流动性、风险度量和度量集中度

让LΓ表示函数类(l, γ） ，在哪里l 是一个损失函数，γ是一个s hap effunction，因此以下条件成立：（1）γ（x）<∞ 对于某些x>0的情况。（2） 利克斯→∞l(γ*（x） ）/x=∞.（3） 下列条件之一成立：（a）γ（0）>0，且γ是非常数的。（b） γ（0）=0，l 不断地与l′（0）>0，γ在γ′（0）>0和limx的起源的大背景中是可连续区分的→∞十、l′（十）/l(γ*（x） ）=0。（c） γ（0）=γ′（0）=0，l 是连续两次与l′(0) > 0, l′′是非减损的，在原点附近，γ′（0）>0，且limx连续可微分→∞十、l′′（十）/l(γ*（x） ）=0。在条件（3b）和（3c）中，邻域相对于[0，∞) 0处的导数作为右极限存在；也就是说，（3b）要求γ在（0，a）上连续可差，对于某些a>0，且γ′（0）=limδ↓0γ′（δ）>0.10丹尼尔·拉克定理3.6。假设(l, γ) ∈ LΓ。设k，M>0。存在n>0，如果Φ L（P）令人满意∈ΦE[l(γ*（κX+）≤ M、 （3.5）那么我们有ρ（λ（X）- （前）≤ 所有λ的γ（nλ）≥ 0和X∈ Φ.定理3.6的证明见附录。为了完成这幅图，我们给一个更大的条件取了一个名字，这个条件允许从尾界推导出一个积分标准：定义3。7.设H表示函数类H:[0，∞) → [1, ∞) 它们是非减量的，绝对连续的，并且存在c>0这样的z∞h′（t）h（t/c）dt<∞. （3.6）引理3.8。让h∈ H、 设c>0，使（3.6）成立。如果Φ 这太好了∈ΦP（X>t）≤Ch（t），t>0，对于一些C>0，然后是supX∈ΦE[h（cX+）]∞.证据因为h是非减量的，而h≥ 1，每X∈ Φwe have[h（cX+）]=1+Z∞P（h（cX+）>t）dt≤ 1+Z∞P（cX+>t）h′（t）dt≤ 1+CZ∞h（t）h（t/c）dt。结合前面的结果，以及下一节将要证明的结果（建议5.1），我们得到以下结果。定理3.9。

允许l 是损失函数，γ是形状函数，ρ是与l. 假设Φ Lsaties EX=0表示所有X∈ Φ. 考虑下面的陈述s：（1）存在c>0，对于所有λ≥ 0，supX∈Φρ（λX）≤ γ（cλ）。（2） 存在c>0，因此对于所有Q∈ P∞P(Ohm),γ*c supX∈ΦEQ[X]≤ inft>0t1+EPl*tdQdP.（3） 存在c>0，因此对于所有t>0，supX∈ΦP（X>t）≤l(γ*（ct））。（4） 存在c>0这样的情况∈ΦE[l(γ*（cX+）]∞.我们有影响（1）<=> (2) => (3) <= (4). 如果l o γ*∈ H、 然后（3）=> (4). 最后，如果(l, γ) ∈ LΓ，那么（4）=> (1).证据（1）和（2）具有相同常数c的等价性，很快就从命题5.1开始到下一节。我们在命题3.3中看到（1）意味着（3）。自从l o γ*它不是递增的，它很容易从（4）暗示（3）的马尔可夫不等式中推导出来。如果(l, γ) ∈ 定理3.6表示（4）意味着（1）。如果l o γ*∈ H、 由引理3.8可知，（3）意味着（4）。流动性、风险度量和度量集中度备注3.10。如果Φ 林定理3.9不完全由零均值随机变量组成，那么我们可以应用定理3.9，用Φ′={X替换Φ- 例：X∈ Φ}. 从这个意义上讲，定理3.9讲的是随机变量围绕其均值的集中。如果Φ在意义上是对称的，那么Φ=-Φ，则可以进行一些更改：条件（1）可以替换为ρ（λX）≤ 所有λ的γ（c |λ|）∈ R、 有P（|X |>t）的条件（3）≤ 2/l(γ*（ct）对于t>0，以及有supX的条件（4）∈ΦE[l(γ*（c|X |）]<∞.备注3.11。定理3.6似乎有很大的改进空间，也就是扩展了LΓ类(l, γ).

