分数阶过程的仿射表示及其应用

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英文标题：
《Affine representations of fractional processes with applications in
  mathematical finance》
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作者：
Philipp Harms and David Stefanovits
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  Fractional processes have gained popularity in financial modeling due to the dependence structure of their increments and the roughness of their sample paths. The non-Markovianity of these processes gives, however, rise to conceptual and practical difficulties in computation and calibration. To address these issues, we show that a certain class of fractional processes can be represented as linear functionals of an infinite dimensional affine process. This can be derived from integral representations similar to those of Carmona, Coutin, Montseny, and Muravlev. We demonstrate by means of several examples that this allows one to construct tractable financial models with fractional features.
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中文摘要：
分数过程由于其增量的依赖结构和样本路径的粗糙性，在金融建模中得到了广泛应用。然而，这些过程的非马尔可夫性给计算和校准带来了概念和实际困难。为了解决这些问题，我们证明了一类分数过程可以表示为无限维仿射过程的线性泛函。这可以从类似于卡莫纳、库廷、蒙塞尼和穆拉夫列夫的积分表示中推导出来。我们通过几个例子证明，这允许我们构造具有分数特征的可处理金融模型。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Affine_representations_of_fractional_processes_with_applications_in_mathematical.pdf (495.6 KB)

2022-5-9 07:24:40 上传

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关键词：Mathematical Applications Presentation Difficulties Quantitative

分数过程的仿射表示及其在数学金融中的应用Philipp HARMS和DAVID STEFANOVITSAbstract。由于增量结构的依赖性和样本路径的粗糙性，分数过程在金融建模中得到了广泛应用。然而，这些过程的非马尔可夫性给计算和校准带来了概念和实践上的困难。为了解决这些问题，我们证明了一类分数过程可以表示为有限维过程的线性泛函。这可以从类似于卡莫纳、库廷、蒙塞尼和穆拉夫列夫的积分表示中推导出来。我们通过几个例子证明，这允许我们构建具有分数特征的可处理金融模型。1.引言经验证据表明，低维马尔可夫模型可能无法很好地捕捉某些金融时间序列。特别是，这适用于短期利率，它往往具有长范围依赖性[1]，以及股票价格的波动性，它们具有粗糙的样本路径，可以用小赫斯特指数的分数布朗运动很好地描述[15]。然而，相依增量和粗糙样本路径是分式过程的特征。在本文中，我们证明了某些分数过程，包括分数布朗运动和一些相关过程（见备注3.9），允许表示为有限维过程的线性泛函。

其关键思想可以追溯到Carmona、Coutin、Montseny和Muravlev[6,7,25]，即通过Laplacetransform来表示分数布朗运动的Mandelbrot-Van-Ness表示中的分数积分：对于每个H<1/2，通过随机Fubini定理Zt（t- s） H-dWs∝ZtZ∞E-x（t）-s） dxxH+dWs=Z∞中兴通讯-x（t）-s） dWsdxxH+。如[6,7,25]所述，右侧是众多Ornstein–Uhlenbeck（OU）过程的叠加，平均值回复速度各不相同。我们的贡献是双重的。首先，我们介绍了从另一个角度研究分式过程的思想。具体地说，我们证明了OU进程的集合是一个在LOR L函数状态空间上的有效进程。H>1/2的情况需要函数（t）的一个新的积分表示- s） H-1/2（见备注3.6）。其次，我们用过程语言建立了几个具有分数特征的财务模型。具体而言，我们构建了一个分数短期利率模型，与[27]和[4]相比，折扣债券息票价格是鞅。我们还构建了Stein和Stein[31]提出的随机波动率模型的分数版本。我们的结果与数学财务和概率相关，原因如下。首先，分数过程的a ffine表示提供了一种将著名a ffine模型从半鞅推广到分数设置的自然方式。这有助于将不受无套利理论限制的数量建模为半鞅（例如股票价格的波动率[15]）。在目前的高斯背景下，2010年数学学科分类的全部力量。60G22，60G15，60J25，91G30。关键词和短语。

