分数阶过程的仿射表示及其应用

设fx和gxt在（x，t）中是实值的、确定性的、联合可测的∈ (0, ∞) × [0, ∞), 不同的，不同的T≥ 0:kftkL∞(u)< ∞ 和kgtkL∞(ν)< ∞.假设（Y，Z）∈ L（u）×L（ν），a.s.，以及每t≥ 0Z∞Zt|sfxs- xfxs |（1）∧ 十、-)dsu（dx）<∞,（2.9）Z∞sZt（fxs）dsu（dx）<∞,（2.10）Z∞Zt|sgxs- xgxs |（1）∧ 十、-)dsν（dx）<∞,（2.11）Z∞Zt | gxs |（1）∧ 十、-)dsν（dx）<∞.（2.12）然后（hYt，ftiu）t≥0and（hZt，gtiν）t≥0是分解为（2.13）hYt，ftiu=hY，fiu+ZtZ的半鞅∞(sfxs- xfxs）Yxsu（dx）ds+ZtZ∞fxsu（dx）dWs，hZt，gtiν=hZ，giν+ZtZ∞(sgxs- xgxs）Zxsν（dx）ds+ZtZ∞gxsYxsν（dx）ds。证据首先观察thathYt，ftiu=Yt- Yxe-xt，ftu+Yxe-xt，ftu，hZt，gtiν=Zt- Zxe-xt- Yxte-xt，gtν+Zxe-xt，gtν+Yxte-xt，gtν.自从海克斯-xt，ftiu，hZxe-xt，gtiν和hYxte-gtiν是我们假设的有限变化过程，不损失Y=Z=0的一般性。通过（Y，Z）的SDE（2.2）及其公式，过程（fxtYxt，gxtZxt）的半鞅分解由fxtYxt=Zt给出(sfxs- xfxs）Yxsds+ZtfxsdWs，gxtZxt=Zt(sgxs- xgxs）Zxsds+ZtgxsYxsds。因此，hYt，ftiu=Z∞Zt(sfxs- xfxs）Yxsdsu（dx）+Z∞ZtfxsdWsu（dx），hZt，gtiν=Z∞Zt(sgxs- xgxs）Zxsdsν（dx）+Z∞ztgxsyxsdν（dx）。根据定理6.1，我们得到了hYt，ftiu和hZt，gtiν的半鞅分解。通过引理6.13和方程（2.9）-（2.12），满足条件（6.1）和（6.2）。2.6. 平稳分布。我们证明了（Y，Z）的平稳分布一般不是L（u）×L（ν）上的高斯分布，而只是在更大的空间L（u）上∞)×L（ν）∞) 对应于度量上更强的可积性条件∞和ν∞.分数过程的仿射表示7假设2.14（可积条件）。u∞, ν∞sigma-有限度量是否在（0，∞) 以至于∞阿登普∞关于Tou∞安兹∞十、-1/2u∞（dx）<∞,Z∞十、-3/2ν∞（dx）<∞, 好的∈(0,∞)P∞（x） e-tx<∞.备注2.15。假设2.14比假设2.3更严格。

差异在于接近零的测量值的衰减：u，ν满足假设2.3当且仅当测量值为u∞（dx）=（1）∧ x1/2）u（dx），ν∞（dx）=（1）∧ x1/2）ν（dx）（2.14）满足假设2.14。在这种情况下，L（u）×L（ν） L（u）∞) ×L（ν）∞).定理2.16（平稳分布）。随机变量Y∞= （Yx）∞)x> 0和Z∞= （Zx）∞)x> 0definedbyx∞=Z-∞esxdWs，Zx∞= -Z-∞SexSDW（2.15）正态分布在L（u）上∞) ×L（ν）∞). 它们的分布在（Yt，Zt）等于（Y）的意义上是稳定的∞, Z∞) 如果（Y，Z）的分布与（Y）相等∞, Z∞).