最优跟踪的渐近下界：一个线性规划

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英文标题：
《Asymptotic Lower Bounds for Optimal Tracking: a Linear Programming
  Approach》
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作者：
Jiatu Cai, Mathieu Rosenbaum and Peter Tankov
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We consider the problem of tracking a target whose dynamics is modeled by a continuous It\\=o semi-martingale. The aim is to minimize both deviation from the target and tracking efforts. We establish the existence of asymptotic lower bounds for this problem, depending on the cost structure. These lower bounds can be related to the time-average control of Brownian motion, which is characterized as a deterministic linear programming problem. A comprehensive list of examples with explicit expressions for the lower bounds is provided.
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中文摘要：
我们考虑了一个目标的跟踪问题，该目标的动力学模型是连续的It\\=o半鞅。其目的是最大限度地减少偏离目标和跟踪工作。我们建立了这个问题的渐近下界的存在性，这取决于成本结构。这些下界与布朗运动的时间平均控制有关，布朗运动的特征是一个确定性线性规划问题。提供了一个完整的示例列表，其中包含下限的显式表达式。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Asymptotic_Lower_Bounds_for_Optimal_Tracking:_a_Linear_Programming_Approach.pdf (684.28 KB)

2022-5-9 07:27:56 上传

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关键词：线性规划 Mathematical Differential Applications Quantitative

最优跟踪的渐近下界：线性规划方法Jiatu Cai，Mathieu Rosenbaud和Peter TankovLaboratoroire de Probabilit\'es et Mod\'eles Al\'Eatories，巴黎迪德罗大学（巴黎7）Laboratoroire de Probabilit\'es et Mod\'eles Al\'Eatories，玛丽和皮埃尔·居里大学（巴黎6）摘要我们考虑跟踪一个动态由连续半鞅建模的目标的问题。目标是将偏离目标和跟踪效果降至最低。我们建立了这个问题的渐近下界的存在性，这取决于成本结构。这些下界可能与布朗运动的时间平均控制有关，这是一个确定性线性规划问题。本文提供了一个全面的示例列表，其中包含下限的显式表达式。关键词：最优跟踪，渐近下界，占用测度，线性规划，奇异控制，脉冲控制，正则控制。MSC2010:93E201简介我们考虑跟踪动态（Xot） 由过滤概率空间上定义的连续半鞅建模(Ohm, F、 （Ft）t≥0，P）中的值ot=btdt+√atdWt，Xo= 0.这里，（Wt）是d维布朗运动，（bt），（at）是可预测的过程，其值分别为Rd和Sd+d×d对称正定义矩阵集。代理o坦德调整她的位置以跟随Xot、 然而，她必须为职位调整支付一定的干预费用。目标是保持接近目标Xot同时尽量减少跟踪效果。

这个问题在各种情况下都会自然而然地出现，比如期权对冲策略的离散化[14,15,50]、指数基金的管理[31,46]、汇率的控制[11,43]、交易成本下的投资组合选择[2,29,47,51]、市场影响下的交易[4,40,42]或非流动性成本[44,49]。更精确地说，设（Yψt）是由控制ψ确定的代理的位置，Yψt∈ Rd，设（Xt）为代理与目标（X）的偏差ot） ，因此，text=-十、ot+Yψt.（1.1）设H（X）为偏离目标的惩罚函数，H（ψ）为控制ψ在有限视界t内产生的成本。这样，跟踪问题就可以用sinfψ来表示∈AJ（ψ），J（ψ）=H（X）+H（ψ），（1.2），其中A是容许策略集。正如文献中通常所做的那样（例如，参见[30,41]），我们考虑了一个惩罚H（X），用于偏离加法formH（X）=ZRTD（Xt）dt的目标，其中（rt）是一个随机加权过程，D（X）是一个确定性函数。例如，我们可以使用D（x）=hx，∑Dxi，其中∑Dis正定义和h·，·i是Rd中的内积。另一方面，根据成本的性质，代理可以随时控制自己的速度，也可以瞬间跳向目标。控制ψ和代价泛函H（ψ）属于以下类别之一：1。脉冲控制。每个行动都有一个固定的成本组成部分，因此代理必须以离散的方式进行交互。A类容许控制包含所有序列{（τj，ξj），j∈ N*} 式中{τj，j∈ N*} 是一个严格递增的停止时间序列，表示跳跃时间和满足limj→∞τj=+∞, 对于每个j∈ N*, ξj∈ RDI是一个Fτj-可测的随机向量，代表第j跳的大小。

