分数阶过程的仿射表示及其应用

第4.1节的辅助结果。引理6.15（可积条件）。根据假设4.1，满足以下条件：supx∈(0,∞)p（x）Ztse-sxds<∞.证据假设存在β∈ （0，2）使得p（x）（1）∧ 十、-β） 有界于x。因此，以下估计的右侧有界于x，Ztse-sxds≤Zts1∨sβ-β!1.∧ 十、-βds≤中兴通讯+sβ1.-β!ds1.∧ 十、-β=t+2- βtβ2.-β!1.∧十、-β,引理如下。引理6.16（Y，Z）的时间积分）。假设4.1到位，并假设（Y，Z）∈ L（u）×L（ν）a.s.然后，每0≤ T≤ T代表所有人（u，v）∈ L∞（u；C）×L∞（ν；C）一个hasZTthYs，uiu+hZs，viνds=-hYt，Φ（T）- t、 u，v）我- hZt，Φ（T）- t、 u，v）iν-ZTthΦ（T）- s、 u，v），1iudWswithΦ，Φ，如定理4.2所示。特别是，随机变量rtt（hYs，uiu+hZs，viν）ds是高斯的，给定nft。证据Φ，Φ的时间导数由下式给出：τΦ（τ，u，v）（x）=-E-τxu（x）+τp（x）v（x）, τΦ（τ，u，v）（x）=-E-τxv（x）。从引理6.10可知，对于任何0≤ T≤ s、 hYs，ui+hZs，vi=-海特，τΦ（s）- t、 u，v）我- hZt，τΦ（s）-t、 u，v）我-ZsthτΦ（s）- r、 u，v），1iudWr。结果通过对s积分得出∈ [t，t]并将富比尼定理（定理6.1）应用于上述三个总和。

对于第一个求和，定理6.1的条件（6.1）由引理6.15和分式过程的仿射表示满足∞ZTt | YxtτΦ（s）- t、 u，v）| dsu（dx）≤ 库克尔∞（u）kYtkL（u）+kvkL∞（ν） Z∞|Yxt | ZTt（南）- t） e-（s）-t） xdsp（x）u（dx）=kukL∞（u）kYtkL（u）+kvkL∞（ν） Z∞|Yxt | ZT-谢-sxdsp（x）u（dx）<∞.对于第二个求和，条件（6.1）为asZ∞ZTt | Zxte-（s）-t） xv（x）|dsν（dx）≤ （T）- t） kvkL∞（ν） kZtkL（ν）<∞.对于第三个求和，我们首先使用富比尼定理来交换有关u（dx）和dWr:Zsth的积分阶τΦ（s）-r、 u，v），1iudWr=-Z∞Zste-（s）-r） xu（x）+（s）- r） p（x）v（x）dWru（dx）。这是允许的，因为等式（6.2）满足等式（6.14）和（6.18）：Z∞sZste-2（s）-r） x|u（x）|u（dx）<∞,Z∞深圳科技大学（南）- r） e-2（s）-r） x|v（x）|ν（dx）<∞,然后，我们交换积分的顺序，相对于dWrand和乘积度量u（dx）ds，从而将第三个和转化为形式-ZTtZ∞Zste-（s）-r） xu（x）+（s）- r） p（x）v（x）dWru（dx）ds=-ZTtZTrZ∞E-（s）-r） xu（x）+（s）- r） p（x）v（x）u（dx）dsdWr。这是允许的，因为条件（6.2）由等式（6.26）和（6.27）满足：ZTtZ∞sZste-2（s）-r） dr|u（x）|u（dx）ds<∞,ZTtZ∞深圳科技大学（南）- r） e-2（s）-r） dr|v（x）|ν（dx）ds<∞.最后，我们交换最里面的积分u（dx）和ds，它们由条件（6.1）和方程（6.19）和（6.20）调整。然后第三个和由-ZTtZ∞中兴通讯-（s）-r） xu（x）+（s）- r） p（x）v（x）dsu（dx）dWr=-ZTthΦ（T）- r、 u，v），1iudWr。引理6.17（半鞅性质）。在假设4.1下，表达式hYt，Φ（T- t、 u，v）iu和hzt，Φ（t- t、 u，v）iν是t中的连续半鞅∈ [0，T]，对于每个固定的T>0和（u，v）∈ L∞（u）×L∞(ν).证据我们验证了定理2.13的条件。在下面的估计中，可以假定函数u和v等于1，因为它们是有界的，而不损失一般性。

