分数阶过程的仿射表示及其应用

那么下面的sigma代数对于每个T都是相等的≥ 0：σ（Wt）- W、 0≤ T≤ （T）∨ N=σ（WHt）- WH，0≤ T≤ （T）∨ N σ（Yt）- Y、 0≤ T≤ （T）∨ N σ（Wt）- W、 0≤ T≤ （T）∨ N.上述第一个等式来自[29，命题1]。H>1/2的证明是相似的。从马尔科夫的观点来看，分数布朗运动的标准定义是VHt=hYt，1iu或VHt=hZt，1iν，这取决于H是小于还是大于1/2。这里的初始值（Y，Z）是确定的。此外，初始值wc可以归一化为零。接下来的引理成立。引理3.11（过滤）。如果H>1/2，则过程W、VH、andY产生的完整过滤相等。同样的说法适用于H>1/2，Y替换为Z。和前面一样，N表示Q-null集。让我们假设初始值（Y，Z）为零。然后每个T有一个≥ 0σ（Wt，0≤ T≤ （T）∨ N=σ（VHt，0≤ T≤ （T）∨ N σ（Yt，0≤ T≤ （T）∨ N σ（Wt，0≤ T≤ （T）∨ N.上面的第一个等式来自[29，命题1]，适用于所有t都设置为零的布朗路径≤ 0，注意相关积分是按路径定义的。为了摆脱对（Y，Z）的假设，请注意，过程（Y，Z）仅通过一个N-可测的确定性函数依赖于初始条件（Y，Z）。H>1/2的证明是相似的。分数过程的仿射表示143.3。L-空间上fBM的马尔可夫表示。还有第3.1节结果的L版本。定理3.12（马尔可夫表示）。设（Y，Z）和（u，ν）如定义3.2所示，letf:（0，∞) → (0, ∞), x7→ 1.∧ 十、-1/2，设|u=uf-1，且设|ν=νf-1.

那么fBM有代表性吗=wH+Z∞（Yxt）- Yx）f（x）~u（dx），如果H<，wH+Z∞（Zxt）- Zx）f（x）~ν（dx），如果H>，其中（Y）-Y、 Z- Z） 是一个连续的L（~u）×L（~ν）值过程和f∈ L（μ）∩ L（△ν）。这可以用定理3.5的证明来说明。备注3.13。上述测量结果|u和|ν满足假设2.18和2.20，但（Y∞, Z∞) 不采用L（＠u）×L（＠ν）的数值（c.f.备注3.4）。然而，过程（Y- Y、 Z- Z） 如OREM 3.12.4所述。利率建模的应用4。1.分数短期利率模型。我们的原型示例isrt=l + λVHt，VHt=Γ（H+）Zt（t- s） H-1/2dWs，其中RTI是短期利率，l, λ ∈ R、 VHtis-Volterra分数布朗运动。对于H>1/2，这与短期利率具有长期依赖性的经验观察结果一致[1]。与[27]和[4]相比，贴现零息债券价格是鞅。与任何Ornstein–Uhlenbeck型模型一样，我们模型中的短期利率可能会变为负值，这可能是合理的，也可能是不合理的。以这个例子为出发点，我们将研究在过程Y和Z中定义的更一般的模型。为此，我们确定了满足以下假设2.3强化版本的度量u，ν。假设4.1。u和ν是（0，∞). 测量值ν有一个关于u的密度p，而t存在于β中∈ （0，2）使得对于每个t>0，Z∞(1 ∧ 十、-)u（dx）<∞,Z∞(1 ∧ 十、-)ν（dx）<∞, 好的∈(0,∞)p（x）（1）∧ 十、-β) < ∞.此外，我们提供（u，v）∈ L∞（u）×L∞(ν), l ∈ R、 和初始值（Y，Z）∈ L（u）×L（ν）用于第2节中定义的过程（Y，Z）。通常情况下，u或v都会被设置为零，除非人们对长程和短程依赖的混合过程感兴趣。

