最优跟踪的渐近下界：一个线性规划

据我们所知，除了[2,15,19,27,42]之外，没有高维布朗运动时间平均控制的闭式解的例子。5与市场摩擦下效用最大化的关系正如我们已经提到的，下限（1.6）也出现在效用最大化框架下的小市场摩擦的影响研究中，参见[2,17,28,29,40,42,47,51]。在本节中，我们将以启发式的方式解释如何将小市场摩擦下的效用最大化与跟踪问题联系起来。应该指出的是，我们只是把这两个问题联系起来，并没有严格地建立等价关系。我们遵循[29]中的介绍，考虑经典的效用最大化问题U（t，wt）=sup~nE[U（wt，wtT）]，其中wt，wts=wt+Zst k udSu，其中k是交易策略。市场动态是一个It半鞅DST=bStdt+qaStdWt。在无摩擦市场中，我们用φ表示*t最佳策略和*t相应的财富过程。如[29]所述，间接边际效用u（t，w*t） 沿着最优财富过程计算的是一个鞅密度，我们用Zt:Zt=u（t，w）表示*t） 。注意S是Q下的鞅，dqdp=ZTZ。还定义了间接风险承受过程RtbyRt=-u（t，w）*t） u（t，w）*t） 。考虑[28]中的指数效用函数，即isU（x）=-E-px，p>0。在一个具有比例交易成本的市场中，投资组合的动力学由wt，wt，εs=wεt+ZstεudSu给出-Zstεhudk~nεku，其中Ht是一个随机权重过程，而ηεta过程具有有限的变化。

控制问题是Uε（t，wt）=sup~nεE[U（wt，wt，εt）]。当成本ε很小时，我们可以预期|ε接近|*倒立装置wεT:=w0，w，εT- W*T=ZT（ψεT）- φ*t） dSt- εZThtdk~nεkt。然后，对于第一批订单数量，我们有uε- u=E[u（w）*T+wεT）]- E[U（w）*T） [U（w）]*（T）wεT+U（w*（T）(wεT）]=-u（w）EQ[wεT+2R(wεT）]-u（w）EQ[εZThtdkаεkt+2R（ZT（аεt- φ*t） dSt）]=-u（w）EQ[εZThtdk~nεkt+ZTaSt2R（νεt）- φ*t） dt]。类似地，在一个交易成本固定的市场中，见[2]，投资组合的动态是给定的nbywt，wt，εs=wεt+Zst~nεudSu+ψs- εXt<τεj≤skτεjF（ξεj），νεt=X0<τεj≤tξεj，我们有uε- 你-u（w）EQ[εX0<τεj≤TkτεjF（ξεj）+ZTaSt2R（νεt- φ*t） dt]。最后，在一个对价格有线性影响的市场中，见[42,49]，投资组合的动态是给定的nbywt，wt，εs=wεt+Zst~nεudSu- εZstlu（uεu）du，νεt=Ztuεtdt，我们有uε- 你-u（w）EQ[εZTlt（uεt）dt+ZTaSt2R（νεt）- φ*t） dt]。综上所述，如果偏差惩罚设置为bertD（x）=aSt2Rx，则小市场摩擦下的效用最大化在启发式上等价于跟踪问题。（5.1）确定确定性相当于财富损失εbyuε=：u（w- ε） 因此εβζDε\'EQ[ZTItdt]，（5.2）另见[29，等式（3.4）]和[42，第18页]。备注5.1（更高维度和一般效用函数）。对于高维和一般效用函数的情况，应设置RTD（x）=2Rthx，aStxi。（5.3）换句话说，市场摩擦下的效用最大化可以通过二次偏差成本跟踪问题（5.3）一阶近似。因此，我们可以在[2,18,19,42]中的跟踪问题和效用最大化问题之间建立联系。备注5.2（一般成本结构）。当存在具有可比影响的多个市场摩擦时，偏差惩罚的选择与（5.3）相同，只需调整成本结构。我们的结果直接适用于这些情况，见[18,40]。

