流动性、风险度量和度量集中度

经典上，张量化参数依赖于相对熵的链式规则，对于两个可测空间的任何乘积上的任何（分解的）概率测量，其读数为sh（ν（dx）ν（x，dy）|（dx）u（x，dy））=H（ν|u）+Zν（dx）H（ν（x，·）|u（x，·））。她的eh（ν|u）=Rlog（dν/du）dνifν<< u，除此之外，它是有限的。为了扩展这些论点，我们自然地寻找凸风险测度的惩罚函数（即凸x共轭）的链式规则的替代品，并在[30]中开发了这样的替代品。结果表明，或许令人惊讶的是，链规则的一个可行不等式等价于风险度量的一个所谓的时间一致性属性，在第4节中仔细定义。考虑到这一点，我们将时态化的论点建立在时间一致性的基础上，而不是使用链式规则。我们新的张量化结果是适度的，因为事实证明，除熵度量外，其他所有ris k度量都具有正确的时间一致性。尽管如此，这种方法说明了为了获得更清晰的数学结果，必须如何改变该方法，这将在未来的工作中探讨。最后，我们用所谓的传输不等式来描述风险度量集中不等式，它允许在度量度量空间集合的放大方面与更大的集中度m类ic al连接[31]。在财务上，我们将看到，运输不平等也提供了流动性风险的界限，这些界限在损失X的大家族中是一致的。这种方法的成功起源于Marton[33,32]和Ta lagrand[37]的论文，最近的许多论文已经解决了运输不平等、各种其他函数不平等之间的关系，测量的集中度，甚至大的偏差。

我们赞同Bobkov和Gotze[12]的观点，他们首先注意到，对于完全可分度量空间（E，d）上的概率测度u和数c>0，以下是等价的：（1）对于每1-Lipschitz函数f o n E和每λ≥ 0，logReλfdu≤ λRf du+cλ/2。（2） Transp-rt不等式成立：W（u，ν）≤v2的p2cH（ν|u）<< u，H是相对熵，W是瓦瑟斯坦距离（在（5.3）中精确定义）。这一事实的简单证明本质上是共凸共轭的倒序性质的一个实例，仅使用熵风险测度和相对熵之间的对偶性（以及Wasserstein距离的Kantorovich性）。借用这些观点，我们推导出了集中流动性、风险度量和集中度量5不等式（1.1）的双重形式。也就是说，（1.1）相当于γ*（等式[X]）≤ α（Q），Q<< P、 其中α是ρ的所谓惩罚函数，将在第2节中精确定义。对于初始头寸非零的集中度不平等，也就是说，涉及supY形式的流动性风险资产，也得到了类似的结果∈Φ（ρ（λX+Y）-ρ（Y））λ≥0，这为流动性风险资产对初始头寸的敏感性提供了一些见解。我们将转移不等式的著名刻画推广到风险度量环境中，重新讨论了e等价性的推广（1）<=> （2） [22，定理3.5]基本上观察到了上述情况，尽管没有风险度量的语言。事实上，众所周知[12]，上述条件（1）和（2）也等价于（直到常数的变化）指数矩的存在，或u（dx）exp（cd（x，x））<∞ 为了一些x∈ E、 c>0。