给定这些模型参数，我们定义了每个τ，T∈ R+和t∈ [0，T]短期利率rt、银行账户Bt、ZCB价格P（T，T）和远期利率h（T）（τ）为（4.1）rt=l + hYt，uiu+hZt，viν，Bt=expZtrsds, P（t，t）=EBtBT英尺= E-RT-th（t）（τ）dτ。定理4.2（债券价格和远期利率）。在分数短期利率模型（4.1）中，ZCB价格和远期利率由p（t，t）=e给出-l（T）- t） +Φ（t）-t、 u，v）+hYt，Φ（t）-t、 u，v）iu+hZt，Φ（t-t、 u，v）iν，0≤ T≤ T、 h（T）（τ）=l - τΦ（τ，u，v）- 海特，τΦ（τ，u，v）iu- hZt，τΦ（τ，u，v）iν，t，τ≥ 0，分数过程的仿射表示，其中每个τ≥ 0和x∈ (0, ∞)τ（τ），τ（τ），τ（τ），τ（τ），v，Φ-τx- 1xu（x）+E-τx- 1x+τxe-τxp（x）v（x），Φ（τ，u，v）（x）=e-τx- 1xv（x）。证据引理6.16意味着随机变量RTThYs，uiu+hZs，viνds是高斯分布，给定Ft，带均值-hYt，Φ（T）- t、 u，v）我- hZt，Φ（T）- t、 u，v）iν和方差2Φ（t）- t、 u，v）。因此，ZCB价格公式遵循正态分布的动量母函数公式。远期利率的表达式后面是到期时间的差异。备注4.3。函数Φ，Φ，Φ是Riccati方程（4.2）的唯一解τΦ（τ，u，v）=RΦ（τ，u，v），Φ（τ，u，v）, Φ（0，u，v）=0，τΦ（τ，u，v）=RΦ（τ，u，v），Φ（τ，u，v）- u、 Φ（0，u，v）=0，τΦ（τ，u，v）=RΦ（τ，u，v），Φ（τ，u，v）- v、 Φ（0，u，v）=0，引理2.8中有R，R，Ras。在这里，解的定义类似于定义2.7和引理2.8。定理4.4（HJM方程）。在分数短期利率模型（4.1）中，银行账户（Bt）t≥债券价格（P（t，t））0≤T≤Tand远期汇率（h（t）（τ））t≥0是每个固定T的半鞅，τ>0。

正向速率过程h=（h（t）（·））t≥0是HJM方程（4.3）dh（t）的解=Ah（t）+uHJMdt+σHJMdWt，其中A表示关于到期时间τ和uHJM的差异，σHJMare是（0，∞) 由uHJM（τ）给出τΦ（τ，u，v），σHJM（τ）=-HτΦ（τ，u，v），1iu。备注4.5。HJ M漂移条件满足，因为uHJ M=τΦ（τ，u，v）=hτΦ（τ，u，v），1iuhΦ（τ，u，v），1iu=σHJM（τ）ZτσHJM（s）ds。定理4.4的证明。价格和远期利率的半鞅性质来自引理6.17和6.18，它们基于定理2.13。h（·）（τ）的半鞅分解是通过收集方程（2.13）中的项得到的：dh（t）（τ）=-d hYt，τΦ（τ，u，v）iu- d hZt，τΦ（τ，u，v）iν=（hYt，x）τΦ（τ，u，v）- τΦ（τ，u，v）piu+hZt，xτΦ（τ，u，v）iν）dt- HτΦ（τ，u，v），1iudWt。注意，由于滥用符号，我们写了xτψi（τ，u，v）表示函数x7→ τψi（τ，u，v）（x）对于i=1，2。ψ的二阶导数τΦ（τ，u，v）=-十、τΦ（τ，u，v）+τΦ（τ，u，v）p，τΦ（τ，u，v）=-十、τΦ（τ，u，v）。因此，我们有所有的t≥ 0和τ>0Ah（t）（τ）=-τΦ（τ，u，v）+hYt，xτΦ（τ，u，v）- τΦ（τ，u，v）piu+hZt，xτΦ（τ，u，v）iν。分数过程的仿射表示16它遵循thatdh（t）（τ）=Ah（t）（τ）+τΦ（τ，u，v）dt- HτΦ（τ，u，v），1iudWt，可以识别uHJM和σHJM。推论4.6（协变量）。对于每个τ，τ>0，以下关系成立：（4.4）d[h（·）（τ），h（·）（τ）]t=hτΦ（τ，u，v），1iuhτΦ（τ，u，v），1iudt。上述已实现协变量公式可用于根据历史时间序列校准模型。另一种方法是根据期权价格（包括上限和下限）进行校准，这可以有效地实现，这要归功于以下香草ZCB期权价格的封闭式表达式。定理4.7（布莱克-斯科尔斯公式）。