例如，在具有比例成本和线性市场影响的交易中，参见[40]，局部问题是成本结构为ca（x，u）=rx+lu+h | u |的布朗运动的时间平均控制。事实上，[40]中的方程（4.3）-（4.5）给出了在这种成本结构下布朗运动的时间平均控制问题的HJB方程的验证定理。备注5.3（非零利率）。在非零利率的情况下，对应关系应写成εβζDε\'EQ[ZTe-里特]，（5.4）其中e-RTSTI是一个Q-鞅，跟踪问题由（5.3）定义。例如，（5.4）的右侧是[52]中等式（3.11）的Black-Scholes模型下的概率表示。备注5.4（有限期内的最佳消费）。在[47,51]中，作者考虑了小比例成本下有限时间内的最优消费问题。它们的结果可以以同样的方式与跟踪问题相关，即εβζDε\'EQ[Z∞E-Ridtt]，e在哪里-RTSTI是一个Q-鞅，跟踪问题由（5.3）定义。6定理2.1的证明本节致力于定理2.1的证明。在第6.1节中，我们首先严格建立了第2.1节中概述的论点，表明考虑一个小视界（t，t+Δε）就足够了。然后，我们在第6.2节中证明了定理2.1。我们的证明受[34]和[39]中的方法启发。

引理6.3是一个重要的组成部分，其证明在第6.3.6.1节“局部时间平均控制问题的简化”中给出。我们首先表明，为了获得（2.13），研究局部时间平均控制问题就足够了（注意，参数rt、lt、kt、HTT在时间t时被冻结）Iεt=tεZTεrtD（eXε，ts）+ltQ（euε，ts）ds+X0<eτε，tj≤TεktF（eξεj）+htP（eξεj）, （6.1）式中，dexε，ts=ebε，tsds+qeaε，tsdfWε，ts+euε，tsds+d（X0<eτε，tj≤seξεj），eXε，t=0（6.2），tε=ε-αβΔε和Δε∈ R+依赖于ε，以Δε的方式→ 0，Tε→ ∞, （6.3）asε→ 0.回想一下α=2，这是由于布朗运动的标度特性。我们可以简单地把Δε=εβ。本地化，因为我们感兴趣的是在假设2下收敛的概率结果。2和2.3，考虑以下假设成立的情况就足够了。假设6.1。存在一个正常数M∈ R*+这样的SUP（t，ω）∈[0，T]×Ohm|at（ω）|∨ rt（ω）±1∨ lt（ω）±1∨ ht（ω）±1∨ kt（ω）±1<M<∞.此外，Xo是鞅（bt）≡ 0).实际上，设置Tm=inf{t>0，sups∈[0，t]| bs |∨ |作为|∨ r±1s∨ ls（ω）±1∨ h±1s∨ k±1s≤ m} 。然后我们有了limm→∞P[Tm=T]=1。通过标准定位程序，我们可以假设所有参数都有界，如假设6.1所示。LetdQdP=expn-ZTa-1tbtdWt-ZTbTta-2tbtdto，然后根据Girsanov定理，Xo是Q下的鞅。由于Q等价于P，我们只需要证明Q下的（2.13）。因此，我们可以假设Xo是一个没有失去普遍性的鞅。从现在起，我们假设假设假设6.1成立。局部平均costLemma 6.1。在假设6.1下，我们几乎可以确定Lim infε→0εζDβJε≥ lim-infε→0ZTIεtdt。证据我们引入了一个辅助成本函数：Jε=ZTΔεZ（t+Δε）∧TtrsD（Xεs）+lsQ（uεs）ds+ΔεXt<τεj≤（t+Δε）∧TεβFkτεjF（ξεj）+εβPhτεjP（ξεj）dt。请注意，积分中的参数r、l、k、h不会冻结在t。

