最优跟踪的渐近下界：一个线性规划

Hencec（u，ρ）=ZRdx×Rdu（CA（x，u）+Aw（x，u））u（dx，du）+ZRdx×V（CB（x，V）+Bw（x，V））ρ（dx，dv）≥ 四、 其中，最后一个不等式是由（8.3）-（8.4）引起的，当且仅当（8.5）-（8.6）满足时，等式成立。因此，如果我们可以从（8.5）-（8.6）中确定合适的值函数，就可以找到线性规划的显式解=-hw\'=-hw\'=hw\'=hw\'<0w\'<0h=2h=-2w\'（x）w（x）图1：常规和脉冲控制组合的值函数8。2验证命题4.4在本节中，我们提供了以下线性规划问题的显式解：I（a，r，l，k，h）=inf（u，ρ）ZRx×Ru（rx+lu）u（dx，du）+ZRx×rξ\\{0ξ}（k+h|ξ|）ρ（dx，dξ），（8.7）其中u∈ P（Rx×Ru）和ρ∈ M（Rx×Rξ\\{0ξ}）满足yzrx×Ruaf（x）+uf（x）u（dx，du）+ZRx×Rξ\\{0ξ}f（x+ξ）- f（x）ρ（dx，dξ）=0，（8.8）对于任何f∈ C（R）。下面的引理，其证明在附录中给出，以及定理8。1确定（8.7）-（8.8）的值函数（w，IV）的存在性。引理8.2（组合规则和脉冲控制的值函数）。存在U>ξ*> 0、IV>0和w∈ C（R）∩ C（R\\{U，U}）使得aw（x，U）*（x） ）+CA（x，u*（x） ）=IV，x∈ (-U、 U），（8.9）Bw（x，-sgn（x）ξ*) + CB（x，-sgn（x）ξ*) = 0，x∈ {-U、 U}，（8.10）其中*（x） 是由你定义的吗*（x） ：=Argminu∈RuAw（x，u）+CA（x，u）=-w（x）2l。（8.11）更准确地说，我们有（c.f.图1）w（x）=（rl）1/2x- 2al lnF（1-ι;;拉尔1/2x），|x |≤ U、 w（U）+h（|x|）- U） ，|x |>U，（8.12），其中f是Kummer对流超几何函数（见A节）andIV=ι√阿尔，为了一些ι∈ (0, 1). 此外，w满足以下条件SW（x）=w（x- sgn（x）ξ*) = sgn（x）h，x∈ {-U、 U}，（8.13）w（x）<0，x∈ {-U、 U}，（8.14）w（x）∈(-∞, -h） ,，-U<x<-U+ξ*,(-h、 h），-U+ξ*< x<U- ξ*,（h），∞), U- ξ*< x<U，（8.15）和w，ξ*, U和Iv持续依赖于参数（a、r、k、h）。备注8.1。

等式（8.9）和（8.10）基本上对应于（8.5）和（8.6）。间歇(-U、 U）称为连续区域。等式（8.13）是所谓的“平滑”条件，并保证w是一个C函数。方程（8.14）和（8.15）描述了w导数的增长，并将有助于定理8.1的证明。命题4.4是下列定理的直接结果。定理8.1（规则控制和脉冲控制相结合）。对于任何参数a、r、l、k>0和H≥ 0，我们有1。引理8.2中的对（w，IV）是引理8意义上的（8.7）-（8.8）的值函数。1.具体而言，（8.7）-（8.8）的最佳成本由I=IV.2给出。让p*（十）∈ C([-U、 U]）∩ C((-U、 U）\\{-U+ξ*, U- ξ*}) 解决问题美联社（x）- （u）*（x） p（x））=0，x∈ (-U、 U）\\{-U+ξ*, U- ξ*},p(-U） =p（U）=0，ap((-U） +）=p((-U+ξ*)-)) -a（p((-U+ξ*)+),ap（美国）-) = p（（U）- ξ*)+)) -a（p）（U- ξ*)-),汝-上（x）=1，（8.16）写入ρ*-, ρ*+∈ ρ的R+*-=美联社((-U） +），ρ*+= -ap（美国）-), （8.17）并回顾美国*由（8.11）给出。然后通过u获得（8.7）-（8.8）的最佳值*（dx，du）=p*（x） dx δu*（x） （du），ρ*（dx，dξ）=ρ*-δ(-U、 ξ*)+ ρ*+δ（U，-ξ*). （8.18）证据。1.考虑引理8.2中定义的函数。首先，我们证明引理8.1中的三个条件满足w.i）注意N={-U、 U}。对于满足LP约束的任何（u，ρ），我们证明了u（{x}×Ru）=0，十、∈ Rx。具体而言，u（N×Ru）=0。的确，让fn∈ C（Rx）bea测试功能序列，以便fn→{x} ，kfnk∞∨ kfnk∞→ 存在θ∈ R+使得| Afn（x，u）|≤ θ（1+CA（x，u）），|Bfn（x，ξ）|≤ θCB（x，ξ）十、∈ Rx，u∈ Ru，ξ∈ Rξ\\{0ξ}。例如，让我们∈ cw，其中φ是分段线性函数，因此φ（±∞) =φ(-1） =~n（1）=~n（3）=~n（5）=0，~n（0）=~n（4）=1和~n（2）=-2和takefn（z）=nа（n（z- x） ）。