我们能够证明以下更抽象的积分准则，但在γ（0）>0或γ′（0）>0的限制性附加假设下：设ρ为仅具有Fatou性质的风险度量，且γ为满足γ（x）<∞ 对于某些x>0的情况。让我们 满足以下条件：（i）对于所有X∈ Φ，limλ↓0λ-1ρ（λX）=EX.（ii）Φ是一致可积的。（iii）存在κ>0使得supX∈Φρ(γ*（κX+）<∞.然后存在c>0，使得ρ（λ（X- （前）≤ 所有λ的γ（cλ）≥ 0和X∈ Φ. 在某些情况下，可以证明，例如，对于短缺风险度量，定理3.9（4）的矩界是足够的，以确保这些条件（i-iii）都成立，对于优化的确定等价性，也可以得到类似的结果。这个抽象积分定理的证明，就像定理3.6的证明一样，依赖于一个直接来自泰勒定理的边界；对于X，条件（i）等价于toddλρ（λX）|λ=0=EX∈ Φ，这使得我们能够在λ7的展开式中约束一阶项→ λ=0附近的ρ（λX）。如果γ（0）=γ′（0）=0，那么这种证明技术需要关于λ=0附近ρ（λX）的二阶导数的一些信息，这通常很难获得。作为定理3.9的结果，我们得到了均匀集中结果的简化积分准则，从而在一定程度上掩盖了第5.1节中对传输不等式的讨论。什么时候Ohm 这是一个度量空间，我们在这里(Ohm) 对于上的1-Lipschitz函数集Ohm, i、 e.f的s et：Ohm → R | f（x）-f（y）|≤ d（x，y）表示所有x，y∈ Ohm. 我们也写P(Ohm) 对于P的集合∈ P(Ohm) 带Ohmd（x，x）P（dx）<∞, 对于某些（相当于，对于每一个）x∈ Ohm.推论3.12。假设(Ohm, d） 是一个完整的可分度量空间。允许l 是损失函数，γ是形状函数，ρ表示对应于l. 假设P∈ P(Ohm).

考虑以下陈述：（1）存在c>0，因此对于每个f∈ 嘴唇(Ohm) 每个λ∈ R我们有ρ（λf）≤ γ（|λ|）+λEf。（2） 存在c>0，因此对于某些（等价地，对于每个）x∈ Ohm,ZOhml(γ*（cd（x，x）））P（dx）<∞.如果(l, γ) ∈ LΓ（见定义3.5），然后（2）=> (1). 如果l o γ*∈ H（见定义3.7），然后（1）=> (2).证据从X7开始→ d（x，x）是1-Lipschitz，根据定理3.9，（1）意味着（2）当l o γ*∈ H.为了表示（2）意味着（1），设Φ={f∈ 嘴唇(Ohm) : f（x）=0}，注意W（P，Q）=supf∈Φ（EQf）-（EPf）由坎托洛维奇对偶论。然后（2）暗示SUPF∈ΦZOhml(γ*（c | f（x）|）P（dx）≤ZOhml(γ*（cd（x，x）））P（dx）<∞.自从l o γ*生长速度比xat快，这也意味着supf∈ΦEPf<∞. 这反过来意味着SUPF∈ΦZOhml(γ*（c | f（x）- 因此，当(l, γ) ∈ LΓ（1）来自orem 3.6。丹尼尔·拉克尔。4.选择权的申请。这里我们将推论3.12应用于期权的流动性风险问题。允许Ohm = Rn+代表n项资产在某一特定到期日的可能收益空间。概率测度Ohm 报告报酬的联合分配。让Cik（x）=（xi-k） +和Pik（x）=（k-xi）+表示在k>0时对标的资产i行使的买入和卖出期权的支付效果。这些当然是最基本的期权，我们将证明它们的流动性风险控制所有Lipschitz期权的流动性风险，即n标的资产的Lipschitz函数。Lipschitz函数涵盖了广泛的期权支付和投资策略，如篮子、跨档、利差等，其结果的一个很好的特点是，从某种意义上说，它几乎独立地拥有短缺风险度量的选择。3.13的提议。假设P∈ P（Rn+）。允许l 设ρ为L=L（Rn+，P）上相应的短球风险度量。设γ为形状函数。