对于涉及短缺风险度量的修正运输不等式，我们证明了一个类似的积分标准，即Ru（dx）的完整性l(γ*（cd（x，x）））。这里出现了一个有趣的数学观点：上面描述的积分标准基本上取决于成分l o γ*, 这两个函数都不是独立的，而输运不等式似乎是独立的l γ*. 利用这一观察结果，我们可以证明，例如，上面的输运不等式（2）与看起来较弱的不等式（2\'）等价（同样是常数的变化）<< u，W（u，ν）≤ cqlog kdν/dukL∞(u).当Wis被二次Wasserstein距离W代替时，类似的等价性成立；见推论5。7.虽然我们还没有这个适度结果的应用（尤其是我们没有发现（2’）比（2’）更容易验证的例子），但它似乎很有趣，也没有足够的兴趣来保证它的简短讨论。事实上，运输不平等之所以有用的一个原因是，它们可以在许多重要案例中直接验证；参见[37]了解涉及非正规和指数定律的输运不等式，[14]了解对数凹密度，[16]了解有限维高斯测度。论文的组织结构如下。在第2节中，我们将讨论对流风险度量的相关背景资料。第3节详细介绍了形式（1.1）的集中不等式、尾界和矩估计之间的联系，主要关注短缺风险度量的类别。第3.4节给出了选项的应用，第3.5节提供了几个例子来说明该理论。第4节讨论了张量化的一些结果。最后，第5节讨论了集中不等式及其对偶的更抽象的性质，以及和度量空间上更传统的度量集中形式的联系。

这里值得注意的是转移不等式的一个新特征（推论5.7）。第5.3节讨论了对偶不等式和p可能性的其他一些例子，其中一个有趣的例子来自最近在[4]中提出的鞅最优输运。附录A致力于定理3.6.2的证明。风险度量准备首先，让我们定义“自我评估”符号。纵观报纸(Ohm, F、 P）是一个固定概率空间。缩写Lp=Lp(Ohm, F、 P）对于P-可积（或本质有界ifp=∞) 实值可测函数Ohm. L e t P(Ohm) 表示上的概率度量集(Ohm, F） ，然后让PP(Ohm) 表示由与P绝对连续的度量组成的子集。问∈ [1, ∞], le t PqP(Ohm) 表示Q的集合∈ 聚丙烯(Ohm) 使用dQ/dP∈ Lq。给定Q∈ P(Ohm), 我们在Q下写出期望的eqf；符号E是为参考度量值下的预期而保留的，尽管我们偶尔会为强调而写。设X是L的（线性）子空间∞ 我们将主要与X=Land一起工作，偶尔与X=L一起工作∞. 对我们来说，X上的风险度量是函数ρ：X→ (-∞, ∞] 满足（R1）单调性：如果X，Y∈ X和X≤ Y a.s.然后ρ（X）≤ ρ（Y）。（R2）现金可加性：如果X∈ X和c∈ 然后ρ（X+c）=ρ（X）+c.（R3）归一化n:ρ（0）=0。（R4）凸性：如果X，Y∈ X和t∈ （0，1）然后ρ（tX+（1- t） Y）≤ tρ（X）+（1）- t） ρ（Y）。我们说X∈ 如果ρ（X）可接受≤ 0.一个重要的额外属性由许多但不是所有的风险度量来满足，这与风险度量的双重表示有关：6 DANIEL LACKER（R5）Fatou属性：If X，Xn，Y∈ X满足| Xn |≤ Y和Xn→ X a.s.，然后ρ（X）≤ 林恩芬→∞ρ（Xn）。我们将主要使用L上的r isk度量。