证据（Y）∞, Z∞) ∈ L（u）∞) ×L（ν）∞) 几乎可以肯定，因为基尼∞吉隆坡（u）∞)=Z∞EZ-∞esxdWsu∞（dx）=Z∞rπxu∞（dx）<∞,EkZ∞kL（ν）∞)=Z∞EZ-∞sesxdWsν∞（dx）=Z∞r2πxν∞（dx）<∞.对于每个u，v∈ L∞(u∞) ×L∞(ν∞), 随机变量hY∞, uiu∞+ 赫兹∞, viν∞可以用Fubini（定理6.1）表示为（2.16）hY∞, uiu∞+ 赫兹∞, viν∞=Z-∞Z∞esxu（x）u∞（dx）dWs+Z-∞Z∞sesxv（x）ν∞（dx）dWs。Fubini定理的条件（6.2）满足，因为∞sZ-∞e2sxu（x）dsu∞（dx）≤ 库克尔∞(u∞)Z∞r2xu∞（dx）<∞,Z∞sZ-∞se2sxv（x）dsν∞（dx）≤ kvkL∞(u∞)Z∞r4xν∞（dx）<∞.因此，hY∞, uiu∞+ 赫兹∞, viν∞是L（u）上的中心高斯随机变量∞) ×L（ν）∞). 表明（Y）的分布∞, Z∞) 是静止的，假设（Y，Z）=（Y∞, Z∞). 那么引理6.8意味着yxt=Zt-∞E-（t）-s） xdWs，Zxt=Zt-∞（t）- s） e-（t）-s） xdWs，其分布与Y相等∞还有Z∞, 分别地定理2.17（收敛到平稳分布）。对于任何初始条件（Y，Z）∈ L（u）∞) ×L（ν）∞) 还有什么t≥ 0，我们认为（Yt，Zt）是一个随机变量，其值在空间L（u）中∞) ×L（ν）∞),我们赋予它弱拓扑。然后（Yt，Zt）在分布上收敛到（Y）∞, Z∞) 作为t→ ∞.8.分数仿射过程的证明。让（u，v）∈ L∞(u∞) ×L∞(ν∞).

通过等式（2.16）及其等距计算中心高斯随机变量hY的方差∞, uiu∞+ 赫兹∞, viν∞伊西∞, uiu∞+ 赫兹∞, viν∞)i=Z-∞Z∞esxu（x）+sv（x）p∞（十）u∞（dx）ds。假设（Y，Z）=0。随着时间的推移∞和ν∞满足定理2.6 limt的条件→∞Ehyt，uiu∞+hZt，viν∞i=极限→∞eφ（t，u，v）+hY，φ（t，u，v）iu∞+hZ，φ（t，u，v）iν∞= 呃∞（R）∞E-sx（u（x）+sv（x）p∞（x） ）u∞（dx））ds=eVar（hY∞,uiu∞+赫兹∞,viν∞)= 嘿嘿∞,uiu∞+赫兹∞,viν∞i、 这表明（Yt，Zt）的特征函数向（Y）的特征函数的逐点收敛∞, Z∞). 通过引理6.14，随机变量（Yt，Zt）的定律≥0紧挨着空间L（u∞) ×L（ν）∞)具有弱拓扑。因此，（Yt，Zt）在分布上收敛于L（u）∞) ×L（ν）∞) 到（Y）∞, Z∞) （参见E.g.[11，定理9]）。考虑任意初始条件（Y，Z）∈ L（u）∞) ×L（ν）∞), 我们需要添加确定性函数Yxe-TX和Zxe-tx+Yxte-上述过程yx和zx（见引理6.8）。要塞→ ∞, 这些函数在相应的lspace中收敛到零。因此，收敛不分布于（Y）∞, Z∞) 无论初始条件如何，都保持不变。2.7. Ornstein–具有L值的Uhlenbeck过程。我们将（Y，Z）定义为L值过程，因为第3节中分数布朗运动的构造涉及（Y，Z）与恒常函数1的配对。然而，很高兴知道（Y，Z）也可以理解为一个L值过程。假设2.18（可积条件）。u和ν是（0，∞) 使得ν具有相对于u的密度p，并且对于每个t>0，Z∞(1 ∧ 十、-1） u（dx）<∞,Z∞(1 ∧ 十、-3） ν（dx）<∞, 好的∈(0,∞)E-txp（x）<∞.定理2.19（L中的OU过程）。设u，ν满足假设2.18，设（Y，Z）∈ L（u）×L（ν）。

