一类非线性核的随机控制及其应用

事实上，在论文[22]中，我们获得的2BSDE的适定性理论被用于解决契约理论中的一般原则-代理问题，当代理控制相应输出过程的漂移和波动时（我们请读者参阅优秀专著[23]了解契约论的更多细节），这是以前文献中无法用技术评估来解决的问题。这一结果在许多领域都有潜在的应用，从经济学（例如参见[21,62]）到能源管理（参见[1]）。通过本文，我们确定了常数p>κ>1。让N*:= N\\{0}让R*+是一组真正的正数。每一天- 带d的维数向量b∈ N*, 我们用b表示，对于α，β，bdits坐标和∈ Rdwe用α·β表示通常的内积，与normk·k相关，当d等于1时，我们将其简化为|·|。我们还假设1d是坐标都等于1的向量。无论如何(l, c）∈ N*×N*, Ml,c（R）将表示l 带实数条目的×c矩阵。矩阵M的元素∈ Ml,cw将用（Mi，j）1表示≤我≤l, 1.≤J≤c、 M的转置将用M表示. 什么时候l = c、 我们让我l（R） ：=Ml,l（R） 。我们还确认了Ml,1（R）和Rl. M中的单位矩阵l（R） 将由I表示l. 让我们≥0d表示所有对称正半有限d×d矩阵的集合。我们定义了一个映射ψ：S≥0d-→ Md（R）是（Borel）可测且满足ψ（a）ψ（a）= a全部a∈ s≥0d，表示a:=ψ（a）。最后，我们用a表示⊕a的Moore-Penrose伪逆∈ s≥0d。

特别是mapa 7-→ A.⊕= limΔ0（a）a+δId）-1a波雷尔是可测量的。1.1概率框架我们首先用规范空间和相关符号展示我们的概率框架。1.1.1正则小空间d∈ N*, 我们用Ohm := C[0，T]路所有Rd的正则空间-[0，T]上的有值连续路径ω，使得ω=0，配备了标准过程X，即Xt（ω）：=ωT，对于所有ω∈ Ohm. 用F=（Ft）0表示≤T≤t由X和byF+=（F+t）0生成的标准过滤≤T≤t F+t:=Ft+=F的右极限∩s> 为了所有人∈ [0，T）和F+T:=英尺。我们装备Ohm 具有一致收敛范数kωk∞:= sup0≤T≤TkωTk，所以Borelσ-领域Ohm 与FT一致。让Pdenote测量Ohm 其中X是布朗运动。让Mdenote集合上的所有概率测度(Ohm, （英国《金融时报》）。请注意，Mis是一个具有弱收敛性的Polishspace。我们用B表示它的Borelσ- 菲尔德。那么有没有P∈ M、 用fpt表示完成的σ-FTP下的字段。也指FP完成的过滤=FPtT∈[0，T]和FP+是FP的右极限，因此FP+满足通常的条件。此外，对于P M、 我们介绍普遍完成的过滤功能：=未来0≤T≤T、 FP:=FPt0≤T≤T、 和FP+：=FP+t0≤T≤T、 定义如下：=\\P∈MFPt，FPt:=\\P∈PFPt，t∈ [0，T]，FP+T:=FPt+，T∈ [0，T）和FP+T:=FPT。我们还引入了一个扩大的正则空间Ohm := Ohm × Ohm′, 哪里Ohm′与相同Ohm. 通过滥用符号，我们用（X，B）来表示它的规范过程，i。e、 Xt（\'ω）：=ωt，Bt（\'ω）：=ω′t对于所有的ω：=（ω，ω′）∈Ohm, 乘F=（英尺）0≤T≤t由（X，B）和byfx=（FXt）0生成的规范过滤≤T≤t由X生成的过滤。