因为c（u，ρ）<∞, 我们通过控制收敛定理u（{x}×Ru）=limnZAfn（z，u）u（dz×du）+ZBfn（z，ξ）ρ（dz×dξ）=0。ii）让∈ Cbe一系列指示函数，使得|x |n（x）=1≤ n和supnk~nnkC:=k~nnk∞∨ k k nk∞∨ k k nk∞< ∞.设wn=w~nn，则wn在{-U、 U}并且具有紧凑的支持。对于每n，Wn也满足LP约束Shawndu+ZBwndρ=0。实际上，设δ为任何卷积核，且δ：=wn* φδ. 因此，δ满足lp约束。此外，Awn，δ→ x的雨篷/∈ {-U、 U}，Bwn，δ→ 对于任何（x，u）和supδkwn，δkC<kwnkC<∞. 通过主导收敛，WN满足LP约束。最后，直接计算表明，对于某些常数θ和θ，|Awn |≤ θk|nkC（|w |+|w |+|w |）≤ θ（1+CA），|Bwn |≤ 2k~nnk∞|wn|≤ θCB。第二个条件是满足的。iii）通过（8.9）和（8.14），我们有Aw+CA≥ 0代表x/∈ {-U、 U}。通过（8.10）-（8.15）和对[U，U]之外的w的定义，我们得到了Bw+CB≥ 通过引理8.1，我们得出结论：I=IV.2。我们需要证明这一点*和ρ*满足LP约束。假设*和ρ*由（8.18）给出，然后通过部分积分，如果p*（x） 是（8.16）的解。很容易看出，后者承认了一个独特的解决方案。这里我们收集了Kummer对流超几何函数的一些性质，这些性质有助于确定一维组合控制问题的值函数的存在性。回想一下FIS定义的asF（a、b、z）=∞Xk=0（a）k（b）kzkk！，带有（a）K波克哈默符号。引理A.1。我们有以下属性。1.函数fad提供以下积分表示f（a，b，z）=Γ（b）Γ（b）- a） Γ（a）泽兹塔-1(1 - t） b-A.-1dt。它是a和z的整函数和b.2的亚纯函数。我们有zF（a，b，z）=abF（a+1，b+1，z），b（a，z）=∞Xk=0（a）k（b）kzkk！K-1Xp=0p+a.3。

我们有（a+1）zF（a+2，b+2，z）+（b+1）（b）- z） F（a+1，b+1，z）- b（b+1）F（a，b，z）=0.4。我们有f（a，b，z）=Γ（a）Γ（b）- a） eiπaz-a（1+O（|z |）+Γ（b）Γ（a）ezza-b（1+O（|z |）），作为z→ ∞.5.考虑韦伯微分方程W（x）- （x+θ）w（x）=0。（A.1）该方程的奇偶解分别由ew（x；θ）=e给出-xF（θ+，x），（A.2）`w（x；θ）=xe-xF（θ+，x）。（A.3）证据。见[1,3]。B引理的证明8.2我们首先在延拓区域寻找w(-U、 U）。定义（变量的变化来自[45，第260页]）w（x）：=-2al-ln-ew（xα；-ι） ，α=a（r）-1l）1/2，ι=IV（arl）1/2，其中ew是韦伯微分方程（A.1）的奇解（A.2）。然后，我们满足以下条件ODEaw（x）-4l（w（x））+rx=IV，正好是（8.9）。因此我们推测，在延拓区域中的解(-U、 U）由w（x）给出-2al lnE-x/αF（1）- ι、 ，2αx）= （rl）1/2x- 2al lnF（1）- ι、 ，2αx）.现在我们证明存在合适的值U，ξ（U）和ι，使得0≤ U+ξ（U）≤ U、 ι∈ （0,1）和条件（8.10）-（8.15）均满足。Leth（x；ι）：=Wx=2（rl）1/2（1- (1 - ι） g（2αx；ι））x，其中g（z；ι）=F（1-ι+1，+1，z）F（1-ι、 ，z）。我们有下面的引理。引理。函数g（z；ι）满足函数g（z；ι）→（1，z）→ 0+,1-ι、 z→ +∞,andg（z；ι）>0，Z∈ [0, +∞).证据ι的渐近行为。为了证明g是递增的，我们使用引理A.1中的性质2和3，得到g（z）=g（z）1.-1.- ιg（z）+2z1.- g（z）.注意g（0）>0，所以在x=0附近g>1。因为g（z）>0表示g（z）=1，而g（z）<0表示g（z）=1-ι、 g（z）不能离开带[1,1]-ι].我们现在陈述第二个引理。引理B.2。函数h（x；ι）满足以下性质。1.为了ι∈ （0，1），我们有（x；ι）x→（2（rl）1/2ι，x→ 0+,-2（rl）1/2，x→ +∞.设0<\'xι<∞ 是h（x；ι）的第一个零。