假定(l, γ) ∈ LΓ和l o γ*∈ H（见定义3.5和3.7）。以下是等价的：（1）存在c，k>0，使得maxi=1，。。。，nρ（λ（Cik）- ECik）∨ ρ（λ）（Pik）- EPik）≤ γ（cλ），λ ≥ 0.（3.7）（2）存在c>0，因此对于每一个f∈ Lip（Rn+）我们有ρ（λ（f）-Ef）≤ γ（cλ），λ ≥ 0.（3.8）（3）存在c>0这样的RRN+l(γ*（c|x|）P（dx）<∞证据根据定理3.9，（3.7）等价于c>0的存在性，比如Tmax=1，。。。，东北[l(γ*（cCik））]∨ E[l(γ*（cPik））]∞. （3.9）注意Cik（x）+Pik（x）=xi- k |代表x∈ 注册护士。为了x∈ r表示向量的~k的and（k，…，k）∈ Rn，我们有| x-~k |=“nXi=1 | xi”- k |#1/2≤“nXi=1Cik（x）+Pik（x）#1/2≤√nXi=1Cik（x）+Pik（x）=√nXi=1 | xi- k级|≤√2n | x-~k |。利用曲面的凸性l o γ*, 然后我们很容易地检查（3.9）是否等同于c>0的存在，比如Zrn+l(γ*（c | x-~k|）P（dx）<∞.利用曲面的凸性l oγ*再一次，这很容易被视为等同于（3）。最后，推论3.12意味着（2）和（3）是等价的。备注3.14。我们希望能够将γ（λ）设置为（3.7）的左侧，使（3.8）尽可能地匹配。我们不能这样做，纯粹是因为技术原因，我们无法在ge NERAL中验证(l, γ) ∈ LΓ和l o γ*∈ 最后，让我们注意到，在命题3.13中，两个简单的论点可以产生较弱的等价形式（1）和（2）。在Rn+上固定一个1-Lipschitz函数f，然后找到y∈ Rn+使得f（y）=Ef，这是可能的，因为f的范围是连通的（因此是凸的）。然后f（x）- Ef=f（x）- f（y）≤ |十、- y|≤√2（Cy（x）+Py（x）），其中我们定义（x）=nXi=1Ciyi（x）=nXi=1（xi- yi）+和定义类似。因此ρ（λ（f）-Ef）≤ ρ（λ（Cy+Py）），λ ≥ 0.流动性、风险指标和指标集中度≥ 0和Py≥ 0，这总是超过ρ（λ（Cy+Py-埃西-艾比）。更重要的是，Strikes y的选择。

在这里，Y取决于f的选择，而命题3.13中的k或多或少是罕见的。对于第二次尝试，请注意f（x）- Ef=ZRn+（f（x）- f（y））P（dy）≤ZRn+（Cy（x）+Py（x））P（dy）。正式使用ρ的凸性，我们得出结论ρ（λ（f-Ef）≤ZRn+ρ（λ（Cy+Py））P（dy），λ ≥ 0.现在我们在一系列打击中取平均值，如果有优势∈Rn+ρ（λ（Cy+Py））由一些y*∈ Rn+然后我们可以用ρ（λ（Cy）进一步约束它*+ Py*)). 但这是最糟糕的罢工，解决了前一个论点的同样问题。3.5. 例子。让我们简要说明如何应用定理3.9来计算一些浓度界限。两者之间有一个有趣的交易l γ；Theo rem 3.9的第（3）点和第（4）点取决于l 而γ仅仅是通过l o γ*. 给定两个损失函数l和l具有l在实体中的增长速度快于l, 定理3.9中的动量条件（4）对l, 相应地，浓度不等式ρ（λX）≤ 当ρ对应于l而不是当它与l. 然而，我们可能会减少γ*（或等效增加γ）以补偿增加l, 其中，“增加”和“减少”这两个词大致指的是它们在单位的增长率。这种交易l γ将在推论5.7.3.5.1中得到利用。次高斯随机变量。一个众所周知的情况是，ρ（X）=loge[eX]是熵风险度量。浓度不等式ρ（λX）≤ cλ/2是如此普遍，以至于有了一个名称；这种anX被称为次高斯。eq-uivale-nt条件E[exp（c（X+））]∞ 是REM 3.9的一个众所周知的特例。我们将知道，超高斯随机变量包括有界随机变量（由Hoe fff ding’slemma提出），当然还有正态随机变量本身。3.5.2. 瞬间的界限。以家庭为例=十、∈ L:E[（X+）2p]<∞,p在哪里≥ 2是固定的。