分式过程的石蜡表示的条件（2.9）和（2.10）32fxt=Φ（T- t、 u，v）（x）由方程（6.21）、（6.22）和（6.23）满足：Z∞Zt|sfxs- xfxs |（1）∧ 十、-)dsu（dx）=Z∞Zt1 +1 - E-（T）-s） xxp（x）(1 ∧ 十、-)dsu（dx）<∞,Z∞sZt（fxs）dsu（dx）≤Z∞sZtE-（T）-s） x- 1xdsu（dx）+Z∞sZtE-（T）-s） x- 1x+τxe-（T）-s） xdsν（dx）<∞.gxt=Φ（T）满足条件（2.11）和（2.12- t、 u，v）（x）通过等式（6.21）：Z∞Zt|sgxs- xgxs |（1）∧ 十、-)dsν（dx）=Z∞Zt（1）∧ 十、-)dsν（dx）<∞,Z∞Zt | gxs |（1）∧ 十、-)dsν（dx）=Z∞Zt1- E-τxx（1）∧ 十、-)dsν（dx）<∞.因此，我们验证了定理2.13的条件，引理的陈述如下。引理6.18（半鞅性质）。根据假设4.1，表达式hYt，τΦ（τ，u，v）iu和hZt，τΦ（τ，u，v）iν是t中的连续半鞅∈ [0，T]，对于每个固定τ>0和（u，v）∈ L∞（u）×L∞(ν).证据通过验证定理2.13的条件，我们证明了半鞅的性质。我们有τΦ（τ，u，v）（x）=-E-τxu（x）+τp（x）v（x）, τΦ（τ，u，v）（x）=-E-τxv（x）。在下面的估计中，可以假定函数u和v等于1，因为它们是有界的，而不丧失一般性。fxt的条件（2.9）和（2.10）=τΦ（τ，u，v）（x）由方程（6.10）-（6.13）：Z满足∞Zt|sfxs- xfxs |（1）∧ 十、-)dsu（dx）=Z∞Ztxe-τx1+τp（x）(1 ∧ 十、-)dsu（dx）<∞,Z∞sZt（fxs）dsu（dx）≤Z∞sZt2e-2τxdsu（dx）+Z∞sZt2τe-2τxdsν（dx）<∞.gxt的条件（2.11）和（2.12）=τΦ（τ，u，v）（x）由方程（6.13）满足：Z∞Zt|sgxs- xgxs |（1）∧ 十、-)dsν（dx）=Z∞Ztxe-τx（1）∧ 十、-)dsν（dx）<∞,Z∞Zt | gxs |（1）∧ 十、-)dsν（dx）=Z∞Ztxe-τx（1）∧ 十、-)dsν（dx）<∞.因此，我们验证了定理2.13的条件，引理的陈述如下。6.7. 第4.2节的辅助结果。引理6.19（半鞅性质）。

根据假设2.3，表达式hYt，τφ(τ, -U-v） 我和HZT，τφ(τ, -U-v） iν是t中的连续半鞅∈ [0, ∞) 对于每个固定τ>0和（u，v）∈ L∞（u）×L∞(ν).证据我们验证了定理2.13的条件。由于u和v是有界的，我们可以在不损失一般性的情况下，假设u=v=1。fxt的条件（2.9）–（2.12）=τφ(τ, -U-v） （x）分式过程的Andafine表示33gxt=τφ(τ, -U-v） （x）满足方程式（6.10）-（6.13）：Z∞Zt|sfxs- xfxs |（1）∧ 十、-)dsu（dx）=tZ∞|十、τφ(τ, -U-v） |（1）∧ 十、-)u（dx）≤ tZ∞xe公司-xτu（dx）+tZ∞xe公司-xτν（dx）+tτZ∞xe公司-xτν（dx）<∞,Z∞sZt（fxs）dsu（dx）=√tZ∞|τφ(τ, -U-v） |u（dx）≤√tZ∞xe公司-xτu（dx）+√tZte-xτν（dx）+√tτZtxe-xτν（dx）<∞,Z∞Zt|sgxs- xgxs |（1）∧ 十、-)dsν（dx）=tZ∞|十、τφ(τ, -U-v） |（1）∧ 十、-)ν（dx）=tZ∞xe公司-xτν（dx）<∞,Z∞Zt | gxs |（1）∧ 十、-)dsν（dx）=tZ∞|τφ(τ, -U-v） |ν（dx）≤ tZ∞E-xτν（dx）<∞. 6.8. 第5节的辅助结果。引理6.20（协方差算子的内射性）。对于任何τ>0的映射，Pτ都是L∞（u；C）希尔伯特空间Hτ的复杂性。证据为了简单起见，我们为复杂空间Hτ写HτRC（见第6.2节）。如果Pτv=0，则∈ L∞（u；C），然后0=hPτv，PτviHτ=hPτv，viu=ZτZ∞v（x）e-sxu（dx）ds。因此，复测度vu的拉普拉斯变换L（vu）（s）几乎在所有s处消失∈ [0, τ]. AsL（vu）（s）在s中是解析的，它以相同的方式消失。通过拉普拉斯变换的内射性[19，第3.8节]，复测度vu消失，相当于L中的v=0∞（C）。引理6.21（对称双张量的对角化）。对于每个τ≥ 0任意对称双张量w∈L∞（C）2表示为平方sw=nXk=1θkvk之和 vk，带θk∈ C和vk∈ L∞（u；C），使得函数vkar与引理6.11中定义的协方差算子Pτ有关，即hPτvk，vliu=δkl。证据