z ero息票债券的看涨期权和看跌期权的价格由以下版本的布莱克-斯科尔斯公式（4.5）E给出BBTP（T，S）- K+英尺= P（t，S）Φ高斯（d）- KP（t，t）Φ高斯（d），EBBTK- P（T，S）+英尺= KP（t，t）Φ高斯(-d）- P（t，S）Φ高斯(-d） 式中ΦGaussis为标准高斯累积分布函数，（4.6）d1,2=logP（t，S）KP（t，t）±RTtv（·S）- v（·，T）dsqRTtv（·S）- v（·，T）其中v（t，t）=hΦ（t- t、 u，v），1iu。证据在引理6.17中，我们验证了表达式hY，Φ（T- ·, u、 v）iu和hZ，Φ（T- ·, u、 v）iν是半鞅。它们的半鞅分解由方程（2.13）给出：Dhyt，Φ（T- t、 u，v）iu=Z∞u（x）-E-（T）-t） x- 1xp（x）v（x）Yxtu（dx）dt+hΦ（T- t、 u，v），1iudWt，d hZt，Φ（t- t、 u，v）iν=hv，Ztiν+hΦ（T- t、 u，v），Ytiνdt。设ξ（t，t）为t-正量度QT的密度，ξ（t，t）=dQTdQFt=EBP（0，T）BT英尺=B-1tP（t，t）B-1P（0，T）。根据定理4.2中的债券价格公式，log（ξ（t，t））满足（logξ（t，t））=-hYt，uiu- hZt，viν- τΦ（T）- t、 u，v）dt+d hYt，Φ（T- t、 u，v）iu+d hZt，Φ（t- t、 u，v）iν。应用It’o公式并取消项屈服值ξ（t，t）=ξ（t，t）d（logξ（t，t））+d[logξ（·t）]t= ξ（t，t）hΦ（t）- t、 u，v），1iudWt，这意味着ξ是（4.7）ξ（t，t）=E形式的随机指数Z·v（s，T）dWsv（t，t）=hΦ（t）的分数过程的塔芬表示- t、 u，v），1iu。然后，对于任何S，T>0，过程WT=W-R·v（s，T）ds是QT布朗运动，P（T，s）P（T，T）=P（0，s）P（0，T）EZ·五（s，s）- v（s，T）DWTt、 t∈ [0，S∧ T]是对数正态QT鞅。然后，布莱克-斯科尔斯公式被[14，命题7.2]所持有。4.2. 分数银行账户模型。

上述模型的一个变体是让银行账户成为一个分馏过程；例如，Bt=exp(lt+λVHt），VHt=Γ（H+）Zt（t- s） H-1/2dWs，其中BTS是银行账户，l, λ ∈ R、 VHtis-Volterra分数布朗运动。这定义了一个无套利模型，其中不存在短期利率，银行账户和债券价格不是半鞅。这不会导致套利；我们将看到贴现债券价格是鞅。我们只提供结果的摘要，因为我们对该模型没有经济动机。事实上，大多数金融模型都假设银行账户存在一定的变化。然而，我们想指出，从一般无套利的角度来看，没有理由假设银行账户是半鞅，甚至没有理由假设银行账户过程存在[20]。我们喜欢分数银行账户模型，因为它展示了一般无套利理论与债券价格、贴现债券价格和远期利率的半鞅性之间的联系。定理4.8。银行账户流程由Bt=e给出lt+hYt，uiu+hZt，viν，其中u和ν满足消耗2.3，（u，v）∈ L∞（u）×L∞(ν), l ∈ R、 （Y，Z）与定义2.1中的（Y，Z）相同∈ L（u）×L（ν）。然后ZCB价格（P（t，t））t≥0定义得很好，但通常不是半鞅。然而，ZCB的折扣价格（B-1tP（t，t））t≥0是鞅，远期利率（h（t）（τ））t≥0是满足HJM方程的半鞅。Black–Scholes公式（4.5）–（4.6）适用于v（t，t）=hφ（τ，-U-v） ，1iu，其中φ由定理2.6.5给出。

