EQ“sups∈[t，t]Θt，x，s-Θ[0]s+NXn=1nΘ[n]sp#=E“MTsups∈[t，t]Θt，x，s-Θ[0]s+NXn=1nΘ[n]sp#≥ 经验-k（c）- c） （T）- （t）E“sups∈[t，t]Θt，x，s-Θ[0]s+NXn=1nΘ[n]sp#。这证明了这一说法。5渐近展开式的实现5。1评估方案在本节中，我们将解释如何计算Θ[n]，n∈ {0，1，·，nmax}（半解析）。正如我们将要看到的，如果我们以一种特殊的方式将ce引入正向SDE（3.1），那么渐近展开引入的分级结构会产生一个非常简单的方案，只需要求解线性常微分方程组，在零阶只有一个例外。同样值得注意的是，我们不仅可以直接逼近（Yt，x，Zt，x），还可以直接逼近L（E；ν）值过程ψt，x（·）。这对于基于标准回归的模拟方案来说几乎是不可行的。让我们把初始时间设为t=0，并取（m=d=l=1）以简化符号。高维设置的扩展非常简单，只需对每个变量进行适当的索引。让我们用对X进行如下参数化，这显然会导致较小的方差扩展；Xs=X+Zsb（r，Xr，）dr+Zsσ（r，Xr）dWr+ZsZRγ（r，Xr）-, z） eu（dr，dz），其中我们省略了初始数据（0，x）的上标。我们可以看到，当X→ 0.与标准应用[50]类似，这种参数化对于获得半解析近似值至关重要。我们将假设3.1和3.2（或用ρ=η=1和假设4.1代替）作为本节的标准假设。引理5.1。零阶解Θ[0]s，s∈ [0，T]由x[0]s=x+Zsb（r，x[0]r，0）干[0]s=ξ（x[0]T）+ZTsf（r，x[0]r，Y[0]r，0，0）dr（5.1）Z[0]=ψ[0]（·）≡ 0 .它是连续的、确定性的和有界的。证据

由于b，f分别相对于x，y的Lip-schitz连续性，这个定理可以用常微分方程的标准结果来证明。让我们介绍一些符号。我们指的是s∈ [0，T]，b[0]（s）：=b（s，X[0]s，0），σ[0]（s）：=σ（s，X[0]s，γ[0]（s，z）：=γ（s，X[0]s，z）ξ[0]：=ξ（X[0]T），f[0]（s）：=f（s，X[0]s，Y[0]s，0，0），Γ[0]（s）：=ZRρ（z）γ[0]（s，z）ν（dz）。至于导数，我们表示，例如xb[0]（s）：=xb（s，x，0）x=x[0]s，b[0]（s）=b（s，X[0]s，）=0xΓ[0]（s）：=ZRρ（z）xγ（s，x，z）x=x[0]sν（dz）和其他明显的术语。对于展开式的第一阶，我们必须解x[1]s=Zsb[0]（r+xb[0]（r）X[1]rdr+Zsσ[0]（r）dWr+ZsZRγ[0]（r，z）eu（dr，dz），（5.2）Y[1]s=xξ[0]x[1]T+ZTsΘf[0]（r）Θ[1]rdr-ZTsZ[1]rdWr-ZTsZRψ[1]r（z）eu（dr，dz）。（5.3）引理5.2。对于（5.2）和（5.3）存在唯一的解Θ[1]，它属于toSp[0，T]4.P≥ 2.^Θ[1]由给出，表示s∈ [0，T]和z∈ R、 Y[1]s=Y[1]（s）X[1]s+Y[1]（s）Z[1]s=Y[1]（s）σ[0]（s）（5.4）ψ[1]s（Z）=Y[1]（s）γ[0]（s，Z）。在这里y[1]（s），y[1]（s），s∈ [0，T]以下是线性常微分方程的解：-dy[1]（s）ds=xb[0]（s）+yf[0]（s）y[1]（s）+xf[0]（s），-dy[1]（s）ds=yf[0]（s）y[1]（s）+b[0]（s+zf[0]（s）σ[0]（s）+uf[0]（s）Γ[0]（s）y[1]（s）（5.5），终端条件y[1]（T）=xξ[0]和y[1]（T）=0。证据从引理A.3和d B.2中可以明显看出Θ[1]的唯一解的存在性。由于常微分方程与有界系数以及终端条件是线性的，所以它们可能有边界解（y[1]，y[1]）。Y[1]的形式自然是由BSDE的线性结构和的阶所期望的。它会自动将z[1]和ψ[1]的形式固定下来。通过将It^o公式应用于（5.4）中的假设Y[1]，并使用（5.5），可以直接确定（5.4）给出了BSDE（5.3）的解决方案。这也证明了Θ[1]∈ Sp[0，T]4.P≥ 2.