分数过程，马尔可夫表示，有效过程，有限维马尔可夫过程，分数利率模型，分数波动率模型。部分由SNF赠款149879和ETH基金会支持。我们非常感谢约瑟夫·泰奇曼、马里奥·乌思里希和克里斯塔·库奇罗的宝贵意见和建议。不可否认，分数过程的仿射表示并不起作用，因为条件期望也可以直接从积分表示中计算出来。然而，非高斯分数过程的情况并非如此[18]。其次，最近人们对非有效的分数波动率模型，如分数Bergomiand-SABR模型，产生了极大的兴趣[24,15]。推导这些模型的短时、大时和机翼渐近性，以及开发定价和校准的数值方案，是一个重大挑战。希望马尔科夫的观点将有助于实现这些目标。第三，马尔可夫结构有助于刻画突变时间后分数布朗运动的行为。这些特征对于理解具有分馏价格过程的模型中的套利机会至关重要（c.f.[17,9]中的粘性属性和[28]中的套利时间概念）。此外，马尔科夫性质带来了模型状态的明确概念，这使得以有意义的方式谈论校准成为可能。我们的一些结果可以通过用L’evy过程代替布朗噪声来推广到非高斯环境。这将导致将分数L’evy过程[23,13,21]表示为L’evy驱动的Ornstein–Uhlenbeck过程的叠加。

同样有趣的是，我们可以推导出[18]中所述的沃尔特拉过程的类似表示，其中沃尔特拉过程的结构比高斯环境更重要。本文的结构如下。在第2节中，我们证明了OU过程的集合确实是aBanach空间值的有效过程。在第三节中，我们推导了分数布朗运动的有效表示。第4节致力于利率建模的应用，第5节致力于Stein和Stein[31]的随机波动率模型的分数版本。第6.2节收集了一些辅助结果和证据。无限维Ornstein–Uhlenbeck过程2。1.设置和符号。让(Ohm, F、 （Ft）t∈R、 Q）是一个满足通常条件的过滤概率空间，设W=（Wt）t∈Rbe上的双边（Ft）-布朗运动Ohm, 让P表示可预测的sigma代数Ohm ×R+。定义2.1（OU流程）。给定一组F-可测R-值随机变量Yx，Zxindexedby x∈ (0, ∞), 让我们为每一个t≥ 0Yxt=Yxe-tx+Zte-（t）-s） xdWs，Zxt=Zxe-tx+Zte-（t）-s） xYxsds，（2.1）并让Yt=（Yxt）x>0和Zt=（Zxt）x>0表示由均值回归速度x索引的OU过程集合。备注2.2。每x∈ (0, ∞), 过程（Yxt，Zxt）t≥0解算SDEdYxt=-xYxtdt+dWt，dZxt=(-xZxt+Yxt）dt。（2.2）因此，这是一个双变量OU过程，变量x与过程的均值回归速度有关（详见引理6.8）。Ornstein–Uhlenbeck过程。在本节中，我们展示了过程（Yt，Zt）t≥0取L（u）×L（ν）中的值，其中u和ν的测量值受以下条件的影响。假设2.3（可积条件）。

u和ν是（0，∞) 例如，对于u和每个t>0，Z∞(1 ∧ 十、-)u（dx）<∞,Z∞(1 ∧ 十、-)ν（dx）<∞, 好的∈(0,∞)p（x）e-tx<∞.我们赋予空间L（u）、L（ν）和L（u）×L（ν）范数拓扑，并用B表示相应的Borel-sigma代数。因此，一个过程（X，Y）：Ohm ×R+→ L（u）×L（ν）是可预测的，当且仅当它是P/B（L（u）×L（ν））可测的，这相当于X是P/B（L（u））可测的，而Y是分数过程3P/B（L（Ⅴ））可测的仿射表示，因为L空间的范数拓扑具有可数基[12，定理III.5.10]。空间L（u）和L之间的配对∞（u）用h·、·iu表示，类似地，用L（ν）和L表示∞(ν). 这些空间的复杂性用L（u；C）等表示。定理2.4（L中的OU过程）。设u，ν满足假设2.3，设（Y，Z）∈ L（u）×L（ν）。然后过程（Yt，Zt）t≥0具有可预测的L（u）×L（ν）值版本，并且是高斯型。备注2.5。Carmona和Coutin[6]表明，对于每个固定的t≥ 0，随机变量以L（u）为单位。证据引理6.8显示，对于每个x∈ (0, ∞) 过程（Yxt，Zxt）t≥0可以用asYxt=Yxe表示-tx+Zte-（t）-s） xdWs，Zxt=Zxe-tx+Yxte-tx+Zt（t- s） e-（t）-s） xdWs。（2.3）根据假设2.3，上述表示中的确定性部分分别是L（u）和L（ν）值的连续函数。因此，我们可以假设Yand Zare为零，而不失普遍性。引理6.9表明，对于每个固定的≥ 0，（Yt，Zt）∈ L（u）×L（ν）几乎肯定成立。此外，对于任何（u，v）∈ L∞（u）×L∞（ν） ，随机变量hYt、uiu和hZt、viν为中心高斯分布，如图6.10所示。