分数Stein&Stein模型在本节中，我们将Stein和Stein[31]提出的有效随机波动率模型推广到分数波动率。在最初的模型中，波动过程是一个单一的OU过程，而在我们的模型中，它是一个分数过程，即许多OU过程的叠加。我们的主要例子是形式dst=StσVHtdfWt，VHt=Γ（H+）Z∞（t）- s） H-1/2dWs，其中S是资产价格，σ∈ R、 W和fw是布朗运动，而VHtis-Volterra是hurst指数H<1/2的布朗运动。对H<1/2的限制符合关于流动性的有充分记录的经验事实[15]。我们将证明分数Stein和Stein模型是有效的。我们的意思是，原木价格是有限维过程的第一个坐标。5.1. 设置和符号。和之前一样，我们正在研究一个经过过滤的概率空间(Ohm, F、 （Ft）t∈R、 Q）支持双边布朗运动W。LetfW be（英尺）t≥对于某些ρ，相关系数为dhW，fW it=ρdt的0-布朗运动∈ [-1, 1]. 我们在（0，∞) 满足假设2.3，函数λ∈ L∞（u），以及初始值Y∈ L（u）用于第2节中定义的工艺。给定这些模型参数，价格过程s=（St）t≥0在风险中性概率测度下，Q由SDEdSt=Styt，λiudfWt定义。分数过程的仿射表示18为了使过程S的SDE成为一种有效形式，我们引入以下简单对称负张量空间：L（u）sL（u）={y2:y∈ L（u）} L（u）2. L（u）2） ，L∞(u) sL∞（u）={v2:v∈ L∞(u)}  L∞(u)2. L∞(u2).每个t≥ 0我们设置∏t=Y2t∈ L（u）sL（u）。那么关系式hYt，λiu=hY2t，λ2iu2点。因此，原木价格过程X=原木满意度（5.1）dXt=-πt，λ2.u2dt+qh∏t，λ2iu2dfWt。5.2. 一种∏的新结构。

以下定理将∏描述为一个具有L（u）值的有效过程sL（u）。定理5.1（有效结构）。让v2.∈ 伊尔∞(u) sL∞(u). 然后，概率为1，E呃∏T，v2iu2.英尺= eψ（T）-电视2） +h∏t，ψ（t）-电视2） 我2, 0 ≤ T≤ T、 ψ在哪里τ、 五2.∈ C和ψτ、 五2.∈ L∞（C）sL∞（u；C）由ψ给出τ、 五2.= -日志（1）- 4φ（τ，v，0）），ψτ、 五2.=φ（τ，v，0）21- 4φ（τ，v，0）。备注5.2。一个直接的观察结果是，对于每个（x，y）∈ (0, ∞), 三重（πx，x，πx，y，πy，y）是一个简单的过程。这可以从∏x，yt=yxtyt的以下SDE中看出，这遵循了它的o规则：d∏x，yt=（1- （x+y）∏x，yt）dt+q∏x，xt+2∏x，yt+y，ytdWt。更一般地说，对于任何一组有限的点xi，过程（xi，xj）i，jis a ffine。定理5.1将该观察结果推广到许多点xi，xj∈ (0, ∞). 定理5.1的一个版本2引理6.22中给出了取代任意对称测试函数的引理。备注5.3。定理5.1中有效过程的状态空间由秩一张量组成。可以将状态空间扩展到两个秩的张量，但[8，命题4.18]中的漂移条件表明，扩展到更高秩的张量是不可能的。证据通过引理6.10随机变量√2φ（T）-t、 v，0）hYT，viu为高斯分布，给定Ft，平均值为φ（t- t、 v，0）iup2φ（t- t、 v，0）和单位方差。因此，随机变量πT，v2.u22φ（T- t、 v，0）=hYT，viup2φ（t- t、 v，0）！，为非中心χ分布，给定Ft，具有一个自由度和非中心性参数hyt，φ（T- t、 v，0）iu2φ（t- t、 v，0）=πt，φ（t）- t、 v，0）2.u22φ（T- t、 v，0）。该声明源自非中心χ分布的特征函数公式。