然后过程（Yt，Zt）t≥0有一个可预测的L（u）×L（ν）值版本，并且是一个仅为L（u）×L（ν）的高斯过程。这个定理可以按照定理2.4和2.6来证明。在这里，我们提出了另一种证明，它使用希尔伯特空间值随机卷积理论。证据我们希望将方程（2.3）中的随机卷积分别构造为L（u）和L（ν）值过程。[10，第5.1.1–5.1.2节]的设置不直接适用，因为作为常数函数1的挥发性不属于L（u）。然而，我们可以根据我们的设置调整[10，定理5.2和命题3.6]的论点。每个t∈ [0, ∞) letBt:R→ L（u），u7→ （x 7→ E-txu）。然后是L（u）值卷积RTBT-SDW通过[10，定理5.2]存在，因为EzTkbskhs（R，L（u））ds=ZtkBs（1）kL（u）ds=ZtZ∞E-2sxu（dx）ds=Z∞1.- E-2tx2xu（dx）<∞通过等式（6.6）和假设2.18，其中HS表示希尔伯特-施密特算子。卷积与[10，定理5.2]的证明中的参数相同，是均方连续的。因此，这是可以预测的[10，命题3.6]。类似地，可以证明Z有一个可预测的L（ν）值版本。有效结构可按第2.3节推导。分数过程的仿射表示9假设2.20（可积条件）。u和ν是（0，∞) 使得ν相对于u有p。有∈ （0，1）使得对于每个t>0，Z∞(1 ∧ 十、-1+）u（dx）<∞,Z∞(1 ∧ 十、-3+）ν（dx）<∞, 好的∈(0,∞)E-txp（x）<∞.定理2.21（样本路径的连续性）。在假设2.20下，如果初始条件（Y，Z）位于该s步，则过程（Y，Z）在L（u）×L（ν）中具有连续的采样路径。证据设B为定理2.19的证明。

然后估计-kBskHS（R，L（u））ds=ZtZ∞s-e-2sxu（dx）ds≤Z∞-1Γ(1 - ) ∨t1-1 - 1.∧x-1.u（dx）<∞通过方程（6.9）对保持∈ （0，1）如假设2.20所示。因此，可以应用[10，定理5.11]，表明Y在L（u）中具有连续的采样路径。（虽然[10，第5.1.1–5.1.2节]的设置未涵盖随机卷积Y，但定理2.19的证明中的相同参数表明[10，定理5.11]成立。）类似地，可以证明等式（2.3）给出的过程Z在L（ν）中具有连续的采样路径。2.8. 空间维度的平滑度。在下面的定理中，我们证明了（Yxt，Zxt）在x中平滑变化。为此，我们将（Yxt，Zxt）的定义2.1扩展到x≤ 显然是0。空间Ck（R），k∈ N∪ {∞}, 是具有高达k阶紧致集的导数一致收敛拓扑的Fr’echet空间。定理2.22（空间维度的平滑度）。每k∈ N∪ {∞} 初始值（Y，Z）∈Ck（R）×Ck（R），过程（Y，Z）是具有连续采样路径的Ck（R）上的高斯过程。证据方程（2.3）中的确定性部分在t和x中是光滑的。我们通过假设（Y，Z）=0而不丧失普遍性，将它们设置为零。通过部分积分，方程（2.3）中的随机积分可以转化为勒贝格积分：Yxt=Wt-ZtWsxe-（t）-s） xds，Zxt=ZtWsE-（t）-s） x- （t）- s） xe-（t）-s） xds。被积函数被视为（s，t）的函数，与C中的值是连续的∞（R） 。这表明（Yt，Zt）t≥0在C中具有连续采样路径∞（R） 。