我们有h（x；ι）=（2（rl）1/2ι>0，x=0，-2（rl）1/22（1- ι） \'xιg（\'zι）<0，x=\'xι，其中\'zι=2α\'xι和h（x；ι）<0，x∈ [0，\'xι].2。为了x∈ (0, ∞), 我们有ιh（x；ι）>0和h（x；ι）→ 2（rl）1/2x，ι→ 1.- .我们有‘xι=O（ι1/2），ι→ 0+和hencemaxx∈[0，\'xι]h（x；ι）→ 0, ι → 0 + .证据固定的ι。h的渐近行为遵循引理B.1。第二个属性是明确的，因为h（x；ι）=2（rl）1/2- 2(1 - ι） g（z）z+1.- (1 - ι） g（z）= 2（rl）1/2(-2(1 - ι） g（z）z）+h（x）x，其中z=2αx。最后，我们得到h（x；ι）=ddzh（z；ι）z（x）=-2（rl）1/2（1- ι） （3g（z）+2g（z）z（x）.0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.00.0 1.0 2.0 3.0xh（x；物联网）0+<--- 极少量---> 1.-y=2*sqrt（rl）*iota*x图2:h（x；ι）的定性行为此外，我们有3g（z）+2g（z）z=3g（z）+2zg（z）1.- (1 - ι） g（z）+2zg（z）- 1.- zg（z）= 2zg（z）1.- (1 - ι） g（z）+z（g（z）- 1） +2g（z）对于x来说是严格正的∈ [0，\'xι]。对于固定x.h的极限为ι→ 1.- 从f（a，b，z）在a中是整的这一事实出发。现在我们证明h在ι中是单调的。让G:=ι1F，我们有ιh（x；ι）=-2alιxlnF（1）- ι;;2αx）=-2al十、ιlnF（1）- ι;;2αx）=alxGF（1- ι;;2αx）=alz（x）FzG- GzFF（1- ι;; z） ，z（x）=2αx。这足以证明最后一项是正的。使用和G的序列表示（见引理A.1），writeF=∞Xk=0fkzk，G=∞Xk=0βkfkzk，其中βk=k-1Xp=0p+a，a=1- ι.我们得到了xG- GxF=∞Xi=0fizi∞Xj=0（j+1）βj+1fj+1zj-∞Xi=0（i+1）fi+1zi∞Xj=0βjfjzj=∞Xk=0Xi+j=kfi（j+1）βj+1fj+1zk-∞Xk=0Xi+j=k（i+1）fi+1βjfjzk。然后Zk的系数由xi+j=kfi（j+1）βj+1fj+1给出-Xi+j=k（i+1）fi+1βjfj=Xi+j=k（j+1）（βj+1）- βi）fifj+1=X1≤i<j+1≤K（j+1）（βj+1）- βi）fifj+1- i（βi）- βj+1）fj+1fi+Xj+1=k+1（···）+Xi=j+1（···）=X1≤i<j+1≤k（j+1）-i） （βj+1）- βi）fifj+1+Xj+1=k+1（···）+Xi=j+1（·····）。这一项是正的，因为βkis在k中增加ιh>0。