同样，我们用FX+和F+表示相应的权利——连续过滤，并用FX、P+和FP+表示增强过滤，给出概率度量Ohm.1.1.2半鞅测度我们说概率测度P(Ohm, FT）是半鞅测度，如果X是P下的半鞅，则在正则空间上Ohm , 有一些F-逐步可测量的非递减过程（见Karandikar[52]、Bichteler[8]或Neufeld and Nutz[68，命题6.6]），用hXi=（hXit）0表示≤T≤T、 这与每个半鞅测度P下的Xunder的二次变化一致。表示进一步的bat:=lim supε0hXit- hXit-εε.每一个t∈ [0，T]，让PWtdenote表示所有概率测度P的集合(Ohm, FT）等o（Xs）s∈[t，t]是a（P，F）-允许正则分解的半鞅（参见[51，定理I.4.18]）Xs=ZstbPrdr+Xc，Ps，s∈ [t，t]，P- a、 在美国，BPA是FP-可预测Rd-有值过程，Xc，Pis是P.下X的连续局部鞅部分hXiss∈[t，t]对于Lebesgue测度在s中是绝对连续的，batakes值在s中是绝对连续的≥0d，P- a、 s.给定一个随机变量或过程λOhm, 我们可以自然地定义它的扩展Ohm（稍微滥用符号，我们仍然用λ表示）用λ（？ω）：=λ（ω），ω := (ω, ω′) ∈Ohm. （1.1）特别是，流程ba可以在Ohm. 给定一个概率测度P∈ PWt，我们在放大的正则空间上定义了一个概率测度POhm 由P:=P P、 所以X在(Ohm, FT，P，F）是一个半鞅，具有与中的X相同的三重特征(Ohm, FT，P，F），B是aF-布朗运动，X独立于B。那么对于每一个P∈ 有人-值，F-布朗运动WP=（WPr）t≤R≤（参见。

[89]中的定理4.5.2 Xs=ZstbPrdr+Zstba1/2rdWPr，s∈ [t，t]，P- a、 （1.2）其中我们扩展了BPA和ba的定义Ohm 如（1.1）中所述，我们记得ba1/2已在上述章节中定义。注意，当baris非退化P- a、 美国∈ [t，t]，我们可以构造布朗运动WPonOhm 如f ollowsWPt:=Ztba-1/2sdXc，Ps，t∈ [0，T]，P- a、 并且不需要考虑上述配备独立布朗运动的放大空间来构造WP。备注1.1（关于ba1/2的选择）。可测量的地图是7-→ a1/2在整个文件中固定。第一种选择是将a1/2作为A的唯一非负对称平方根（参见[89]中的引理5.2.1）。我们也可以使用Cholesky分解来获得a1/2A作为低三角矩阵。最后，当d=m+n代表m时，n∈ N*, ba具有下面2.1条中的特殊结构，我们可以用下面的方法取a1/2 A=σσσσ在里面a1/2=σ0In！，有些时候∈ n.（1.3）1.1.3概率测度的条件化和串联我们还记得，对于Ohm 和F-停止时间τ取[0，T]中的值，存在一个规则的条件概率分布（简称r.c.p.d.）（pτω）∈Ohm（参见。

Stroock和Varadhan[89]），满足（i）对每个ω的要求∈ Ohm, Pτω是(Ohm, （英国《金融时报》）。（ii）每∈ FT，映射ω7-→ Pτω（E）是Fτ-可测量的（iii）族（Pτω）ω∈Ohm是Fτ上P的条件概率测度的一个版本，即前向可积FT-可测随机变量ξ我们有EP[ξ| Fτ]（ω）=EPτωξ, 为了P- a、 e.ω∈ Ohm.（iv）对于每个ω∈ Ohm, Pτω(Ohmωτ）=1，其中Ohmωτ:=ω ∈ Ohm : ω（s）=ω（s），0≤ s≤ τ (ω).此外，给定一些P和一个（Qω）ω族∈Ohm这样ω7-→ Qω是Fτ-可测与qω(Ohmωτ=1表示所有ω∈ Ohm, 然后可以定义一个串联的概率测度PτQ·byPτQ·A.:=ZOhmQωA.P（dω），A.∈ FT.1.2功能空间和规范我们现在给出本文其余部分所需的空间和规范。我们得到一个固定的族（P（t，ω））（t，ω）∈[0，T]×Ohm上的概率测度集(Ohm, FT），其中P（t，ω） 嗯。修好一些t∈ [0，T]和一些ω∈ Ohm. 下面，X:=（Xs）t≤s≤斜纹表示任意过滤Ohm, 任意σ-代数Ohm, P是P（t，ω）中的任意元素。也由XPP表示-与X相关的强化过滤。对于p≥ 1，Lpt，ω（X）（分别是Lpt，ω（X，P））表示所有X的空间-可测标量随机变量ξ，kξkpLpt，ω：=supP∈P（t，ω）EP[|ξP]<+∞,响应。kξkpLpt，ω（P）：=EP[|ξP]<+∞.o Hpt，ω（X）（分别为Hpt，ω（X，P））表示所有X的空间-可预测Rd-有价值的过程Z，定义为BASD- a、 e.在[t，t]上，带kzkphpt，ω：=supP∈P（t，ω）EP“ZTtba1/2sZsdsp#+∞,响应。kZkpHpt，ω（P）：=EP“ZTtba1/2sZsdsp#+∞!.o Mpt，ω（X，P）表示所有（X，P）的空间-带P的可选鞅M- a、 s.cádlág pathson[t，t]，其中Mt=0，P- a、 s.，和KMkPMPT，ω（P）：=EPh[M]pTi<+∞.此外，我们会说一个家庭（MP）P∈P（t，ω）属于Mpt，ω（（XP）P∈P（t，ω））如果，对于anyP∈ P（t，ω），MP∈ Mpt，ω（XP，P）和supp∈P（t，ω）议员Mpt，ω（P）<+∞.o Ipt，ω（X，P）（分别为。