设置γ（x）=x/2和l（x） =[（1+x）+]p，注意γ*= [0]上的γ，∞). 谢谢∈ΦE[l(γ*（X+）]∞. 我们很容易检查(l, γ) ∈ LΓ。因此，如果ρ是对应于l, 我们可能会发现c>0，使得ρ（λX）≤ cλ/2，对于所有λ≥ 0和X∈ Φ. （3.10）对数正态律是一种常见的资产价格选择，因为它具有正性，所以让我们看看它满足什么样的集中不平等。假设X=eZ，当eZ是标准法线时。由于X具有所有订单的元素，因此满足ρ（λX）≤ cλ/2用于上述选择o fl（x） =[（1+x）+]p.一个更清晰的选择是l（x） =exp（a | log（x）|）对于某些a<1/2，对于x>2，例如l 扩展到保持共模和不减损，并实现l(0) = 1. 的确，那么E[l（c | X |）根据E[exp（a | Z |）进行控制，众所周知，E是有限的。3.5.3. 有界随机变量。假设ρ是对应于某个损失函数的短缺风险度量l. 如果γc（λ）：=cλ，则共轭为γ*c（x）=（0代表x）≤ C∞ 对于x>c，因此，如果ρ（λ（x）≤ cλ表示所有λ≥ 对于某些c>0，则命题3.3意味着P（X>t）≤ 1/l(γ*c（t）），对于所有t>0，这反过来意味着X≤ 另一方面，如果X≤ c a.s.那么ρ的单调性意味着ρ（λX）≤ cλ表示所有λ≥ 因此，ρ（λX）≤ 所有λ的cλ≥ 0当且仅当X≤ c.a.s.但值得注意的是，对于有界随机变量s，对于λ的小值，线性形状函数通常不尖锐。例如，当ρ（X）=loge[eX]是熵风险度量时≤ 十、≤ b a.s.当EX=0时，霍夫丁不等式产生ρ（λX）≤ （b）- a） λ/8.4。张力化和时间一致性我们现在研究可以合理地称之为集中不等式的张力化。

假设两个随机变量x和x满足ρ（λXi）≤ 所有λ的γi（λ）≥ 0且i=1，2，关于X和X组合的流动性风险比例，可以说是什么形式的f（X，X）？最终，我们发现，除了熵度量或其适度扰动之外，很难用风险度量进行任何紧张化。一方面，我们将看到，这使得熵风险度量在流动性风险分析中最为独特。另一方面，本节的分析也将为如何提高数学结果提供一些提示；见备注4.6。本节的其余部分仅适用于L定义的法律不变风险度量(Ohm, F、 P），我们由此得出结论，下卧概率空间是非原子的，是标准的。回顾P（R）是P（R）的子集，由具有有限第一时刻的测量组成，定义为ρ：P（R）→ (-∞, ∞]由ρ（Po 十、-1） =ρ（X），由于定律不变性，这是可能的。然后，我们可以为任何σ-字段定义 F英寸Ohm 还有任何X∈ 五十、 ρ（X | G）：=ρ（P（X）∈ ·|G） ）。这是一个G-可测量的随机变量，唯一定义为a.s.等式。类似地，对于随机变量Y，写出ρ（X | Y）：=ρ（X |σ（Y））。请注意，如果Y是G-可测量的，那么对于任何随机变量X，ρ（X+Y | G）=ρ（X | G）+Y，a.s.，如果X和Y是独立的，那么检查ρ（f（X，Y）| X）=ρ（f（X，Y））|X=X是很简单的。关键的定义如下，本节的大部分内容都是详细阐述的：定义4.1。如果ρ（X），我们说一个定律不变的风险度量ρ是可接受一致的≤ ρ（ρ（X | G）），对于每个子σ场G F和每X∈ 也就是ρ（X | G）∈ L.如果不等式被逆转，wesayρ是一致的。

