被动投资的最优ETF选择

目标资产通过APT模型有条件地建模，下一小节将描述此过程。使用联合分布的组合表示：被动投资的最佳ETF选择9p（x，r）=p（r | x）p（x）。（3.3）我们为联合分配指定了以下模型：RX~ N（u，∑），（3.4），其中，∑具有块协方差结构：∑=βT∑xβ+ψ（∑xβ）T∑xβ∑x.（3.5）请注意，右上角的方块是APT模型隐含的Y的边际方差。右下方的方块就是我们必须另外建模的X的边际方差。我们通过使用矩阵变量随机搜索算法（如下所述）对APT模型参数进行采样，并从近似正态分布的Alant因子模型中对X的协方差进行采样，从而获得∑的后验样本。重申我们的程序是∑xis从独立潜在因子模型中取样，oβ从矩阵变量MCMC中取样，oψ从矩阵变量MCMC中取样。3.1.1. 边际分布模型：潜在因素模型。我们通过以下形式的最新因素模型对ETF进行建模：10 DAVID PUELZ、CARLOS M.CARVALHO和P.RICHARD HAHNXt=ux+Bft+VT~ N（0，ψ）英尺~ N（0，Ik），ux~ N（0，Φ）（3.6），其中ψ假设为对角线，k个潜在因子集是独立的。ETF的协方差受因子分解的约束，其形式为∑x=BBT+ψ。（3.7）为了估计该模型，我们使用Jared Murray（Murray，2015）的R包bfa。该软件允许我们通过simpleGibbs步骤（假设在ux.3.1.2上存在正常先验）对边际协方差和边际平均值进行采样。条件分布建模：矩阵变量随机搜索。我们通过开发一种新的变量选择算法，并通过贝叶斯条件化对样本参数建立条件分布R | X模型。

回想一下，条件模型的形式是2.3，我们的目标是探索模型空间上的后验概率P | Mγ| R。这是George和McCulloch（1993）的随机搜索变量选择的推广，因为我们的响应是向量值的，而不是单个随机变量。因此，观察到的目标资产数据R是amatrix。与George和McCulloch（1993）类似，我们的算法通过计算特定模型Mγ的Bayes因子来探索模型空间。假设响应R是矩阵而不是avector，我们将Bayes因子导出为向量响应Bayes因子的乘积。这是通过将目标资产的边际可能性分离为不同向量响应的产品来实现的。被动投资的最优ETF选择分别为每个目标资产的11个边际可能性。这种推导要求我们的优先权在目标资产中是独立的，如附录所示。我们的方法之所以新颖，正是因为我们将SSV调整为矩阵变量响应。请注意，我们不会对每个目标资产单独运行标准SSV。相反，我们推广了George and McCulloch（1993），并要求同时从所有目标资产的模型中包括或排除所有协变量。在我们的模型中，边际似然需要参数β和σ的先验值。我们使用众所周知的g-先验，这是线性模型的标准，因为它允许边际似然积分的解析解（Zellner，1986；Zellner和Siow，1984；Liang等人，2008a）。我们的Gibbs采样算法直接遵循标准的随机搜索变量选择。目标是扫描所有可能的协变量，并确定模型中应包含哪些协变量，这就是算法探索模型空间的方式。

在CMC的每个子步骤中，我们在特定模型中观察单个协变量，我们计算协变量包含的可能性，作为模型先验概率和贝叶斯因子的函数：pi=Ba0P、Mγa、Ba0P、Mγa、+Bb0P、Mγb。模型空间上的先验值PMγ，可以选择用于调整多样性或一致性——我们的结果对这两种规格都是稳健的。在该设置中，调整多重数量以使不同尺寸的模型具有相同的优先质量。相比之下，对于包含p个协变量的模型，统一的先验知识会使较大的模型具有更高的概率质量，达到最大值p。模型空间和参数的先验细节，包括g-先验超参数的经验贝叶斯选择，在附录中讨论。12 DAVID PUELZ、CARLOS M.CARVALHO和P.RICHARD Hahno使用该算法，我们根据目标资产矩阵访问最可能的ETF因子模型。在模型和先验规范下，模型参数βγ和σ的后验值有封闭形式的表达式。因此，我们可以很容易地对这些参数的任何函数进行采样，包括隐含相切投资组合收益率和夏普比率。这些指标在分析所选ETF投资组合时非常有用，将在实证结果部分进行讨论。3.2. 条件损失函数的推导。我们现在的目标是描述ETF和无法获得的资产之间的关系。