利用富比尼定理，我们得到了Jε=ZTsΔε{0<s<Δε}rsD（Xεs）+lsQ（uεs）ds+X0<τεj≤TτεjΔε{0<τεj<Δε}εβFkτεjF（ξεj）+εβPhτεjP（ξεj）.亨塞≤εζDβ（Jε）-\'\'Jε）≤ ΔεIε+{τε=0}εβFkτεF（ξε）+εβPhτεP（ξε）, （6.4）式中，Iε由（6.1）给出，t=0。另一方面，我们有ztiεtdt=εζDβZTΔεZ（t+Δε）∧TtrtD（Xεs）+ltQ（uεs）ds+ΔεXt<τεj≤（t+Δε）∧TεβFktF（ξεj）+εβPhtP（ξεj）dt，其中参数在时间t处冻结。因此εζDβ′Jε-ZTIεtdt≤ M·w（r，l，k，h；Δε）·εζDβ′Jε∧eJε, （6.5）假设6.1中w为连续性模量，M为常数。注意我们有w（r，l，k，h；δ）→ 0+asδ→ 0+通过r、l、k、h的连续性。结合（6.4）和（6.5），它们的内在质量如下。使用前面的引理，我们可以将问题简化为局部问题的研究，如下所述。引理6.2（约化）。对于定理2.1的证明，只要证明lim infε就足够了→0E[Iεt]≥ E[它]。（6.6）证据。根据引理6.1，为了得到定理2.1，我们需要证明lim-infε→0ZTIεtdt≥pZTItdt。通过假设2.1和引理D.1，就足以证明lim infε→0E[yiεt]≥ E[Y It]，对于任何有界随机变量Y。最多可更改符号rt→ Y rt，中尉→ 是的，是的→ Y和kt→ Y kt（请注意，这是允许的，因为我们不要求对rt、lt、ht和kt进行调整），它需要显示（6.6）。6.2定理2.1的证明在第6.1节之后，它需要证明（6.6），其中Iε由（6.1）-（6.2）给出。特别是，我们可以假设supε>0E[Iεt]<∞. （6.7）结合[34,39]中的观点，我们首先考虑（eXε，ts）的经验职业测量。确定以下带有自然夹杂物的随机占用措施|εt=tεZTεδ{（eXε，ts，euε，ts）}ds∈ P（Rdx×Rdu），ρεt=tεX0<eτε，tj≤Tεδ{（eXε，teτε，tj-,eξεj）}∈ M（Rdx×Rdξ\\{0ξ}）→ M（Rdx×Rdξ\\{0ξ}），其中E=E∪{∞} 是E的一点压缩。状态空间的这种压缩出现在[7]中。

另请参见推论4.1的证明，其中使用了状态空间的紧定位。请注意，对于“m”∈ M（E）我们有正则分解M（de）=M（de）+θδ∞,和m∈ M（E）和θ∈ R+。其次，我们定义：Ohm ×P（Rdx×Rdu）×M（Rdx×Rdξ\\{0ξ}）→ R、 （ω，u，ρ）7→ZRdx×Rdurt（ω）D（x）+lt（ω）Q（u）u（dx×du）+ZRdx×Rdξ\\{0ξ}kt（ω）F（ξ）+ht（ω）P（ξ）ρ（dx×dξ），其中通过设置F将代价函数F和P扩展到Rdx×Rdξ\\{0ξ}(∞（x，ξ））=infξ∈Rdξ\\{0ξ}F（ξ）>0，P(∞（x，ξ））=0，（6.8）带∞（x，ξ）Rdx×Rdξ\\{0ξ}的紧致点。请注意，函数F和P仍然是紧空间上的l.s.c.，这是我们在下面需要的一个重要属性。此外，对于任何ρ=ρ+θρδ∞（x，ξ），我们有（ω，u，ρ）≥ ct（ω，u，ρ）。（6.9）现在我们有iεt=ct（μεt，ρεt），（6.10），我们可以写出（6.7）assupε>0E[ct（μεt，ρεt）]<∞. （6.11）第6.3节证明的下列引理是定理2.1证明的关键。引理6.3（极限的表征）。假设（6.11）成立，那么1。序列{（μεt，ρεt）}是紧的随机变量序列，其值为P（Rdx×Rdu）×M（Rdx×Rdξ\\{0ξ），具有弱收敛的拓扑结构。特别是，{（μεt，ρεt）}在PP中相对紧凑Ohm×P（Rdx×Rdu）×M（Rdx×Rdξ\\{0ξ}）, 具有稳定收敛的拓扑结构（见附录D）。让Qt∈ 聚丙烯Ohm ×P（Rdx×Rdu）×M（Rdx×Rdξ\\{0ξ}）是{（μεt，ρεt）}的任何F-稳定极限，分解形式qt（dω，du，d′ρ）=P（dω）Qωt（du，d′ρ）。andS（a）=n（u，’ρ）∈ {Rdx}Rdx（ρ）ρ∞ρ∈ M（Rdx×Rdξ\\{0ξ}），ZRdx×RduAaf（x，u）u（dx，du）+ZRdx×Rdξ\\{0ξ}Bf（x，ξ）ρ（dx，dξ）=0，F∈ C（Rdx）o，其中aab由（4.2）和（4.3）给出。

