流动性、风险度量和度量集中度

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英文标题：
《Liquidity, risk measures, and concentration of measure》
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作者：
Daniel Lacker
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  Expanding on techniques of concentration of measure, we develop a quantitative framework for modeling liquidity risk using convex risk measures. The fundamental objects of study are curves of the form $(\\rho(\\lambda X))_{\\lambda \\ge 0}$, where $\\rho$ is a convex risk measure and $X$ a random variable, and we call such a curve a \\emph{liquidity risk profile}. The shape of a liquidity risk profile is intimately linked with the tail behavior of the underlying $X$ for some notable classes of risk measures, namely shortfall risk measures. We exploit this link to systematically bound liquidity risk profiles from above by other real functions $\\gamma$, deriving tractable necessary and sufficient conditions for \\emph{concentration inequalities} of the form $\\rho(\\lambda X) \\le \\gamma(\\lambda)$, for all $\\lambda \\ge 0$. These concentration inequalities admit useful dual representations related to transport inequalities, and this leads to efficient uniform bounds for liquidity risk profiles for large classes of $X$. On the other hand, some modest new mathematical results emerge from this analysis, including a new characterization of some classical transport-entropy inequalities. Lastly, the analysis is deepened by means of a surprising connection between time consistency properties of law invariant risk measures and the tensorization of concentration inequalities.
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中文摘要：
通过扩展度量集中度技术，我们开发了一个定量框架，用于使用凸风险度量对流动性风险进行建模。研究的基本对象是$（\\rho（\\lambda X））{\\lambda\\ge 0}$形式的曲线，其中$\\rho$是一个凸风险度量，而$X$是一个随机变量，我们称这种曲线为流动性风险曲线。对于某些值得注意的风险度量类别，即短缺风险度量，流动性风险状况的形状与潜在美元X美元的尾部行为密切相关。我们利用这个链接，通过其他实函数$\\gamma$从上面系统地约束流动性风险曲线，推导出所有$\\lambda\\ge 0$的$\\rho（\\lambda X）\\le\\gamma（\\lambda）$形式的$\\emph{concentration不等式}可处理的充分必要条件。这些集中度不平等承认了与运输不平等有关的有用的对偶表示，这导致了大类$X$的流动性风险曲线的有效统一界限。另一方面，从这个分析中产生了一些新的数学结果，包括一些经典输运熵不等式的新特征。最后，通过法律不变风险测度的时间一致性性质与集中不等式的张量化之间令人惊讶的联系，深化了分析。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
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关键词：风险度量 集中度 风险度 流动性 inequalities

流动性、风险度量和被度量的酒精浓度摘要。扩展了度量集中度的技术，我们开发了一个定量框架，使用凸风险度量对流动性风险进行建模。研究的基本对象是（ρ（λX））λ形式的曲线≥0，其中ρ是凸风险度量，X是随机变量，我们称这种曲线为流动性风险曲线。对于一些值得注意的风险度量类别，即短缺风险度量，流动性风险的形状与基础X的尾部行为密切相关。我们利用这一联系，通过其他实函数γ，从上面系统地约束流动性风险，导出ρ（λX）形式的集中不等式的可处理必要条件和充分条件≤ γ（λ），对于所有λ≥ 0.这些集中度不等式承认了与传输不等式相关的有用对偶表示，这导致了大类X的流动性风险模型的有效统一边界。另一方面，从这一分析中得出了一些适度的新数学结果，包括一些经典传输t-熵不等式的新特征。最后，通过律不变风险测度的时间一致性性质与集中等式的张量化之间惊人的联系，深化了分析。1.导言本文的主要目标是建立一个流动性风险的量化模型，该模型基于共投资风险度量。正如标题所示，这是通过使用集中度量理论中的思想来实现的。相反，我们希望说明，风险测度的发达凸对偶性对一些集中问题有了新的启示，特别是与运输不等式有关的问题，尽管这些结果不是本文的主要目的。