由于BSDE的解决方案是唯一的，我们已经完成了。在的秒级中，我们需要解x[2]s=Zsxb[0]（r）X[2]r+xb[0]（r）（X[1]r）+十、b[0]（r）X[1]r+b[0]（r）dr+Zsxσ[0]（r）x[1]rdWr+ZRxγ[0]（r，z）x[1]reu（dr，dz）（5.6）andY[2]s=xξ[0]x[2]T+xξ[0]（x[1]T）+ZTsΘf[0]（r）Θ[2]r+Θf[0]（r）Θ[1]rΘ[1]r博士-ZTsZ[2]rdWr-Ztsψ[2]r（z）eu（dr，dz）。（5.7）你可以看到，X[2]的动力学在X[2]中是线性的，并且包含{（X[1]）j，j≤ 2}. ^Θ[2]的BSDE本身是线性的，d包含{（Θ[1]）j，j≤ 2}. 因为我们在X[1]中看到了^Θ[1]是线性的，所以驱动程序包含{（X[1]）j，j≤ 2}. 假设^Θ[2]在X[2]中是线性的，在X[1]中是二次的。然后，我们可以检查Y[2]和hen ce的驱动程序的情况是否与初始假设一致。事实上，虽然它变得有点乏味，但我们可以通过直接将其^o公式的结果与BSDE的驱动程序进行比较，以与Lemm a 5.2完全相同的方式证明下一个引理。引理5.3。

对于（5.6）和（5.7）存在唯一的解Θ[2]，它属于toSp[0，T]4.P≥ 2、^Θ[2]由，s给出∈ [0，T]和z∈ R、 Y[2]s=Y[2]（s）X[2]s+Y[2]1,1（s）（X[1]s）+Y[2]（s）X[1]s+Y[2]（s）Z[2]s=X[1]s-y[2]（s）xσ[0]（s）+2y[2]1,1σ[0]（s）+ y[2]（s）σ[0]（s）ψ[2]s（z）=X[1]s-y[2]（s）xγ[0]（s，z）+2y[2]1,1（s）γ[0]（s，z）+ y[2]1,1（s）（γ[0]（s，z））+y[2]（s）γ[0]（s，z）。在这里y[2]（s），y[2]1,1（s），y[2]（s），y[2]（s），s∈ [0，T]以下问题的解决方案如下：-dy[2]（s）ds=xb[0]（s）+yf[0]（s）y[2]（s）+xf[0]（s）-dy[2]1,1（s）ds=2.xb[0]（s）+yf[0]（s）y[2]1,1（s）+xf[0]（s）+xb[0]（s）y[2]（s）+十、yf[0]（s）y[1]（s）+yf[0]（s）（y[1]（s））-dy[2]（s）ds=xb[0]（s）+yf[0]（s）y[2]（s）+十、b[0]（s）y[2]（s）+2b[0]（s）y[2]1,1（s）+zf[0]（s）y[2]（s）xσ[0]（s）+2y[2]1,1（s）σ[0]（s）+uf[0]（s）y[2]（s）xΓ[0]（s）+2y[2]1,1（s）Γ[0]（s）+yf[0]（s）y[1]（s）y[1]（s）+十、yf[0]（s）y[1]（s）+y[1]（s）十、zf[0]（s）σ[0]（s）+十、uf[0]（s）Γ[0]（s）+（y[1]（s））Yzf[0]（s）σ[0]（s）+Yuf[0]（s）Γ[0]（s）-dy[2]（s）ds=yf[0]（s）y[2]（s）+y[2]1,1（s）（σ[0]（s））+ZR（γ[0]（s，z））ν（dz）+b[0]（s）y[2]（s+b[0]（s）y[2]（s）+y[2]（s）zf