Io，pt，ω（X，P））表示所有X的空间-可预测（分别为X-可选）带P的processesK- a、 [t，t]上的s.cádlág和非递减路径，其中Kt=0，P- a、 s.，和kkpipt，ω（P）：=EPKpT< +∞ （分别为kkpio，pt，ω（P）：=EPKpT< +∞).我们会说一个家庭（KP）P∈P（t，ω）属于Ipt，ω（（XP）P∈P（t，ω））（分别为Io，pt，ω（（XP）P∈P（t，ω））如果，对于任何P∈ P（t，ω），KP∈ Ipt，ω（XP，P）（分别为KP）∈ Io，pt，ω（XP，P））和supp∈P（t，ω）金伯利进程Ipt，ω（P）<+∞响应。晚餐∈P（t，ω）金伯利进程Io，pt，ω（P）<+∞!.o Dpt，ω（X）（分别是Dpt，ω（X，P））表示所有X的空间-逐步可测R-带P（t，ω）的值处理Y- q、 s.（分别为P- a、 [t，t]上的cádlág路径，带ky kpppt，ω：=supP∈P（t，ω）EP“supt”≤s≤T|Ys|p#+∞,响应。kY kpDpt，ω（P）：=EP“supt”≤s≤T|Ys|p#+∞!.o 同样，在放大的正则空间上，给出概率测度P和过滤XOhm,我们用Dpt，ω（X，P），Hpt，ω（X，P），Mpt，ω（X，P），。。。此外，当nt=0时，不再依赖于ω，因为ω=0，所以我们通过增加ω来简化符号-依赖和写Hp（X），Hp（X，P），。。。类似的符号也用于大正则空间。1.3假设我们在此提供一类条件，这些条件将在本文中假设。我们应考虑一个随机变量ξ：Ohm -→ R和a生成函数f：（t，ω，y，z，a，b）∈ [0，T]×Ohm ×R×Rd×S≥0d×Rd-→ 简单化bfps（y，z）的R.定义：=f（s，X）·∧s、 y，z，bas，bPs）和bfp，0s:=f（s，X）·∧s、 0，0，bas，bPs）。回想一下，我们得到了一个族（P（t，ω））（t，ω）∈[0，T]×Ohm上的概率测度集(Ohm, FT），其中P（t，ω） pwt（t，ω）∈ [0，T]×Ohm. 也表示Pt:=∪ω∈OhmP（t，ω）。我们对ξ，f和族（P（t，ω））（t，ω）作如下假设∈[0，T]×Ohm.假设1.1。

