被动投资的最优ETF选择

我们通过最大化其夏普比率的后验均值来构建所选ETF投资组合。夏普比率是一种常见的财务指标，表征资产的风险调整后回报。夏普比率将资产收益的前两个时刻分开，即夏普比率越高，则每单位标准差（风险）的回报率越高。夏普比率承认投资者喜欢高回报而不喜欢风险（风险不利）这一广泛使用且合理的假设。诺贝尔奖获得者威廉·夏普（William Sharpe）在一篇论文中首次提到了这一点，他在论文中称之为“回报与可变性比率”（夏普，1966）。权重空间是在康塞科和梅切勒（2015）的Rpackage DEoptimR中使用差分进化优化来探索的。我们能够将权重限制在100%，并将其限制为正（无卖空）.这对普通投资者来说是一个合理的限制，我们可以轻松实施。最大后验平均夏普比率投资组合为96%的大盘ETF，向小盘ETF倾斜4%。20 DAVID PUELZ、CARLOS M.CARVALHO和P.RICHARD HAHNETFSPY IWM IWO IWWweight59。3%4.0%0.0%36.7%风格市场小混合小增长大混合4.1。1992年2月至2015年2月：通过最大化夏普比率的后验平均值构建选定ETF投资组合（SPY被迫通过套索惩罚纳入）。总之，该投资组合包括捕获八种金融异常的主要变化来源的ETF，并进行分配，以使其风险调整后的回报最大。预计市场和大盘ETF在我们的投资组合中将有大量配置是合理的。这些ETF交易的股票占美国总市值的很大一部分。

金融市场。向小盘股倾斜，不向增长分配，这表明我们可以进一步提高我们的利差率，增加对推动小负大（SMB）因素的变化的敞口。0.0 0.5 1.0 1.5 2.00.0 0 0.5 1.0 1.5 2.0夏普比率ETF投资组合SRFull ETF投资组合SRFull图4.3。1992年2月至2015年2月：不同投资组合的夏普比率样本基本上，这种正统的贝叶斯分配方法方便且有吸引力的原因是，最初将问题从所有资产减少到仅ETF，然后，通过我们的贡献，仅减少到ETF的一小部分。因此，人们自然会问，被动投资的可变最优ETF选择方法在多大程度上放弃了放弃ETF选择步骤的类似方法。我们在图4.3中看到了这种比较，它显示了所选ETF投资组合和完整ETF投资组合（所有25只ETF的最大后验平均夏普比率投资组合）的抽样夏普比率分布。我们发现，我们减少的投资组合的夏普比率分布略低于投资于所有ETF的投资组合的夏普比率分布（正如人们所预期的）。然而，这两种分布在很大程度上是重叠的，而且极度节俭的投资策略的价格非常低。0.0.5 1.00.0 0.5 1.0 1.5 2.0夏普比率ETF投资组合SRFull ETF投资组合SRFIGURE 4.4。1992年2月至2015年2月：不同投资组合的夏普比率样本。此外，如果一个人可以投资（多头和空头头寸）目标资产本身，我们考虑与模型隐含最优投资组合相对应的夏普比率的分布。这一基准在两方面是无法实现的。首先，我们的分析是基于左侧资产不能直接投资的想法进行的。