因此，固定x的h（x；ι）在ι中增加∈ R+。根据g和h之间的关系，\'zι是1的第一个解- (1 - ι） g（z）=0，z>0。此外，我们有g（z）=1+（1）-1.- ι） z+o（z），z→ 0 + .然后在ι上，g（z）从下到[0，z]上的1+z是一致的，因此ιzι≤3ι1 - ι=O（ι），ι→ 0 + .最后，我们有max[0，\'xι]h（x；ι）≤ 2（rl）1/2ιxι→ 0, ι → 0 + .B.1提案。对于任何参数r、l、h>0和k≥ 0，存在ι∈ （0,1）和0≤U+ξ≤ U使得zuu+ξh（x；ι）dx=k- hξ，h（U；ι）=h，h（U+ξ；ι）=h，h（x；ι）∈（（0，h），0≤ 十、≤ U+ξ，（h，∞), U+ξ≤ 十、≤ U、 h（x；ι）<0,0≤ 十、≤ 此外，（ι，ξ，U）持续依赖于（r，l，k，h）。证据存在让k>0。因为h（x；ι）在ι和h（x；ι）中是单调的→ 2（rl）1/2x asι→ 1.-,存在ι=ι（h）≥ 0使得（ι，1）={ι∈ （0，1），在[0，\'xι]上存在两个解Uι+ξ和Uι我们有h（Uι+ξ；ι）>0，h（Uι）<0，所以根据隐函数定理，Uι和Uι+ξ连续依赖于ι。definek（ι）=ZUιUι+ξιh（x；ι）dx。那么K在ι和limι中是连续的→ιK（ι）=0，limι→1.-K（ι）=∞.因此存在ι（h，k）∈ （ι（h），1）使得K（ι（h，K））=K。h的剩余性质是可以验证的。如果K=0，则正好存在一个ι（h）∈ （0，1）使得h（x；ι）的最大值是h，并且由Uι获得，使得h（Uι；ι）=0。由于h（Uι；ι）<0，Uι通过隐函数定理连续依赖于ι。持续依赖。由于ξ和U持续依赖于ι，因此必须证明ι持续依赖于参数a，r，h，k，l。要看到这一点，请注意ι=ι（a，l，r，h，k）是由k（a，r，l，k，h）=k确定的。但是，我们有ιK（ι；a，r，l，K，h）>0。因此，通过隐函数定理，ι连续依赖于参数。引理8.2的证明。将命题B.1中的函数w扩展到R byw（x）=（w（|x |），x |≤ U、 w（U）+h（|x|）- U） 然后（8.9）-（8.14）保持。

到（8.10）和（8.13），我们有w∈ C（R）∩ C（R\\{U，U}）。C.有关以下结果的更多详细信息，请参见[13，附录A.3]和[6]。定义C.1。度量空间g：（E，d）上的可测实值函数g→ R∪ {∞}是一个紧密性函数if1。infx∈例如（x）>-∞.2.M<∞, 水平集{x∈ E | g（x）≤ M} 是（E，d）的一个相对紧凑的子集。引理C.1。如果g是抛光空间E上的紧度函数，则为1。函数G（u）=REg（x）u（dx）是P（E）上的紧度函数。如果加上g≥ δ其中δ是一个正常数，E是紧的，那么G（u）=REg（x）u（dx）是M（E）上的紧度函数。证据注意M（E）是一个度量空间，因此序列紧性等价于相对紧性（参见[13，第303页]中的度量）。关于第一个属性，请参见[13，第309页]。对于第二个性质，我们考虑水平集{u∈ M（E）| G（u）≤ M} 设{un}为水平集中的任意序列。通过[6，定理8.6.2]，足以证明1。非负实数的序列un（E）是有界的。2.家庭关系紧密。自从g≥ δ、 我们有u（E）≤ G（u）/δ≤ M/δ。因此，第一个条件是正确的。另一方面，对于任何ε>0，我们考虑un/un（E）∈ P（E）。然后G（un/un（E））≤ M/un（E）≤ M/ε，如果un（E）>ε。由于G是紧函数，我们推断{un |un（E）>ε}是紧函数。因此{un}是紧的，第二个条件如下。D概率收敛，稳定收敛集(Ohm, F） 是可测空间和（E，E）波兰空间，其中E是E定义的Borel代数Ohm = Ohm ×E，F=F E.让Bmc(Ohm) 是有界可测函数g的集合，使得z 7→ g（ω，z）是任意ω的连续应用∈ Ohm. 让Mmc(Ohm) 成为一套明确的积极措施(Ohm, F） ，配备最弱的拓扑结构，使得u7→ZOhmg（ω，z）u（dω，dz）对于任何g都是连续的∈ Bmc(Ohm).我们将概率测度P固定在(Ohm, F） 。