当然，如果(Ohm′, F′，P′）是另一个概率空间，L上的arisk测度(Ohm′, F′，P′）的定义是显而易见的。注意，作为凸性和归一化的结果，对于任何X，我们都有ρ（λX）≤ λX代表λ≤ 1，ρ（λX）≥ λX代表λ≥ 1.（2.1）风险度量的凸共轭是第5节对偶不等式的核心。给定lpp上的风险测度ρ∈ [1, ∞] 共轭指数q=p/（p）- 1） ，一个函数α：PqP(Ohm) → [0, ∞]如果ρ（X）=supQ，则称为ρ的惩罚函数∈PqP(Ohm)等式[X]- α（Q）, 为了所有的X∈ Lp。（2.2）换句话说，ρ是定义在Lqto上的函数的c凸共轭，等于{Z上的α∈ Lq:Z≥ 0，EZ=1}（与设定的PqP一致(Ohm)) 和∞ 否则你会在哪里。请注意，PP(Ohm) = 聚丙烯(Ohm). 我们说一个惩罚函数α是ρ的最小惩罚函数，如果其他惩罚函数α′满足α′≥ α. 惩罚函数的存在性现在已经被很好地理解了：定理2.1（文献[19]的定理4.31，[28]的定理3.4]）。让p∈ [1, ∞], 让q=p/（p）-1） 表示共轭指数。对于Lp上的风险度量ρ，以下是等价的：（1）ρ具有Fatou性质。（2） ρ是关于Toσ（Lp，Lq）的下半连续值。（3） ρ存在一个罚函数。（4） 凸函数α：PqP(Ohm) → [0, ∞] 定义为α（Q）：=supX∈Lp等式[X]- ρ（X）= 啜饮等式[X]：X∈ Lp，ρ（X）≤ 0（2.3）是ρ的惩罚函数。此外，（2.3）中给出的惩罚函数是最小的，因为ρ的其他惩罚函数都支配它。在本文中，我们几乎只研究X=L，但我们简单地讨论了X=L∞下面是法律不变风险度量的扩展。其他spac e s X上的风险度量确实出现在应用程序中，尤其是当X是Orlicz空间[13,9]时。

在这样的普遍性水平上，凸对偶以及下半连续性和Fatou性质之间的联系更加微妙，但在[9]中进行了仔细的研究。这里我们不必担心这些普遍性，因为我们所有的例子都是（或延伸到）L上的风险度量。本文中风险度量s最重要的例子恰好是law不变量，即当X和Y具有相同的定律时，ρ（X）=ρ（Y）。法律不变风险度量具有一些很好的附加结构，Jouini、Touzi和Schachermayer[27]以及Filipovi\'c和Svindland[17]的结果强调了这一点：定理2.2（定理2.1 of[27]，命题1.1 of[35]）。L上的每一定律不变风险测度∞他拥有法头地产。定理2.3（文献[17]中的定理2.2]）。L上的一个律不变风险测度ρ∞允许一个独特的扩展。确切地说，在L上存在一个风险度量值ρ=ρ∞, 它满足对偶关系ρ（X）=sup等式[X]-α（Q）：Q∈ 聚丙烯(Ohm),dQdP∈ L∞,其中α是ρ的最小惩罚函数，定义在PP上(Ohm) 由α（Q）：=supX∈L∞等式[X]- ρ（X）.这告诉我们，在处理法律不变的风险度量时，我们可以在不损失一般性的情况下假设它们在所有L上定义。一个最终的显著结果是，法律不变的风险度量相对于凸阶自动递增：如果我们允许对偶公式（2.2）中的完全相加度量，那么每个风险度量都有一个惩罚函数。虽然本文中的一些论点可能在这种情况下有效，但我们的例子都不需要这样的概括性。第2.4条中的流动性、风险度量和度量7建议的集中度（推论[19]中的4.65，[36]中的定理2.1]）。假设ρ是一个律不变量r isk measu reon L∞, 正则扩展到L.I f X，Y∈ 满足E[φ（X）]≤ E[φ（Y）]对于每一个递增的凸函数φ，那么ρ（X）≤ ρ（Y）。