agent的位置由yt=X0<τj给出≤tξjand累积成本由h（ψ）=X0<τj给出≤TkτjF（ξj），其中（kt）是一个随机权重过程，F（ξ）>0是大小ξ6=0的跳跃成本。如果我们取kt=1，F（ξ）=Pdi=1{ξi6=0}，其中ξi是ξ的第i分量，那么H（ψ）表示在时间间隔[0，T]内每个分量上的作用总数，参见[14，15]。如果F（ξ）=Pdi=1{ξi6=0}+Pdi=1Pi |ξi |其中Pi≥ 0，我们说成本有固定成分和比例成分。2.奇异控制。如果成本与跳跃的大小成正比，则也允许存在有限的不均匀位移，并且通过有界变化的过程对（Yt）进行建模是很自然的。在这种情况下，A级可容许控制包括所有耦合（γ，φ），其中φ是一个渐进可测量的递增过程，且φ为0-= 0表示干预的累积量，γ是一个逐渐可测量的过程，γt∈  := {n∈ 对于所有t，Rd | Pdi=1 | ni |=1}≥ 0，表示控制力在每个方向上的分布。换句话说，ηt=Pdi=1kYikt，其中k·k表示一个过程的绝对变化，γ是YitWith相对于ρt的Radon-Nikodym导数。试剂的位置由yt=Ztγsd~ns给出，相应的成本通常表示为（例如参见[29,51]）H（ψ）=ZThtP（γt）d~nt，其中（ht）是一个随机加权过程，我们取（例如）P（γ）=hP，|γ|i和P∈Rd+和|γ|=（|γ|，···，|γd·）T.向量P=（P，···，Pd）T表示每个方向的比例成本系数。3.定期控制。在大多数情况下，过程（Yt）必须是绝对连续的，比如[42,49]等等。

在这种情况下，可容许控制的Aof类包含所有渐进可测可积过程u，其值在Rd中，代表代理的速度，代理的位置由YT=Ztusds给出，成本函数isH（ψ）=ZTltQ（ut）dt，其中（lt）是一个随机权重过程，例如，Q（u）=hu hu，∑Qui带有∑qa正定义矩阵。与控制变量为（γt）和（φt）的奇异控制情况相比，这里我们优化了（ut）。联合控制。代理可能有几种类型的控件可用。在这种情况下，ψ=（ψ，…，ψn），其中对于每个i，ψi延伸到前面介绍的类之一。例如，在常规控制和脉冲控制相结合的情况下（见[43]），代理的位置由yt=X0<τj给出≤tξj+ztuds，而成本函数由h（ψ）=X0<τj给出≤TkτjF（ξj）+ZTltQ（ut）dt。同样，可以考虑其他控件组合。问题（1.1）-（1.2）很少有明确的解决方案。在本文中，我们提出了一个跟踪成本很小的渐近框架，并在这种情况下导出了（1.1）-（1.2）的下界。更准确地说，我们引入了一个趋向于零的参数ε，并考虑了一个代价函数族Hε（ψ）。例如，对于某些常数βψ，我们可以用Hε（ψ）=εβψH（ψ），但成本函数的不同分量也可以在不同的水平上与ε成比例。我们定义了控制问题xεt=-十、ot+Yψεt，（1.1-ε）和目标函数infψ∈AJε（ψε），Jε（ψε）=H（Xε）+Hε（ψε）。（1.2-ε）此外，我们假设函数D，Q，F，P具有齐性。本文的主要结果是在各种条件下，Jε与常参数布朗运动的时间平均控制问题之间的精确渐近关系。