[0]（s）σ[0]（s）+uf[0]（s）Γ[0]（s）+y[2]1,1（s）uf[0]（s）ZRρ（z）（γ[0]（s，z））ν（dz）+yf[0]（s）（y[1]（s））+（y[1]（s））zf[0]（s）（σ[0]（s））+uf[0]（s）（Γ[0]（s））+Zuf[0]（s）σ[0]（s）Γ[0]（s）+（y[1]（s）y[1]（s））Yzf[0]（s）σ[0]（s）+Yuf[0]（s）Γ[0]（s）终端条件y[2]（T）=xξ[0]，y[2]1,1（T）=xξ[0]，y[2]（T）=y[2]（T）=0。可以按任意顺序重复上述步骤≤ nmax。这可以通过以下方式进行检查。

通过简单修改（4.2）givesY[n]s=Gn+ZTsnFn，r+Θf[0]（r）Θ[n]罗德尔-ZTsZ[n]rdWr-ZTsZRψ[n]r（z）eu（dr，dz），其中gn:=nXk=1Xβ+·β+βk=n，βi≥1k！kxξ（X[0]T）kYj=1X[βj]T，Fn，r:=nXk=2Xβ+·βk=n，βi≥1kXix=0k-ixXiy=0k-九-iyXiz=0ixx艾伊惯性矩K-九-艾伊-izuf[0]（r）ix！哎呀！伊兹！（k）- 九- 艾伊- 伊兹）！×ixYjx=1X[βjx]rix+iyYjy=ix+1Y[βjy]rix+iy+izYjz=ix+iy+1Z[βjz]rkYju=ix+iy+iz+1ZRρ（z）ψ[βju]r（z）ν（dz）。从Gn、Fn、r的形状可以确定多项式给出的^Θ[n]riskYj=1X[βj]r；β+··+βk=m（βi≥ 1） ，k≤ m、 m≤ N通过归纳法。由于Θ[n]在正向和反向SDE中仅线性出现，因此相关的ODE总是线性的。5.2一个多项式模式我们刚刚发现{X[n]}n的分级结构≥0和{n]}n≥0起到了重要作用。特别是，即使{^Θ[n]}n≥0有梯度结构，除非{X[n]}n，否则不能得到线性O-DEs系统≥0共享相同的功能。假设Xt、xis的动力学本身是线性的。然后，无需展开前向SDE，thusone可以通过Xt，x的多项式得到^Θt，x，的展开式。如果是这种情况，则每个顺序所需的相关系数的ODE将大大简化。让我们考虑以下s的前向后向SDE∈ [t，t]：Xt，xs=x+Zstb（r）+b（r）Xt，xrdr+Zstσ（r）+σ（r）Xt，xrdWr+ZTSZγ（r，z）+γ（r，z）Xt，xr-eu（dr，dz）（5.8）Yt，x，s=ξ（Xt，Xt）+ZTsfr、 Xt，xr，Yt，x，r，Zt，x，r，ZRρ（z）ψt，x，r（z）ν（dz）博士-ZTsZt，x，rdWr-ZTsZEψt，x，r（z）eu（dr，dz）。（5.9）其中b:[0，T]→ Rd，b:[0，T]→ Rd×d，σ：[0，T]→ Rd×l，σ：[0，T]→ Rd×d×l，γ：[0，T]×E→ Rd×k，γ：[0，T]×E→ Rd×d×kare可测量函数和ξ，f与之前一样定义。假设5.1。函数{bi（t），σi（t），γi（t，z）}，i∈ {0，1}是连续的。