如果ρ既是接受一致的，又是拒绝一致的，我们说ρ是时间一致的。参见[30]以获得对该属性的全面讨论以及几种可选特征。从Kupper和Schachermayer[29]的结果（见[30]中的Coro llary 4.7]）可以看出，唯一的时间一致性定律不变风险度量（直到膨胀，即用t-1ρ（tX））是entro-Pic风险度量。如果我们只寻求可接受一致性，那么[30]中表明，如果损失函数是对数次可加的，那么短缺风险度量就是可接受一致性l（x+y）≤ l（十）l（y） 为了所有的x，y∈ R、 除了指数函数之外，这个有效条件似乎不太必要l（x） =除此之外，没有多少函数同时满足这一性质和定义损失函数所需的性质。类似地，如果定义中的函数φ满足xφ，则优化的确定性等式是可接受一致的*（y） +yφ*（十）≤ φ*（xy）对于x，y≥ 0.当φ*（x） =x log xon x≥ 0和φ*= ∞ 在(-∞, 0）或等效φ（x）=ex-1.或者，如果φ*（x） =xl-1（x）对于损失函数x，φ的这个性质*本质上等同于l, 这表明φ*这并不容易。虽然熵度量之外没有多少风险度量是可接受一致的，但本节的结果说明了为什么可接受一致性在流动性风险研究中如此有用。事实上，它的相关性首先体现在以下简单但有用的结果中：Propositi on 4.2。设ρ为可接受一致律不变风险测度。假设X，X∈ 任意独立（实值）随机变量。然后ρ（X+X）≤ ρ（X）+ρ（X）。类似地，如果ρ是一致的，那么ρ（X+X）≥ ρ（X）+ρ（X）。流动性、风险度量和度量标准的集中度。

注意，ρ（X+X | X）=ρ（X+X）X=X=X+ρ（X）。因为这在L中很明显，所以接受一致性意味着ρ（X+X）≤ ρ（ρ（X+X | X））=ρ（X+ρ（X））=ρ（X）+ρ（X）。第二种说法也得到了类似的证明。请注意，这当然可能是感应式的。假设X，是独立的随机变量。如果ρ（λXi）≤ 对于某些形状函数γi，如果ρ是可接受一致的，那么ρλnXi=1Xi！≤nXi=1ρ（λXi）≤nXi=1γi（λ）。换句话说，如果Xn=nPni=1Xi，那么ρ（λXn）≤nXi=1γi（λ/n）。例如，假设γi=γ不依赖于i，并且γ（0）=0。γ的共凸性则意味着γ（λ/n）≤ γ（λ）/n和soρ（λXn）≤ γ(λ).这个界限是无量纲的，因为右手边不依赖于n。换句话说，当风险度量为可接受一致性时，平均独立损失不会恶化流动性风险。但更多的是真的：4.3上的Propositi。设ρ为可接受一致律不变风险测度。对于每个i=1，n设Xibe是一个Ei值随机变量，其中（Ei，di）是一个完全可分度量空间。假设X，Xnare独立，具有各自的法律∈ P（Ei）。对于每一个i，每一个λ≥ 对于（Ei，di）上的每个1-lipschitzf函数，我们有ρ（λ）（f（Xi）- Ef（Xi）））≤ γi（λ）。（4.1）为E=E×·································l-metricd（x，y）=nXi=1di（xi，yi）。然后，对于E上的任何1-Lipschitz函数f，我们有ρ[λ（f（X，…，Xn）]- Ef（X，…，Xn））]≤对于所有λ，nXi=1γi（λ）≥ 0.证明。我们证明了n=2的情况，正如一般情况下的一个简单归纳。对于固定x，函数y 7→ f（x，y）是Lipschitz，因此（4.1）意味着ρ（λf（x，x））≤ γ（λ）+λEf（x，x）。另一方面，由于命题2.4，ρ（λf（x，x））≥ λE[f（x，x）]。将这些上界和下界结合起来显示x7→ ρ（λf（x，x））是u-可积的，或者等价地ρ（λf（x，x）|x）在L中。