流动性、风险度量和度量集中度

但很明显l(γ*（x/n））- l(γ*（x） 在x和sosupx中增加≥Cl(γ*（x/n））l(γ*（x） )=l(γ*（c/n））l(γ*（c） ）。自从l γ*与γ是连续的*(0) = -γ(0) ≤ 0和l（0）=1，我们有→∞好的≥Cl(γ*（x/n））l(γ*（x） )=l(-γ(0))l(γ*（c） )≤l(γ*（c） ）对于每个c>0。因为γ（x）<∞ 对于某些x>0的情况，γ*（x） 倾向于以x为单位→ ∞. 这样索多斯l(γ*（x） ）（自从l（x） 对于所有x>0的情况，通过定义loss函数），这就完成了证明。现在让我们转向定理3.6的证明。首先让我们检查一下，在不丧失一般性的情况下，我们可以假设每X X的EX=0∈ Φ. 给定一个基因ralΦ，集Φ′：={X- 例：X∈ Φ}. 可积条件supx∈ΦE[l(γ*（κX+）]∞意味着Φ′有一个，尽管有一个不同的κ，从那时起[l(γ*（κ（X）- EX）+/2））]≤E[l(γ*（κX+）]E[l(γ*(κ(-EX）+）].自从l o γ*是非恒定的，我们有supX∈ΦE|X|<∞, 我们的结论是∈Φ′E[l(γ*（κX+/2））]∞.因此，在剩下的证明中，我们假设所有X的EX=0∈ Φ.现在，为了证明定理3.6，需要证明ρ（λX）存在n>0s≤ 所有λ的γ（nλ）≥ 0，或等效ρ（λX/n）- γ（λ））对于所有λ≥ 0.这相当于发现n>0∈Φsupλ≥0ElλXn- γ(λ)≤ 1.（A.1）其主要思想是，积分界（3.5）产生一些一致可积性，即l（λX/n）-γ(λ)) ≤ l(γ*（X/n））；对于each X和λ，我们可以证明[l（λX/n）-γ(λ))] → l(-γ（λ））as n→ ∞. 但是l(-γ(λ)) < l（0）=1表示所有λ>0。对于固定δ>0，我们可以使该极限在λ上一致≥ δ得出的结论是（A.1）与λ一样适用于某些n≥ δ、 但是λ的小值需要更多的注意。案例1：假设定义3.5的条件（3a）成立。

多亏了引理A.1，我们可能会发现c，N>0，因此对于N≥ Nsupx≥Cl(γ*（x/（κn）））l(γ*（x） )≤M.自l γ*对于所有λ>0和X，都是不减损的∈ 我们有lλXn- γ(λ)≤ l(γ*（X+/n））。因此，使用假设（3.5），ElλXn- γ(λ)十> c/κ≤ El(γ*（κX+）l(γ*（X+/n））l(γ*（κX+）X>c/κ≤我l(γ*（κX+）≤ .另一方面，ElλXn- γ(λ)|X|≤c/κ≤ lλcκn- γ(λ)≤ l(γ*（c/κn））。苏斯lλXn- γ(λ)≤  + l(γ*（c/κn））。（A.2）现在注意γ*（0）=支持≥0(-γ（t））=-γ(0) < 0. 由于γ是非恒定的，所以{t≥ 0 : γ*（t） <∞}具有非空的内部，其上*是连续的。因此，我们可能会发现t>0，使得γ*（t） <0。选择>c/（κt）得到γ*（c/κn）≤ γ*（t） 利用γ的单调性*. 自从l′（0）存在且严格为正，且自l（0）=1，我们知道l（x） <1表示所有x<0。最后，选择：=[1]- l(γ*（t） ）]>0，并从（A.2）中得出结论，（A.1）适用于足够大的n.情况2，步骤1：假设定义3.5的条件（3b）成立。我们首先考虑λ的小值。我们希望找到δ>0和N>0，这样就可以≥Nsupλ≤δsupX∈ΦElλXn- γ(λ)≤ 1.（A.3）注意ddλlλXn- γ(λ)= l′λXn- γ(λ)Xn- γ′(λ).根据中值定理，对于λ>0，我们可以找到tλ∈ [0，λ]这样lλXn- γ(λ)= 1+λEl′tλXn- γ（tλ）Xn- γ′（tλ）.为了证明（A.3），现在必须证明↓0lim supn→∞supλ∈[0，δ]supX∈ΦEl′tλXn- γ（tλ）Xn- γ′（tλ）< 0.（A.4）固定>0和δ>0。根据假设（3b），我们可能会发现x>0，因此xl′（十）≤ l(γ*（x） ）为所有x≥ 请注意l′通过对损失函数的定义，它是非负且非减损的。对于每个λ≤ δwehaveXnl′tλXn- γ（tλ）十、≥十、≤X+nl′δX+n十、≥十、≤δl o γ*δX+n.自从γ*（0）=0和l（0）=1，函数的凸性l oγ*暗示l o γ*（德克萨斯州）≤ Tl o γ*（x） +（1）- t） 。