此外，存在一些正常数K，使得|bi（t）|+|σi（t）|+|γi（t，z）|/η（z）≤ K因为我∈ （t，z）中的{0，1}统一∈ [0，T]×E.在s轻微滥用符号的情况下，让我们使用ΘT，x，r：=Xt，xr，Yt，x，r，Zt，x，r，RRρ（z）ψt，x，r（z）ν（dz）在本节中。定理5.1。在假设3.2和5.1下，BSDE（5.9）的经典导数存在唯一解^Θt，x，n^Θt，x，∈ Kp[0，T]P≥ 每0存在一个2≤ N≤ naeand由以下BSD E的溶液给出：nYt，x，s=gn（Xt，Xt）n+ztsnn，r+nxf（r，Θt，x，r）（Xt，xr）n+^Θf（r，Θt，x，r）n^Θt，x，rodr-中兴通讯nZt，x，rdWr-中兴通讯nψt，x，r（z）eu（dr，dz），其中gn:=nxξ（Xt，Xt）和hn，r:=n！nXk=2k-1Xix=0k-ixXiy=0k-九-iyXiz=0Xβix+1+·βk=n-ix，βi≥1.ixx艾伊惯性矩K-九-艾伊-izuf（r，Θt，x，r）ix！哎呀！伊兹！（k）- 九- 艾伊- 伊兹）！（Xt，xr）ix×ix+iyYjy=ix+1βjy！βjyYt，x，rix+iy+izYjz=ix+iy+1βjz！βjzZt，x，rkYju=ix+iy+iz+1βju！ZRρ（z）βjuψt，x，r（z）ν（dz）。此外，每0≤ N≤ nmax+1，n^Θt，x，∈ Sp[t，t]3.P≥ 2.^Θt，x，关于满意度的渐近展开，具有一些正常数Cp^Θt，x，-^Θ[0]+NXn=1n^Θ[n]Sp[t，t]≤ N+1Cp。每1≤ N≤ nmax。证据我们可以遵循命题4.2和定理4.1中的相同论点，将（Xt，x，）替换为（Xt，x）。由于通过Xt，xin没有相关性，表达式Yt，x，s=u（s，Xt，xs，）和Zt，x，s=徐(x,Xt,xs)-, ）σ（s，Xt，xs）-, ），关于x的一次可微性及其多项式增长性质可以递归地证明：n^Θt，x，∈Sp[t，t]用于P≥ 2.备注5.1。上述结果也证明了Fujii（2015）[20]提出的方法适用于具有线性动力学的基础X。

s f或一般的类似过程X（如σ（X）=√x） 由于其非利普希茨性质，很难在当前技术中证明。不难看出这一点^Θ[n]s，s∈ [t，t]）由以下g BSDE的唯一解给出：Y[n]s=n！nxξ（0）（Xt，Xt）n+ZTsnehn，r+n！nxf[0]（r）（Xt，xr）n+^Θf[0]（r）^Θ[n]rodr-ZTsZ[n]rdWr-ZTsZEψ[n]r（z）eu（dr，dz）（5.10），其中n，r:=nXk=2k-1Xix=0k-ixXiy=0k-九-iyXiz=0Xβix+1+·βk=n-ix，βi≥1.ixx艾伊惯性矩K-九-艾伊-izuf[0]（r）ix！哎呀！伊兹！（k）- 九- 艾伊- 伊兹）！（Xt，xr）ix×ix+iyYjy=ix+1Y[βjy]rix+iy+izYjz=ix+iy+1Z[βjz]rkYju=ix+iy+iz+1ZRρ（z）ψ[βju]r（z）ν（dz）和f[0]（r）：=f（r，0，Y[0]r，0，0）。Sin ce（ix+Pjyβjy+Pjzβjz+Pjuβju）=n，可以递归地显示多项式n（Xt，xr）j，0≤ J≤ noand everycoe效率由第5.1节中的线性常微分方程组决定，我们将其作为一个简单的练习。指数L’evy情况在本节的提醒中，让我们来处理X的指数（时间不均匀）L’evy动力学的一个特殊例子。