所有的张量积都是代数的；我们没有完成张量积。为了正确起见，fWtin（5.1）应该被tsgn（h∏s，λiu）dfWs所取代，这又是一个布朗运动。分式过程的仿射表示19定理5.1的系数函数（ψ，ψ）是定义2.7意义上的RiccatiODE的有限维版本的解。引理5.4（Riccati方程）。对于任何v2.∈ 伊尔∞(u) sL∞（u），函数ψ·, 五、2.和ψ·, 五、2.由定理5.1给出，求解以下微分方程组τψτ、 五2.= Fψτ、 五2., ψ0，v2.= 0,τψτ、 五2.= Fψτ、 五2., ψ0，v2.= 五、2.哪里有w∈ L∞（C）2，F（w）是由F（w）=Z给出的复数∞Z∞w（x，y）u（dx）u（dy），F（w）是（0，∞)给定byF（w）（x，y）=-（x+y）w（x，y）+2Z∞Z∞w（x，x′）w（y，y′）u（dx′）u（dy′）。证据初始条件由引理2.8满足。我们对τ进行区分，并使用引理2.8：τψτ、 五2.=1.- 4ψ（τ，v，0）τφ（τ，v，0）=Fψτ、 五2.,τψτ、 五2.（x，y）=-xφ（τ，v，0）（x）φ（τ，v，0）（y）- yφ（τ，v，0）（x）φ（τ，v，0）（y）1- 4ψ（τ，v，0）+2φ（τ，v，0）（x）φ（τ，v，0）（y）（1）- 4φ（τ，v，0））Z∞φ（τ，v，0）（z）u（dz）= Fψτ、 五2.（x，y）。证据到此结束。5.3. （X，π）的一种新结构。以下定理表明（X，π）是一个有效过程，其值为inR×L（u）sL（u）。该证明基于hY，uiu的近似值，可以追溯到Carmona，Coutin和Montseny[7]。这种近似也为模拟分数Stein和Stein模型提供了一种方法。定理5.5（有效结构）。设u满足假设2.3和（X，π）∈ R×L（u）sL（u）。那么，对于每一个过程，都是≤ T≤ T，u∈ iR和v2.∈ 伊尔∞(u) sL∞（u），对数条件特征函数log EheXTu+h∏T，v2iu2.Fti是（Xt，πt）中的一个函数。证据我们用原子度量的一个序列来近似度量。

如果适当选择μn，则从[7]可知，hY，viun在紧集上以概率（ucp）均匀收敛到hY，viu。因此h∏，v2i（un）2=hY，viun将ucp聚合到h∏，v2iu2=hY，viu。让Xnbe得到相应的过程解方程（5.1），其中u被un替换。由于随机积分在ucp拓扑中是连续的，因此XNTP在概率上收敛到XT。这意味着Orem 5.5中对数特征函数的收敛性。对于每个n，对数特征函数由注释5.2和等式（5.1）的性质决定。结果如下。分式过程的仿射表示205.4。不相关的案例。“不相关”指的是dhW，fW it=ρdt=0。在不相关的情况下，Xt的分布直接取决于综合方差，其定义为V（t，t）=t- tZTthYs，λiuds=T- tZTth∏s，λ2iu2秒。在下面的引理中，这种依赖关系是精确的。引理5.6（条件CDF）。在不相关的情况下ρ=0，XTisQ[XT]的Ft条件累积分布函数≤ x |英尺]=√2πZx-∞经验-Y- Xt+T-tIV（t，t）2（T）- t） IV（t，t）！Ft#dy，Ft条件特征函数为hextu+h∏T，v2iu2.Fti=eXtu+h∏t，v2iu2Het-t（u）-u） IV（t，t）Fti，其中0≤ T≤ T，u∈ iR，v2.∈ 伊尔∞(u) sL∞(u).证据这可以在[31]中通过对（hYt，vi）0生成的西格玛代数的条件作用来理解≤T≤利用W和FW的独立性。积分方差过程的傅里叶变换可以使用过程∏的有效结构显式计算。因此，在理论上，可以描述积分方差的条件分布。下一个推论给出了一个例子。推论5.7（条件矩）。