更重要的是，22 DAVID PUELZ、CARLOS M.CARVALHO和P.RICHARD Hahn获得的Sharpe比率来自一个最优模型，该模型允许在后验采样期间一次又一次地改变迭代。也就是说，我们关注的是最优投资组合绩效的分布，而不是预期中最优投资组合的绩效；我们关注的不是一个单一的投资组合，而是许多条件最优的投资组合。因此，虽然不可能实现错误的SR最优投资组合，但它确实为我们的比较提供了一个自然的尺度。在图4.4中，我们展示了相同的样本夏普比率，并去除了推断的分布。最后，我们考虑了市场ETF（SPY）与任何其他ETF同等对待的情况，因此可以从选择集中删除。由此产生的ETF图表如图4.5所示。该图与图4.2所示相同，只是间谍因受到惩罚而闹翻了。最大后验夏普比率投资组合只包含一个ETF，即IWV。这是一只追踪罗素3000指数的大盘ETF。在整合了未来收益和参数的过度不确定性后，Chosen ETF投资组合只是一个类似市场的ETF。这为“只管买市场”的民谣提供了严格的直觉。在考虑了所有未知因素后，这一结果表明，大型股票的广泛投资组合并不太糟糕。ETFIWVweight100%风格大型混合型4.2.1992年2月至2015年2月：通过最大化夏普比率的后验平均值来构建选定的ETF投资组合（通过套索惩罚，间谍不会被强制包括在内）。尽管这一结果证实了一个广泛的帮助立场，但也提出了一个问题，即为什么还有其他阵营支持另类投资建议。

在下一节中，我们将看到非平稳性可以解释其中的一些差异。被动投资23Mkt的最佳ETF选择。RFSMBHMLMWCMALTRSTRMOMIWOIWVF图4.5。选定的ETF及其与无法获得的资产的边缘连接。4.2. 滚动分析。到目前为止，我们的分析基于APT模型，假设收益过程是平稳的，这意味着收益的分布在时间上是稳定的。质疑这一假设是很自然的。为了调查收益率随时间变化的可能性，并研究这可能会如何影响我们的ETF选择方法，在本节中，我们将我们的方法分别应用于重叠的时间段。。我们在图4.2中展示了从1995年3月到2015年2月的10年重叠期。在不同的时间段有更多的ETF可用，我们允许算法考虑更大的集合。第一期有25只ETF，最后一期有46只ETF。每个ETF集合都是未来时段数据的子集。第一次（1995年3月至2005年2月），我们看到IWDand IVE中出现了价值，IJR中出现了小盘股。否则，通常的大库存混合出现在IWV中，而小库存混合出现在IWO和IWM中。请注意动量是如何与大盘ETF分离的。这表明基于动量的交易仅在24只DAVID PUELZ、CARLOS M.CARVALHO和P.RICHARD HAHNcouple ETF之间存在孤立的协变量。就在这个时期开始之前，杰加迪什和蒂特曼（1993年）发表了他们关于动量策略的著名论文，这些想法的形式化还在婴儿期。此外，请注意，小增长ETF IWO在这一时期与市场因素有关。从1995年3月到2005年2月，科技行业经历了一次又一次的繁荣和爆发，许多小型科技公司都以惊人的速度增长。

这个最终的泡沫导致了市场的巨大变化，我们通过IWO与市场因素的联系看到了这一点。被动投资的最佳ETF选择2500万吨。1995年3月至2005年2月。RFSMBHMLMWCMALTRSTRMOMIWMRSPIWOIWV（b）2000年3月至2010年2月。RFSMBHMLMWCMALTRSTRMOMVTIIWMRSPIWO（c）2005年3月至2015年2月最近的两个时间段相似。两者都有三个共同点（IWO、IWM、RSP），每个都有一个广阔的市场ETF（2000年3月至2010年2月的IWV和2005年3月至2015年2月的VTI）。这些因素与ETF之间的联系确实会在不同时期发生变化，这突出了一个合理的事实，即随着时间的推移，给定ETF内的协变量可能会由不同的26 DAVID PUELZ、CARLOS M.CARVALHO和P.RICHARD HAHNfactors驱动。具体而言，我们看到IWO失去了与市场因素的联系，而WM获得了与RMW和Mom的联系。如果HWETFs与市场的关联性更大，则表明HWETFs与市场的关联性也更大。标普500等权重ETF RSP在第二个时间段通过动量和长期反转因子进入。一个有趣的比较是2005年3月至2015年2月的投资组合（表4.3）和1992年2月至2015年2月这段较长时间内形成的投资组合（表4.2）。前者的结果是一个由大型股票组成的单一ETF投资组合。在后一种情况下，广义市场ETF和市场等权重ETF之间几乎存在分歧。后一种投资组合倾向于较小的股票，使RSP的权重相等，这是由于使用了较短和较新的数据。ETFVTI IWM IWO RSPweight43。7%0.0%0.0%56.3%风格广泛市场小混合小增长市场同等权重表4.3。