（i） 随机变量ξ为FT-可测的，生成函数f是联合Borel可测的，因此对于每一个（t，ω，y，y′，z，z′，a，b）∈ [0，T]×Ohm ×R×R×Rd×Rd×S≥0d×Rd，f（t，ω，y，z，a，b）- f（t，ω，y′，z′，a，b）≤ CY- y′+Z- z′,对于每个固定的（y，z，a，b），映射（t，ω）为7-→ f（t，ω，y，z，a，b）是f-逐步可测量。（ii）对于固定常数p>1，每（t，ω）有一个∈ [0，T]×Ohm,晚餐∈P（t，ω）EP|ξ| p+ZTtf（s，X）·∧s、 0，0，bas，bPs）pds< +∞. （1.4）（iii）对于每（t，ω）∈ [0，T]×Ohm, 一个有P（t，ω）=P（t，ω）·∧t） 和P(Ohmωt）=1∈P（t，ω）。P的图[[P]]，由[[P]]定义：={（t，ω，P）：P∈ P（t，ω）}，在[0，t]×中是解析的Ohm x M.（iv）P在条件下是稳定的，即对于每一个（t，ω）∈ [0，T]×Ohm 每一个P∈ P（t，ω）与F-停止时间τ取[t，t]中的值，有一个r.c.p.d.（Pw）w族∈Ohm就这样∈ P（τ（w），w），对于P- a、 e.w∈ Ohm.（v） P在串联下是稳定的，即对于每一个（t，ω）∈ [0，T]×Ohm 和P∈ P（t，ω）与F-停止时间τ取[t，t]中的值，let（Qw）w∈Ohm是一个概率测度家族，比如Qw∈ P（τ（w），w）表示所有w∈ Ohm 和W7-→ Qwis Fτ-可测量，然后是串联概率测度PτQ·∈ P（t，ω）。备注1.2。假设1.1中的条件（i）和（ii）是非常标准的条件，以获得标准BSDE的存在性和唯一性，且具有生成器f和终端条件ξ。这里唯一的变化是（1.4）考虑到我们正在使用一系列测量，因此是上确界。备注1.3。假设1.1中的条件（iii）–（v）基本上用于证明非线性核上控制问题的动态编程原理，并且是这种设置中使用的一般条件（例如参见[73]，以及[80]中给出的扩展）。

注意，当t=0时，任何ω都有P=P（0，ω）s，因为ω=0∈ Ohm.特别是，让我们考虑集合P（t，ω）由受控微分过程诱导的情况。假设U是一些（非空）波兰空间，U表示所有U的集合-价值和F-逐步可测量的过程（u，σ）：[0，T]×Ohm ×U-→ Rd×Sd是漂移和波动系数函数，假设对于某些常数L>0，k（u，σ）（t，0，u）k≤ 我和（u，σ）（t，ω，u）- （u，σ）（t′，ω′，u）≤ Lp|t- t′|+ωt∧·- ω′t′∧·.回想一下，正则空间上的正则过程XOhm 是维纳测度P下的标准布朗运动。我们用St，ω，ν表示SDESt的唯一（强）解，ω，νs=ωt+Zstu（r，St，ω，ν，ν，νr）dr+Zstσ（r，St，ω，ν，νr）dXr，s∈ [t，t]，P- a、 s.，初始条件为St，ω，νs=ωs∈ [0，t]和ν∈ U.然后由PU（t，ω）定义的一组度量的集合PU（t，ω）：=PoSt，ω，ν-1, ν ∈ U满足性假设1.1（iii）- （v） （参见[42]中的定理3.5和引理3.6，或在更简单的上下文中参见[67]中的定理2.4和命题2.2）。我们可以找到更多满足假设1.1（iii）的P（t，ω）的例子- （v） 在[42]中，这是由受控SDE的弱/松弛公式引起的。一类非线性随机核的2随机控制∈ [0，T]×Ohm 和P∈ P（t，ω），我们考虑以下BSDEYs=ξ-ZTsfr、 X·∧r、 年（ba1/2r）Zr，bar，bPr博士-ZTsZr·dXc公关公司P-ZTsdMr，P-a、 其中（RTsZr·dXc，Pr）Pdenotes Z w.r.t.Xc的随机可积性，Punder概率P。继El Karoui和Huang[35]之后，我们将BSDE（2.1）的解定义为三重解YPs，ZPs，MPss∈[t，t]∈ 满足等式（2.1）的Dpt，ω（FP+，P）×Hpt，ω（FP+，P）×Mpt，ω（FP+，P）。