在本文中，风险度量是任意凸泛函ρ：L→ (-∞, ∞] 满足以下公理：（1）归一化：ρ（0）=0。（2） 现金可加性：ρ（X+c）=ρ（X）+c代表所有X∈ 五十、 c∈ R.（3）单调性：ρ（X）≤ ρ（Y）每当X，Y∈ Lwith X≤ Y a.s.相对于固定概率空间定义的空间(Ohm, F、 P）。请注意，风险度量通常被认为是在减少，而我们假设它们是在增加，这与符号变化无关。我们将随机变量X视为金融损失的价值（即正数为损失，负数为收益），以安全或流动资产的单位报价，在某个交易周期结束时实现。（由于我们的签名大会与往常相反，我们认为X是一种损失，而不是一种收益。）通常，ρ（X）量化了损失X的风险，或者更准确地说，量化了必须从损失X中减去的最小资本（以asafe或无风险参考工具表示），以使其可接受。如果ρ（X）≤ 0表示该位置是可接受的，而ρ（X）>0表示该位置为ris-ky。最初，风险度量是由Artzner等人[2]引入的，带有一个额外的一致性公理，即ρ（λX）=λρ（X）表示所有λ≥ 0和X∈ L.这忽略了流动性风险，也就是说，损失翻倍，风险翻倍。

正是出于这个原因，我们在[18,20]中引入了凸风险度量，呈现曲线（ρ（λX））λ≥0非线性。尽管如此，明确使用凸风险度量来量化流动性风险还是相当有限的，所有这类研究都远远超出了传统设置，使用了更复杂类型的风险度量，如流动性调整风险度量[1,39,25]或s e t值风险度量[26,24]。在本文中，我们通过开发一些量化工具来认真对待凸性公理，利用这些工具，经典的凸性风险度量可以用来建模流动性风险。我们不是通过在ea chposition X上附加一个捕捉头寸流动性的单一数量来实现这一点，而是通过研究如何操作来实现的。该材料基于国家科学基金会（DMS-1502980.2 DANIEL Lacker）资助的工作，其形式为（ρ（λX））λ≥0.从这个意义上说，我们的流动性是有限维的，而不是一维的。具体而言，我们对函数（ρ（λX））λ进行了深入研究≥0，其中X∈ Lis agiven损失和ρ是一个给定的风险度量。我们将该函数称为与X相关的流动性风险曲线，因为该曲线详细描述了金融损失X的风险如何随其规模变化。当然，如果风险度量是一致的，那么线性流动性风险概率ρ（λX）=λρ（X）就不是很有趣。更一般地说，λ7→ ρ（λX）总是凸的。由于ρ是归一化的，当λ∈ [0,1]我们有ρ（λX）≤ λρ（X），当λ>1时，我们有ρ（λX）≥ λρ（X）。特别是，如果位置X不可接受（即ρ（X）>0），则风险ρ（λX）与位置大小成超线性关系。

这是很自然的，因为在流动性差的市场中，大宗交易通常无法获得稳定的价格。拟议的框架有意模糊流动性背后的机制，我们甚至对该术语的定义仍然不可知。相反，我们发现直接将流动性风险建模为一个不同于任何市场流动性精确概念的概念更为合适。流动性不足可能来自（甚至被定义为）各种各样的市场摩擦，例如缺乏交易对手或禁止性研究成本或交易成本。无论流动性不足的来源是什么，我们都同意，在流动性不足的市场中，杠杆的风险更大。正如我们所定义的那样，流动性风险报告确实描述了杠杆和风险之间的相互作用，其方式可以适应任何风险度量的选择。区分流动性风险和市场流动性的合理性不亚于在概率模型中抽象随机性来源的普遍做法：随机性背后的精确机制通常隐藏在“ω”中，即随机变量X对潜在不确定性来源的依赖性中，而X的分布与许多建模目的有关。利用度量集中度的思想，我们将得出流动性风险边界的易于理解的描述和标准。我们主要研究ρ（λX）形式的浓度不等式≤ γ（λ），对于所有λ≥ 0，（1.1）式中γ≥ 0是一个给定的递增凸函数。这个不等式意味着，对于每一个λ，掩盖λX损失风险所需的资本不超过γ（λ）≥ 0