2005年3月至2015年2月：通过最大化夏普比率的后验均值4构建选定的ETF投资组合。3.进一步申请。4.3.1. 与财富阵线的比较。在较短的数据期间（2005年3月至2015年2月），我们能够将我们选择的投资组合与Wealthfront进行比较。com，一家ETF投资公司，目前管理着26亿美元的资产。在过去五年中，随着ETF变得越来越受欢迎，出现了许多其他类似于Wealthfront的公司和产品，包括：Betterment、Charles Schwab Intelligent Portfolions、WiseBanyan和LearnVest。每家公司都面向普通投资者。根据投资者回答的一系列问题确定的风险承受能力水平，每家公司将生成相应的ETF投资组合。图4.6显示了Wealthfront网站上的分配示例。注意每个投资组合中只存在ETF；这些是这一被动工具的投资组合。这些公司的增长是由外行投资者的愿望推动的，他们不仅希望为被动投资选择指数最优的ETF 27ETFVWO VEA VTI VIG 18。3%24.4%42.7%8.6%6%styleEM非美国市场股息能源表4.4。财富前沿投资组合。投资，但要以最佳方式投资。据我们所知，尽管这些公司在提供解决方案方面做了合理的第一步，但他们的产品在两个关键领域存在不足。（1） 他们对ETF的选择基于对费用比率、流动性、总体市场人气和预先确定的资产类别的定性分析。（2） 最优权重是通过传统的、可能不稳定的均值-方差优化计算得到的。在本文中，我们试图对步骤（1）进行改进。图4.6。资料来源：财富阵线。comWe在表4.4中显示了Wealthfront给出的纯股权投资组合的权重。

如图4所示。7.我们显示采样的夏普比率。这两个投资组合具有相似的上行潜力，但请注意，Wealthfront投资组合的左尾远远大于ETF投资组合。28大卫·普尔茨、卡洛斯·M·卡瓦略和P·理查德·哈恩-0.50.0.0 0.5 1.0 1.50.0 0.5 1.0 1.5夏普比率ETF投资组合SRWealthfront SRFIGURE 4.7。2005年3月至2015年2月：WealthFront投资组合和我们提议的ETF投资组合的夏普比率样本如表4.3.4.3.2所示。共同基金作为目标资产。最后，我们考虑将共同基金作为目标资产的情况。我们从CRSP Survivor BiasFree美国共同基金数据库中随机抽取100只共同基金，并在我们的算法中使用它们作为我们的响应矩阵，我们的数据来自较长的时间段，即1992年2月至2015年2月。图4.8显示了允许我们选择适当模型的解决方案路径，图4.9显示了所选图形。被动投资模型sizefit的最优ETF选择●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●模型Fit密集模型Fit图4.8。通过条件损失函数测量的模型系数。允许选择ETF。模型大小是指图形中的边数。所选图表显示了与所选ETF相关的共同基金，结果非常显著。选择的三只ETF的策略与Fama和French（1992年）的著名论文《Fama和French》（Fama and French）中的三个因素密切相关。这表明，共同基金回报之间的协变量主要包括市场、规模和价值因素的变化。然而，因果关系的方向尚不清楚。这三个因素要么代表金融市场的真实维度，要么共同基金经理认为这就是维度和交易本身。这个例子强调了我们算法更广泛的价值和适用性。