虽然我们模型的参数做得很精确，但我们只有这些参数的后验样本（不是简单的点估计），而且，这些参数可能“更大”“比我们希望的要多，因为它们涉及所有可能的ETF，而目标资产协方差结构的绝大多数可能是一个小得多的数字。为了找到一个简洁的总结，我们考虑了一个损失函数，其动机是给定X的R的条件分布。特别是，这种可能性的形式为：R | X~ N（γx，D）-1） ，（3.8）所以对数似然为：logdet（D）-“rTDr- 2xTγTDr+xTγTDγx。（3.9）将其作为损失函数，我们可能会要求一个“行动”γ来总结我们的分布；我们认为D是固定的。由于我们没有在统计能力中使用这种可能性，我们实际上希望我们的γ总结来描述未来的实现R和X。因为这些未来的实现自然无法使用，我们无法最大化（3.8）超过R和X。被动投资的最佳ETF选择13相反，我们首先考虑预期，收益率：tr[D∑r]-tr[γTDγ∑x]-uTxγTDγux+tr[γTDβ∑x]+uTxγTDur.（3.10）通过删除不涉及我们的选择变量γ的所有项，定义综合条件损失函数L（γ∑，ux，uy）=-tr[γTDγ∑x]-uTxγTDγux+tr[γTDβ∑x]+uTxγTDur.（3.11）当然，这个表达式中出现的参数也不确切，所以我们再次积分{∑x，β，ux，uy}:L（γ）=-trhDγ∑x+∑ux+uxuxT'γTi+trhDβ∑x+uxur+uruxT'γTi。（3.12）上划线用于表示模型参数的后均值。

定义H=∑x+∑ux+uxuxT，f=β∑x+∑uxur+uruxT，H=LLT，我们有：L（γ）=-tr-DγHγT- 2fγT∝ -tr-D（γ）- f H-1） H（γ）- f H-1） T¨=-tr（～γL）- Df L-1） T（～γL）- Df L-1)'= -vecγL- Df L-1’TvecγL- Df L-1'.（3.13）在3.13中，我们完成了关于γ的平方，忽略了不涉及这个作用的常数项。我们还将作用重新定义为γ=Dγ。最后，我们将跟踪转换为一个lnorm，并使用Kroeneker乘积（其中I是一个与D维数相同的单位矩阵）将向量化操作分布到表达式中：14 DAVID PUELZ、CARLOS M.CARVALHO和P.RICHARD HAHN（3.14）L（~γ）=-°°h[LT 一] vec（～γ）- vec（Df L-1） i°°+λ°°vec（~γ）°。我们包括一个参数为λ的lpenalty，它鼓励优化解决方案进行解析。Hahn和Carvalho的DSS论文强调了这一点，其中l正则化伴随着模型选择的不确定性积分。表达式4.1现在是标准稀疏回归损失函数的形式（Tibshirani，1996），带有协变量L，“数据”Df L-1和回归系数γ。因此，我们可以使用现有软件（如Efron等人（2004）的lars软件包）方便地优化（4.1）。惩罚参数的选择是一个必要的实际问题。在这一点上，我们还遵循了Hahn和Carvalho（2015）的实用贝叶斯方法，他们主张通过仔细检查反映λ诱导稀疏导致的预测恶化的图来选择λ。

关键的是，这样的图传达了所选性能指标的后验不确定性，允许按照以下方式表达直观标准：选择λ，这样，在后验概率大于95%的情况下，稀疏预测器的预测误差不超过非稀疏最优预测的10%。“在我们的应用中，我们将使用对数条件分布作为预测性能的衡量标准，这只是我们的效用函数，没有稀疏性惩罚。3.2.1.与lasso和原始DSS的区别。损失函数4.1不同于Hahn和Carvalho（2015）的原始DSS损失函数在两个重要方面。首先，它的推导依赖于以条件分布和边际分布的组合形式表示的统计模型，而不是具有正常i.i.d.误差的标准线性回归。其次，损失度量不是显式的平方误差。相反，我们的准确度概念是由给定ETF的目标资产条件分布的负对数可能性定义的。我们被动投资方法的最佳ETF选择不同于Yuan and Lin（2006）的lasso组（其中分组协变量沿lasso解路径同时进入模型），原因与Yuan and Lin（2006）相同。在附录中，Hahn和Carvalho（2015）讨论了图形套索（Friedman et al.，2008）损失函数中的协方差估计，被称为“DSS图形模型后验汇总优化问题”。目标是使用图形DSS损失函数找到协方差的简约后验汇总。我们的方法类似，但我们的损失函数只关注协方差的非对角块，量化目标资产和ETF之间的依赖性。

也就是说，我们不考虑联合分布，而是关注隐含的条件分布。与所有协方差分量都是惩罚选择变量的图形套索优化不同，我们的方法只允许在条件分布中的系数矩阵上进行优化，该分布表示ETF和目标资产之间的依赖关系。附录中的一个简单示例明确说明了这种差异。损失函数的一个重要特征是公式中出现的参数（如β∑x）的交叉乘积的后验均值。它们可以具有与单个参数截然不同的分布，因为它们通过模型自然地依赖于后验概率。有趣且值得注意的是，这些时刻量化了这些参数之间的关系，出现在我们的最终损失函数中。4.实证发现我们现在将我们的模型抽样和选择算法应用于1992年2月至2015年2月的ETF和金融异常数据。使用矩阵变量CMC中采样的参数，我们沿着16 DAVID PUELZ、CARLOS M.CARVALHO和P.RICHARD HAHNlasso优化的解路径计算条件损失函数的值，并在每个解上进行几个MCMC迭代。回想一下，以“套索形式”编写的损失函数是：（4.1）L（~γ）=-°°h[LT 一] vec（～γ）- vec（Df L-1） i°°+λ°°vec（~γ）°。图4.1显示了对不同的∧γ值（以及不同的稀疏度）和围绕这些评估的分位数的损失函数的评估。请注意，模型大小是指ETF和目标资产之间的连接数。