第k阶空间导数表示为随机积分，由givenby给出kxYxt=Zt（s）-t） 柯-（t）-s） xdWs，kxZxt=-Zt（s）- t） k+1e-（t）-s） xdWs。为了证明（Y，Z）是高斯过程，需要在Ck上用线性泛函进行检验([-K、 K]）代表K∈ N.根据Riesz表示定理，得到了Ck的对偶([-K、 K]）是Rk×M([-K、 K]），其中M代表具有总变异范数的有符号规则Borel测度的空间[11，IV.13.36]。YT的配对∈ Ck([-K、 K]），具有对偶空间Rk×m的元素（m，u）([-K、 K]）读取ashYt，（m，u）i=K-1Xj=0mjjx | x=0Yxt+ZK-KkxYxtu（dx）=k-1Xj=0mjZt（s- t） jdWs+ZK-KZt（s）- t） 柯-（t）-s） xdWsu（dx）。分数过程的仿射表示根据随机富比尼定理（定理6.1），最后一个表达式中的积分阶可以交换。满足定理6.1的假设，因为μ是一个有限测度，被积函数是有界的。这表明hYt，（m，u）i是高斯分布的。由于（m，u）是任意的，Ytis高斯分布在Ck上([-K、 K]），对于每个固定t。类似的论证表明，zt在同一空间上是高斯的。3.分数布朗运动作为马尔可夫过程的泛函本节的目标是获得分数布朗运动（fBM）在（Y，Z）中的马尔可夫表示。我们参考下面的备注3.6，以与之前的陈述进行比较。我们的出发点是Mandelbrot和Van Ness对fBM的定义[22]。定义3.1（fBM）。具有初始值的分数布朗运动∈ R和赫斯特指数H∈ （0,1）是为每个t定义的≥ 0 as（3.1）WHt=wH+Γ（H+）Z-∞（t）- s） H-- (-s） H-dWs+Γ（H+）Zt（t）- s） H-dWs，其中W=（Wt）t∈Ris——第2.1.3.1节中定义的双边布朗运动。L-空间上fBM的马尔可夫表示。定义3.2（马尔科夫代表）。

设（Y，Z）为定义2.1中的过程，初始值为yx=Z-∞esxdWs，Zx=-Z-∞sexsdWs。此外，设u，ν为（0，∞) 定义如下：对于H<1/2，u（dx）=dxx+HΓ（H+）Γ(- H） ，ν（dx）=dxxHΓ（+H）Γ(- H） 。对于H>1/2，u（dx）=dxhΓ（H+）Γ(- H） ，ν（dx）=dxxH-Γ（+H）Γ(- H） 。备注3.3。定义2.1中的u和ν的常数不是唯一的：如果H<1/2（或H>1/2，分别为），然后是ν（或u，分别）可乘以任何正常数，但不影响以下数据的有效性。备注3.4。上述定义中的度量u，ν满足假设2.3，但不满足假设2.14。根据定理2.11，（Y，Z）在L（u）中有连续路径∞)×L（ν）∞) 含（u）∞, ν∞) 如等式（2.14）所示，但不一定是L（u）×L（ν）。尽管如此-Y、 Z-Z） 在L（u）×L（ν）中有连续路径，如定理3.5的证明所示。定理3。5（马尔科夫代表）。根据定义3.1和3.2的规定，fBM具有WHT的代表性=wH+Z∞（Yxt）- Yx）u（dx），如果H<，wH+Z∞（Zxt）- Zx）ν（dx），如果H>，其中（Y）-Y、 Z- Z） 是一个连续过程，单位为L（u）×L（ν）。备注3.6。