然后我们有P-几乎可以肯定，（u，\'-ρ）∈ S（at（ω）），Qωt-几乎可以肯定。通过引理6.3，我们得到了一个子序列（μεt，ρεt）→FQt∈ 聚丙烯P（Rdx×Rdu）×M（Rdx×Rdξ\\{0ξ}）.把qt写成分解形式，我们有qt（dω，du，d′ρ）=P（dω）Qωt（du，d′ρ）。（6.12）和Qωt-几乎肯定（u，ρ）∈ S（at（ω））。（6.13）由于成本函数CTI是下半连续的，我们有lim infε→0E[Iεt]（6.10）=lim infε→0E[ct（μεt，ρεt）]（D.1）≥ EQt[ct（ω，u，ρ）]（6.9）≥ EQt[ct（ω，u，ρ）]（6.12）=ZOhmP（dω）ZP（Rx×Ru）×M（Rx×Rξ\\{0ξ}）ct（ω，u，ρ）Qωt（du，d′ρ）（6.13）=ZOhmP（dω）ZS（at（ω））ct（ω，u，ρ）Qωt（du，d′ρ）≥ZOhmP（dω）inf（u，ρ）∈S（at（ω））ct（ω，u，ρ）。最后，通过定义I，我们得到了lim infε→0E[Iεt]≥ 6.3引理的证明6.3首先我们证明了P（Rdx×Rdu）×M（Rdx×Rdξ\\{0ξ}中{（με，ρε）}的紧性。常用的方法是使用紧密度函数（见C节）。回想一下，代价函数F和P被（6.8）扩展到Rdx×Rdξ\\{0ξ}，使得c是低半连续的。此外，c是假设6.1下的紧度函数，见第c节或[13，第309页]。因此，如果（6.11）成立，随机测度{（με，ρε）}族是紧的。此外，根据命题D.1，我们有（μεt，ρεt）→FQt∈ PP（P（Rdx×Rdu）×M（Rdx×Rdξ\\{0ξ}），直到一个子序列，qt（dω，du，d′ρ）=P（dω）Qωt（du，d′ρ）。对于引理的其余部分，我们使用[34]和[39]中的参数组合。还记得AAF（x，u）=Xi，jaij吗ijf（x）+uTf（x），Bf（x，ξ）=f（x+ξ）- f（x）。为了f∈ C（Rdx），定义ψft（ω，u，ρ）：=ZRdx×RduAat（ω）f（x，u）u（dx×dx）+ZRdx×Rdξ\\{0ξ}Bf（x，ξ）ρ（dx，dξ），ρ=ρ+δρ∞.注意，自ρ以来，ψfti定义良好∈ M（Rdx×Rdξ\\{0ξ}）。然后我们声称等式[|ψft（ω，u，ρ）|]=limε→0E[|ψft（ω，μεt（ω），ρεt（ω））|]=0。（6.14）虽然ψf（ω，·，·）∈ C（P（Rdx×Rdu）×M（Rdx×Rdξ\\{0ξ}），它是无界的。（6.14）中的初始质量并不直接来自稳定收敛的定义。

然而，根据推论4.1，条件（4.14）成立，即存在β∈ （0，1）和θfn依赖于f的负实数，使得（Af）1/β≤ θf（1+CA），（Bf）1/β≤ θfCB。通过（6.11），我们推导出{ψft（ω，μεt，ρεt）}是一致可积的，并通过[25，定理2.16]得到（6.14）中的第一个等式。对于（6.14）中的第二个等式，我们将它的公式应用于f（eXε，tTε）（回想一下，动态of eXε，由（2.4）给出），并得到f（eXε，tTε）=f（eXε，t0+）+ZTεf（eXε，ts）qeaε，tsdfWε，ts+ZTεXijeaε，tij，sijf（eXε，ts）ds+ZTεXieuε，ti，s如果（eXε，ts）ds+X0<eτε，tj≤Tεf（eXε，teτε，tj-+eξεj）- f（eXε，teτε，tj-).结合με、ρε和ψft的定义，我们得到了[|ψft（ω，μεt（ω），ρεt（ω））|]≤TεE[|f（eXε，tTε）- f（eXε，t0+|]+TεEhZTεf（eXε，ts）qeaε，tsdfWε，tsi+TεE[ZTεXij | eaε，tij，s-eaε，tij，0|ijf（eXε，ts）ds]。根据假设2.2和6.1以及主导收敛，右侧的项收敛为零。因此（6.14）成立。通过定义Qω和富比尼定理，我们得到了EQ[|ψft（ω，u，ρ）|]=EP[EQω[|ψft（ω，u，ρ）|]=0。因此我们有P-a.e.-ω，EQω[|ψft（ω，u，ρ）|]=0。设D是C的可数稠密子集。SinceD是可数的。对于所有f，我们有P-a.e.-ω，EQω[|ψft（ω，u，ρ）|]=0∈ D.固定ω∈ Ohm \\ N财产所持有的财产。同样地，通过同样的论证，我们得到了Qω-a.e-（u，ρ）。，ψft（ω，u，ρ）=0∈ D