让我们把m=d=L=k=1和t=0作为隐式，并考虑b=σ=γ=0Xs=X+ZstXrb（r）dr+σ（r）dWr+ZtsZRXr-γ（r，z）eu（dr，dz）（5.11），其中b:=b，σ：=σ，γ：=γin（5.8）。我们省略了表示初始数据（0，x）的上标。让我们介绍一下j的符号：q（s，j）：=RR（γ（s，z））jν（dz）≥ 2，Γ（s，j）：=RRρ（z）（1+γ（s，z））j- 1] ν（dz）表示j≥ 1和Cn，j:=n/（j！（n）-j） ！）对于j≤ n、 n≥ 2.定理5.2。

在假设3.1、5.1、m=d=l=k=1和t=0的情况下，前向-后向SDE（5.11）和（5.9）的渐近展开式由以下公式给出：∈ [0，T]，Y[0]s=ξ（0）+ZTsf（r，0，Y[0]r，0，0）dr（5.12）Z[0]=ψ[0]=0，对于1≤ N≤ nmax，Y[n]s=（Xs）ny[n]（s）Z[n]s=（Xs）-)ny[n]（s）nσ（s）ψ[n]s（z）=（Xs）-)纽约[n]（南）（1+γ（s，z））n- 1.其中函数{y[j]（s），s∈ [0，T]}1≤J≤由以下线性常微分方程组递归确定：-dy[n]（s）ds=nb（s）+n（n）- 1） σ（s）+nXj=2Cn，jq（s；j）+yf[0]（s）+zf[0]（s）nσ（s）+uf[0]（s）Γ（s；n）y[n]（s）+n！nxf[0]（s）+nXk=2k-1Xix=0k-九-iyXiy=0Xβix+1+·βk=n-ix，βi≥1(ixx艾伊惯性矩K-九-艾伊-izuf[0]（s）ix！哎呀！伊兹！（k）- 九-艾伊- 伊兹）！×ix+iyYjy=ix+1y[βjy]（s）ix+iy+izYjz=ix+iy+1βjzσ（s）y[βjz]（s）×kYju=ix+iy+iz+1Γ（s；βju）y[βju]（s）具有终端条件y[n]（T）=nxξ（0）/n！对于这里的每一个n，f[0]（r）由f（r，0，Y[0]r，0，0）定义，Y[0]由（5.12）确定。证据如果假设解的形式为Y[n]s=（Xs）ny[n]（s），那么Z[n]和ψ[n]必须具有给定的形式。比较应用于Xny[n]的It^o公式的结果和被{^Θ[β]}β的假设形式取代的BSDE（5.10）的形式≤n、 一个是上面给出的颂歌系统。因为每个常微分方程都是线性的，所以每个y[n]都存在一个解，1≤ N≤ nmax。由于BSDE的解决方案是唯一的，因此这必须是预期的解决方案。值得注意的是，对于布朗设置，观察到与[22]中提出的线性化方案的差异是有趣的。在这里，BSDE围绕第一步中的线性驱动器展开。然后，在第二步中，通过正向SDE的小方差不对称表达式或Fujii&Takahashi（2015）[23]中提出的相互作用粒子模拟方法，对线性BSDE的结果集进行评估。