Carmona和Coutin[6]发现了完整定义3.1的马尔可夫表示，对于H<1/2，Carmona、Coutin和Montsen y[7]发现了完整定义3.1的马尔可夫表示，对于H>1/2。Muravlev[25]也成立了IntegralR-∞在他的表述中，他把它描绘成一个随机的初始值。此外，与[7]相比，在H>1/2的情况下，他的表示也是时间均匀的。分数过程的仿射表示11在H<1/2的情况下，从（3.1）推导这些表示的想法是表示函数t7→tH-1/2in（3.1）作为拉普拉斯变换-1/2∝Z∞E-txx-1/2-Hdx，并应用随机富比尼定理。

注意，对于H<1/2，不使用过程Z。当H>1/2时，函数tH-1/2不是任何测度的拉普拉斯变换，但有以下两个积分表达式：-1/2∝Z∞（e）-德克萨斯州- 1） x-1/2-Hdx，tH-1/2∝ tZ∞E-txx1/2-Hdx。第一个积分表达式引出了穆拉夫列夫对fBM的表示，在我们的符号和常数选择中，它的读数为WHT=wH+Z∞（Yxt）- Yx- Wt）dxx1/2+HΓ（H+）Γ(- H） ，第二个积分表达式引出了我们对fBM的表示。虽然Muravlev的表示法具有更为简洁的优点，但我们的表示法可以写成L函数状态空间上马尔可夫过程的线性泛函。目前尚不清楚如何利用穆拉夫列夫的代表性来实现这一点；问题是Yt- Yis对于x是不可积的-1/2-Hdx和Yt- 这不是马尔科夫。H<定理3.5的证明。函数τ7→ τH-/Γ（H+）在（0，∞) 在他的定义中出现了u的拉普拉斯变换，即对于每个τ>0和H<L（u）（τ）=Z∞E-τxu（dx）=τH-Γ（H+）。因此，WHt=wH+Z-∞Z∞E-x（t）-（s）- E-x(-（s）u（dx）dWs+ZtZ∞E-x（t）-s） u（dx）dWs。根据随机Fubini定理6.1，WHt=wH+Z∞Z-∞E-x（t）-（s）- E-x(-（s）dWsu（dx）+Z∞中兴通讯-x（t）-s） dWsu（dx）。Fubini定理的条件（6.2）满足，因为∞sZ-∞E-x（t）-（s）- E-x(-（s）dsu（dx）=Z∞1.- E-德克萨斯州√2xu（dx）≤Z∞r1- E-txxu（dx）<∞,Z∞sZte-2x（t-s） u（dx）≤Z∞r1- E-2txxu（dx）<∞,我们使用1的地方- E-德克萨斯州≤√1.- E-txand方程（6.14）。根据Yxt的定义，WHt=wH+Z∞E-xt- 1.Yxu（dx）+Z∞中兴通讯-x（t）-s） dWsu（dx）=wH+Z∞（Yxt）- Yx）u（dx）。表情E-xt- 1.YxandZte-x（t）-s） DWS定义连续的L（u）值过程：第一个表达式有majorant（1∨t） （1）∧ x） Yxin L（u），允许应用支配收敛定理，第二个表达式在定理2.11中处理。分数过程的仿射表示12 H>定理3.5的证明。