模型规模越大，与目标资产相连的ETF越多（ETF和目标资产之间的条件依赖矩阵的更多成分为非零），由对数似然得出的条件损失函数的值越大。“模型”中的每一点“线应被视为表示ETF和目标资产之间依赖关系的图形。损失函数值在稠密模型fit处稳定，即：当我们在吉布斯算法中采样的ETF和目标资产之间的所有可能边都包括在内时。稠密模型fit的第40到60个分位数带以灰色矩形显示。由于我们只需要将模型fit与密集模型fit进行比较，以进行图形选择。我们对ETF选择的启发是在解上选择最稀疏的模型，使其系数的后验平均值包含在稠密模型分位数带中。这种选择启发法是我们方法的关键，只有在模型的不确定性区间满足我们已知的条件下才能实现。因此，我们模型的贝叶斯拟合提供了这些分位数，通过这些分位数可以进行选择。通过改变分位数带的大小，模型可以变得更稀疏或更密集（ETF和目标资产之间的边缘连接更多或更少）。这是由“ETF选择器”做出的定性判断。然而，由于第一步（模型抽样）倾向于通过只探索相关模型来减少相关ETF的数量，我们发现给定的ETF图对改变密集的模型fit分位数相对稳健。被动投资的最佳ETF选择17模型大小●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●模型Fit密集模型Fit图4.1。通过条件损失函数测量的模型系数。

允许选择ETF。模型大小是指图形中的边数。图4.2显示了所选ETF及其与八种金融异常的联系。在套索优化中，我们取消了SPY和市场因素（Mkt.RF）之间的联系，因为投资者直觉上希望至少持有“市场”。由于取消了SPY，SPY出现在解决方案路径上的所有模型中。请注意，IWM连接到八个异常中的四个。鉴于IWM是一个小型混合ETF，它与SMB的连接（小-大，或大小）因素是直观的。它还与LTR（长期反转）、HML（高负低，或值）和RMW（稳健负弱，或稳定性）因素有关。与STR（短期反转）类似，LTR是一种交易策略，买入具有较低平均长期收益趋势的股票，卖出具有高于平均趋势的股票。直觉是，随着时间的推移，表现优异（表现不佳）的股票将纠正其高于（低于）平均水平的表现，并系统性地“反转趋势”。“STR和LTR捕捉了在不同长度修正期内从该策略中获得的溢价。IWM与LTR的关联表明，小型混合公司面临LTR的变化。此外，18 DAVID PUELZ、CARLOS M.CARVALHO和P.RICHARD HAHNits与HML和RMW的关联表明，IWM中的一些公司的交易可能低于其账面价值（即：“价值股”）以及这种可盈利性推动了回报率的变化。Mkt.rfsmbhmlrmwcmaltrmomspyiwmiwoiwvfigure 4.2.选定的ETF及其与无法实现的资产的边缘联系。IWO是一种由小型成长型公司组成的ETF。它与Mom（动量）、CMA（保守负进取）、LTR、RMW和HML因素有关。

动量因素投资于表现持续优于预期的股票。IWO与Mom的联系是直观的，因为成长型公司的扩张及其回报在整个市场周期中趋于持续。它与CMA的联系同样吸引人。CMA是一家投资于保守投资公司和出售积极投资公司的公司的公司。快速增长的小公司密切参与投资；无论是为了推动未来的增长而增加，还是为了保持高收入而加以抑制。因此，我必须将其与一个因素联系起来，该因素捕捉了专注于投资的公司的市场变化。被动投资的最佳ETF选择19我们选择的投资组合IWV中的最终ETF是大市值股票的混合。由于该ETF包含公司，且规模较大且相对成熟，它是“市场化”的很好替代品“ETF。尽管如此，它与跟踪S&P500的SPY一起被纳入我们的选择。因此，IWV和SPY是唯一与市场因素相关的ETF。此外，IWV与STR相关，这表明大型公司在短期内趋势逆转或纠正。与IWM与LTR因素的关系相比，这是有意义的。一般来说，大型公司与较小的公司相比，像苹果这样的公司更受媒体和公众的关注。因此，对大盘股票高于或低于平均水平表现的修正应该比小盘股票更快。4.1. 对特定分配进行基准测试。在实践中，个人投资者不仅想知道应该投资哪些基金，还想知道每个基金应该投资多少。投资组合优化及其大量文献超出了本文的范围。然而，在本节中，我们采用了一种贝叶斯、直观和简单的优化方法。