让我们回顾一下常规控制和脉冲控制相结合的情况下的主要结果（注意，第3节考虑了涉及奇异控制的情况）。在这种情况下，受控布朗运动的动力学由xs给出=√aWs+Zsuνdν+X0<τj≤sξj（1.1-局部），时间平均控制问题可以用aseI（a，r，l，k）=inf（τj，ξj，u）limS表示→∞经济特区rD（Xs）+lQ（美国）ds+kX0<τj≤SF（ξj）i.（1.2-局部）在我们感兴趣的一般性水平上，我们需要考虑上述控制问题的一个放松公式，作为测度空间上的线性规划问题。在[35]之后，我们介绍了占领度量ut（H）=tEZtH（Xs，us）ds，H∈ B（Rd×Rd），ρt（H）=tEX0<τj≤tH（Xs）-, ξj），H∈ B（Rd×Rd）。如果过程X和控制装置处于静止状态，则这些措施不取决于时间和时间界限→∞经济特区rD（Xs）+lQ（美国）ds+kX0<τj≤SF（ξj）i=ZRd×Rd（Rd（x）+lQ（u））u（dx×du）+ZRd×RdkF（ξ）ρ（dx×dξ）。另一方面，根据o的公式，对于任何f∈ C、 f（Xt）=f（X）+√aZtf（Xs）dWs+ZtAf（Xs，us）ds+X0<τj≤tBf（Xτj）-, ξj），（1.3）式中f（x，u）=Xi，jaijijf（x）+hu，f（x）i，Bf（x，ξ）=f（x+ξ）- f（x）。考虑（1.3）中的期望，并再次假设控制的平稳性，我们发现在适当的可积条件下，度量u和ρ满足约束条件TZRD×RdAf（x，u）u（dx×du）+ZRd×RdBf（x，ξ）ρ（dx×dξ）=0。（1.4）因此，布朗运动（1.1-局部）-（1.2-局部）的时间平均控制问题与计算（a，r，l，k）=infu，ρZRd×Rd（Rd（x）+lQ（u））u（dx×du）+ZRd×RdkF（ξ）ρ（dx×dξ）的问题密切相关，其中u是概率测度，ρ是满足约束（1.4）的有限正测度。在第4节中，我们将看到，如果我们将布朗运动的最优控制问题描述为一个可控的鞅问题，那么这个刻画本质上等价于（1.1-局部）（1.2-局部）。

在综合考虑常规控制和脉冲控制的情况下，我们的主要结果如下。主要结果是，常规控制和脉冲控制相结合。存在β*> 0由成本结构手（Hε）ε>0明确确定，使得对于所有δ>0和任何允许策略序列{ψε∈ A、 ε>0}，我们有limε→0+Phεβ*Jε（ψε）≥ZTItdt- δi=1，（1.6）其中It=I（at，rt，kt，lt）是布朗运动（1.1-局部）-（1.2-局部）的时间平均控制问题（1.5）的线性规划公式（1.5）的最优成本，参数在时间t冻结。因此，原始问题（1.1）-（1.2）简化为局部问题（1.1-局部）-（1.2-局部），因为目标的动力学简化为局部问题（1.1-局部）一个布朗运动，代价参数变为常数。在许多实际重要的情况下（见示例4.3-4.7），我们能够显式求解（1.1-局部）-（1.2-局部），并证明时间平均控制问题的两个公式是等价的，因此I=eI。此外，在即将发表的一篇论文中，我们证明了对于（1.1-局部）-（1.2-局部）允许显式解的例子，下界是紧的（见备注3.1）。我们的结果使我们能够重新审视[14,15]中的享乐策略离散化的渐近下界。在这些论文中，下界是通过使用微妙的不等式推导出来的。在这里，我们通过布朗运动的时间平均控制问题，可以简单地解释这些界限。局部控制问题（1.1-局部）-（1.2-局部）也出现在交易成本下效用最大化的研究中，参见[2,42,47,51]。这并不奇怪，因为一开始，这些问题和跟踪问题基本相同，见第5节。