作为函数τ7→ τH-/Γ（H+）是测度ν的拉普拉斯变换，关系τL（ν）（τ）=τZ∞E-xτν（dx）=τH-Γ（H+）对τ>0和H都适用∈ (, 1). 因此，WHt=wH+Z-∞Z∞（t）- s） e-x（t）-s） +性爱ν（dx）dWs+ZtZ∞（t）- s） e-x（t）-s） ν（dx）dWs。根据随机富比尼定理6.1，（3.2）WHt=wH+Z∞Z-∞（t）- s） e-x（t）-s） +性爱dWsν（dx）+Z∞Zt（t- s） e-x（t）-s） dWsν（dx）。Fubini定理的条件（6.2）满足，因为∞sZ-∞（t）- s） e-x（t）-s） +性爱dsν（dx）=Z∞r1- 2e-tx（tx+1）+2txe-2tx（tx+1）+e-2tx4xν（dx）≤Z1/trt6xν（dx）+Z∞1/trxν（dx）≤√2（t）∨ 1） Z∞（十）-∧ 十、-)ν（dx）<∞,Z∞sZt（t）- s） e-2x（t-s） ν（dx）=Z∞r1- E-2tx（1+2tx+2tx）4xν（dx）<∞,我们使用方程（6.15）和（6.16）。利用式（2.1）中（Yx，Zx）的定义，式（3.2）可以表示为WHT=wH+Z∞Z-∞前男友te-xt+s（1）- E-xt）dWsν（dx）+Z∞Zt（t- s） e-x（t）-s） dWsν（dx）=wH+Z∞te-xtZ-∞exsdWs+（1）- E-xt）Z-∞性爱视频ν（dx）+Z∞Zxt- Zxe-xt- Yxte-xtν（dx）=wH+Z∞（Zxt）- Zx）ν（dx）。引理6.8，Zxt- Zx可以写成以下表达式之和：Zx（e-德克萨斯州- 1） ，Yxte-tx，Zt（t- s） e-（t）-s） xdWs。所有三个表达式都定义了连续的L（ν）值过程：第一个和第二个表达式有| Zx |（1）∨t） （1）∧ x） 和|Yx |（1）∨t） （1）∧十、-1） 作为L（ν）中的主要表达式，它允许应用支配收敛定理，第三个表达式在定理2.11中处理。备注3.7。定理3.5中的表述有助于数值实现。实际上，积分可以用[7]中描述的有限和来近似。或者，为了更简洁地表示，在H>1/2WHt=wH的情况下-Z∞x（Yxt）- Yx）ν（dx）。这源于Y和Z之间的以下确定性关系（c.f.定理2.22）（3.3）Zxt=-xYxt+(xYx+Zx）e-德克萨斯州≥ 0.分数过程的仿射表示13备注3.8。

H=1/2的情况符合定理3.5的框架，μ等于狄拉克测度。事实上，这个过程（Yt）- Y） t≥0是布朗运动，从Y的定义可以看出。此外，选择u作为狄拉克测度符合定理3.5的证明，其中u定义为定义3.1中被积函数的逆置换变换。注意，表示马尔可夫过程Yt的∈ L（u）是一维的，可以用布朗运动来识别。备注3.9。定理3.5的参数给出了所有分数过程的马尔可夫表示-∞k（t）- （s）- k(-（s）dWs+Ztk（t）- s） 式中，tnt（n，dwt）=∈ {0,1}，u是R+上的西格玛有限测度，L是拉普拉斯变换。在（半）平稳过程理论中有许多例子，包括幂核k（t）=tα（1+t）-γ-α和γ核k（t）=tαexp(-λt）。更一般地说，W可以被L’evy过程代替，这将导致分数L’evy过程和稳定L’evy运动的马尔可夫表示[30,23,2,13,21,3]。过滤。WHis生成的过滤与（Y，Z）生成的过滤基本相同，如以下引理所示。因此，可以利用（Y，Z）的强马尔可夫性质来刻画停止时间后的分数布朗运动规律。这对于理解分数价格过程模型中存在的任意机会非常重要（参见[17,9]中的粘性属性和[28]中的套利时间概念）。引理3.10（过滤）。设H<1/2。然后，工艺产生的完整过滤- W、 嗯- WH和Y-你是平等的。同样的说法适用于H>1/2，Y替换为Z。设N表示Q-null集。