大λ的γ（λ）值告诉你杠杆化头寸的风险有多大，而行为是sλ↓ 0告诉你更多关于X的边际风险。假设ρ（Y）≥ 我永远爱你∈ 五十、 如果ρ是定律不变的（见命题2.4），这确实是众所周知的。那么ρ（λ（X- （前）≥ 0，对于所有λ∈ R.（1.2）将基础P视为一种定价指标，EX是头寸X的（流动）价格，X-EXis是收益减去价格。更相关的流动性ris k文件可能是X- EX，即以EX的价格将索赔X出售给外部方时所面临的损失；除非等式保持在（1.2）中，否则这会产生非平凡的流动性ris k。因此，我们关注的是形式为（使用现金可加性重写）ρ（λ（X）的集中不等式- （前）≤ γ(λ) <=> ρ（λX）≤ λEX+γ（λ），λ ≥ 0.（1.3）当然，这是（1.1）的一个特例，只是选择了另一个γ。应该注意的是，函数的形式是x7→ ρ（X）- 最近几年，Rockafellar等人[34]对EX）本身进行了广泛的研究，但我们发现风险度量的语言更适合我们的目的。γ有哪些合理且信息丰富的选择？根据（1.2），我们假设γ是非负的，这也将简化以后的许多计算。另外，作为λ↓ 0，我们期望有某种形式的连续性来强制ρ（λX）→ ρ(0) = 0. 因此，一个夏普集中不等式的γ（0）=0，除非它只涉及损失X的大尺度控制。右导数λ↓0λ-1ρ（λ（X）- （1.4）捕捉了卖出X的边际或交易风险（同样是以EX价格）。

的确，如果ρ≥ 上一段中的E，然后ρ(-十）≤ 前任≤ ρ（X）表示所有X，我们可以将（1.4）a中的右导数和类似的左导数之间的差异视为买卖价差。当流动性风险随头寸大小而消失时，这些衍生工具正好为零，即ρ（λX）在一阶时的行为类似于λEX。也就是说，当买卖少量X时，风险s应该大致等于价格。考虑到流动性、风险度量和度量3的集中度，我们将特别关注γ′（0）=0的情况。如果再次ρ≥ 如果γ（0）=0，那么界（1.3）就意味着≤ limλ↓0λ-1ρ（λX）≤ EX+γ′（0）。Barrieu和El Karoui[3]表明，计算极限Mρ（X）：=limλ↓0λ-1ρ（λX）定义了一个一致的风险度量，这自然被解释为流动性ris k消失的极限。当γ（0）=γ′（0）=0时，我们看到，如果X满足浓度不等式（1.3），那么Mρ（X）=EX，或等效于ntlyMρ（X）- EX）=0。在进一步讨论数学概念之前，让我们先谈谈Acerbi和Sca ndolo在他们最近发表的论文[1]中对Conv x riskmeasures提出的一些批评。首先，他们提出了一个令人信服的理由，即凸风险度量最好解释为评估与按市值计价的投资组合价值相关的风险指数k，与投资组合内容不同。当然，我们希望阐明一个有意义的流动性理论，它既简单又可实现，并且避免诉诸[1]中的附加非线性价值函数。此外，我们在一定程度上不同意他们的主要批评：违规行为[o正同质性和次可加性]是在CHOSEN ris k度量的水平上引入的，因此它们适用于所有投资组合，无论其规模或内容如何。

这反过来又导致在流动性风险消失的渐近极限下，我们将无法恢复完全一致的方案，我们认为这是该极限下的适当方案。[1] 我们的竞争有两个理由。首先，如前一段所述，[3]中显示（递减）极限Mρ（X）=limλ↓0λ-1ρ（λX）总是定义一个一致的风险度量。该限额应被解释为流动性风险消失，因为它引出了潜在风险。其次，我们指出，流动性风险指数k文件λ7→ ρ（λX）非常敏感地依赖于损失X。将随机变量X解释为市场投资组合价值的受损，X的精确结构（即其对nω的依赖性）隐藏了，但肯定不会消除对基础投资组合“大小或内容”的依赖性。当我们引入初始头寸Y，并研究流动性风险比例（ρ（Y+λX）时，这一点就更加清楚了-ρ（Y））λ≥X相对于Y的0。我们使用子轨迹ρ（Y）来表示标准化的pur姿势，注意到x7→ ρ（X+Y）-ρ（Y）是我们定义的一种风险度量。我们将在推论5.4中看到，这一流动性ris k文件在很大程度上取决于Y和X的选择；特别是，如果γ≥ 0是非减量的，且定义为γ（0）=γ′（0）=0，然后是界ρ（Y+λX）- ρ（Y）≤ γ（λ）适用于所有λ≥ 0和所有Y∈ Lif且仅当X≤ 0 a.s.让我们最后阐明本文开头所述的风险度量和度量集中度之间的第一个简单联系。当ρ是熵风险测度ρ（X）=loge[eX]时，我们定义的浓度不等式只是随机变量X的动量母函数或拉普拉斯变换的指数界。