特别是ρ（E[X | G]）≤ ρ（X）每X∈ 每一个σ-G区域着陆 F.3。集中不等式和一个积分准则我们现在给出了ρ（λX）形式的集中不等式的一些必要和有效条件≤ γ（λ），对于所有λ≥ 0，（3.1）式中γ：[0，∞) → [0, ∞] 是给定的非减损函数，ρ是L和X上给定的风险度量∈ L.我们将通过设置γ（λ）=∞ 对于所有λ<0的情况。那么它的凸共轭是γ*（t） =supλ≥0（tλ）- γ（λ））和满意度γ*（t） =-t的γ（0）≤ 0.在某种意义上，我们假设γ是凸的和下半连续的，这是不失一般性的：假设ρ具有Fatou性质（即，根据定理2.1是下半连续的），并且假设ρ（λX）≤ 所有λ的γ（λ）≥ 0，其中γ不是必要的凸。然后，因为bico njug吃了γ**是γ的最大凸下半连续极小元，我们得出ρ（λX）≤ γ**（λ） 总而言之λ≥ 很快就会明白我们为什么要这么做≥ 0，尽管这接受了一些通用性的损失。定义3.1。形状函数是任何非减量凸下半连续函数γ：[0，∞) → [0, ∞] 满足γ（0）<∞.在本节的其余部分中，我们专门讨论短缺风险度量和优化的确定性等价物。我们发现，这些类型的风险度量的流动性风险文件编码了关于随机变量行为的有用信息，很像矩母函数。3.1. 尾部和短缺风险度量。主要的风险度量是熵风险度量ρ（X）=log E[eX]及其对短缺风险度量的推广：定义3.2。损失函数是一个凸的非减量函数l : R→ [0, ∞) 令人满意的l(0) =1 < l（x） 对于所有x>0。对应于l 由ρ（X）=inf{c给出∈ R:E[l（十）-c） ]≤ 1} ，X∈ L

（3.2）根据[19，定理4.106]，短缺风险度量ρ的最小惩罚函数为α（Q）=inft>0t1+EP[l*（tdQ/dP）], （3.3）在哪里l*（x） =supy∈R（xy-l（y） ）是凸共轭。比如说l（t） =（1+t）+，共轭l*（t）=(-如果不是∈ [0 , 1]∞ 否则，相应的最小惩罚函数为α（Q）=kdQ/dP-kL∞（P）- 1.另一方面，ifp∈ (1, ∞) q=p/（p）- 1） 是共轭指数，是l（t） =（（1+t）+）pisl*（t） =（pq）总磷Q- 如果不是≥ 0∞ 否则，相应的惩罚函数就是α（Q）=kdQ/dP-kLq- 1 =EP[（dQ/dP）q1/q- 1.事实上，设置c=（p/qpq）E[（dQ/dP）q]，我们从（3.3）α（q）=inft>0T- 1+ctq-1..通过t=[c（q- 1） [1/q，且上限等于[c（q- 1） ]1/q- c[c（q）- 1)]-（q）-1） /q- 1=κpc1/q- 1,8 DANIEL Lacker，其中κp=（q- 1） 1/q+（p-1） 但是κpc1/q=（p- 1） 1/p+（q）- 1） 1/qp1/pq1/qEP[（dQ/dP）q]1/q=EP[（dQ/dP）q]1/q。允许l 是一个损失函数，具有（3.2）中定义的相应短缺风险度量ρ，并将γ设为形状函数。如果ρ（λX）≤ γ（λ）对于所有λ>0，则p（X>t）≤l(γ*（t） ），t>0。证据请注意，由于l 对于单调收敛，在（3.2）中ρ的定义中始终可以达到最大值。特别是，E[l（Y）- ρ（Y））]≤ 1.Y∈ L.现金可加性意味着ρ（λX）- γ(λ)) ≤ 0，这反过来意味着[l（λX）-γ(λ))] ≤ 1.自从l 是不减损的，X7也是→ l（λx）- γ（λ））对于每个λ>0。根据马尔可夫不等式，P（X>t）≤ P[l（λX）- γ(λ)) ≥ l（λt）- γ(λ))] ≤l（λt）- γ(λ)).优化λ>0完成了证明。3.2. 尾巴和优化的确定性等价物。短缺风险度量并不是唯一能够对尾部行为进行某种控制的度量。设φ：R→ R是凸的且不减损，满足φ*（1） =supx∈R（x）- φ（x））=0。