因为D在C中是稠密的，所以ψft（ω，u，ρ）=0代表f∈ C.7定理3.1重定标过程（eXε，ts）的证明由dexε给出，ts=ebε，tsds+qeaε，tsdfWε，ts+euε，tsds+eγε，ts+eγε，ts+eγεε，ts=γεt+ε2βs，eεεεε- εt）。奇异控制的经验占位度量由νεt=tεZTεδ{（eXε，ts，eγε，ts， eаε，ts）}d eаε，ts。而аε的定义与之前相同。确定成本功能ct：Ohm ×P（Rdx×Rdu）×M（Rdx×） ×R+δ）→ R:（ω，u，\'ν）7→ZRdx×Rdu（rt（ω）D（x）+lt（ω）Q（u））u（dx×du）+ZRdx××R+δht（ω）P（γ）×ν（dx×dγ×dδ）。然后我们可以展示引理6.3的类似版本，并用（4.5）替换的算子证明定理3.1。关键成分是o功能性c是一种紧密性功能。o条件（4.14）适用于（4.4）-（4.5）给出的A和B。为了满足这两个性质，我们需要使用不同的算子B.8证明命题4.1-4.5。在本节中，我们证明命题4.1-4.5。首先，我们在Rd中提供了一个针对线性规划公式的验证参数。其次，我们给出了命题4.4证明的全部细节。其余案例中的证据完全相同，因此省略了。8.1 RDA:D中的验证定理→ C（Rdx×Rdu）和B:D→ C（Rdx×V），D=C（Rdx）。算符A由af（x，u）=Xijaij给出ijf（x）+xui如果（x），f∈ C（Rd），算子B由bf（x，ξ）=f（x+ξ）给出- f（x），如果V=Rdξ\\{0ξ}，且byBf（x，γ，δ）=（hγ，f（x）i，δ=0，δ-1.f（x+Δγ）- f（x）, δ>0，如果= ×R+δ。设CA:Rdx×Rdu→ R+和CB:Rdx×V→ R+是两个成本函数。我们考虑以下优化问题：I=inf（u，ρ）c（u，ρ）：=ZRdx×RduCA（x，u）u（dx，du）+ZRdx×VCB（x，v）ρ（dx，dv），（8.1）式中（u，ρ）∈ P（Rdx×Rdu）×M（Rdx×V）满足ZRdx×RduAf（x，u）u（dx，du）+ZRdx×VBf（x，V）ρ（dx，dv）=0，F∈ C（Rdx）。（8.2）引理8.1（验证）。

让我们∈ C（Rdx）∩C（Rdx\\N），因此Aw是x的精确定义点/∈ N和Bw对于x有很好的定义∈ Rdx。假设1。对于每个（u，ρ）∈ P（Rdx×Rdu）×M（Rdx×V）满足（8.2）和c（u，ρ）<∞, 我们有u（N×Rdu）=0.2。这里有∈ C（Rdx）使之（x，u）→ Aw（x，u），（x，u）∈ Rdx\\N×Rdu，Bwn（x，v）→ Bw（x，v），（十、五）∈ Rdx×V，存在θ∈ R+使得| Awn（x，u）|≤ θ（1+CA（x，u）），（x，u）∈ （Rdx\\N）×Rdu | Bwn（x，v）|≤ θCB（x，v），（十、五）∈ Rdx×V.3。存在一个常数IV∈ 是这样吗∈RduAw（x，u）+CA（x，u）≥ 四、 x∈ Rdx\\N，（8.3）infv∈VBw（x，v）+CB（x，v）≥ 0，x∈ Rdx。（8.4）然后我们有了我≥ 四、 如果存在（u）*, ρ*) 满足LP约束且aw（x，u）+CA（x，u）=IV，u*- a、 e.（8.5）Bw（x，v）+CB（x，v）=0，ρ*- a、 e.（8.6）那么我们有I=IV。此外，通过（u）获得最佳值*, ρ*) 我们称（w，IV）为线性规划问题的值函数。引理8.1的证明。设（u，ρ）为满足（8.2）和c（u，ρ）的任意一对∞. 我们有ZRdx×RduAw（x，u）u（dx，du）+ZRdx×VBw（x，v）ρ（dx，dv）=ZRdx×RduAwn（x，u）u（dx，du）+ZRdx×VBwn（x，v）ρ（dx，dv）=0。第一个术语定义得很好，因为Aw在任何地方都有定义。第二个等式源自第二个条件和支配收敛定理。