因此，为了使[22]的模式运行良好，它要求驱动器中的非线性项很小，尽管它在任何应用中都会自然而然地出现。此外，由于存在大量的条件期望，在大多数实际情况下，不调用粒子模拟技术来分析计算它们是不现实的。另一方面，在当前方案中，未直接执行驱动器的扩展，且在（5.1）中观察到的正向SDE平均动态周围的零点处考虑了非线性的重要部分。然后，在这个“平均”解周围，扰动地考虑向前SDE随机性的影响。因此，当驱动器中存在明显的非线性时，当前的方案将更有优势。此外，近似迭代FBSDE的特殊梯度结构使得它们可以通过ODE显式求解，而无需使用任何蒙特卡罗模拟。由于（Y，Z，ψ（·））的近似解被明确地表示为X的随机流中的多项式，因此在e上不仅可以通过简单地模拟X的流（或多项式情况下的X本身）获得当前值（Y，Z，ψ（·）），还可以获得其演化。Fujii（2015）[20]基于某类模型的这一特性，提供了一些数值示例和经验误差估计。一个有用的先验估计：forward SDEsLet us总结了具有j UMP的FSDE的有用先验估计。以下结果摘自Bichteler、Gravereaux和Jacod（1987）[4]的L emma 5-1，对于分析σ-有限随机测度至关重要。引理A.1。设η：R→ R由η（z）=1定义∧ |z |。

分离积分范围，应用BDG不等式和Lemm a.1，得到| |δX | | p[t，t]≤ CpE|十、- x | p+Ztt | eb（s，0）| dsp+Ztt | eσ（s，0）| dsp/2+Ztt | Ls | pds+（t）- t） | | X | | p[t，t]+ CpEZtt |δXs | pds+Ztt |δebs | dsp+Ztt |δeσs | dsp/2+Ztt |δLs | pds.使用前两个结果和Gronwall不等式，我们得到（A.5）。值得注意的是，当p=2时，通过简单地应用BDG不等式，可以用R·RE | eγi（s，0，z）|ν（dz）ds（R·RE |δeγ（s，z）|ν（dz）ds）替换R·Lis | ds（分别为R··|δLs | ds）。此外，当补偿器是有限的ν（E）<∞, 上述更换适用于任何情况P≥ 2多亏了引理B.3（见下文）。B有用的先验估计：BSDE考虑以下BSDE:Yt=eξ+ZTtef（s，Ys，Zs，ψs）ds-ZTtZsdWs-ZTtZEψs（z）eu（ds，dz），（B.1）式中ξ：Ohm → Rm，ef:Ohm ×[0，T]×Rm×Rm×l×l（E，E，ν；Rm）→ Rm。在本节中，为了清晰起见，我们使用h·、·i表示m维向量的Inner乘积。假设B.1。（i） eξ是FT可测的，映射（ω，t）为7→ef（ω，t，·）是F-渐进可测的。BSDE（B.1）存在一个解（Y，Z，ψ）。（ii）为λ ∈ （0,1），存在一个有界变差（Vλs，s）的F-渐进可测连续过程∈ [0，T]），Vλ=0和一个F-逐步可测的递增过程ss（Nλs，s∈ [0，T]），N=0，作为R+，hYs，ef（s，Ys，Zs，ψs）ids上的有符号测度≤ |Ys | dVλs+|Ys | dNλs+λ（|Zs |+|ψs | L（E））ds。（iv）存在一些p≥ 2.这样eVλYpT+RTeVλsdNλs圆周率∞ 对每个人都很满意λ ∈ (0, 1).引理。假设假设B.1成立。然后，有一些λ ∈ （0,1）满足以下不平等条件；E | | eVλY | | pT+EZTe2Vλs | Zs | dsp+EZTZEe2Vλs |ψs（z）|u（ds，dz）p+EZTZEe2Vλs |ψs（z）|ν（dz）dsP≤ Cp，λEepVλT|eξp+ZTeVλsdNλsP,式中，Cp，λ是一个仅依赖于p，λ的正常数。证据