（A.5）因此≥ δ、 Xnl′tλXn- γ（tλ）≤κnl(γ*（κX+）+δ1.-Δκn.另一方面，Xnl′tλXn- γ（tλ）|X |<X≤xnl′tλxn- γ（tλ）≤xnl′（δx/n），当n时明显趋于零→ ∞. 我们从最后两次展示以及假设（3.5）得出结论，即LIM supn→∞supλ∈[0，δ]supX∈ΦEXnl′tλXn- γ（tλ）≤ /δ24 DANIEL Lacker因为这对每一个>0都成立，所以limsup实际上是零，我们得到lim supδ↓0lim supn→∞supλ∈[0，δ]supX∈ΦEl′tλXn- γ（tλ）Xn≤ 0.当我们检查lim supδ时，（A.4）的证明将是完整的↓0lim supn→∞supλ∈[0，δ]supX∈Φ-γ′（tλ）El′tλXn- γ（tλ）< 0.（A.6）注意γ′（tλ）≥ γ′（0）>0，并且l′tλXn- γ（tλ）≥ l′-δ| X | n- γ(δ).自从l′是连续的，非减量的，非负的，右边的随机变量是有界的，在X和n上是一致的，并且逐点增加到常数l′(-γ（δ））。收敛性由Dini定理和Thusimn一致→∞好的∈ΦEl′-δ| X | n- γ(δ)= l′(-γ(δ)). （A.7）Thusim supδ↓0lim supn→∞supλ∈[0，δ]supX∈Φ-γ′（tλ）El′tλXn- γ（tλ）≤ -γ′（0）lim supδ↓0l′(-γ(δ)) = -γ′(0)l′(0).根据假设，这个数量是严格负的，证明（A.6）。案例2，第2步：我们现在转向λ的大值，现在δ>0已经固定，并且证明存在N>0这样的supλ≥δsupn≥氖lλXn- γ(λ)≤ 1.（A.8）自l′（0）存在并且是非常积极的l（0）=1，我们知道l（x） <1表示所有x<0。因此l(-γ（δ））<1，并以高度的远见定义：- l(-γ(δ))]/2 > 0.多亏了引理A.1，我们可能会发现c，N>0，这样对于N≥ Nsupx≥Cl(γ*（x/（κn）））l(γ*（x） )≤M.还要注意，对于所有λ>0，lλXn- γ(λ)≤ l(γ*（|X |/n））。因此，使用假设（3.5），ElλXn- γ(λ)十> c/κ≤ El(γ*（κX+）l(γ*（X+/n））l(γ*（κX+）X>c/κ≤我l(γ*（κX+）≤ . （A.9）现在请注意，对于任何t>0，supλ中的上确界≥δ（λt）- γ（λ））由λ=inf{s获得≥ δ：γ′（s）≥ t} ，其中γ′是γ的右导数。