在今天的世界里，有成千上万的共同基金和ETF可以投资，投资者很快就会被银行研究、晨星评级和定性建议所淹没，而她应该关注的投资中的小部分。利用贝叶斯估计和正则化优化中的现代技术，并结合APT中的经济理论，我们的选择算法能够为普通投资者稀疏这一庞大的投资选项集。30 DAVID PUELZ、CARLOS M.CARVALHO和P.RICHARD HahnpeopxfdsxjiesxveipxValixWebxTwBixPeyaxKtraxMawDrexFdxEtxWpGdxSgRxSLCxfRbxFbxDvLxBaraxMopaxEpCxPrPfxRxFBIwMiwd图4.9。选定的ETF及其与共同基金集合的边缘连接。为清晰起见，未显示单身共同基金（无边缘）。被动投资的最佳ETF选择315。结论投资领域是复杂的。随着数十亿美元的基金经理、涵盖所有可想象资产类别的主动和被动共同基金以及多种金融产品和对冲工具的崛起，普通投资者寻找最佳投资场所面临着挑战。对于这个投资问题，一个常见的答案是：“抓住市场。”然而，这个简单的解决方案可能并不是那么容易实现。如何定义市场？这都是公共公平吗？如果是这样，就不可能持有所有这些资产。

标准普尔500指数（s&P 500）由在主要交易所交易的前500家最大公司组成，可能是美国股市的一个不错的代表，但它能捕捉到所有的市场变化吗？此外，有没有一种方法可以确定这种变异产生的哪些溢价是最重要的？对这些复杂问题的回答将使普通投资者受益匪浅。交易所交易基金（exchangetraded fund，ETF）是一种以较低费用广泛接触多种资产类别的投资。ETF是解决“只持有市场”困境的有效方法吗？可能随着ETF领域扩展到新的金融市场和资产类别，毫无疑问，普通投资者面临的市场变化比以往任何时候都多。事实上，ETF在投资决策中引入了一个次要但重要的问题：我应该投资哪些ETF，以及我应该在每个ETF上投资多少？投资问题变成了ETF的选择和投资组合的分配问题。在过去五年中，这种指数投资困境导致了两个著名企业的发展：改善和财富前沿。每家公司都面向普通投资者。根据投资者回答的一系列问题确定的风险承受能力水平，每家公司将生成相应的ETF投资组合。其他包括Charles Schwab Intelligent Portfolions、WiseBanyan和LearnVest。32 DAVID PUELZ、CARLOS M.CARVALHO和P.RICHARD HAHNIn在本文中，我们提出了一种方法来解决指数投资的这些不足。我们从投资者的角度，将ETF选择问题模拟为一个贝叶斯模型选择问题，我们选择的ETF最接近于所选目标资产集。

Welean在George and McCulloch（1993）和Ross（1976）的套利定价理论的随机搜索变量选择的理论基础上发展了我们的方法。然后，我们将统计分析与基于决策理论的实用变量选择方法结合起来，最终结果是，有少数ETF可用于构建投资组合。至关重要的是，我们的分析并不止于此。我们可能会继续利用我们的完全贝叶斯统计分析的洞见，以广泛使用的标准（如夏普比率）为基础，对各种投资组合配置（在选定的ETF中）进行基准测试。考虑资产配置时需要记住的一点是，不仅未来收益不确定，而且这些未来收益的分布也同样不确定。此外，虽然我们可能想要将我们的ETF投资组合与最优投资组合进行比较，但这种最优投资组合本身是未知的（除了不可行之外）。幸运的是，我们的贝叶斯分析允许我们比较任何候选投资组合与未知最优投资组合的性能，同时考虑所有这些不确定性来源。我们首先采取原则性的变量选择步骤，使这些比较易于管理。我们分析的结果是意料之中的，也是令人惊讶的。一方面，我们发现，在统计不确定性方面，我们选择的ETF投资组合只包含几个广谱的“市场风险”“ETF。也就是说，根据我们的数据，最明智的ETF投资组合大多暴露于市场。此外，算法选择的广泛市场指数不是SPY，而是IWV：一种由大盘股组成的ETF。我们还发现，我们选择的ETF投资组合与投资所有可用ETF的不合理选择具有类似的夏普比率优势。