让PP(Ohm ×E，F （E） Mmc(Ohm) 是一组关于Ohm 打开边缘POhm, 配备MMC的感应拓扑(Ohm). 请注意，PP(Ohm ×E，F E） 是Mmc的闭子集(Ohm). 对于概率空间上定义的任何随机变量(Ohm, F、 P），我们定义了qz（dω，dz）：=P（dω） δZ（ω）（dz）∈ 聚丙烯(Ohm ×E，F E） 。定义D.1（稳定收敛）。设{Zε，ε>0}为定义在同一概率空间上的随机变量(Ohm, F、 P）具有波兰空间（E，E）中的值。我们说Zε稳定地收敛于Q∈ 聚丙烯(Ohm ×E，F E） ，写为Zε→稳定q，如果QZε→ Mmc中的Q(Ohm).我们在证明中使用了以下性质。提案D.1。设{Zε，ε>0}为概率空间上的随机变量(Ohm, F、 P）具有（E，E）中的值。1。我们有Zε→stableQ∈ 聚丙烯(Ohm ×E，F E） 当且仅当ifE[yf（Zε）]→ 等式[Y f（z）]，对于所有有界随机变量Y on(Ohm, F） 和所有有界连续函数F∈Cb（E，R）。假设Zε→stableQ∈ 聚丙烯(Ohm ×E，F E） 。Thenlim infε→0E[g（Zε）]≥ 方程[g（ω，z）]，（D.1）适用于E.3上具有下半连续截面g（ω，·）的从下方有界的任何g。设Z是一个随机变量，定义如下：(Ohm, F、 P）。我们有zε→pZ<=> Zε→stableQZ。4.PP中的序列{QZε，ε>0}相对紧凑(Ohm ×E，F E） 当且仅当{Zε，ε>0}作为P（E）的子集是相对紧的。特别是，如果E是紧的，那么PP(Ohm ×E，F E） 它很紧凑。证据1.这是[25，命题2.4]的直接结果。这是Portmanteau定理的推广，见[25，命题2.11]。这个=> 言外之意显而易见。让我们证明另一个。考虑F（ω，z）=z（ω）- z|∧ 1.一方面，我们有E[F（ω，Zε）]→ 定义为EQZ[F（ω，z）]=0。另一方面，对于任何δ∈ （0，1）我们有p[| Zε- Z |>δ]≤ E[F（ω，Zε）>δ]≤E[F（ω，Zε）]δ，通过马尔可夫不等式。我们推导出Zε→pZ。4.参见[25，定理3.8和推论3.9]。引理D.1。

设{Z，Zε，ε>0}为概率空间上的正随机变量(Ohm, F、 P）。如果，对于定义在(Ohm, F、 P）与cY≤ Y≤ 其中，cY，cY是正常数，取决于Y，lim-infε→0E[Y Zε]≥ E[Y Z]，然后lim infε→0Zε≥pZ。证据设δ>0为任意实数，在不损失一般性的情况下，设{Zε}为P[Zε>Z的极小序列- δ] asε→ 0.考虑到单点压缩+∪{∞}, 我们可以假设Zε稳定地收敛到Q∈ P(Ohm ×（R）+∪ {∞})) 有了规范的实现，我们就有了YZ≥ lim supε→0E[Y Zε]≥ E[Y Z]，其中第一个不等式来自Z 7→ z是R上的u.s.c+∪ {∞} 和[25，Prop2.11]。由于Y是任意的，我们得出结论≥ Z.然后通过Zε到Z的稳定收敛，我们得到P[Zε>Z- δ] → P[\'Z>Z- δ] = 1.参考文献[1]M.Abramowitz和I.A.Stegun，《数学函数手册》，纽约多佛，1972年。[2] A.Altarovici，J.Muhle Karbe和H.M.Soner，《固定交易成本、金融和随机性的渐近性》（2013年）。[3] L.U.Ancarani和G.Gasaneo，《关于参数a或b的任意阶反超几何函数F（a，b，z）的导数》，数学物理杂志（2008年）。[4] P.Bank、M.H.Soner和M.Voss，利用瞬时价格影响进行套期保值。预印本，2015年。[5] I.Ben Ari和R.G.Pinsky，《边界随机跳跃的微分遍历行为，随机过程及其应用》，119（2009），第864-881页。[6] V.I.博加乔夫，《测量理论》，第二卷，斯普林格科学与商业媒体，2007年。[7] V.S.Borkar和M.K.Ghosh，《多维差异的遍历控制I：存在结果》，暹罗控制与优化杂志，26（1988），第112-126页。[8] A.Budhiraja和A.P.Ghosh，《受控随机网络的离散近似：值函数的渐近界》，应用概率年鉴，16（2006），pp。

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