相关的优化确定性等价物由ρ（X）：=infm定义，如[7,8]所示∈R（E[φ（m+X）]-m） ，X∈ L.（3.4）最小惩罚函数是φ*-散度，α（Q）=EP[φ*（dQ/dP）]。一些值得注意的例子如下：（1）如果φ（t）=et-1，共轭为φ*（t） =t log t on t≥ 在这种情况下，我们有ρ（X）=loge[eX]，α是通常的相对熵。（2） 如果p∈ (1, ∞) 共轭指数q=p/（p）- 1） 那么φ（t）=1+（p/q）（t/p）qt≥0has共轭φ*（t） =tp- 1对t≥ 0，α（Q）=kdQ/dP-kpLp- 1.（3）如果p∈ (1, ∞) 共轭指数q=p/（p）- 1） ，那么φ（t）=（q- 1） +（t/q）qt≥0has共轭φ*（t） =（tp）-1） /（p-1） 在t上≥ 0和α（Q）=（kdQ/dP-kpLp-1） /（p-1） 被称为p阶R’enyi发散。在Bobkov和Ding最近的论文[11,15]中，R’enyi发散的最后一个例子与转移不等式和集中不等式有关。3.4的提议。假设γ是一个非负且严格递增的形状函数。设φ是满足φ的严格正且不减损的凸函数*（1） =0，并定义（3.4）中相应的优化确定性等式。如果X∈ Lsatiesρ（λX）≤ γ（λ）对于所有λ>0，则p（X>s）≤ supm>0mφ（m+γ）*（s） ），对于s>0。证据修正>0。自ρ（λX）- γ(λ)) ≤ 0，它通过定义ρ来保持所有λ≥ 0存在mλ∈ Rsuch thatmλ≥ E[φ（mλ+λX- γ(λ))] - .流动性、风险度量和度量值9的集中度φ>0，注意mλ>-. 由于φ是非增量的，利用马尔可夫不等式，我们得到了任意值λ>0P（X>s）≤ P{φ（mλ+λX）- γ(λ)) ≥ φ（mλ+λs）- γ(λ))}≤E[φ（mλ+λX- γ（λ））]φ（mλ+λs- γ(λ))≤mλ+φ（mλ+λs）- γ(λ))≤ supm>-m+φ（m+λs）- γ(λ)).通过定义γ*, 我们可以找到λ，所以λs- γ(λ) > γ*（s）- .

那么，同样由于φ是不减的，P（X>s）≤ supm>-m+φ（m+γ）*（s）- ）=supm>-2m+2φ（m+γ）*（s） )≤ supm>-2mφ（m+γ）*（s） ）+2supm>-2φ（m+γ*（s） )≤ supm>-2mφ（m+γ）*（s） ）+2φ(-2 + γ*（s） ）发送↓ 0完成了的pro，因为φ>0意味着SUPM>-2mφ（m+γ）*（s） ）=supm>0mφ（m+γ）*（s） ）。让我们回到上面的一些例子。如果φ（t）=et-1，那么我们可以轻松地检查SUPM>0m/φ（m+a）=exp(-a） Propo 3.4恢复了亚高斯浓度下的通常结果。在第二个例子中（p=2），即φ（t）=t/4+1在t上≥ 0和φ（t）=1在t<0时，我们有supm>0mφ（m+a）=√a+44+a+a√a+4表示a>0.3.3。短缺风险度量的一个完整标准。我们刚刚看到了曲线t7的某些界限→ P（X>t）对于某些浓度不等式，对于某些风险度量是必要的。本节以传统上被称为积分标准的形式探讨了短缺风险度量的一些有效条件。一个经典的例子是亚高斯性的积分准则：一个随机变量是亚高斯的（意思是loge[exp（λX）]≤ cλ/2表示所有λ∈ R和一些c>0）当且仅当存在a>0使得E[exp（a | X |）]<∞. 现在让我们确定一类l 对于γ，类似于命题3.3的逆命题。定义3.5。