为了简单起见，我们为复杂空间Hτ写HτRC。设w=Pmk=1wk工作∈ L∞（C）2beany对称双张量和集合V=spanC{w，…，wm}。根据引理6.20，双线性形式hPτ·，·i是有限维向量空间V上的标积。通过对角化得到w的理想表示∈ 五、2关于这个标量积。引理6.22（一个有效结构）。让u满足假设2.3和Y∈ L（u）。设w=Pnk=1θkv2k∈伊尔∞(u)2b在引理6.21和0的意义下分解为平方和的对称十sor≤ T≤ T，ehh∏T，wiu2.Fti=eψ（T）-t、 w）+h∏t，ψ（t）-t、 w）我2，分式过程的仿射表示，其中（ψ，ψ）：[0，∞) ×L∞（C）2.→ C×L∞（C）2由ψ（τ，w）给出-nXk=1log（1- 2θk），ψ（τ，w）（x，y）=nXk=1θk1- 2θkvk（x）vk（y）e-（T）-t） （x+y）。证据让0≤ T≤ T固定，让w=Pnk=1θkv2K可以是引理6.21意义下w分解成平方和的结果。通过引理6.10，6.11和6.21，随机变量hYT，viu，hYT，vniu是独立的高斯分布，给定Ft，条件均值为hHyt，vkiuFti=hYt，φ（T- t、 vk，0）iu，k∈ {1，…，n}和单位方差。因此，随机变量hY，viu，hY，vniu是独立的非中心χ，给定nft，具有非中心参数shyt，φ（T- t、 vk，0）iu=πt，φ（t）- t、 vk，0）2.u2，k∈ {1，…，n}。利用非中心χ分布heh∏T，wiu的独立性和特征函数，我们得到了a ffine变换公式2.Fti=nYk=1heθkhYT，vkiuFti=exp-nXk=1log（1- 2θk）+nXk=1θk1- 2θkπt，φ（t）- t、 vk，0）2.u2.我们认识到上面右边的函数ψ和ψ。引理6.23（条件平均值）。每v2.∈ L∞(u) sL∞（u）和0≤ T≤ T，Ft条件平均值πT，v2.u是的πT，v2.u2.Fti=2φ（τ，v，0）+πt，φ（τ，v，0）2.u2.证据。

我们使用定理5.1来计算EhπT，v2.u2.Fti=iq | q=0Eeiqh∏T，v2iu2.英尺=我q | q=0eψ（T-电视2iq）+h∏t，ψ（t）-电视2iq）iu2=iq | q=0e-日志（1）-4φ（τ，v）√智商（0）+πt，φ（τ，v）√智商（0）21-4φ（τ，v）√智商（0）u2=iq | q=0e-日志（1）-4iqφ（τ，v，0））+iqπt，φ（τ，v，0）21-4iqφ（τ，v，0）u2=2φ（τ，v，0）+πt，φ（τ，v，0）2.u2.引理6.24（条件二阶矩）。让我们∈ L∞(u)  L∞（u）是平方和表示W=nXk=1θkv的对称张量2k。如引理6.21。然后每0≤ T≤ T，h∏T的Ft条件二阶矩，wiu2由ehh∏T给出，wiu2.Fti=2nXk=1θk+2nXk=1θkπt，φ（t）- t、 vk，0）2.u2+nXk=1θk+nXk=1θkπt，φ（t）- t、 vk，0）2.u2.证据。在引理6.22的证明中，我们有ψ（T）- t、 iqw，0）=-nXk=1log（1- 2iqθk），ψ（T）- t、 iqw，0）（x，y）=e-（T）-t） （x+y）nXk=1iqθk1- 2iqθkvk（x）vk（y）。对于ψ（T）的导数- t、 iqw，0）关于我们得到的qqψ（T）- t、 iqw，0）=inXk=1θk1- 2iqθk，qψ（T）- t、 iqw，0）=-2nXk=1θk（1- 2iqθk），以及ψ（T）的导数- t、 iqw，0）关于我们得到的qqψ（T）- t、 iqw，0）（x，y）=ie-（T）-t） （x+y）nXk=1θk（1- 2iqθk）vk（x）vk（y），qψ（T）- t、 iqw，0）（x，y）=-2e-（T）-t） （x+y）nXk=1θk（1- 2iqθk）vk（x）vk（y）。利用特征函数，我们得到了h∏T，wiu2.Fti=-q | q=0Eheiqh∏T，wiu2.Fti=2nXk=1θk+2nXk=1θkπt，φ（t）- t、 vk，0）2.u2+nXk=1θk+nXk=1θkπt，φ（t）- t、 vk，0）2.u2.参考文献[1]大卫·K·巴克斯和斯坦利·E·辛。“长期记忆中的不确定性：来自利率期限结构的证据”。摘自：《货币、信贷和银行学杂志》25.3（1993），第681-700页。[2] 安德烈亚斯·巴斯和简·佩德森。“列维驱动的移动平均和半鞅”。《随机过程及其应用》119.9（2009），第2970-2991页。[3] Mikkel Bennedsen、Asger Lunde和Mikko S.Pakkanen。“布朗半平稳过程的混合方案”。《金融与随机21.4》（2017）第页。

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