让Pt:L∞(u) → L（u）和Qt:L∞(u) → L（ν）是相关的协方差算子，在引理6.11中明确计算。为了证明Y有一个可预测的L（u）值版本，让T∈ (0, ∞), 让我们 L（u）是PT的再生核希尔伯特空间（见第6.2节）。HTin L（u）的包含是γ辐射化（见定义6.3），因为Yt提供了一个具有协方差算子PT的高斯随机变量的实例（见定理6.4）。对于每个人来说∈ （0，T）定义∈ L（u）和Θ*（s） ：L∞(u) → R乘以Θ（s）（x）=e-sx，Θ*（s） （u）=hΘ（s），uiu。（2.4）然后*每个t的满意度∈ [0，T]和u∈ L∞（u）ZtΘ*（t）- s） （u）ds=ZtZ∞E-x（t）-s） u（x）u（dx）ds=hPtu，用户界面u<∞,其中积分顺序可以交换，因为条件（6.1）满足方程式（6.24）。根据定理6.5，存在一个可预测的过程：Ohm ×[0，T]→ L（u）满足所有s，t∈ [0，T]和allu，v∈ L∞（u）thateheyt，uiuheYs，viui=Zt∧shΘ（t）- r）*u、 Θ（s）- r）*viHTdr。根据定理6.5，该方程可唯一确定，直至修正。因为这个方程由Y和T满足∈ (0, ∞) 是任意的，我们已经证明Y有一个可预测的L（u）值版本。我们使用相同的参数来证明Z有一个可预测的L（ν）值版本。这一次，为了每一个人∈ (0, ∞), 设Ht为QT的再生核希尔伯特空间（见第6.2节）。然后，qtl（ν）的嵌入是γ射线化的（见定义6.3），因为zt提供了一个具有协方差算子QT的高斯随机变量的实例（见定理6.4）。对于每个人来说∈ （0，T）定义∈ L（ν）和Θ*（s） ：L∞(ν) → RbyΘ（s）（x）=se-sx，Θ*（s） （v）=hΘ（s），viν。（2.5）然后*每个t的满意度∈ [0，T]和v∈ L∞（ν） ZtΘ*（t）- s） （五）ds=ZtZ∞（t）- s） e-x（t）-s） v（x）ν（dx）ds=hQtv，viν<∞,其中积分顺序可以交换，因为条件（6.1）满足方程式（6.25）。

通过与上述相同的参数，Z有一个可预测的版本：Ohm ×R+→ L（ν）。分数过程的仿射表示42.3。一种新的结构。我们推导了测试函数u的条件本征矩hY、uiu和hZ、viν的有限维a ffine变换公式∈ L∞（C）和v∈ L∞（ν；C）。定理2.6（有效结构）。设u，ν满足假设2.3，设（Y，Z）∈ L（u）×L（ν）。那么过程（Y，Z）是一个函数，在这个意义上，对于每个0≤ T≤ T和（u，v）∈ L∞（u；C）×L∞（ν；C），关系ehyt，uiu+hZT，viνFti=eφ（T-t、 u，v）+hYt，φ（t）-t、 u，v）iu+hZt，φ（t-t、 u，v）iν以概率1成立，其中函数（2.6）（φ，φ，φ）：[0，∞) ×L∞（u；C）×L∞（ν；C）→ C×L∞（u；C）×L∞（ν；C）由（2.7）φ（τ，u，v）=Zτ给出Z∞φ（s，u，v）（x）u（dx）ds，φ（τ，u，v）（x）=e-τxu（x）+τv（x）p（x）,φ（τ，u，v）（x）=e-τxv（x）。证据引理6.10表示，对于每个≤ T≤ T，随机变量hYT，uiu+hZT，viν为高斯分布，给定nft，带均值z∞Yxte-（T）-t） xu（x）u（dx）+Z∞Zxte-x（T）-t） +Yxt（t- t） e-x（T）-（t）v（x）ν（dx）=hYt，φ（T）- t、 u，v）iu+hZt，φ（t- t、 u，v）iν。通过它的等距图，给出了给定FtisZTt的hYT、uiu+hZT、viν的条件方差Z∞E-（T）-s） xu（x）u（dx）+Z∞（T）- s） e-x（T）-s） v（x）ν（dx）ds，等于2φ（T- t、 u，v）。因此，ehyt，uiu+hZT，viνFti=eVar（hYT，uiu+hZT，viν| Ft）+E[hYT，uiu+hZT，viν| Ft]=Eφ（T-t、 u，v）+hYt，φ（t）-t、 u，v）iu+hZt，φ（t-t、 u，v）iν。证据到此结束。系数函数（φ，φ，φ）是有限维Riccati方程组的解。为了计算方程，我们需要引入一些拓扑结构。我们赋予空间L∞（C）和L∞（ν；C）具有弱星型拓扑。然后它们是局部凸可分Hausdorff向量空间。特别是，这些空间中具有值的曲线的可微性得到了很好的定义。定义2.7（Riccati方程）。