特别地，在假设1.1中ξ和f的可积条件下，BSDE（2.1）的解存在唯一（见下面的引理2.2）。也可以考虑停止时间τ和FUτ-可测量的随机变量ζ，考虑BSDE，终端时间τ和终端条件ζ，Yt=ζ-Zτtfs、 X·∧s、 Ys（ba1/2s）Zs、bas、bPsds-ZτtZs·dXc，PsP-ZτtdMs。（2.2）每当上述BSDE（2.2）在上述意义上处于良好位置时，我们将用YP·（τ，ζ）表示其解的Y部分，并设置YP·（τ，ζ）=∞ 否则2.1一类非线性随机ic核的控制与动态规划原理∈ P（t，ω），生成过程X的规律是不同的，因此解也是不同的。然后我们定义，对于每一个（t，ω）∈ [0，T]×Ohm,bYt（ω）：=supP∈P（t，ω）EPhYPti。（2.3）请注意，YPTT是唯一可测量的FPt+，因此我们在服用该药物前会考虑其预期。此外，由于P（t，ω）只依赖于ωt∧·, 因此，byt（ω）也仅依赖于ωt∧·.我们的第一个主要结果是以下动态规划原理。定理2.1。假设假设1.1成立。那么对于所有（t，ω）∈ [0，T]×Ohm, 一个hasbYt（ω）=bYt（ωt∧·), 和（t，ω）7-→bYt（ω）isb（[0，T]） 英尺-普遍可测量。因此，对于所有（t，ω）∈ [0，T]×Ohm 和F-停止时间τ取[t，t]中的值，变量τ为fuτ-可测量的此外，对于任何P∈ P（t，ω），EPh按τ圆周率+∞ andbYt（ω）=supP∈P（t，ω）EPhYPtτ、 按τi、 备注2.1。在某些情况下，s ets P（t，ω）被定义为一系列受控扩散过程诱发的概率测量的集合（回忆备注1.3）。例如，设C（resp.C）表示所有连续路径ω在C（[0，T]，Rn）（resp.ω在C（[0，T]，Rm]）中的正则空间，使得ω=0（resp。

ω=0），使用规范过程B，规范过滤F，并让Pbe为相应的维纳测度。设U为抛光空间（u，σ）：[0，T]×C×U-→ Rn×Mn，mbe系数函数，然后，给定（t，ω）∈ [0，T]×C，wedenote by J（T，ω）所有项α的集合：=Ohmα、 Fα，Pα，Fα=（Fαt）t≥0，Wα，（ναt）t≥0，Xα,哪里Ohmα、 Fα，Pα，Fα是一个过滤概率空间，Wα是一个Fα-布朗运动，να是aU-值Fα-可预测过程和Xα求解SDE（在μ和σ上的一些适当附加条件下），初始条件Xαs=ωsfo∈ [0，t]，Xαs=ωt+Zstu（r，Xαr∧·, ναr）dr+Zstσ（r，Xαr）∧·, ναr）dWαr，s∈ [t，t]，Pα- a、 在这种情况下，我们可以让d=m+nOhm = C×C将ω=（ω，ω）的P（t，ω）定义为（Xα，Bα）α诱导的所有概率测度的集合∈J（t，ω）。然后，通过选择（1.3）中的ba1/2as，可以直接从中恢复σf，这可能对某些应用有用。此外，请注意，对于ω=（ω，ω），P（t，ω）只依赖于（t，ω），那么（2.3）中的值byt（ω）也只依赖于（t，ω）。2.2定理的证明2.12.2.1关于扩大的正则空间的等式公式我们想以一种等价的方式在扩大的正则空间上公式化BSDE（2.1）。记住这一点Ohm := Ohm × Ohm′对于概率测度POhm, 我们定义P:=P P.然后是P- 上的空事件Ohm 变成P-上的空事件Ohm 如果在放大的空间中考虑。设π：Ohm × Ohm′-→ Ohm 是由π（ω，ω′）定义的投影算子：=ω，对于任何（ω，ω′）∈Ohm.引理2.1。让我们 Ohm 成为…的子集Ohm. 然后说A是P-空集等价于{ω：π（\'）ω）∈ A} 是aP:=P吗 P-空s证明。暂时 Ohm, 表示a:={ω：π（\'-ω）∈ A} =A×AOhm′. 然后通过对productmeasure的定义，很明显p（A）=0<==> P P（A）=0，这是证明的结论。现在我们考虑放大的正则空间上的两个BSDE，w.r.t.两个不同的过滤。