例如，对于某些σ>0，取γ（λ）=σλ/2，当满足不等式ρ（λX）时，一个随机变量被精确地填充为次高斯变量≤所有λ的γ（λ）∈ R.这可以用尾界或积分标准来描述：（1）存在c，κ>0，使得P（|X |>t）≤ c经验(-κt）对于所有t>0。（2） 存在c>0使得E[exp（c | X |）]<∞.本文中的一个中心例子是由非减量凸函数参数化的短缺风险度量类l ≥ 0令人满意l（0）=1，由ρ（X）定义：=inf{c∈ R:E[l（十）- c） ]≤ 1}.什么时候l（x） =ex，这将减少到熵风险度量。很容易检查ρ（λX）≤ 所有λ的γ（λ）≥ 0表示P（X>t）≤ 1/l(γ*（t） ）对于所有t>0，其中γ*（t） =supλ≥0（λt）- γ(λ)). 我们将在OREM 3.9中说明，在某些附加假设下l 和γ类似，下面的陈述与次高斯情形是等价的：（1）存在c>0，使得E[l(γ*（c|X |）]<∞.（2） 存在c，κ>0使得P（|X |>t）≤ c/l(γ*（κt））对于所有t>0。（3） 存在c>0使得ρ（λX）≤ 所有λ的γ（c |λ|）∈ R.矩条件（1）可以说是这些条件中最具可追溯性的，我们用它来推导满足（1-3）的随机变量的例子。然后，我们将定理3.9应用于一大类期权的有效流动性风险，这些期权只涉及几次看涨期权和看跌期权。也就是说，n项标的资产的任何Lipschitz函数的流动性风险比例（在函数的选择上是一致的）受2n项流动性风险比例的最大值限制：每项标的资产一项看涨期权和一项看跌期权，每项标的资产以相同的价格行使。详情见第3.4节。

我们还简要研究了第3.2节中的另一系列风险度量，即优化确定性等价物，是如何与尾部行为联系在一起的。风险度量和浓度之间的联系随着对t ensorization的研究而加深，这使我们能够从E上的u浓度特性推断产品空间中的产品度量u的浓度结果。换句话说，如果我们了解X和Y的浓度特性，或者更具体地说，了解其中的各种函数f（X）和g（Y），我们有时可以推断出这两种物质的组合h（X，Y）的浓度特性。更一般地说，形式为Y=f（X，…，Xn）的初始头寸可以解释为n个基本头寸的组合，在X，…，的风险中估计Y的风险是很自然的，Xn。高斯浓度又是一个经典例子：如果ρ（X）=loge[eX]是熵风险度量，如果Xiare i.i.d.s标准高斯，如果f是Rn上的1-Lipschitz，那么我们知道ρ（λ（f（X，…，Xn）-Ef（X，…，Xn）））≤ λ/2表示所有λ∈ R.这一点是有效的，因为它独立于维度n，我们可以将其视为分散降低风险的一个例子：例如，（x，…，xn）的平均值是n-1/2-Lipschitz函数，所以ρλnnXi=1Xi！≤ λ/2n，对于所有λ∈ R、 一个众所周知的集中启发法也有财务意义：如果Xiare独立，并且如果Y=f（X，…，Xn）不太依赖于Xi中的任何一个，那么我们认为风险Y是分散的，我们会围绕其平均值集中。我们研究了律不变风险测度的张量化，即当X具有相同的分布时满足ρ（X）=ρ（Y）。