在上述参考文献中，作者推导出了与值函数的一阶校正相关的偏微分方程，这是与布朗运动的时间平均控制相关的HJB方程。受[34]和[39]的启发，我们的方法基于经验职业指标的弱收敛性，与基于偏微分方程的方法非常不同，使我们能够处理更一般的情况。与[34]相反，下界在期望下成立，我们得到了路径下界。与[39]相比，我们能够处理目标的脉冲控制和一般动力学。论文的结构如下。在第二节中，我们介绍了我们的渐近框架，并试探性地建立了正则控制和脉冲控制相结合情况下的下界。第3节将讨论各种扩展。在第4节中，我们使用放松鞅公式为布朗运动的时间平均控制提供了一个精确的定义，并收集了一维显式解的完整列表。第5节将效用最大化与小市场摩擦联系起来，第6、7和8节给出了证明。符号对于一个完整的、可分离的度量空间S，我们定义了S上的C（S）连续函数集，Cb（S）S上的有界连续函数集，M（S）S和P（S）上的有限非负Borel测度集S上的概率测度集。集合M（S）和P（S）具有弱收敛的拓扑结构。我们定义了S×[0]上的非负Borel测度集，∞) 使得Γ（S×[0，t]）<∞. 表示Γt对S×[0，t]的限制。我们使用Rdx、rdu和Rdξ来表示变量x、u和ξ对应的状态空间。

最后，C（Rd）表示一组具有紧凑支撑的二次可微分实函数Rd，配备了normkfkC=kfk∞+dXi=1k如果∞+dXi，j=1kijfk∞.2常规控制和脉冲控制相结合的跟踪本节重点讨论常规控制和脉冲控制相结合的跟踪问题，而不是直接给出一般结果，这将导致冗长的演示。这使我们能够阐明我们的关键观点。第3节讨论了其他情况，如奇异控制。在规则控制和脉冲控制相结合的情况下，跟踪策略（u，τ，ξ）由一个渐进可测过程u=（ut）t给出≥0的值为Rd，且（τ，ξ）={（τj，ξj），j∈ N*},（τj）是一个增加的停止时间序列，（ξj）是一个Fτj-可测量的随机变量序列，其值在Rd中。过程（ut）代表代理的速度。停止时间τj表示第j跳向目标的时间，ξj表示跳转的大小。通过遵循策略（u，τ，ξ）获得的跟踪误差由xt=-十、ot+zts+X0<τj≤tξj.在任何时候，代理人都要为保持速度而支付费用，每次跳跃ξjincurs都是正成本。我们对以下类型的成本函数lj（u，τ，ξ）=ZT感兴趣rtD（Xt）+lotQ（ut）dt+Xj:0<τj≤TKoτjF（ξj）+hoτjP（ξj）,T在哪里∈ R+和（rt），（lot） ，（k）ot） 和（h）ot） 都是随机权重过程。

代价函数D，Q，F，P是确定性函数，对于任何ε>0和ζD>0，Q（εu）=εζQQ（u），F（εξ）=εζFF（ξ），P（εξ）=εζPP（ξ），（2.1），ζQ>1，ζF=0，ζP=1。注意，这里我们通过引入两个函数F和P略微扩展了上一节的设置，这两个函数通常分别代表固定成本和比例成本。在本文中，我们基本上考虑了以下情况：d（x）=hx，∑Dxi，Q（u）=hu，∑Qui，F（ξ）=Dxi=1Fi{ξi6=0}，P（ξ）=Dxi=1Pi |ξi |，带Fi，Pi∈ R+使得minifi>0，（2.2）和∑D，∑Q∈ Sd+。注意，在这种情况下，我们有ζD=ζQ=2.2.1渐近框架。我们现在解释成本很小的渐近设置，并提供主要结果的启发式证明。我们假设存在ε>0和βQ，βF，βP>0，使得lot=εβQlt，kot=εβFkt，hot=εβPht。（2.3）然后，渐近框架包括考虑由ε表示的优化问题序列→ 0inf（uε，τε，ξε）∈AJε（uε，τε，ξε），其中jε（uε，τε，ξε）=ZTrtD（Xεt）+εβQltQ（uεt）dt+Xj:0<τεj≤TεβFkτεjF（ξεj）+εβPhτεjP（ξεj）,andXεt=-十、ot+Ztuεsds+Xj:0<τεj≤tξεj.关键观察结果是，在这种设置下，跟踪问题可以分解为一系列局部问题。更精确地说，设{tεk=kΔε，k=0，1，····，kε}是区间[0，t]与Δε的一个划分→ 0为ε→ 0