（2.6）中的映射φ，φ，φ称为Riccati方程的解，如果它们在区间[0]的t上是连续的，∞), 在时间间隔（0，∞), 并满足（2.8）τ（φ，φ，φ）（τ，u，v）=（R，R，R）φ（τ，u，v），φ（τ，u，v）,（φ，φ，φ）（0，u，v）=（0，u，v），其中映射（R，R，R）：L∞（u；C）×L∞（ν；C）→ 由（u，v）给出了分式过程的C×L（u；C）×L（ν；C）仿射表示=Z∞u（x）u（dx）,R（u，v）（x）=-xu（x）+p（x）v（x），R（u，v）（x）=-xv（x）。引理2.8（Riccati方程）。方程（2.7）中定义的函数（φ，φ，φ）是Riccati方程（2.8）的唯一解。证据很容易验证方程（2.7）给出的函数（φ，φ，φ）在定义2.7的意义上解决了Riccative方程。设（φ，φ，φ）为任何其他解。然后ext（φ-φ） 具有消失导数和初始条件，这意味着它是常数且φ=φ。这同样适用于ext（φ）- φ） ，表示φ=φ，和φ- φ、 表明φ=φ。2.4. 采样路径的连续性。在度量u和ν的以下条件下，过程（Y，Z）相对于范数拓扑在L（u）×L（ν）中具有连续的采样路径。假设2.9（可积条件）。u和ν是（0，∞) 例如，对于u和每个t>0Z，ν具有密度p∞日志（1+tx）1/2x-u（dx）<∞,Z∞日志（1+tx）1/2x-ν（dx）<∞, 好的∈(0,∞)p（x）e-tx<∞.备注2.10。与假设2.3相比，假设2.9相当于接近于零，并且从极限可以看出，假设2.9更接近于零t>0:limx→0+对数（1+tx）1/2x-1.∧十、-=√t、 利克斯→∞日志（1+tx）1/2x-1.∧ 十、-= ∞.定理2.11（样本路径的连续性）。在假设2.9下，如果初始条件（Y，Z）位于该s步，则过程（Y，Z）在L（u）×L（ν）中具有连续的采样路径。备注2.12。

注意，定理2.11不能保证（Y，Z）是L（u）×L（ν）中的高斯过程；这源自假设2.3下的定理2.4。证据Yxe的表达-TX和Zxe-tx+Yxte-txde分别定义连续L（u）和L（ν）值函数。因此，根据等式（2.3）中（Y，Z）的表示，我们可以假设（Y，Z）=0，而不丧失一般性。根据引理6.12和关于u的假设2.9，关于uyieldsE“Z的积分∞小吃∈[0，t]| Yxs |u（dx）#≤ CZ∞日志（1+tx）1/2x-u（dx）<∞,我们可以交换积分的顺序，因为被积函数是正的。这意味着[t:是的∈ L（u）]=1。此外，利用以Y的sup过程为主的控制收敛定理，Q[Y]∈ C（[0，∞); L（u））]=1。对于过程Z，引理6.12和假设2.9对ν的估计表明Q[t:Zxt∈ L（ν）]=1。如前所述，以Z的sup过程为主的支配收敛定理暗示了Q[Z]∈C（[0，∞); L（ν））]=1。2.5. 半鞅性质。在这一节中，我们研究过程（Y，Z）的线性泛函是半鞅的条件。我们考虑与时间相关的线性泛函，因为这将在以后的应用中需要。分数过程的仿射表示6Theorem 2.13（半鞅性质）。让假设2.3就位。