所以如果t≤ γ′（δ），我们有supλ≥δl（λt）- γ(λ)) = l（δt）- γ(δ)). 由于γ（x）>0=γ（0）对于所有x>0，并且由于γ是递增的和凸的，我们得到了γ′（δ）>0。因此，ifn≥cκγ′（δ），然后是supλ≥δElλX+n- γ(λ)十、≤c/κ≤ lδcn- γ(δ). （A.10）流动性、风险度量和度量值的集中度，因为右侧收敛到l(-γ（δ））as n→ ∞, 对于足够大的n（同样只包括onc和δ），我们有lδcn- γ(δ)≤ l(-γ(δ)) + .将其与（A.9）和（A.10）相结合表明，对于足够大的nsupλ≥δElλX+n- γ(λ)≤ 2 + l(-γ(δ)) = 1.将其与（A.3）相结合，完成（A.1）的证明，从而完成案例2。案例3，步骤1：假设定义3.5的条件（3b）成立。同样，我们首先考虑λ的小值，通过发现δ>0和N>0，使（A.3）保持不变。注意ddλlλXn- γ(λ)= l′′λXn- γ(λ)Xn- γ′(λ)- γ′′(λ)l′λXn- γ(λ).根据泰勒定理，对于λ>0，我们可以找到tλ∈ [0，λ]这样lλXn- γ(λ)= 1.- λγ′(0)l′（0）+λE[A（λ，X）- B（λ，X）]，（A.11），其中（λ，X）：=E“l′′tλXn- γ（tλ）Xn- γ′（tλ）#,Bn（λ，X）：=γ′′（tλ）El′tλXn- γ（tλ）.我们使用EX=0来简化一阶项。现在，fixδ>0将在以后指定。多亏了（A.11），为了证明（A.3），有必要证明lim supδ↓0lim supn→∞supλ∈[0，δ]supX∈ΦE[An（λ，X）- Bn（λ，X）<0，（A.12）对于足够大的n.Fix，δ>0，δ稍后确定。如果λ≤ δ、 然后从l′′非减量We have[An（λ，X）]≤ 2EXn+|γ′（tλ）|l′′（tλX/n）-γ（tλ）≤ 2EXn+|γ′（δ）|l′′（δX/n）.现在请注意，假设（3c）存在x>0，这样xl′′（十）≤ l(γ*（x） ）为所有x≥ x、 ThusXnl′′（δX/n）1 |X|≥十、≤δl(γ*（δ| X |/n））1 |X|≥十、≤Δκnl(γ*（κ| X |）+δl(γ*（δ| X |/n））1.-Δκn,最后一个不等式来自l o γ*如（A.5）所示，当nκ≥ δ. 另一方面，Xnl′′（δX/n）1 |X |<X≤xnl′′（δx/n），当n时明显趋于零→ ∞.

将以上两种品质结合在一起，可生产超薄型SUP→∞好的∈ΦEXnl′′（δX/n）≤ /δ.因为>0是任意的，所以上面的limsup实际上是一个等于零的极限。苏普恩→∞好的∈ΦE[An（λ，X）]≤ 2|γ′（δ）|supX∈ΦE[l′′（δ| X |）]），一个类似的变换参数（使用X）表明X上的上确界∈ 右边的Φ是有限的，因此由于γ′（δ）=0，我们得到了lim supδ↓0lim supn→∞好的∈ΦE[An（λ，X）]=0。（A.13）26 DANIEL Lacker另一方面，对于B项，注意e[Bn（λ，X）]≥ γ′′（tδ）El′-δ| X | n- γ(δ)≥ 我知道l′-δ| X | n- γ(δ),式中，Iδ：=inft∈[0，δ]γ′（t）对于非常小的δ是三正的。多亏了上面案例2中的（A.7），我们得到了信息→∞好的∈ΦE[Bn（λ，X）]≥ 我δl′(-γ（δ）），以及↓0lim infn→∞好的∈ΦE[Bn（λ，X）]≥ γ′(0)l′(0).最后，从这一点和（A.13）我们得出了m supδ↓0lim supn→∞supλ∈[0，δ]supX∈ΦE[An（λ，X）- Bn（λ，X）]≤ -γ′′(0)l′(0) < 0.案例3，步骤2：为了处理λ的大值，我们遵循与案例2的步骤2完全相同的证明，证明存在N>0，这样（A.8）成立。将其与（A.3）结合起来，就完成了（A.1）的证明，从而证明了定理。参考文献1。C.Acerbi和G.Scandolo，《流动性风险理论和cohe-rent风险度量》，量化金融8（2008），第7681–692.2号。P.Artzner，F.Delbaen，J.-M.Eber和D.Heath，《一致性风险度量》，数学金融9（1999），第3203-228.3号。P.Barrieu和N.El Karoui，Inf《风险度量和最优风险转移的卷积》，金融与随机9（2005），第2期，第269–298.4页。M.Beiglb¨ock，P.Henry Labord\'ere和F.Penkner，《期权价格的模型独立界限——一种大众运输方法》，金融与随机17（2013），第3期，477–501.5。N.Beiglb–ock，M.Nutz和N.Touzi，《线上鞅最优运输的完全对偶》，arXiv预印本XIV:1507.00671（2015）。贝格尔博克和N。

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